方波分解为多次正弦波之和的设计百度
方波信号的分解与合成
方波信号的分解与合成方波信号是一种在电子技术中常见的信号类型，它被广泛应用于数字电路、通信系统和控制系统中。
方波信号被描述为周期性的，其波形为高电平和低电平两种状态的交替出现。
本文将介绍方波信号的分解与合成。
一、方波信号的分解方波信号可以看作是由多个正弦波信号组成的。
根据傅里叶级数定理，任何一个周期信号都可以表示成一系列正弦波的叠加。
因此，我们可以将方波信号分解成一系列正弦波信号的叠加。
具体来说，我们可以通过傅里叶级数公式将方波信号分解为无限个正弦波信号的叠加：f(t) = (4/π) * [sin(ωt) + (1/3)sin(3ωt) + (1/5)sin(5ωt) + ...]其中，ω是正弦波的角频率，由周期T计算得到：ω = 2π/T。
式中的系数表示了每个正弦波信号的幅值。
显然，随着正弦波频率的增加，其幅值逐渐减小，因此只需要保留前几项即可近似表示方波信号。
二、方波信号的合成与分解相反，我们也可以将多个正弦波信号合成成一个方波信号。
这可以通过将多个正弦波信号的叠加，利用傅里叶变换得到一个方波信号的过程实现。
具体来说，我们可以将多个正弦波信号的幅值和相位进行适当的调整，使它们的叠加形成一个方波信号。
这个过程可以通过傅里叶变换实现，傅里叶变换将多个正弦波信号的叠加转换为频域上的一个复杂函数，然后再通过反向变换回到时域上得到方波信号。
三、应用方波信号的分解和合成在许多领域中都有广泛的应用。
在数字电路中，方波信号可以用于实现各种逻辑门和计数器。
在通信系统中，方波信号可以用于数字调制和解调。
在控制系统中，方波信号可以用于实现各种控制算法和控制器。
总结：本文介绍了方波信号的分解和合成。
方波信号可以看作是由多个正弦波信号组成的，可以通过傅里叶级数定理进行分解。
同时，我们也可以将多个正弦波信号合成成一个方波信号，利用傅里叶变换实现。
方波信号在数字电路、通信系统和控制系统中有广泛的应用。
matlab软件仿真实验（信号与系统）（1）
matlab软件仿真实验（信号与系统）（1）《信号与系统实验报告》学院：信息科学与⼯程学院专业：物联⽹⼯程姓名：学号：⽬录实验⼀、MATLAB 基本应⽤实验⼆信号的时域表⽰实验三、连续信号卷积实验四、典型周期信号的频谱表⽰实验五、傅⽴叶变换性质研究实验六、抽样定理与信号恢复实验⼀MATLAB 基本应⽤⼀、实验⽬的：学习MATLAB的基本⽤法，了解 MATLAB 的⽬录结构和基本功能以及MATLAB在信号与系统中的应⽤。
⼆、实验内容：例⼀已知x的取值范围，画出y=sin(x)的图型。
x=0:0.05:4*pi;y=sin(x);plot(y)例⼆计算y=sin(π/5)+4cos(π/4)例三已知z 取值范围，x=sin(z);y=cos(z);画三维图形。
z=0:pi/50:10*pi;x=sin(z);y=cos(z);plot3(x,y,z)xlabel('x')ylabel('y')zlabel('z')例四已知x的取值范围，⽤subplot函数绘图。
参考程序：x=0:0.05:7;y1=sin(x);y2=1.5*cos(x);y3=sin(2*x);y4=5*cos(2*x);subplot(2,2,1),plot(x,y1),title('sin(x)')subplot(2,2,2),plot(x,y2),title('1.5*cos(x)')subplot(2,2,3),plot(x,y3),title('sin(2*x)')subplot(2,2,4),plot(x,y4),title('5*cos(2*x)')连续信号的MATLAB表⽰1、指数信号：指数信号Ae at在MATLAB中可⽤exp函数表⽰，其调⽤形式为：y=A*exp(a*t) (例取 A=1,a=-0.4)参考程序：A=1;a=-0.4;t=0:0.01:10;ft=A*exp(a*t);plot(t,ft);grid on;2、正弦信号：正弦信号Acos(w0t+?)和Asin(w0t+?)分别由函数cos和sin表⽰，其调⽤形式为：A*cos(w0t+phi) ;A*sin(w0t+phi) (例取A=1，w0=2π，?