2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：5-5-1 第3课时 两角和与差的正切公式 1
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2023新教材高中数学两角和与差的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修第一册
6．证明：sin(α＋β)－2cosαsinβ＝tan(α－β)[2cosαcosβ－cos(α＋β)]．
证明 左边＝sin(α＋β)－2cosαsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2cosαsinβ＝ sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)，
右 边 ＝ tan(α － β)[2cosαcosβ － cos(α ＋ β)] ＝ tan(α － β)·(2cosαcosβ － cosαcosβ ＋ sinαsinβ) ＝ tan(α － β)(cosαcosβ ＋ sinαsinβ) ＝ tan(α － β)cos(α － β) ＝ sin(α－β)，
解
(1)因为 tanπ4＋α＝2，所以1t－anπ4ta＋nπ4ttaannαα＝2，
1＋tanα 所以1－tanα＝2，解得
tanα＝13.
sinα＋β－2sinαcosβ (2)2sinαsinβ＋cosα＋β
sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ ＝2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ
11．已知 0＜α＜2π＜β＜π，sinα＝35，sin(α＋β)＝35，则 sinβ＝________.
答案
24 25
解析 由 0＜α＜2π＜β＜π，得π2＜α＋β＜32π，又 sinα＝35，sin(α＋β)＝35，
∴cosα＝45，cos(α＋β)＝－45，
∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)·sinα＝35×45－－45 ×35＝2245.
8．已知π2<α<π，tanα＝－43，则 cosα＋34π的值是(
)
2 A. 10
B．－
2 10
人教A版必修一+第五章三角恒等变换+两角差的余弦公式
诱导公式、平方关系.
知识：平面上两点间的距离公式.
经验：利用圆的对称性研究诱导公式.
经验：利用圆的旋转对称性研究问题.
能力：分析问题的能力，逻辑推理能力.
能力：抽象概括的能力，提出问题的能力，
数学探究和创新能力.
教学 两角差的余弦公式的探究过程，尤其是发现圆的旋转对称性与两角差的余弦值之间的联系.
难点
知识回顾
提出问题
设计意图：体验发现、提出问题的一般方法，提高发现、提出问题
的能力和意识，发展数学抽象素养.
教学过程设计
猜想定向
探究新知，解决问题
问题2：请大家猜一猜
( − )
会等于什么呢？
追问：大家的猜想都与哪些
量有关?
y
α终边
β终边
P1
A1
α β终边
P
O
x
A(1,0)
设计意图：明确探究对象,体验从直觉思维到逻辑推理的一般研究思
两角差的余弦公式作为基础推导其他公式，让学生明确学习目的，带着目标开展探究学习活动.
教学过程设计
提出
提出问题
问题
复习诱导公式，提出问题：
围绕三角函数的定义，借助
∀， ∈ ， − =?
单位圆表示出5个量.
猜想总结初步共识 −
探究
探究问题
问题
应用
应用拓展
拓展
与 , , , 有关.
学生学情分析
已有的基础
需要的基础
知识：任意角、单位圆、三角函数定义、
诱导公式、平方关系.
知识：平面上两点间的距离公式.
经验：利用圆的对称性研究诱导公式.
经验：利用圆的旋转对称性研究问题.
能力：分析问题的能力，逻辑推理能力.
知识：平面上两点间的距离公式.
经验：利用圆的对称性研究诱导公式.
经验：利用圆的旋转对称性研究问题.
能力：分析问题的能力，逻辑推理能力.
能力：抽象概括的能力，提出问题的能力，
数学探究和创新能力.
教学 两角差的余弦公式的探究过程，尤其是发现圆的旋转对称性与两角差的余弦值之间的联系.
难点
知识回顾
提出问题
设计意图：体验发现、提出问题的一般方法，提高发现、提出问题
的能力和意识，发展数学抽象素养.
教学过程设计
猜想定向
探究新知，解决问题
问题2：请大家猜一猜
( − )
会等于什么呢？
追问：大家的猜想都与哪些
量有关?
y
α终边
β终边
P1
A1
α β终边
P
O
x
A(1,0)
设计意图：明确探究对象,体验从直觉思维到逻辑推理的一般研究思
两角差的余弦公式作为基础推导其他公式，让学生明确学习目的，带着目标开展探究学习活动.
