电磁场与电磁波课后习题及答案五章习题解答

五章习题解答5.1 真空中直线长电流I 的磁场中有一等边三角形回路，如题5.1图所示，求三角形回路内的磁通。

解 根据安培环路定理，得到长直导线的电流I 产生的磁场02I rφμπ=B e 穿过三角形回路面积的磁通为d S ψ==⎰BS 0002[d ]d d 2d d zd dI I zz x x x xμμππ=⎰ 由题5.1图可知，()tan 6z x d π=-=，故得到2d d b dx d x x ψ-==0[)]22I b d μπ+ 5.2 通过电流密度为J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图所示。

计算各部分的磁感应强度B ，并证明腔内的磁场是均匀的。

解 将空腔中视为同时存在J 和J -的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内，另一个电流密度为J -、均匀分布在半径为a 的圆柱内。

由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。

I题 5.1 图由安培环路定律d CI μ⋅=⎰B l ，可得到电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内的电流产生的磁场为 020222b b b b b b r bb r b r J r B J r μμ⎧⨯<⎪⎪=⎨⨯⎪>⎪⎩ 电流密度为J -、均匀分布在半径为a 的圆柱内的电流产生的磁场为20222a a a a a a r a a r a r J r B J r μμ⎧-⨯<⎪⎪=⎨⨯⎪->⎪⎩ 这里a r 和b r 分别是点a o 和b o 到场点P 的位置矢量。

将a B 和b B 叠加，可得到空间各区域的磁场为圆柱外：22222b a ba b a r r B J r r μ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ ()b r b > 圆柱内的空腔外：2022b a a a r B J r r μ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ (,)b a r b r a <> 空腔内： ()0022b aB J r r J d μμ=⨯-=⨯ ()a r a <式中d 是点和b o 到点a o 的位置矢量。

由此可见，空腔内的磁场是均匀的。

5.3 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量J 。

(1) 0,r ar H e B H μ== （圆柱坐标） (2) 0(),x y ay ax H e e B H μ=-+=(3) 0,x y ax ay H e e B H μ=-=(4) 0,ar H e B H φμ==（球坐标系）解 根据恒定磁场的基本性质，满足0B ∇⋅=的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。

若是磁场的场矢量，则可由J H =∇⨯求出源分布。

（1）在圆柱坐标中 211()()20r rB ar a r rr rB ∂∂∇⋅===≠∂∂题5.2图该矢量不是磁场的场矢量。

（2） ()()0ay ax x yB ∂∂∇⋅=-+=∂∂ 该矢量是磁场的矢量，其源分布为 20x y z a x y z a y a x e e e J H e ∂∂∂=∇⨯==∂∂∂- （3） ()()0ax ay x yB ∂∂∇⋅=+-=∂∂该矢量是磁场的场矢量，其源分布为 00x y zx y z a x a y e e e J H ∂∂∂=∇⨯==∂∂∂-（4） 在球坐标系中 11()0sin sin B ar r r B φθφθφ∂∂∇⋅===∂∂该矢量是磁场的场矢量，其源分布为22sin 1ctag 2sin 00sin r r r r a a r r ar e e e J H e e θφθθθθθφθ∂∂∂=∇⨯==-∂∂∂5.4 由矢量位的表示式()()d 4Rτμτπ''=⎰J r A r 证明磁感应强度的积分公式 03()()d 4Rτμτπ'⨯'=⎰J r RB r 并证明0B ∇⋅=解: 0()()()d 4R τμτπ''=∇⨯=∇⨯=⎰J r B r A r 0()d 4R τμτπ''∇⨯=⎰J r 01()()d 4R τμτπ''-⨯∇=⎰J r 03()()d 4R τμτπ''-⨯-=⎰RJ r 03()d 4R τμτπ'⨯'⎰J r R [()]0∇⋅=∇⋅∇⨯=B A r5.5 有一电流分布0()()z rJ r a J r e =≤，求矢量位()A r 和磁感应强度()B r 。