=π/6) 参考程序：A=1;w0=2*pi; phi=pi/6; t=0:0.001:8;ft=A*sin(w0*t+phi);plot(t,ft);grid on ;3、抽样函数：抽样函数Sa(t)在MATLAB中⽤sinc函数表⽰，其定义为：sinc(t)=sin(πt)/( πt)其调⽤形式为：y=sinc(t)参考程序：t=-3*pi:pi/100:3*pi;ft=sinc(t/pi);plot(t,ft);grid on;4、矩形脉冲信号：在MATLAB中⽤rectpuls函数来表⽰，其调⽤形式为：y=rectpuls(t,width),⽤以产⽣⼀个幅值为1，宽度为width,相对于t=0点左右对称的矩形波信号，该函数的横坐标范围由向量t决定，是以t=0为中⼼向左右各展开width/2的范围，width的默认值为1。
正弦波方波三角波发生电路设计
正弦波方波三角波发生电路设计正弦波、方波、三角波是最基本且常见的三种波形，它们在电路设计和信号处理中都扮演着重要的角色。
本文将分别介绍正弦波、方波、三角波的定义和性质，以及各自的发生电路设计。
一、正弦波正弦波又称余弦波，是一种连续的周期波形。
它在医学、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如在音频信号、交流电电压、电子设备测试等方面。
正弦波的特点是相邻点之间的函数值呈恒定的周期波动，可以表达为如下形式：s(t) = A*sin(ωt + φ)其中，A是振幅，ϖ是角频率，t是时间，φ是初始位相。
正弦波的发生电路通常采用谐振电路，它的原理是在一个由电感L和电容C构成的电路中，电容C和电感L之间的能量不断地在两者之间转换，从而形成一种振荡现象。
二、方波方波是一种以矩形波形为特点的电压或电流信号。
它的主要特点是周期性变化的幅度在等时刻内有两个值，从而形成了一种方形波形。
方波在数字电路设计、计算机科学等领域中广泛应用。
正如所提到的，方波的每个周期平均而言都是0，并且其平均值为周期内所有0和1的幅度之和的平均值。
方波可以由许多方法生成，其中一个常见的方法是使用555定时器。
三、三角波三角波是一种以三角形形状为特征的波形。
它在音频合成、信号处理、电力电子、仪器仪表等方面有广泛的应用。
三角波的每个周期都包含三种状态，即负斜率、零斜率和正斜率，从而创建了像三角形一样的外观。
三角波的发生电路是使用一个以放大器为基础的单元，该单元包含一个与反馈电容相连接的积分器。
作为输入的脉冲波被转换为三角波，而反馈电容C使输出波形的斜率恒定。
可以通过调整计时常数、放大器增益和电容C的大小来调整三角波的频率和振幅。
1将方波分解为多次正弦谐波之和
1将方波分解为多次正弦谐波之和，并用MA TLAB演示不同次数谐波合成的情况t=[0:0.01:2*pi];>> y=sin(t);>> plot(t,y)>> m=sin(t)+sin(3*t)/3;>> plot(t,m)>>>> n=sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7+sin(9*t)/9+sin(11*t)/11;>> plot(t,n)2.利用MA TLAB实现一些常用周期信号的频谱3.非周期信号（方波）的频谱分析；重点分析方波高度、宽度跟其频谱的关系。
,tf=10;N=input('取时间分隔的点数N＝');dt=10/N;t=[1:N]*dt;f=[ones(1,N/2),zeros(1,N/2)];wf=input('需求的频谱的宽度wf＝');nf=input('需求的频谱的点数nf＝');w1=linspace(0,wf,nf);dw=wf/(nf-1);f1=f*exp(-j*t'*w1)*dt;w=[-fliplr(w1),w1(2:nf)];F=[fliplr(f1),f1(2:nf)];subplot(1,2,1),plot(t,f,'linewidth',1.5),gridaxis([-6,6,-6,6])subplot(1,2,2),plot(w,abs(F),'linewidth',1.5),gridaxis([-60,60,-6,6])4利用MA TLAB计算幅度为1，宽度为5s的矩形脉冲信号通过理想低通滤波器的响应，观察分析滤波器取不同截止频率时的结果。
w2f=input('理想低通滤波器的带宽（1/秒）＝');n2=find((w>-w2f)&(w<w2f));w2=w(n2);y2=F(n2);figure(1),subplot(1,2,1),plot(w2,abs(y2),'linewidth',1.5),gridy3=y2*exp(j*w2'*t)/pi*dw;subplot(1,2,2),plot(t,f,t,y3,'linewidth',1.5),grid。
