正态分布附其经典习题及答案
课时作业12：§2.4 正态分布
§2.4 正态分布一、选择题1．关于正态分布N (μ，σ2)，下列说法正确的是( )A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C ．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D ．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件2．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.8D ．0.93．随机变量ξ～N (2,10)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)的概率相等，则k 等于( )A ．1B ．10C ．2 D.104．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ25．设随机变量ξ～N (0,1)，若P (ξ＞1)＝p ，则P (－1＜ξ＜0)＝( )A ．12＋p B ．1－p C ．1－2p D ．12－p 二、填空题6．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，则c 的值为________．7．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X ＞2)＝________.8．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．三、解答题9．设X～N(5,1)，求P(6＜X≤7)．10．某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N(70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？(参考数据：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)．11．假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500,1002)，现有考生25 000名，计划招生10 000名，试估计录取分数线．参考答案1．【解析】∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，∴P (X ＞μ＋3σ或X ＜μ－3σ)＝1－P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【答案】 D2．【解析】 ∵μ＝2，∴P (0<ξ<2)＝P (2<ξ<4)＝0.4，∴P (0<ξ<4)＝0.8.∴P (ξ<0)＝12(1－0.8)＝0.1，∴P (ξ<4)＝0.9. 【答案】 D3．【解析】 ∵区间(－∞，k )和(k ，＋∞)关于x ＝k 对称．∴x ＝k 为正态曲线的对称轴，∴k ＝2.【答案】 C4．【解析】 σ越小，曲线越“瘦高”，故σ1＜σ2，μ为对称轴的位置，由图易知μ1＜μ2.【答案】 A5．【解析】 如图，P (ξ＞1)表示x 轴、x ＞1与正态密度曲线围成区域的面积，由正态密度曲线的对称性知：x 轴、x ＜－1与正态密度曲线围成区域的面积也为p ，所以P (－1＜ξ＜0)＝1－2p 2＝12－p .【答案】 D6．【解析】 c ＋1与c －1关于ξ＝2对称，(c ＋1)＋(c －1)2＝2，∴c ＝2. 【答案】 27．【解析】 P (X ＞2)＝12[1－2P (－2≤X ≤0)]＝0.5－0.4＝0.1. 【答案】 0.18．【解析】 依题意，P (60－20＜x ≤60＋20)＝0.9544，P (X ＞80)＝12(1－0.9544)＝0.0228， 故成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．【答案】 2299．解 由已知得P (4＜X ≤6)＝0.682 6，P (3＜X ≤7)＝0.954 4.又∵正态曲线关于直线x ＝u ＝5对称∴P (3＜X ≤4)＋P (6＜X ≤7)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8.由对称性知P (3＜X ≤4)＝P (6＜X ≤7)．所以P (6＜X ≤7)＝0.271 82＝0.135 9. 10．解 由题意得：μ＝70，σ＝10，P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.(1)P (ξ＜60)＝12－12P (60＜ξ≤80) ＝12－12×0.682 6 ＝0.158 7.(2)P (ξ≥90)＝12－12P (50＜ξ≤90) ＝12－12×0.954 4 ＝0.022 8.答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28%.11．解 这是一个实际问题，由题知其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题．设分数线为a ，那么分数超过a 的概率应为录取率，即P (ξ≥a )＝10 00025 000＝0.4， 因为ξ～N (500,1002)，所以P (ξ≥a )＝P (ξ－500100≥a －500100) ＝1－P (ξ－500100＜a －500100)＝1－Φ(a －500100)． 于是有Φ(a －500100)＝1－P (ξ≥a )＝1－0.4＝0.6. 从标准正态分布表中查得Φ(0.25)＝0.598 7≈0.6，故a －500100≈0.25，即a ≈525. 由此可以估计录取分数线约为525分.。
【高中】对数正态分布经典练习题
【高中】对数正态分布经典练习题
在高中数学中，对数正态分布是一个常见的概率分布。
它通常
用于描述一些随机变量的分布情况，特别是在金融、生物学和环境
科学等领域。
本文将介绍一些对数正态分布的经典练题，帮助提高
学生对该分布的理解和应用能力。
练题一
某市的空气质量指数（AQI）服从对数正态分布，其均值为10，标准差为2。
现有一份空气质量报告显示该市二氧化氮（NO2）浓
度的对数值为8。
问：
1. 请计算该市NO2浓度大于10的概率。
2. 如果将该市的AQI限制在20以下，问NO2浓度大于20的
概率是多少？
练题二
一批电子元件的寿命（以小时计）服从对数正态分布，均值为1000，标准差为100。
现从中随机抽取一件电子元件，则它的寿命
大于1200 的概率是多少？
练题三
某家公司的年利润增长率服从对数正态分布，均值为5%，标
准差为3%。
问：
1. 请计算该公司年利润增长率大于10%的概率。
2. 如果将该公司的年利润增长率限制在8%以下，问年利润增
长率大于8%的概率是多少？
练题四
某品牌手机的售价（以元计）服从对数正态分布，均值为5000，标准差为200。
现从中随机抽取一部手机，则它的售价大于6000的概率是多少？
以上是一些对数正态分布的经典练习题，希望能够帮助学生更
好地理解和应用该分布。
通过这些练习，学生可以提升自己对概率