解 由于电流只有z e 分量，且仅为r 的函数，故()A r 也只有z e 分量，且仅为r 的函数，即()()z z A r A r e =。

在圆柱坐标系中，由)(r A z 满足的一维微分方程和边界条件，即可求解出)(r A ，然后由()()r B A r =∇⨯可求出()B r 。

记a r ≤和a r ≥的矢量位分别为1()A r 和2()A r 。

由于在a r ≥时电流为零，所以211001()()z z A A r r J r r r rμ∂∂∇==-∂∂ （a r ≤）2221()()0z z A A r r r r r∂∂∇==∂∂ （a r ≥） 由此可解得3100111()ln 9z A r J r C r D μ=-++222ln )(D r C r A z +=)(1r A z 和)(2r A z 满足的边界条件为 ① 0→r 时，)(1r A z 为有限值② a r =时，)()(21a A a A z z =，a r z a r z rA r A ==∂∂=∂∂21 由条件①、②，有 01=C ，300221ln 9J a C a D μ-=+，2002113J a C a μ-=由此可解得 320013C J a μ=-，320011(ln )33D J a a μ=-- 故310011()9z A r J r D μ=-+ （a r ≤）3320000111()ln (ln )333z A r J a r J a a μμ=--- （a r ≥）式中常数1D 由参考点确定，若令0=r 时，0)(1=r A z ，则有01=D 。

空间的磁感应强度为211001()()3r r J r φμ=∇⨯=B A e （r a <） 30022()()3J a r r rφμ=∇⨯=B A e （r a >） 5.6 如题5.6图所示，边长分别为a 和b 、载有电流I 的小矩形回路。

（1）求远处的任一点),,(z y x P 的矢量位()A r ，并证明它可以写成 03()4m rp r A r μπ⨯=。

其中m z Iab p e =； （2）由A 求磁感应强度B ，并证明B 可以写成0()4I B d μΩπ=-∇ 式中2z r ab r e e d Ω⋅=场点对小电流回路所张的立体角。

解 （1）电流回路的矢量位为 01()d 4C I Rμπ'=⎰A r l式中：22212[()()]R x x y y z ''=-+-+=22212[2sin (cos sin )]r r x y x y θφφ''''-+++ 根据矢量积分公式d d CSl S ψψ=⨯∇⎰⎰，有11d d ()CSR R '''=⨯∇⎰⎰l S 而 11()()R R'∇=-∇所以 01()d ()4S I Rμπ'=-⨯∇⎰A r S 对于远区场，y r x r '>>'>>,，所以r R ≈，故01()d ()4S I r μπ'=-⨯∇=⎰A r S 01[d ]()4S I r μπ'-⨯∇=⎰S 01()()4z Iab rμπ-⨯∇=e 03()4m r μπ-⨯-=rp 034m rp r μπ⨯ （2）由于 03()()4m z r p r r A e μπ=-⨯-02sin 4m p r e φμθπ= 故 11(sin )()sin r A rA r r rB A e e φθφθθθ∂∂=∇⨯=-=∂∂03(2cos sin )4m r p r e e θμθθπ+ 又由于 3322cos 2cos sin ()()z r r r r r re e e e θθθθ⋅+=-∇=-∇ 故 00022()()(d )444m z r z r p I I ab r r e e e e B μμμΩπππ⋅⋅=-∇=-∇=-∇ 5.7 半径为a 磁介质球，具有磁化强度为2()z Az B M e =+其中A 和B 为常数，求磁化电流和等效磁荷。

解 磁介质球内的磁化电流体密度为 2()20m z z z Az B Az =∇⨯=-⨯∇+=-⨯=J M e e e等效磁荷体密度为 2()2m Az B Az zρ∂=-∇⋅=-+=-∂M 磁介质球表面的磁化电流面密度为22(cos )mS r az r Aa B θ==⨯=⨯+=J M ne e22(cos )sin Aa B φθθ+e等效磁荷面密度为22(cos )m r ar z Aa B σθ==⋅=⋅+=n Me e22(cos )cos Aa B θθ+5.8 如题5.8所示图，无限长直线电流I 垂直于磁导率分别为1μ和2μ的两种磁介质的分界面，试求：（1）两种磁介质中的磁感应强度1B 和2B ；（2）磁化电流分布。

解 （1）由安培环路定理，可得 2I rφπ=H e所以得到 0102I r φμμπ==B H e 22I rφμμπ==B H e（2）磁介质在的磁化强度 0200()12I rφμμμπμ-=-=M B H e 10μμ=2μμ=Ixz题5.8图则磁化电流体密度 00()1d 1d 1()()0d 2d m zz I rM r r r r rφμμπμ-=∇⨯==⋅=J M e e 在0=r 处，2B 具有奇异性，所以在磁介质中0=r 处存在磁化线电流m I 。

以z 轴为中心、r 为半径作一个圆形回路C ，由安培环路定理，有 01d m CI I μ+=⋅=⎰B l 0Iμμ 故得到 =m I 0(1)I μμ-在磁介质的表面上，磁化电流面密度为mS zz ==?J M e 00()2rIre μμπμ-5.9 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为0H ，若此平面电流回路位于磁导率分别为1μ和2μ的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介质中的磁场强度1H 和2H 。