第三节向量的乘法运算
向量相乘运算公式
向量相乘运算公式
向量相乘是在向量运算中常用的一种操作，有两种形式：点积和叉积。
1.点积（又称为内积、数量积）：点积是指两个向量按照相同位置的元素分别相乘，并将得到的乘积相加的运算。
点积的计算公式如下：
对于两个n维向量A和B：A·B=A1B1+A2B2+...+AnBn
其中，A1、A2、...、An和B1、B2、...、Bn分别表示两个向量A和B在对应位置的元素。
点积的结果是一个标量（即一个实数），表示两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。
2.叉积（又称为外积、向量积）：叉积是指根据右手法则，通过两个向量的模和夹角计算出一个与这两个向量同时垂直的新向量的运算。
叉积的计算公式如下：
对于三维空间中的向量A=(A1,A2,A3)和B=(B1,B2,B3)：A×B=(A2B3A3B2,A3B1A1B3,A1B2A2B1)
叉积的结果是一个新的向量，它的模表示两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于两个向量所在的平面，并符合右手法则。
需要注意的是，点积和叉积只适用于特定维度的向量运算，分别是点积适用于任意维度的向量，而叉积只适用于三维空间中的向量。
此外，点积和叉积具有不同的性质和应用领域，在物理、数学等领域都有广泛的应用。
向量叉乘与乘法
向量叉乘与乘法一、向量的乘法在数学中，向量是一个有方向和大小的量，可以用箭头表示。
向量的乘法是指两个向量之间的乘法运算，主要有两种方式：数量积和向量积。
1. 数量积（点乘）数量积，也称为点乘或内积，是指两个向量相乘后再求和的运算。
假设有两个向量A和B，它们的数量积定义为：A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。
数量积的计算方法很简单，将两个向量的相应分量相乘后再求和即可。
数量积的结果是一个标量，表示两个向量的相关程度。
例如，当两个向量的夹角为0度时，它们的数量积最大；而当夹角为90度时，数量积为0，表示两个向量正交。
数量积在几何中有着重要的应用，可以用来判断两个向量是否垂直、平行，以及计算向量的投影等。
2. 向量积（叉乘）向量积，也称为叉乘或外积，是指两个向量相乘后得到一个新的向量的运算。
假设有两个向量A和B，它们的向量积定义为：A×B =|A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A 和B之间的夹角，n表示垂直于A和B所在平面的单位向量。
向量积的计算方法比较复杂，需要通过行列式的形式进行计算。
向量积的结果是一个新的向量，它的方向垂直于A和B所在的平面，并遵循右手定则。
向量积的模长等于|A||B|sinθ，表示A和B所构成的平行四边形的面积。
向量积在几何中也有着重要的应用，可以用来计算平面的法向量、求解三角形的面积、计算力矩等。
二、向量叉乘与乘法的区别向量叉乘和乘法在计算方法、结果类型和应用领域上存在一些明显的区别。
1. 计算方法向量叉乘的计算方法较为复杂，需要通过行列式的形式进行计算，涉及到向量的分量和行列式的展开计算。
而数量积的计算方法较为简单，只需要将两个向量的相应分量相乘后再求和即可。
2. 结果类型向量叉乘的结果是一个新的向量，它的方向垂直于原始向量所在的平面，并遵循右手定则。
微积分向量的乘法运算
求向量 x的坐标.
解 设 x la,则 9 a x l(a a) 9l , l 1,
x a (2,1,2).
例4
设
a
0
,
b
0
,
且
c
0
,并且有
a
c
b
c,
问是否有 a b？
解
取
a
i,
b j,
c
i
j
k,
则有
a
c
b
c
1,
但
a
b.
例5
证明向量
c与向量
(a
c)b
(b
例 (2)
2a与设ba的 夹(1角,1； ,4(3)，) ab在
b(1上 ,2的,2投)，影求. (1)
a
b；
例解3((32)设()1c)aaoasb2bi||baa1j|||Pb1br2j|kb1a,向, (3量2P2)9xrj与3b(aa4共)a|b线12b2|,,且9a3.9 x334.9.,
l
(a
b ).
4. 向量积的坐标表示
设
a
axi ay j azk,
b bxi by j bzk
a
b
aybz
azby
,
azbx
axbz , axby
a ybx
向量积的分解表达式
ay az , ax az , ax ay
by bz bx bz bx by
向量积的坐标表达式
1
记为
s W
a
b
,
F
M s
2
注意：a
b
中的“.”不能省.