统计的掌握能力，为将来在相关领域的研究和应用打下坚实的基础。
(完整版)正态分布习题与详解(非常有用,必考点)
1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。
正态分布练习题(含部分答案)
正态分布练习题1正态分布1.1正态函数及曲线特点1.（对称性）：已知随机变量ξN (2,32)。
若P (ξ>C +1)=P (ξ<C −1)，则C =3.2.（单峰与最值）若正态分布曲线是偶函数，且最大值为14√2π，则总体的均值和方差分别为0和16。
1.2三个重要区间的概率应用(特殊区间段的计算公式)P 1=P (µ−σ<X ≤µ+σ)=0.6826;P 2=P (µ−2σ<X ≤µ+2σ)=0.9544;P 3=P (µ−3σ<X ≤µ+3σ)=0.9974.类型1:(µ,µ+nσ]型,(n =1,2,3):P (µ<X ≤µ+nσ)=12P n ,(n =1,2,3);如：P (µ<X ≤µ+2σ)=12P 2=12×0.9544=0.4772.类似也可求解(µ−nσ,µ]型,(n =1,2,3).类型2:(µ±nσ,+∞)型,(n =0,1,2,3):P (µ±nσ<X <+∞)=12×[1∓P n ],(n =0,1,2,3);如：P (µ−2σ<X <+∞)=12×[1+P 2]=12×[1+0.9544]=0.9772.类似也可求解(−∞,µ±nσ)型,(n =0,1,2,3).类型3:(µ+kσ,µ+tσ)型,−3≤k <t ≤3:case 1:kt ≤0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P t +P |k |]case 2:kt ≥0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P M +P m ],M =max {|k |,|t |},m =min {|k |,|t |}.总结,以上各类型需要与正态曲线的图形有机结合在一起,把概率问题转化为对应区间上图形的面积问题.1练习:1.若X N(µ,1)，求P(µ−3<X≤µ−2)=0.0215.2.若X N(5,1)，求P(6<X≤7)=0.1359.3.若X N(1,1)，求P(3<X≤4)=0.0215.4.若X N(0,1)，求P(−3<X<−∞)=0.9987.1.3应用问题1.某糖厂用自动打包机打包，包质量（单位：kg）目标以正态分布X N(100,1.22).（1）求质量在(98.8,101.2]内的糖包后的概率；（2）若一公司从该糖厂进货1500包，试估计在(98.8,101.2]内的糖包的数量。
课时作业19：2.4 正态分布
§2.4正态分布一、选择题1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝18π2(10)8ex--，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与10考点正态分布的概念及性质题点求正态分布的均值或方差答案 B解析由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于() A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算答案 A解析∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，∵P(ξ≤4)＝0.84，∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16.3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6]内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算答案 B解析 由正态分布的概率公式，知P (－3<ξ≤3)＝0.682 6，P (－6<ξ≤6)＝0.954 4，故P (3<ξ≤6)＝P (－6<ξ≤6)－P (－3<ξ≤3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B. 4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4)A ．2 386B ．2 718C ．4 772D ．3 413考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案 D解析 由X ～N (0,1)知，P (－1＜X ≤1)＝0.682 6，∴P (0≤X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，故S ≈0.341 3. ∴落在阴影部分的点的个数x 的估计值为x 10 000＝S 1，∴x ＝10 000×0.341 3＝3 413，故选D. 5．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )>P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )>P (Y ≥t )考点 正态分布密度函数的概念题点 正态曲线答案 C解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)<P(Y≥t)，故C正确，D错．6．如果正态总体的数据落在(－3，－1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值是()A．0 B．1 C．2 D．3考点正态分布的概念及性质题点求正态分布的均值或方差答案 B解析正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(－3，－1)和(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义就是均值，而区间(－3，－1)和(3,5)关于x＝1对称，所以正态总体的均值是1.7．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在区间( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案 C解析 ∵X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人参加考试，故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 6≈41,60×0.954 4≈57,60×0.997 4≈60.8．在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约有9 450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( )A ．1 500名B ．1 700名C ．4 500名D ．