教学过程设计
提出
提出问题
问题
复习诱导公式，提出问题：
围绕三角函数的定义，借助
∀， ∈ ， − =?
单位圆表示出5个量.
猜想总结初步共识 −
探究
探究问题
问题
应用
应用拓展
拓展
与 , , , 有关.
学生学情分析
已有的基础
需要的基础
知识：任意角、单位圆、三角函数定义、
诱导公式、平方关系.
知识：平面上两点间的距离公式.
经验：利用圆的对称性研究诱导公式.
经验：利用圆的旋转对称性研究问题.
能力：分析问题的能力，逻辑推理能力.
人教A版高中数学必修一 《三角恒等变换》三角函数(第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
30
当堂达标 固双基
31
1．思考辨析 (1)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( ) (2)对任意 α，β∈R，tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ都成立．( ) (3)tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ等价于 tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )
3.熟悉两角和与差的正切公式的常 素养.
见变形，并能灵活应用．(难点)
2
自主预习 探新知
3
两角和与差的正切公式
名称 简记符号
公式
使用条件
两角和 的正切 T(α＋β)
tan(α＋β)＝1t_－a_n_t_αa_n＋_α_t_taa_nn_β_β α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠1
两角差 T(α－β)
的正切
tan(α－β)＝1t_＋a_n_t_αa_n－_α_t_taa_nn_β_β α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠－1
4
1．已知 tan α＋tan β＝2，tan(α
C [∵tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ
＋β)＝4，则 tan αtan β 等于( ) ＝4，且 tan α＋tan β＝2，
A．2
B．1
∴1－tan2αtan β＝4，解得 tan αtan
C.12
D．4
β＝12.]
5
2．求值：tan1112π＝________.
－2＋ 3Biblioteka [tan11π 12
＝－tan
π 12
＝
－tanπ4－π6
当堂达标 固双基
31
1．思考辨析 (1)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( ) (2)对任意 α，β∈R，tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ都成立．( ) (3)tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ等价于 tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )
3.熟悉两角和与差的正切公式的常 素养.
见变形，并能灵活应用．(难点)
2
自主预习 探新知
3
两角和与差的正切公式
名称 简记符号
公式
使用条件
两角和 的正切 T(α＋β)
tan(α＋β)＝1t_－a_n_t_αa_n＋_α_t_taa_nn_β_β α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠1
两角差 T(α－β)
的正切
tan(α－β)＝1t_＋a_n_t_αa_n－_α_t_taa_nn_β_β α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠－1
4
1．已知 tan α＋tan β＝2，tan(α
C [∵tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ
＋β)＝4，则 tan αtan β 等于( ) ＝4，且 tan α＋tan β＝2，
A．2
B．1
∴1－tan2αtan β＝4，解得 tan αtan
C.12
D．4
β＝12.]
5
2．求值：tan1112π＝________.
－2＋ 3Biblioteka [tan11π 12
＝－tan
π 12
＝
－tanπ4－π6
高中数学人教A版必修1《两角和与差的正弦余弦正切公式》课件
P 选做题： 220 练习 3、4、5
( S(+) ) ( S(-) )
探究三:两角和与差的正切公式是怎样的呢?
学习新知
两角和与差的正切公式
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1- tanαtanβ
记：T (
+
)
tan(α-β)= tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
记:T( - )
注意： k , k
2
提示:利用 诱导公式五 (或六)可以
cos[( ) ]
2
实现正弦,余 弦的互化
cos( ) cos sin( )sin
2
2
(S(+))
学习新知 4.两角差的正弦公式
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( ) cos sin( ) sin
2
2
也可在S(+)用- 代得出
(S(-))
学习新知
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin
sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
余弦：同名积，符号反 正弦：异名积，符号同
( C(-) ) ( C(+) )
证明：
法一
sin( ) cos[ ( )] cos( )
4
24
4
法二 sin( ) sin cos cos sin 2 cos 2 sin
4442源自2cos( ) cos cos sin sin 2 cos 2 sin
4
4
4
( S(+) ) ( S(-) )
探究三:两角和与差的正切公式是怎样的呢?