若
a
大学经典课件之高等数学——7-3向量的乘法运算
C
1 25 2 2 2 = 15 + 12 + 16 = , 2 2 1 | AC | = 42 + ( −3)2 = 5, S = | AC |⋅ | BD | 2 25 1 ∴| BD |= 5. = ⋅ 5⋅ | BD | 2 2
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r r r 例 6 设向量 m , n, p 两两垂直，符合右手规 r r r 则，且| m |= 4 ，| n |= 2 ，| p |= 3 ，计算 r r r ( m × n) ⋅ p .
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结束
r r a⋅b r r r r a ⋅ b =| a || b | cosθ ⇒ cos θ = r r , | a || b |
cosθ = a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
2 2 2
bx + b y + bz
2 2
2
——两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 r r r r a ⊥ b ⇐⇒ a ⋅ b = 0
( 2) cosθ = a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
2 2 2
bx + b y + bz
2 2
2
1 =− , 2
r r r r r ( 3 ) a ⋅ b =| b | ( a ) b
3π . ∴θ = 4 r r r r a⋅b ∴ (a )b = r = −3. |b |
2
2 2
b a r a
教学课件：第三节-向量的乘法运算
在物理中，向量乘法可以用来描述旋转运动 和力矩。例如，角速度和角加速度是向量与 时间的函数，它们的计算涉及到向量的外积 运算。力矩也是一个向量，它的计算涉及到 向量的外积运算。
在解析几何中的应用
总结词
向量在解析几何中用于表示点、线、面等几 何对象。
详细描述
在解析几何中，向量可以表示点、线、面等 几何对象，并且通过向量的运算来研究这些 对象之间的关系。例如，向量的模长表示点 到原点的距离，向量的夹角表示两直线之间
应用场景
在机器人控制、动画制作等领域中，向量的乘法运算有着广 泛的应用。
向量乘法与数量积的区别
数量积
数量积是向量的点乘，结果是一个标量而不是向量。计算公式为 a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和向量b的模长，θ是两向量的夹角。
区别
数量积和向量乘法的结果不同，前者是标量，后者是向量；另外，它们的几何 意义也不同，数量积表示两向量的夹角，而向量乘法表示一个旋转。
教学课件：第三节-向量 的乘法运算
• 向量的乘法运算概述 • 向量乘法的性质 • 向量乘法的运算规则 • 向量乘法的应用 • 练习与巩固
01
向量的乘法运算概述
向量乘法的定义
定义
向量a和向量b的乘积是一个向量，记 作a×b，其长度等于以a和b为邻边的 平行四边形的面积，方向垂直于a和b 所在的平面。
叉积是向量运算中的一种，表示两个三维向量之间的垂直关系。其结果是一个向量，垂直于作为运算输入的两个 向量。
运算规则
叉积满足反交换律，即A×B=-B×A，并且不满足结合律。
向量与实数之间的乘法
标量乘法（Scalar Multiplication）
标量乘法是指一个实数与一个向量相乘，结果是一个同方向的向量，其长度是原向量长 度的|k|倍，方向与原向量相同（当k>0）或相反（当k<0）。
向量的运算的乘法公式
向量的运算的乘法公式向量是数学中最基本的概念，也是运算的基础。
向量可以用来表示位置、速度和加速度等，它的运算也在各个领域中有着广泛的应用。
其中，向量的乘法作为一种最基本的运算形式，它能够计算出向量之间的变换关系，并帮助我们解决许多实际问题。
本文将介绍向量的乘法的公式，并以一些实例为例来说明如何使用它。
向量的乘法公式包括点乘、叉乘和数量乘法这三个部分。
其中，点乘是指对两个向量求内积，它可以计算出向量之间的夹角。
叉乘是指两个向量的外积，它计算出的是两个向量之间的距离。
数量乘法则是把一个数乘以一个向量，它可以计算出向量的变换结果。
点乘的公式为：$$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|cdot|vec{b}|cos{theta}$$其中，$vec{a}$和$vec{b}$分别代表两个向量，$|vec{a}|$和$|vec{b}|$分别代表两个向量的模，$theta$代表两个向量之间的夹角。
而叉乘的公式为：$$vec{a}timesvec{b}=|vec{a}|cdot|vec{b}|sin{theta}$$其中，$vec{a}$和$vec{b}$分别代表两个向量，$|vec{a}|$和$|vec{b}|$分别代表两个向量的模，$theta$代表两个向量之间的夹角。