电路、信号与系统(2)实验指导书
描述线性时不变离散系统的差分方程为
编写求解上述方程的通用程序。
[建模]
将方程变形可得（用MATLAB语言表示）
a(1)*y(n)= b(1)*u(n)+…+ b(nb)*u(n-nb+1)- a(2)*y(n-1)-…- a(na)*y(n-na+1)
令us== [u(n),…, u(n-nb+1)]; ys=[y(n-1),…, y(n-na+1)]
x(n)={2,1,-1,3,1,4,3,7}（其中加下划线的元素为第0个采样点）在MATLAB中表示为：
n=[-3,-2,-1,0,1,2,3,4]; x=[2,1,-1,3,1,4,3,7]；
当不需要采样位置信息或这个信息是多余的时候，可以只用x向量来表示。
（一）离散信号的MATLAB表述
[问题]
实验一连续时间信号与系统分析
一、实验目的
1、了解连续时间信号的特点；
2、掌握连续时间信号的MATLAB描述；
3、掌握连续LTI系统单位冲激响应的求解方法；
4、掌握连续LTI系统的零状态响应的求解方法。
二、实验内容
严格说来，只有用符号推理的方法才能分析连续系统，用数值方法是不能表示连续信号的，因为它给出的是各个样点的数据。只有当样本点取得很密时才可看成连续信号。所谓很密，是相对于信号变化的快慢而言的。以下均假定相对于采样点密度而言，信号变化足够慢。
elseif lu<lh nh=0; nu=lh-lu;
else nu=0; nh=0;
end
dt=0.1;
lt=lmax;
u=[zeros(1, lt), uls, zeros(1, nu), zeros(1, lt)];
实验五正弦波和方波的是设计
计
--精品--
一、设计实验目的 1.进一步掌握集成运放工作原 理及应用。 2.初步掌握电子线路设计方法 及步骤
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二、设计内容及要求 1.设计一个正弦波信号产生电路 要求：输出信号为正弦波，频率 为100HZ～1KHZ之间连续可调。 输出电压的峰峰值在1.5v—6v可 调。 2.设计一个方波信号产生电路 要求：输出信号为方波，频率在 100HZ～1KHZ之间连续可调。
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三、设计原理：
• 1、正弦波发生器
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• 具有选频特性的串、并联网络构成了正反 馈支路。
• 电压串联负反馈放大电路作为放大环节， 电位器RW是用来调节负反馈深度，以保 证起振条件和改善波形的。
• 采用了匹配对接的两只二极管作为稳幅电 路，其上并接Ro是用于适当削弱二极管 非线性影响，以改善波形失真。
一台 一台 一只 一台 LM324 IN4148 6V
--ห้องสมุดไป่ตู้品--
• 双向稳压管，以保证输出方波的正负对 称性。R4是稳压管的限流电阻
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方案2：
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四、注意事项： 1、频率的测试方法 2、正弦波发生器频率调节：
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3、正弦波发生器幅度调节：
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4、方波发生器的频率调节
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五、实验设备及主要元器件
• 直流稳压电源 • 双踪示波器 • 万用表 • 实验箱 • 芯片 • 二极管 • 稳压管
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2、方波发生器
方案1：