学习新知
两角和与差的正切公式
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1- tanαtanβ
记：T (
+
)
tan(α-β)= tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
记:T( - )
注意： k , k
2
提示:利用 诱导公式五 (或六)可以
cos[( ) ]
2
实现正弦,余 弦的互化
cos( ) cos sin( )sin
2
2
(S(+))
学习新知 4.两角差的正弦公式
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( ) cos sin( ) sin
2
2
也可在S(+)用- 代得出
(S(-))
学习新知
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin
sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
余弦：同名积，符号反 正弦：异名积，符号同
( C(-) ) ( C(+) )
证明：
法一
sin( ) cos[ ( )] cos( )
4
24
4
法二 sin( ) sin cos cos sin 2 cos 2 sin
4442源自2cos( ) cos cos sin sin 2 cos 2 sin
4
4
4
新教材高中数学人教A版必修第一册课件：5.5.1第1课时 两角差的余弦公式(3
= ×
答案:
+
+
×=
+
.
5.设 α,β 都是锐角,且 cos α= ,sin(α+β)= ,求 cos β 的值.
解:∵α,β 都是锐角,且 cos α= < ,∴<α<.
又 sin(α+β)= > ,∴<α+β<π.
∴cos(α+β)=-
=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
= ×
+
又 0<β<,
故 β=.
×
= .
易 错 辨 析
忽略三角形内角之间的关系致错
【典例】 已知 A,B,C 是△ABC 的内角,cos A=,sin B=,
求 cos(A-B).
错解:由 cos A= >0,可知 A 为锐角,
可得 cos - = × + ×
当 α 是第四象限角时,sin α=-,
可得 cos - =
-
.
=
+
.
2.把例 2(1)改编为:若 cos +
=- ,且 α∈ ,
解:∵cos + =-,且 α∈ , ,
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第三课时)-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
探究新知 探究1：二倍角的正弦、余弦和正切公式的立德推树导人 和谐发展
sin( )s inc o s c o ss in
sin22sincos
c o s ( ) c o sc o s s ins in
cos2cos2sin2
tan( ) tantan
1tantan
2 tan
cos2 1 sin 2
(1 sin2 ) sin2
cos 2 1 2sin2
1 2 sin 2
cos2 cos2 sin2
sin2 1 cos2
cos2 (1 cos2 )
cos 2 2cos2 1
2 cos2 1
探究新知
倍角公式
立德树人 和谐发展
4
2
2
又 sin2α = 5 ，所以 cos 2α 1 sin2 2α 12 ．
13
13
于是sin4α = 2sin2α cos 2α = 2 5 (12) 120 ； 13 13 169
cos4α = 1 2sin2 2α = 1 2 ( 5 )2 119； 13 169
tan 4α sin4α 120 . cos4α 119
tan2 1 tan2 源自探究新知二倍角公式
二倍角的正弦公式
sin 2 2sin cos
二倍角的余弦公式
cos 2 cos2 sin2
二倍角的正切公式
tan
2
2 tan 1 tan 2
立德树人 和谐发展
探究新知
2.二倍角的余弦公式的变形
立德树人 和谐发展
cos2 cos2 sin2
解：（3）解法2：在ABC中，由cosA 4，0 A π得 5
5_5_1两角和与差的正弦、余弦和正切公式40-高中数学人教A版(2019)必修第一册
1+15°
（3）
;
1−15°
分析 ： 和 、 差角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α ， β 的三角函数式 ．
如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 ．
解 ：（ １ ） 由公式 S（α － β ） ， 得
sin72°cos42°－ cos72°sin42°
第五章
三角函数
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)
2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正
切公式．(重点)
3．会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、
计算等．(难点)
4．熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆
−1
1+
3
=
−4−1
3
1+(−4)
= −7
由以上解答可以看到 ， 在本题条件下有s
角
4
− = cos
4
+ ． 那么对于任意
例 ４ 利用和 （ 差 ） 角公式计算下列各式的值 ：
（ １ ）sin72°cos42°－ cos72°sin42° ;
（ ２ ） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ;
【解】
5
10
∵α，β 均为锐角，sin α＝ 5 ，cos β＝ 10 ，
3 10
2 5
∴sin β＝ 10 ，cos α＝ 5 .