8 000名 考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案 A解析 因为理科生的数学成绩X 服从正态分布N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12[1－P (88<X ≤108)]＝12[1－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，所以0.158 7×9 450≈1 500，故该学生的数学成绩大约排在全市第1 500名．二、填空题9．已知随机变量X 服从正态分布N (a,4)，且P (X ≤1)＝0.5，则实数a 的值为 ． 考点 正态分布的概念及性质题点 求正态分布的均值或方差答案 1解析 ∵X 服从正态分布N (a,4)，∴正态曲线关于直线x ＝a 对称，又P (X ≤1)＝0.5，故a ＝1.10．设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4<X <8)＝0.3，则P (X <0)＝ .考点 正态分布的概念及性质题点 正态分布下的概率计算答案 0.2解析 概率密度曲线关于直线x ＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.11．某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为12π，则总体落入区间(0,2]内的概率为 ．考点 正态分布的概念及性质题点 正态分布下的概率计算答案 0.477 2解析 正态分布密度函数是f (x )＝12πσ22()2e x μσ--，x ∈(－∞，＋∞)，若它是偶函数，则μ＝0， ∵f (x )的最大值为f (μ)＝12πσ＝12π，∴σ＝1， ∴P (0<X ≤2)＝12P (－2<X ≤2)＝12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝12×0.954 4＝0.477 2. 三、解答题12．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P (72<X ≤88)＝0.682 6.(1)求参数μ，σ的值；(2)求P (64＜X ≤72)．考点 正态分布的概念及性质题点 求正态分布的均值或方差解 (1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.又P (72<X ≤88)＝0.682 6.结合P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，可知σ＝8.(2)因为P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝P (64<X ≤96)＝0.954 4.又因为P (X ≤64)＝P (X >96)，所以P (X ≤64)＝12×(1－0.954 4) ＝12×0.045 6＝0.022 8. 所以P (X >64)＝0.977 2.又P (X ≤72)＝12[1－P (72<X ≤88)] ＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7， 所以P (X >72)＝0.841 3，P (64<X ≤72)＝P (X >64)－P (X >72)＝0.135 9.13．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X (分钟)服从正态分布N (5,1)；第二条路线较长不拥挤，X 服从正态分布N (6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用解 还有7分钟时：若选第一条路线，即X ～N (5,1)，能及时到达的概率P 1＝P (X ≤7)＝P (X ≤5)＋P (5<X ≤7)＝12＋12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)． 若选第二条路线，即X ～N (6,0.16)，能及时到达的概率P 2＝P (X ≤7)＝P (X ≤6)＋P (6<X ≤7)＝12＋12P (μ－2.5σ<X ≤μ＋2.5σ)． 因为P 1<P 2，所以应选第二条路线．同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．四、探究与拓展14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为 ．考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案683解析依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数为1 000×0.682 6≈683.15．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z≤212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2]的产品件数，利用①的结果，求E(X)．(附：150≈12.2)考点正态分布的应用题点正态分布的综合应用解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z≤212.2)＝P(200－12.2<Z≤200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2]的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.。
正态分布练习题
参考数据：若ξ～N （μ，σ2），P （μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．）1.某省2015年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N （170.5，16）．现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5），第二组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5），图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； （2）求这50名男生身高在177.5cm 以上（177.5cm ）的人数；（3）在这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（以高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．2．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．（1）求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s 2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2． ①利用该正态分布，求P （81＜z ＜119）；②记X 表示2400名学生的数学总分位于区间（81，119）的人数，利用①的结果，求EX（用样本的分布区估计总体的分布）．