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• R1、R2组成了正反馈网络。当有输出电 压vo时，则反馈到同相端的电压。
• 负反馈网络是由R、C组成的充、放电回 路。
实验一 方波分解为多次正弦波之和的设计
实验一 方波分解为多次正弦波之和的设计一、实验目的1、了解信号分解与正交函数集；2、了解三角函数的正交性；3、了解基波与谐波的概念与关系；二、实验原理1、信号分解与正交函数集信号通常以时间函数表示，所以信号的分量及其分解指的就是函数的分量及其分解。
可利用与矢量分解相类比的方法来来研究如何将一信号分解为其分量。
与矢量用另一矢量上的分量表示原矢量类似。
在一定的时间区间()12,t t 内，若用函数2()f t 中的122()c f t 来近似的表示原函数1()f t ，将存在一误差函数()t ε∆，且有：1122()()t f c f t ε∆=- （1）在矢量近似中最佳系数选择的依据，是使得误差矢量的长度的平方最小；而12c 的选择，则是要求使误差函数的方均值最小。
误差函数的方均值为：222121()1()()t t t t t dt t εε∆∆=-⎰ （2） 此值最小时有：2221212211()()()t t c f t f t dt f t dt t t =⎰⎰ （3） 系数12c 是在最小方均误差的意义上代表二函数1()f t 、2()f t 的相关联的程度的度量。
当120c =时，由式（3）可知，此时有：2121()()0t f t f t dt t =⎰ （4）如果满足这一条件，则称1()f t 与2()f t 在区间12(,)t t 内正交。
此时1()f t 与2()f t 就构成一个正交函数集。
1()f t 与2()f t 两函数正交时，1()f t 在2()f t 中的分量122()c f t 为零。
一个函数可以在另一个函数中具有分量，则和矢量的情况类似，可以将一代表信号的函数表示为该函数在一正交函数集中的分量的加权和。
在区间12(,)t t 内互相正交的n 个函数123()()()()n g t g t g t g t 、、、...、组成一个n 维的正交信号空间。
此函数集中的函数之间，在区间12(,)t t 内具有如下关系：212()tm m t g t dt k =⎰ （5） 21()()0t l m t g t g t dt l m =≠⎰ （6） 其中m k 为一常数。
实验方波信号的分解与合成
实验五 方波信号的分解与合成一、实验目的和要求1、了解和掌握方波信号的产生、方波信号的谐波分解和合成的电路原理和方法；2、了解和掌握电路原理图和PCB 设计的一般方法；3、了解和掌握电路焊接和调试的一般方法；4、制作出方波的分解和合成的电路实物并调试成功。
二、实验仪器1、台式电脑；2、双踪示波器1台；3、数字万用表；4、电路板制作工具。
三、实验原理1、方波信号的分解和合成原理任何电信号都是由各种不同频率、幅度和初相的正弦波迭加而成的。
从周期信号由它的傅里叶级数展开式可知，各次谐波为基波频率的整数倍。
图11-1中所示的方波信号)(t f 可以分解为奇次谐波相加的形式，如公式（5-1）所示。
]])12sin[(121)3sin(31)[sin(4)( +Ω++++Ω+Ω=t k k t t U t f d π, ,3,2,1,0=k ， （5-1） 其中T π2=Ω,T 为方波信号的周期。
图5-1 方波及方波信号的分解和合成原理框图图5-1中所示为方波信号的分解与合成电路的电路原理框图。
将被测方波信号加到分别调谐于基波和各次奇谐波频率的一系列有源带通滤波器电路上，从每一有源带通滤波器的输出端可以用示波器观察到相应频率的正弦波。
实验所用的被测信号)(t f 是50Hz 的方波，用作选频网络的5种有源带通滤波器的输出分别是1（基波）、2、3、4、5次谐波，频率分别是50Hz 、100Hz 、150Hz 、200Hz 、250Hz 。
在理想情况下，偶次谐波应该无输出信号，始终为零电平，而奇次谐波则具有很好的幅度收敛性，理想情况下奇次谐波中的1、3、5、7、9次谐波的幅度比应为1：（1/3）：（1/5）：（1/7）：（1/9），但实际上输入方波的占空比较难控制在50%，且方波可能有少量失真以及滤波器本身滤波特性都会使是偶次谐波分量不能达到理想零的情况，因此非理想的方波信号包含一定的偶次谐波分量。