π
∵sin α<sin β，∴α<β，∴－2<α－β<0，
（3）
;
1−15°
分析 ： 和 、 差角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α ， β 的三角函数式 ．
如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 ．
解 ：（ １ ） 由公式 S（α － β ） ， 得
sin72°cos42°－ cos72°sin42°
第五章
三角函数
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)
2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正
切公式．(重点)
3．会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、
计算等．(难点)
4．熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆
−1
1+
3
=
−4−1
3
1+(−4)
= −7
由以上解答可以看到 ， 在本题条件下有s
角
4
− = cos
4
+ ． 那么对于任意
例 ４ 利用和 （ 差 ） 角公式计算下列各式的值 ：
（ １ ）sin72°cos42°－ cos72°sin42° ;
（ ２ ） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ;
【解】
5
10
∵α，β 均为锐角，sin α＝ 5 ，cos β＝ 10 ，
3 10
2 5
∴sin β＝ 10 ，cos α＝ 5 .
π
∵sin α<sin β，∴α<β，∴－2<α－β<0，
2020-2021学年高中数学新人教A版必修第一册 1
【思路导引】(1)依据a∈A，则 1 ∈A(a≠1)，求集合A中的元素，同时注
1 a
意集合中元素的互异性.
(2)转化为判断a= 1 是否有实数解.
1 a
【变式探究】
本例前提条件不变，求证以下两个问题：
(1)若3∈A，则A中必还有另外两个元素. (2)若a∈A，则1- 1 ∈A.
a
角度2 与集合相等有关的问题 【典例】设a，b∈R，集合A中含有三个元素a， b ，1，集合B中含有三个元
类型二 元素与集合的关系(逻辑推理)
【题组训练】
1.下列元素与集合的关系表示正确的是 ( )
①0∈N*.②
2
∉Z.③
3 2
∈Q.④π∈Q.
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
2.由形如x=3k+1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是 ( )
A.-1∈A
B.-11∈A
C.15∈A
D.32∈A
2.设M是所有偶数组成的集合，则
()
A.3∈M
B.1∈M
C.2∈M
D.0∉M
【解析】选C.因为2是偶数，所以2是集合M中的元素，即2∈M.
3.英文短语“open the door to...”中的字母构成一个集合，该集合的元素
个数是 ( )
A.7
B.8
C.9
D.10
【解析】选B.根据集合中元素的互异性可知，“open the door to...”中的
3.常见的数集及表示符号
数集
非负整数集 (自然数集)
正整 数集
整数集
有理 数集
实数集
符号
_N_
_N_*_或__N_+
Z
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11．已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求 2α －β 的值．
解：∵tan(α－β)＝12，tanβ＝－17. ∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannββ ＝1－12＋12×－－1717＝13<1.
∵α∈(0，π)，∴0<α<π4，0<2α<π2. 又 tanβ＝－17<0，β∈(0，π)， ∴π2<β<π， ∴－π<－β<－2π，∴－π<2α－β<0. 又 tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannαα ＝1－12＋12×13 13＝1， ∴2α－β＝－34π.
－
3 3
.
解析：1t＋an1ta2n°1－2°ttaann7722°°＝－tan72°1－12°＝－
3 3.
π 8．已知△ABC 中， 3tanAtanB－tanA－tanB＝ 3，则 C＝ 3 .
解析：依题意1t－anAta＋nAttaannBB＝－ 3，即 tan(A＋B)＝－ 3， 又 0<A＋B<π，所以 A＋B＝23π， 所以 C＝π－A－B＝3π.
D．2
解析：∵tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ) ＝tan34π(1－tanαtanβ)＝tanαtanβ－1， ∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1＋tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＝2.