附：≈19，≈18，3.在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：()1求抽取的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；()2已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z 服从正态分布()2,μσN （其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ），且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？（附：16112.7≈，若()2,zμσN ，则()0.6826zμσμσP -<<+=，()220.9544z μσμσP -<<+=）()3已知样本中成绩在[]90,100中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望()ξE ．4.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i ）利用该正态分布，求；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.附：5.在一次全国高中生五省大联考中，有90万名学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，应用成绩服从正态分布()2,Nμδ，右表用茎叶图列举了20名学生的英语成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9.（1）求,;μδ （2）给出正态分布的数据：（ⅰ）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在()82.1,103.1内的概率； （ⅱ）如从这90万名学生中随机抽取1万名，记X 为这1万名学生中英语成绩在()82.1,103.1内的人数，求X 的数学期望.18.从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s . （i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<； （ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，学科网记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .附：150≈12.2.6.在某大学举行的自主招生考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下所示的频数分布表： 组别 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 频数5182826176（Ⅰ）求抽取样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （Ⅱ）已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩Z 服从正态分布N （μ，σ2）（其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2=161），且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？（附：≈12.7，（3）已知样本中成绩在[90，100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E （ξ）7.从某工厂生产的某产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标，由测量结果得到下列频数分布表：（1）作出这些数据的频率分布直方图，并估计该产品质量指标值的平均数x及方差s 2（同一组中的数据用该组的中点值作代表）；（2）可以认为这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 x ，σ2．近似为样本方差s 2； 一件产品的质量指标不小于110时该产品为优质品；利用该正态分布，计算这种产品的优质品率p （结果保留小数点后4位）．8.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得到如下频数分布表．质量指标值分组[75，85） [85，95） [95，105）[105，115）[115，125]频数626x228指标值分组[75，85）[85，95） [95，105）[105，115）[115，125]频数3012021010040（1）作出这些数据的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数x 及方差s2；（3）当质量指标值位于（79.6，120.4）时，认为该产品为合格品．由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 x .σ2近似为样本方差s2（每组数取中间值）．①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率； ②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？。
医学统计学正态分布习题及答案
1.96
二、是非题
1．对于偏态分布资料， 1.96
范围内也包含了95%的变量值（ ）
答案：错
2．正态分布在横轴上的位置由均数决定 （）
答案：对
3．任何一个正态分布都可以通过标准化 变换转化为标准正态分布（ ）
答案：对
4．设随机变量的值在(0，+)范围中， 从该变量值的总体中抽样，若样本的标 准差大于样本均数，则可推断不服从正 态分布（ ）
4．在排放的工业废水中规定有害物质含 量不能超过0.005。现从某企业排出的废 水中抽取10份水样，测出有害物质的平 均含量为：0.0053，标准差为：0.0004。
假设某企业排出的废水符合标准，从该 企业排出的废水中抽到的含量为10的样 本是否小概率事件？
5．某医院要求除内科之外的各科室住院 病人的平均住院日均不超过20天。该院 某科对科室全部病人计算出平均住院日 为15天。科主任认为：该科室目前已达 到了医院的要求。这个看法是否正确？
10．某市500名10岁正常男孩中，有95% 的人体重在 18～30kg范围内，由此可知 此500名男孩体重的标准差等于（ ） kg
A 2.000
B 2.326
C 6.122
D 3.061
E 6.000 答案：D
11．对于服从标准正态分布的变量，有 （）
A 的概率是0.10 B 的概率是0.025 C 的概率是0.05 D 的概率是0.01 E 的概率是0.005 答案：B
二、是非判断题
1．对于一个含量为n样本，为了推断该 样本是否取自均数为μ0的总体，需要对 该样本的均数与μ0之间的差别是否是抽 样误差进行假设检验（ ）