2、方波信号的产生、分解和合成的电路实现原理总体方案如下所述：使用集成函数信号发生器模块（ICL8038）产生一个幅值在5V ，占空比为50%，频率为50Hz 的双极性的周期性的方波信号；方波信号分别通过3路二阶有源RC 带通滤波电路，分别取得方波信号的基波（50Hz ）、3次谐波（150Hz ）和5次谐波（250Hz ）信号，这3路谐波信号分别通过RC 有源移相放大电路，分别将其相位和幅值调整到基本满足公式（5-1）所示的要求的谐波信号，最后通过同相有源加法器电路将其相加，还原出一个近似的方波信号，还原出的近似方波信号幅值为5V，频率为50Hz，占空比为50%，波峰部分波形尽量平坦，在半个周期内有5个波头。
方波分解为多次正弦波之和
目录1 技术要求 (1)2 基本原理 (1)3 建立模型描述 (2)4 模块功能分析或源程序代码 (2)5 调试过程及结论 (4)5.1调试过程 (4)5.2 结论 (5)6 心得体会 (7)7参考文献 (8)方波分解为多次正弦波之和的设计1 技术要求已知某一周期性方波，用matlab仿真软件演示谐波合成情况，讨论参数对分解和合成波形的影响。
2 基本原理根据三角傅里叶级数：（1）（2）（3）对于任何一个周期为T的周期信号f（t），都可以求出它在上述各函数中的分量，从而将此函数在区间（t1，t1+T）内表示为（4）这就是函数f(t)在上述区间内的三角傅里叶级数表达式。
方波函数表达式：（5）先把这个函数展开为三角级数，为此就要求出分量系数a和b。
（6）（7）（8）因此，该非周期性方波在区间（0，T ）内可以表示为（9）3 建立模型描述4 模块功能分析或源程序代码figure(1) ts=0.0001;t=0:ts:4*pi;%t 的取值范围为0到4*pi ，间隔0.0001取一个点 f=1/ts; N=length(t);y1=square(0.32*pi*t);%产生一个方波 plot(t,y1);title('产生一个方波');pause hold on figure(2)利用Matlab 画出方波波形 根据公式（9）令=1分别作出各次谐波的波形 分别作出不同次谐波叠加后的波形 将各波形图叠加作图 与方波比较 得出结论：方波可以分解为多次正弦波之和y2=4/pi*sin(t);%频率为1（f=1/2*pi）的正弦基波%plot(t,y2);title('正弦基波')subplot 322y3=4/pi*(sin(3*t)/3);%三次谐波plot(t,y3);title('三次谐波')subplot 323y4=4/pi*(sin(5*t)/5);%五次谐波plot(t,y4);title('五次谐波')subplot 324y5=4/pi*(sin(7*t)/7);%七次谐波plot(t,y5);title('七次谐波')subplot 325y6=4/pi*(sin(9*t)/9);%九次谐波plot(t,y6);title('九次谐波');pausefigure(3)subplot 221y7=4/pi*(sin(t)+sin(3*t)/3);%将前两次谐波叠加plot(t,y7);title('前两次谐波叠加')subplot 222y8=4/pi*(sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5);%将前三次谐波叠加plot(t,y8);title('前三次谐波叠加')y9=4/pi*(sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7+sin(9*t)/t);%将前五次谐波叠加plot(t,y9);title('前五次谐波叠加')%重新定义y，把各次波形数据存为一个三维数组y=zeros(10,max(size(t)));x=zeros(size(t));for k=1:2:15x=x+4/pi*(sin(k*t)/k);y((k+1)/2,:)=x;end%将各波形叠合绘出pause,figure(4),plot(t,y(1:9,:)),title('各波形叠合')5 调试过程及结论5.1调试过程在调试过程中，编写方波时由于当时没有注意方波扫描的精确度，将ts的数值选取的过于大了而导致方波的波形出现了大的失真，经过反复几次的调试后终于得出了一个比较理想的方波图形。
正弦波与方波转换设计
达到nV级，但最终的输出波形为10.