而数量乘法的公式为：$$kcdot vec{a}=kcdot|vec{a}|cdot hat{n}$$其中，$k$代表一个实数，$|vec{a}|$代表向量$vec{a}$的模，$hat{n}$代表向量$vec{a}$的单位向量。
下面以一些实例来说明如何使用以上的运算公式：例１：求两个向量的夹角设，$$vec{a}=(1,0,1)$$$$vec{b}=(2,0,2)$$则，两个向量的夹角为：$$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|cdot|vec{b}|cos{theta}$$$$theta=cos^{-1}{frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|} }$$$$=cos^{-1}{frac{1cdot2+0cdot0+1cdot2}{sqrt{1^2+0^2+1^2}cdots qrt{2^2+0^2+2^2}}}$$$$=cos^{-1}{frac{4}{sqrt{2}cdotsqrt{6}}}$$$$=cos^{-1}{frac{2}{3}}$$$$=arccos{frac{2}{3}}$$$$thetaapprox35.3°$$例２：求两个向量的距离设，$$vec{a}=(1,0,1)$$$$vec{b}=(2,0,2)$$则，两个向量的距离为：$$vec{a}timesvec{b}=|vec{a}|cdot|vec{b}|sin{theta}$$$$d=|vec{a}|cdot|vec{b}|sin{theta}$$$$=sqrt{1^2+0^2+1^2}cdotsqrt{2^2+0^2+2^2}sin{arccos{frac{2}{3 }}}$$$$=sqrt{2}cdotsqrt{6}sin{arccos{frac{2}{3}}}$$$$=2sin{arccos{frac{2}{3}}}approx1.26例３：求一个数与一个向量的乘积设，$$k=2$$$$vec{a}=(1,0,1)$$$$kcdot vec{a}=kcdot|vec{a}|cdot hat{n}$$$$=(2)(sqrt{1^2+0^2+1^2})(frac{1}{sqrt{2}}hat{i}+0+frac{1}{sq rt{2}}hat{k})$$$$=(2)(sqrt{2}) (frac{1}{sqrt{2}}hat{i}+frac{1}{sqrt{2}}hat{k})$$$$=2hat{i}+2hat{k}综上，向量的乘法是一种常用的运算符，它可以帮助我们求出向量之间的夹角、距离以及数量与向量的乘积。
向量的乘法运算法则公式
向量的乘法运算法则公式好的，以下是为您生成的关于“向量的乘法运算法则公式”的文章：在数学的奇妙世界里，向量就像是一群有着特定方向和大小的小精灵，而向量的乘法运算法则公式则是指挥它们有序舞蹈的神奇乐谱。
咱先来说说向量的点乘，也叫数量积。
假设咱有两个向量 A（x1,y1）和 B（x2, y2），那它们的点乘公式就是 A·B = x1×x2 + y1×y2 。
这就好比你和朋友一起搬东西，你出的力是向量 A，朋友出的力是向量 B，那点乘的结果就代表着你们共同做功的多少。
我记得有一次在课堂上，我给同学们出了一道题：有向量A（3, 4）和向量 B（2, -1），让大家计算它们的点乘。
同学们有的抓耳挠腮，有的埋头苦算。
有个调皮的同学还小声嘀咕：“这向量咋这么难搞啊！”我笑着鼓励大家：“别着急，慢慢想，就像咱们走路一样，一步一步来。
”最后，大家都算出了结果是 2 。
当大家算出正确答案时，脸上那兴奋的表情，让我觉得教学真是一件特别有成就感的事儿。
再来说说向量的叉乘，也叫向量积。
对于向量 A（x1, y1, z1）和 B （x2, y2, z2），它们的叉乘结果是一个向量 C（y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1）。
这个叉乘在解决几何问题的时候特别有用。
比如说，在判断两个向量是否垂直的时候，如果它们的点乘为 0，那就垂直；而在判断两个向量的平行关系时，就得看看它们叉乘的结果是不是零向量啦。
给大家举个例子，假设一个平面上有三个点A（1, 2）、B（3, 4）、C（5, 6），要判断向量 AB 和向量 AC 是否平行，咱们就可以通过计算它们的叉乘来判断。
向量 AB = （2, 2），向量 AC = （4, 4），叉乘之后得到（0, 0），这就说明它们是平行的。
总之啊，向量的乘法运算法则公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多数学难题的大门。
只要大家多练习、多思考，就能熟练掌握这把钥匙，在数学的世界里畅游无阻。
向量的乘法运算
a , 有 a // 0 .
(1 ) i ( 2 )i i, j j, j j , k k 的结果是多少 k , k i 的结果是多少 ? ?