2．从均数为μ0的总体中抽取一个含量为 n样本，必须对样本均数与μ0之间的差别 是否是抽样误差进行假设检验（ ）
正态分布及其经典习题和答案
25.3正态分布【知识网络】1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、通过实际问题，借助直观〔如实际问题的直观图〕，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。
【典型例题】例1：〔1〕随机变量X 服从二项分布，且E 〔X 〕=2.4，V 〔X 〕=1.44，那么二项分布的参数n ，p 的值为 〔 〕 A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1答案：B 。
解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。
〔2〕正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。
A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定〔与标准差的大小有关〕 答案：B 。
解析：由正态曲线的特点知。
〔3〕某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 〔 〕A 32B 16C 8D 20 答案：B 。
解析:数学成绩是X —N(80,102)， 80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。
〔4〕从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________。
答案：8.5。
解析：设两数之积为X ，∴ 〔5〕如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ，那么1μ2μ，1σ2σ〔填大于，小于〕答案：＜，＞。
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进展测试，至少答对2题才算合格.〔Ⅰ〕求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； 〔Ⅱ〕求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：解：〔Ⅰ〕依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. 〔Ⅱ〕设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，那么P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立， 方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 例3：甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，其分布列如下： 〔1〕求a,b 的值； 〔2〕比拟两名射手的水平. 答案：〔1〕a=0.3,b=0.4; 〔2〕23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.．例4：一种赌博游戏：一个布袋装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规那么为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该"心动〞.。
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25.3正态分布【知识网络】1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。
【典型例题】例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1答案：B 。
解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。
（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。
A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。
解析：由正态曲线的特点知。
（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（）A 32B 16C 8D 20答案：B 。
解析:数学成绩是X —N(80,102)，80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。
（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________。
∴ （5）如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ，则1μ2μ，1σ2σ（填大于，小于）答案：＜，＞。
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立， 方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为()()()454415143215143115132=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.例3X 和Y ，其分布列如下： （1）求a,b 的值； （2）比较两名射手的水平. 答案：（1）a=0.3,b=0.4; （2）23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX6.0,855.0==DY DX所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.．例4：一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。
答案：设取出的红球数为X ，则X —H （6，6，12），666612()k kC C P X k C -⋅==，其中k=0,1,2,…,6∴1675100()100502010029.4446277154231E Y =⨯+⨯+⨯-⨯=-，故我们不该“心动”。
【课内练习】1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。
A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。
解析：由标准正态分布的定义知。
2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。
A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小 答案： C 。