5．已知 tanα＝12，tan(α－β)＝－25，那么 tan(β－2α)的值为
A．0
B．1
1 C.2
D．2
解析：1＋3－3ttaann1155°°＝1t＋an6ta0n°6－0°ttaann1155°° ＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.
3．设 sinα＝35，(2π<α<π)，tan(π－β)＝12，则 tan(α－β)的值为
(C )
A．－27
B．－25
C．－121
＝
3，解得
tanAtanB＝13，故选 B.
14．已知 －2α)的值为
ta－n21α12＝14，ta.n(β－α)＝25，α
为第三象限角，那么
tan(β
解析：依题意， 知 tanα＝12，tan(β－α)＝25， ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝1t＋antaβn－βα－－αttaannαα＝1＋25－25×12 12＝－112.
9．tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝ 1 .
解析：注意到 10°＋20°＋60°＝90°，∴ 13＝tan30°＝tan(10° ＋ 20°) ＝ 1t－an1ta0n°1＋0°ttaann2200°°， 即 1 － tan10°tan20°＝ 3 (tan20°＋ tan10°)，
π
3π
A.4
B. 4
π C.3
D．23π
解析：sinα＝ 55，且 α 为锐角， 则 cosα＝255，tanα＝12； 所以 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝1－1212×－3－3＝－1. 又 α＋β∈(π2，32π)，故 α＋β＝34π.
二、填空题 7.1t＋an1ta2n°1－2°ttaann7722°°＝
D．－121
解析：∵sinα＝35，(2π<α<π)， ∴tanα＝－34. ∵tan(π－β)＝12，∴tanβ＝－12. ∴tan(α－β)＝1t＋anαta－nαttaannββ＝－121.
4．若 α＋β＝34π，则(1－tanα)(1－tanβ)的值为( D )
1 A.——
12．在△ABC 中，有 0<tanA·tanB<1，那么 tanC 的值( B )
A．恒大于 0 C．可能为 0
B．恒小于 0 D．可正可负
解析：因为 0<csoinsAAscionsBB<1，且 A，B，C 为△ABC 的内角， 所以 cosAcosB－sinAsinB>0， 即 cos(A＋B)>0， 所以 cosC<0，所以 C 为钝角， 所以 tanC<0.故选 B.
课时作业51 两角和与差的正切公式
——基础巩固类——
一、选择题
1．若 tanα＝3，tanβ＝43，则 tan(α－β)等于( A )
1 A.3 C．3
B．－13 D．－3
解析：tan(α－β)＝1t＋anαta－nαttaannββ＝1＋3－3×43 43＝13.
2.1＋3－3ttaann1155°°的值为( B )
13．在△ABC 中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则 tanAtanB
的值为( B )
1
1
A.4
B.3
1 C.2
D．53
解析：由题意得 tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝ 3，所以
23
tan(A
＋
B)
＝
tanA＋tanB 1－tanAtanB
＝
3
，
即
3 1－tanAtanB
15．是否存在锐角 α，β，使得(1)α＋2β＝23π，(2)tanα2tanβ＝2 － 3同时成立？若存在，求出锐角 α，β 的值；若不存在，说明 理由．
解：假设存在锐角 α，β 使得(1)α＋2β＝23π， (2)tanα2tanβ＝2－ 3同时成立． 由(1)得α2＋β＝π3，
( B)
A．－34
B．－112
C．－98
D．98
解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)] ＝－1t－anαta＋nαttaannαα－－ββ＝－1＋12－12×25 25＝－112.
6．已知 sinα＝ 55，且 α 为锐角，tanβ＝－3，且 β 为钝角，
则角 α＋β 的值为( B )
∵tan60°＝ 3， ∴tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.
三、解答题 10．已知 α，β 均为锐角，且 tanβ＝ccoossαα－ ＋ssiinnαα，求 tan(α＋β) 的值． 解：tanβ＝ccoossαα－ ＋ssiinnαα＝11－ ＋ttaannαα＝tanπ4－α，因为 α，β 均 为锐角，所以－π4<π4－α<4π，0<β<2π， 又 y＝tanx 在－π2，π2上是单调函数，所以 β＝4π－α，即 α ＋β＝π4，所以 tan(α＋β)＝1.