要求设计正弦波转方波（正向）电路，可将220V/50Hz正弦波信号转换为正向方波信号。
输出：10V/50Hz方波（正向）
从图上可以看出输出波形很规整，第二级输出为0-5V方波，第三级输出为3.
经电源变压器将220V/50Hz的正弦波转变为10V/50Hz的正弦波。
方案二专用
输入：220V/50Hz正弦波
这里选择的是由CA5260AM构成的迟滞比较器。
三、方案分析
方案一
从图上可以看出输出波形很规整，第二级输出为0-5V方波，第 三级输出为3.902mV-10.004V方波。由于方案1采用的是集成芯 片555定时器，电路输出特性很稳定。输出波形满足要求。
三、方案分析
T=U2/U1=220*1.414/10=31.1
二、设计方案
2.电压比较器 a.施密特触发器
b.迟滞比较器
方案一 方案二
a.施密特触发器
方案一
这里选择的是由555定时器构成的施密特触发器。
b.迟滞比较器
方案二
这里选择的是由CA5260AM构成的迟滞比较器。
二、设计方案
3.放大器
采用由LM324AD构成的同向放大电路。
正弦波与方波转换 设计
一、设计要求
• 要求设计正弦波转方波（正向）电路，可 将220V/50Hz正弦波信号转换为正向方波信 号。
• 输入：220V/50Hz正弦波 • 输出：10V/50Hz方波（正向）
二、设计方案
方案一
方案二
二、设计方案
1.电源变压器
经电源变压器将220V/50Hz的正弦 波转变为10V/50Hz的正弦波。
这里选择的是由CA5260AM构成的迟滞比较器。
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目录1 技术要求 (1)1.1 设计目的 (1)1.2 初始条件 (1)1.3 设计要求 (1)2 基本原理 (1)2.1 连续时间周期信号用三角函数展开的原理 (1)2.1.1 信号分解与正交函数集 (1)2.1.2 三角函数的正交性 (3)2.1.3 连续时间周期信号分解为三角函数之和 (3)2.2 方波分解为多次正弦波之和的原理 (4)3 建立模型描述 (5)3.1正弦波合成并与原始方波进行比较模型的建立 (5)3.2 其他模型的建立 (5)4 源程序代码 (6)4.1 正弦波合成并与原始方波比较的源程序代码及运行结果 (6)4.1.1 正弦波合成并与原始方波比较的源程序代码 (6)4.1.2 程序运行结果 (7)4.2 正弦波合成趋势图源程序代码及运行结果 (9)4.2.1 正弦波合成趋势图源程序代码 (9)4.2.2 程序运行结果 (11)4.3 方波单边频谱图源程序代码及运行结果 (11)4.3.1 方波单边频谱图源程序代码 (11)4.3.2 程序运行结果 (12)4.4 方波与其分解后的各次谐波的比较图源程序代码及运行结果 (13)4.4.1 方波与其分解后的各次谐波的比较图源程序代码 (13)4.4.2 程序运行结果 (14)5 调试过程及结论 (15)5.1 调试过程叙述 (15)5.1.1 正弦波合成并与原始方波比较的源程序调试过程 (15)5.1.2 方波单边频谱图源程序调试过程 (15)5.1.3 方波与其分解后的各次谐波的比较图源程序调试过程 (15)5.1.4 正弦波合成趋势图源程序调试过程 (15)5.2 结论 (16)6 心得体会 (17)7 参考文献 (17)8 附录 (18)方波分解为多次正弦波之和的设计1 技术要求1.1 设计目的使用MATLAB 仿真软件将方波信号分解为多次正弦波之和。
1.2 初始条件MATLAB 软件，计算机。
1.3 设计要求已知某一周期性方波（自行设计相关参数），用MATLAB 仿真软件演示谐波合成情况，讨论相关参数对分解和合成波形的影响。
2 基本原理2.1 连续时间周期信号用三角函数展开的原理2.1.1 信号分解与正交函数集信号通常以时间函数表示，所以信号的分量及其分解指的就是函数的分量及其分解。
可利用与矢量分解相类比的方法来来研究如何将一信号分解为其分量。
与矢量用另一矢量上的分量表示原矢量类似。