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ，那么()∑=-ni i x x n 121是指A ．σB ．μC ．2σ D ．2μ（）答案：C 。
解析：由方差的统计定义知。
4．设),(~p n B ξ，()12=ξE ，()4=ξV ，则n 的值是。
答案：4。
解析：()12==np E ξ，()4)1(=-=p np V ξ5．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题。
记X 为解出该题的人数，则E（X ）=。
答案：1712。
解析：11121145(0),(1),3412343412P X P X ==⨯===⨯+⨯=231(2)342P X ==⨯=。
∴15117()012212212E X =⨯+⨯+⨯=。
6．设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论正确的是。
(1))0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξ (2))0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξ (3))0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξ (4))0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ 答案：(1),(2),(4)。
解析：(||)0P a ξ==。
7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X ，则V （X ）=。
答案：3512。
解析：1(),1,2,,66P X k k ===，按定义计算得735(),()212E X V X ==。
8．有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。
答案： 由于E （甲）=E （乙），V （甲）<V （乙），故选择甲单位。
解析：E （甲）=E （乙）=1400，V （甲）=40000，V （乙）=160000。
9．交5元钱，可以参加一次摸奖。
一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和（设为ξ），求抽奖人获利的数学期望。
答案：解：因为ξ为抽到的2球的钱数之和，则ξ可能取的值为2，6，10.4528)2(21028===C C P ξ，4516)6(2101218===C C C P ξ，451)10(21022===C C P ξ 51845162451104516645282==⨯+⨯+⨯=ξE 设η为抽奖者获利的可能值，则5-=ξη，抽奖者获利的数学期望为5755185)5(-=-=-=-=ξξηE E E 故，抽奖人获利的期望为-75。
10．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92. （1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差.答案：解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B. 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2. 则P （A ）=P 1=0.6,P(B)=P 200.0810.4420.480.440.96 1.4E ξ=⨯+⨯+⨯=+=，222()(0 1.4)0.08(1 1.4)0.44(2 1.4)0.480.15680.07040.17280.4V ξ=-⨯+-⨯+-⨯=++=，或利用22()()() 2.36 1.960.4V E E ξξξ=-=-=。
【作业本】A 组1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X 表示取出球的最大号码，则E （X ）等于 （ ）A 、4B 、5C 、4.5D 、4.75答案：C故E （X ）=3⨯2．下列函数是正态分布密度函数的是 （ ） A ．()σσπ2221)(r x ex f -=B ．2222)(x e x f -=ππC ．()412221)(-=x ex f πD ．2221)(x e x f π=答案：B 。
解析：选项B 是标准正态分布密度函数。
3．正态总体为1,0-==σμ概率密度函数)(x f 是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 答案：B 。
解析：22()x f x -=。
4．已知正态总体落在区间()+∞,2.0的概率是0．5，那么相应的正态曲线在=x 时达到最高点。
答案：0.2。
解析：正态曲线关于直线x μ=对称，由题意知0.2μ=。
5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为；方差为。
答案：84；75.6。
解析：设X 为该生选对试题个数，η为成绩，则X ～B （50，0.7），η=3X ∴E(X)=40×0.7=28V(X)=40×0.7×0.3=8.4故E(η)=E(3X)=3E(X)=84V(η)=V(3X)=9V(X)=75.66．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为32，求此人试验次数X 的分布列及期望和方差。
解：X故22113()1233999E X =⨯+⨯+⨯=，22211338()149()399981V X =⨯+⨯+⨯-=。
7．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s ，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X ，则EX=34，Y 为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s 的值及Y 的分布列及期望.答案：解：由已知可得),2(~s B X ，故32,342===s s EX 所以． 有Y 的取值可以是0，1，2.甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是361)31()21(22=⨯，甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92)32313132)(21212121(=⨯+⨯⨯+⨯，甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36139192361)0(=++==Y P ； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361)31()21(22=⨯，甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36591361)2(=+==Y P ，故21)2()0(1)1(==-=-==Y P Y P Y P所以 Y 的期望是E （Y ）=9。