Байду номын сангаас
例5、 设 a ( 2 ,1 , 1 ), b ( 1 , 1 , 2 ), 求 与 a , b 同时垂直的单位向量 .
（1）混合积的轮换对称性：
[a b c ] [b c a ] [c a b ]
（2）混合积的结果是一个数。
（3）混合积的几何意义：
[ a b c ] 是以 a , b , c 为相邻三棱的 平行六面体的体积
ab c
.
如图 , 求力 f 相对于支点 o 的力矩 M .
f
o
P
Q
（1）向量积的几何意义：
. a b 表示以 a , b 为邻边的平行四边形的 面积 .
. a b 垂直于一切与
a , b 平行的平面 .
（2）运算律：
a 0 0a 0 aa 0 a b b a (a b ) c a c b c ( a ) ( b ) ( a b )
（5）运算律：
2 a a a 幂律： 交换律： a b b a 分配律： a (b c ) a b a c ( 数乘结合律： a ) ( b ) ( a b )
（6）夹角公式： ( a , b ) [ 0 , ]满足 :
向量的乘法运算(8)
(a b)c (a c)b =_____________ ,
(a b ) (b c) _____________ ,
二、 a
(a b)
已知 b
cac,b=0,_，c__计_为_算__单a__b位___b向 __c_量__c，. a
且 .
满
足
三、设质量为 100 千克的物体从点M1(3 , 1 , 8) 沿直线移 动到点M 2 (1 , 4 , 2) 计算重力所作的功（长度单位为 米，重力方向为Z 轴负方向）.
Q
M 的方向垂直于OP 与F 所决
定的平面, 指向符合右手系.
9
c定的|义c方|向向| a量既|| ba垂 与|直sibn于的 a 向，量又(其积垂中为直于为cba，与a指b b向的 符夹合角)
右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：
(1)
a a
0.
( 0 sin 0)
a
y
k
by
13
bx 、by 、bz 不能同时为零，但允许两个为零，
例如， ax ay az 0 0 bz
ax 0, ay 0
补充
|
a
b
|表示以a
和
b 为邻边
的平行四边形的面积.
a
c
a
b
b
14
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的 开关按键来实现功能的一种设计方式。
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
向量积的坐标表达式
12
用二阶行列式表示
ab
ay
az
人教版高中数学必修2《向量的数乘运算》PPT课件
)
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(
)
A.a-2b B.a
C.a-6b D.a-8b
答案 D
解析 原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
1
3.在△ABC 中,D 是 AB 边上一点.若 = , = +λ,则
2
λ=
.
1
答案
2
解析 ∵ = ,∴D 是 AB 的中点.
|| ||
,则是以 A 为起点,向量
与
所在线段为邻边的菱形对角线对应
|| ||
的向量,即在∠BAC 的平分线上.
∵=λ,∴, 共线.
∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
方法点睛 (1)三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的
交点,内心到三角形三边的距离相等.
=x+y 且 x+y=1.
2.利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,
使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向
量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向
量不共线,必有向量的系数为零.
(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外
心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,且满足
||=| |=| |,则点 M 为△ABC 的外心.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 +
C.b-a D.a-b
(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为
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a
b
a
xbx
ayby
azbz
数量积的坐标表达式
当
a
0
,
b
0时,
由 a
b |
a||
b|
cos
,
得
cos
|
a a||
b b
|
axbx a yby azbz ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
两向量夹角余弦的坐标表达式
由此可知 ab axbx a yby azbz 0
0,
| a|
0,
| b | 0,
sin 0,
0或 ,
a//
b.
()
a//
b,
0或 , sin 0,
|
a
b ||
a||
b|
sin
0,
a
b
0
.
3. 向量积符合下列运算律：
(1)
a
b
b
a;
(2) 分配律：
(a
b)
c
a
c
b
c.
(3)
若
l为数：
(la)
b
a
(lb )
l
(a
P
L
Q
| M || F || OQ | | F || OP | sin
M
的方向垂直于OP
与F
所决定的平面,
OP
、
F、
M
的方向符合右手法则.
MF M OP
二、向量的向量积
1. 定义
向量a与b 的向量积为
a
b,
它的模为：| a
b ||
a||
b|
sin
(
(a,b) );
a
b同时垂直于a和b
求向量 x的坐标.
解 设 x la,则 9 a x l(a a) 9l , l 1,
x a (2,1,2).
例4
设
a
0
,
b
0
,
且
c
0
,并且有
a
c
b
c,
问是否有 a b？
解
取
a
i,
b j,
c
i
j
k,
则有
a
c
b
c
1,
但
a
b.