在一定的时间区间()12,t t 内，若用函数2()f t 中的122()c f t 来近似的表示原函数1()f t ，将存在一误差函数()t ε∆，且有：1122()()t f c f t ε∆=- （1）在矢量近似中最佳系数选择的依据，是使得误差矢量的长度的平方最小；而12c 的选择，则是要求使误差函数的方均值最小。
误差函数的方均值为：222121()1)()t t t t t dt t ε∆∆=-⎰ （2） 此值最小时有：2221212211()()()t t c f t f t dt f t dt t t =⎰⎰ （3） 系数12c 是在最小方均误差的意义上代表二函数1()f t 、2()f t 的相关联的程度的度量。
当120c =时，由式（3）可知，此时有：2121()()0t f t f t dt t =⎰ （4）如果满足这一条件，则称1()f t 与2()f t 在区间12(,)t t 内正交。
此时1()f t 与2()f t 就构成一个正交函数集。
1()f t 与2()f t 两函数正交时，1()f t 在2()f t 中的分量122()c f t 为零。
一个函数可以在另一个函数中具有分量，则和矢量的情况类似，可以将一代表信号的函数表示为该函数在一正交函数集中的分量的加权和。
在区间12(,)t t 内互相正交的n 个函数123()()()()n g t g t g t g t 、、、...、组成一个n 维的正交信号空间。
此函数集中的函数之间，在区间12(,)t t 内具有如下关系：212()tm m t g t dt k =⎰ （5） 21()()0t l m t g t g t dt l m =≠⎰ （6）其中m k 为一常数。
若1m k =，则上述函数集就称为是归一化正交的。
任意一个代表信号的的函数()f t ，在区间12(,)t t 内，可以用组成信号空间的n 个正交函数的线性组合来近似的表示为：1122()()()...()...()r r n n f t c g t c g t c g t c g t ≈++++ （7）若要使近似值的方均误差最小，则()f t 在函数()r g t 中的分量系数为：2222111()()()1()()r r r r r t t t c f t g t dt g t dt k f t g t dt t t t ==⎰⎰⎰ （8） 若用一正交函数集中的分量和各次谐波分量之和，那么该矢量集必须是一完备的正交矢量集。
与此相似，用一正交函数集中的分量去代表任意一个函数，该函数集也必须是一完备的正交函数集。
完备的正交函数集往往都是由无穷多的函数组成。
任意一信号表示为正交函数集中的分量之和时，所取分量函数的项数越多精确度越高，即方均误差最小。
当所取项数无限增大时，方均误差趋于零，这是的正交函数集也成为完备的。
对于一个在区间12(,)t t 内的完备正交函数集中的所有函数，不可能找到另外一个异于零的函数能在同一区间内和它们相正交。
反之，若存在正交函数集以外的函数，与正交函数集中的所有函数正交，则该正交函数集必不是完备的。
信号在正交函数集中的分解是多样。
在矢量分解中，坐标轴经过变换，可以有不同的选取方法；同样，表示信号的正交函数集也可以经过变换而有不同选取方法。
如同坐标变换不影响矢量本身一样，正交函数集的变换也不影响所表示的函数本身。
故可以用一个正交函数集变换到另一个正交函数集去表示一个函数。
在各种正交函数集中，傅里叶级数是既方便又很有用的。
除傅里叶级数外，其他如沃尔什函数、勒让德函数、切比雪夫函数等。
它们都是正交函数集。
2.1.2 三角函数的正交性正弦函数与余弦函数满足如下关系:11cos sin 0,t T m t n tdt m n t ωω+⋅=⎰为任意整数 （9）1111cos cos sin sin 0t T t T m t n tdt m t n tdt m n t t ωωωω++⋅=⋅=≠⎰⎰ （10）221111cos sin 2t T t T n tdt n tdt T t t ωω++==⎰⎰ （11） 这表示上述各余弦函数与正弦函数，在区间11(,)t t T +内，均相互正交。
