分类讨论题(含答案)汇编

分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，3cos5B ．如果圆O的半径为10，且经过点B、C，那么线段AO的长等于．6.（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。

故顶角可能是50°或80°.【答案】D .2.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm ，底边长是6cm 时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm ，地边长是3cm 时能组成三角形．【答案】D3.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，B F BF '=，B FE BFE '∠=∠，从而可求得B′E=BF ；第(2)小题要注意分类讨论.【答案】（1）证：由题意得B F BF '=，B FE BFE '∠=∠，在矩形ABCD 中，AD BC ∥，B EF BFE '∴∠=∠，B FE B EF ''∴∠=∠，B F B E ''∴=．B E BF '∴=．（2）答：a b c ，，三者关系不唯一，有两种可能情况：（ⅰ）a b c ，，三者存在的关系是222a b c +=．证：连结BE ，则BE B E '=．由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．在ABE △中，90A ∠=o ，222AE AB BE ∴+=． AE a =Q ，AB b =，222a b c ∴+=．（ⅱ）a b c ，，三者存在的关系是a b c +>．证：连结BE ，则BE B E '=．由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．在ABE △中，AE AB BE +>， a b c ∴+>．4.【解析】圆与斜边AB 只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB 相切，此时r ＝2.4；2、圆与线段相交，点A 在圆的内部，点B 在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。

【答案】 3＜r≤4或r ＝2.45.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。

由AB=AC=5，3cos 5B =，可得BC 边上的高AD 为4，圆O 经过点B 、C 则O 必在直线AD 上，若O 在BC 上方，则AO=3，若O 在BC 下方，则AO=5。

【答案】3或5．6.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论.【答案】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d ＝11-2t ；当t ＞5.5时，函数表达式为d ＝2t -11．（2）两圆相切可分为如下四种情况：①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t ＝1＋1＋t ，t ＝3；②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t ＝1＋t －1，t ＝311； ③当两圆第二次内切，由题意，可得2t －11＝1＋t －1，t ＝11；④当两圆第二次外切，由题意，可得2t －11＝1＋t ＋1，t ＝13．所以，点A 出发后3秒、311秒、11秒、13秒两圆相切． 7.【解析】建立函数关系实质就是把函数y 用含自变量x 的代数式表示。

要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。

题中遇到“如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似”，一定要注意分类讨论。

【答案】（1）取AB 中点H ，联结MH ，M Q 为DE 的中点，MH BE ∴∥，1()2MH BE AD =+． 又AB BE ⊥Q ，MH AB ∴⊥． 12ABM S AB MH ∴=g △，得12(0)2y x x =+>； （2）由已知得22(4)2DE x =-+． Q 以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，1122MH AB DE ∴=+，即2211(4)2(4)222x x ⎡⎤+=+-+⎣⎦． 解得43x =，即线段BE 的长为43； （3）由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，又易证得DAM EBM ∠=∠．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM ∠=∠；②ADB BME ∠=∠．①当ADN BEM ∠=∠时，AD BE Q ∥， ADN DBE ∴∠=∠．DBE BEM ∴∠=∠．DB DE ∴=，易得2BE AD =．得8BE =；②当ADB BME ∠=∠时，AD BE Q ∥， ADB DBE ∴∠=∠．DBE BME ∴∠=∠．又BED MEB ∠=∠， BED MEB ∴△∽△． DE BE BE EM ∴=，即2BE EM DE =g ，得2222212(4)2(4)2x x x =+-+-g ． 解得12x =，210x =-（舍去）．即线段BE 的长为2．综上所述，所求线段BE 的长为8或2．8.【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E 为顶点、P 为顶点、F 为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．【答案】（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠=o ， 2222125EF EB BF ∴=+=+=．设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >， Q 顶点(12)F ，，∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，． 24(01)2a ∴=-+．解得2a =．∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+②如图②，当EP FP =时，22EP FP =， 22(2)1(1)9n n ∴-+=-+．解得52n =-（舍去）．③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在．综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+．（3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小．如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点． (31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，． FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345=+=． 又5EF =Q ， ∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是55+．。