例5
证明向量
c与向量
(a
c)b
(b
j
bz
k)
i,
j,
k相互垂直,
i j
j k k i 0,
| i || j || k | 1, i i j j k k 1.
a
b
axbx
a yby
azbz
数量积的坐标表示式
4. 数量积的坐标表示
设
a
ax
i
a
y
j
az
k,
b bxi by j bzk
b)
(
a
b)
a a
bb
2a
b
|
a
|2
|
b
|2
2|
a
||
b
|cos
a
|
a|,
b
|
b |,
c
|
c|,
b
C
c2 a2 b2 2abcos .
4. 数量积的坐标表示
设
a
axi
ay
j
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
a
y
j
az k )
(bxi
by
b|
cos
0,
| a|
0,| b |
0,
cos 0, , ab.
()
ab,
2
, cos 0,
2
a
b
|
a||
b|
cos
0.
例1 证明三角形余弦定理 c2 a2 b2 2abcos .
证 如图：设
A
CB
a,
CA b ,
AB
c,
则
c
a
b,
c Ba
| c|2
(a
a
c
b
c;
(4)
若l为数：(la)
b
a
(lb )
l ( a
b ),
若l、m为数：(la)
( mb )
l
m
(a
b ).
3. 关于两向量垂直的说明：
设向量 a与
b的夹角
，则称向量 a与
b
正交 ( 或垂直 ),
记为
a
b
.
2
(
a
,
0
a
.)
定理
设
a
0
,
b
0
,
a
b
0
ab.
证
()
a
b
|
a||
问是否有 a b？
例5
证明向量
c与向量
(a
c)b
(b
c)a垂直.
例 (2)
2a与设ba的 夹(1角,1； ,4(3)，) ab在
b(1上 ,2的,2投)，影求. (1)
a
b；
例解3((32)设()1c)aaoasb2bi||baa1j|||Pb1br2j|kb1a,向, (3量2P2)9xrj与3b(aa4共)a|b线12b2|,,且9a3.9 x334.9.,
例 (2)
2a与设ba的 夹(1角,1； ,4(3)，) ab在
b(1上 ,2的,2投)，影求. (1)
a
b；
例3
设a
2i
j
a
b
9,
2k,向量 x与
a
共 线 34,且 , Parjbxa
3, 9,
求向量 x的坐标.
x (2,1,2).
例4
设
a
0
,
b
0
,
且
c
0
,并且有
a
c
b
c,
a
b
i ax
j ay
k az
bx by bz
( 三阶行列式计算见课本 P319～P320 )
4. 向量积的坐标表示
设
a
axi
ay
j
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
ay
j
az
k
)
(bx
i
by
j
bzk )
a
xbx
(i
i)
axby (
i
b ).
4. 向量积的坐标表示
设
a
axi ay j azk,
b bxi by j bzk
a
b
a ybz
azby
,
azbx
a x bz
,
axby
a ybx
向量积的分解表达式
ay az , ax az , ax ay
by bz bx bz bx by
向量积的坐标表达式
向量积还可用三阶行列式表示
第三节 向量的乘法运算
一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 四、小结 五、思考与练习
一、两向量的数量积
引例 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线从点M1移动到点M2, 位移为 s ,
则力F
所做的功为
W
|
F ||
s|cos
1.为即则定向称义a量数设ba量向与|量|aab||||ab的b、||数ccboo夹量ss角积. (为点积，、b内积aM).
1
记为
s W
a
b
,
F
M s
2
注意：a
b
中的“.”不能省.
若
a
0,
b
在a
上的投影为
a
b
|
a|
Prjab Prjab
|
b
|
cos
,
若
b
0,
a
b
|
b|
Prjba.
b
a
2. 数量积符合下列运算规律：
(1) a a | a|2 .
(2)
交换律：a
b
b
a;
(3)
分配律：
(a
b)
c
,
且a,
b,
a
b符合右手法则.
向量积也称为“叉积”、“外积”.
a
b
引例中的力矩
M OP F
a
思考 右图三角形面积
b
1
|
a
b
|
S＝___2_______
a
b
2. 关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2)
a//
b
a
b
0.
(a
0,
b 0)
证
()
a
b
c)a垂直.
证
[(ac)b(b c) Nhomakorabea]c
(a
c)b
c
(b
c)a
c
(a
c)(b
c)
(b
c)(a
c)
0,
[(a
c)b
(b
c)a]
c
二、向量的向量积
引例 设 O 为一根杠杆 L 的支点，
F
有一力 F 作用于这杠杆上 P 点处．