即｛1、cos t ω、cos 2t ω、cos3t ω、···、cos n t ω、···s i n t ω、sin 2t ω、sin 3t ω、···、sin n t ω、···｝（其中2T πω=为上述三角函数的公共周期）构成一组完备的正交函数集。
故任意一个周期信号都可以展开成为正弦函数及余弦函数的无穷级数。
2.1.3 连续时间周期信号分解为三角函数之和由前一部分可知，对于任意一个周期为T 的周期信号()f t ，都可以求出它在上述三角函数集中各函数中的分量，从而可将()f t 在区间11t t T +（，）内表示为上述三角函数集中各函数的加权和。
即：()01()2cos sin n f t a a n t b n t n n ωω∞∑==++ （12） 其中02a 实际就是()f t 在区间内的平均值，意即直流分量。
设定其为02a 是为了使得后面出计算0a 的公式与其他下标不等于零的n a 一致。
由公式（8）、（9）、（10）、（11）可知，各正弦函数余弦函数的分量系数为：1111112()cos cos 2()cos n t T t T t T a f t n tdt n tdt f t n tdt t t t ωωω+++==⎰⎰⎰ （13） 2111111()sin sin 2()sin n t T t T t T b f t n tdt n tdt T f t n tdt t t t ωωω+++==⎰⎰⎰ （14） 但是，要将周期信号分解为谐波分量，代表该周期信号的函数()f t 应当满足狄利克雷条件。
即：1）在一周期内，函数式绝对可积的，即21|()|t T f t dt t +⎰应为有限值； 2）在一周期内，函数的极值数目有限；3）在一周期内,函数()f t 或者为连续的，或者具有有限个这样的间断点，即当t 从较大的时间值和较小的时间值分别趋向于间断点时，函数具有两个不同的有限的极限值。
实际工程中的周期信号，大多都满足狄利克雷条件。
周期性方波也满足上述条件，即方波可以展开为三角函数的加权和。
2.2 方波分解为多次正弦波之和的原理由前一部分可知。
代表周期性方波信号的函数()f t 满足狄利克雷条件，即方波可以表示为多次正弦波之和。
如图1所示方波信号，其周期为2且正半周期负半周期是形状全同的矩形，在区间（0，2）内可用函数表示为：若将()f t 展开为三角傅里叶级数，即将()f t 分解为多次正弦波之和，则有式（13）、式（14）可知，在区间（0，2）内，如图1 所示的周期为2的方波信号的0a ， 图1 周期为2的方波信号n a ，n b 的值分别为：0a =202()02f t dt =⎰n a =202()cos 02f t n tdt ω=⎰n b =202()sin 02f t n tdt n ω=⎰当为偶数 202()sin 4/n 2n b f t n tdt n ωπ==⎰当为奇数则在区间（0，2）内()f t 可表示为：4111()(sin sin 3sin 5sin 7573f t t t t t πππππ=+++⋅⋅⋅） （15）即周期为2s 的方波信号中含有大量的正弦波，其频率分别为1/2，3/2，5/2，7/2···其中频率为1/2的正弦波称为基波，其他频率的正弦波称为谐波。
即一周期性方波，可表示为基波与无穷多谐波之和。
实用中进行信号分析时，不可能取无穷多次谐波之和，而只能用有限项来近似表示。
这样就无法避免有一误差()t ε，如果将基波加到n 次谐波之和后的函数表示为()n f t ，则有()f t =()n f t +()t ε，即()t ε=()f t -()t ε。
1(01)()1(12)t f t t ⎧<<⎪=⎨-<<⎪⎩3 建立模型描述3.1正弦波合成并与原始方波进行比较模型的建立由原理部分可知，方波中含有无穷多次的正弦波，即方波可以分解为无穷多次正弦波之和。