12.2二次根式的乘除法(1)
二次根式乘除法则
二次根式乘除法则1. 二次根式的定义与性质二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式可以表示为分数形式，即a的平方根除以b的平方根，其中a和b是正实数。
下面是一些二次根式的性质： - 乘法性质：√a * √b = √(a * b) - 除法性质：√a / √b = √(a / b)，其中b不等于0 - 同底数相加减：√a ± √b = √(a± b)2. 二次根式的乘法法则a) 同底数相乘当两个二次根式具有相同的底数时，可以将它们相乘，并将底数保持不变。
例如：√2 * √3 = √(2 * 3) = √6b) 不同底数相乘当两个二次根式具有不同的底数时，可以将它们相乘，并合并为一个二次根式。
例如：√2 * √6 = √(2 * 6) = √12 = 2√33. 二次根式的除法法则a) 同底数相除当两个二次根式具有相同的底数时，可以将它们相除，并将底数保持不变。
例如：√6 / √2 = √(6 / 2) = √3b) 不同底数相除当两个二次根式具有不同的底数时，可以将它们相除，并合并为一个二次根式。
例如：√12 / √2 = √(12 /2) = √64. 二次根式乘除法的综合运用a) 乘法与除法的结合运算在一个表达式中同时使用乘法和除法时，我们可以先进行乘法运算，再进行除法运算。
例如：(√3 * √5) / (√2 * √4) = (√15) / (√8)b) 化简复杂的二次根式当一个二次根式较为复杂时，我们可以通过化简来简化计算。
例如：√(18/9) = (√18) / (√9) = (√2 * √9) / (√3 * √3) = (3√2) / 3 = √25. 实际问题中的应用二次根式乘除法经常在解决实际问题中被使用。
下面是一些实际问题的例子：a) 计算面积和体积当计算图形的面积或体积时，我们经常会遇到涉及二次根式乘除法的问题。
例如，计算一个圆的面积可以使用公式A = πr²，其中r是圆的半径。
八年级数学苏科版下册课时练第12单元 《12.2 二次根式的乘除》(含答案解析)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练12.2二次根式的乘除一、选择题1.下列化简中正确的是()A.a a224-=- B.101.0)10(1.0102=´-=-C.xy xyx 33= D.mn nm n m m55=2.计算31948-的结果是()A.3- B.3C.3311-D.33113.给出下列四道算式：其中正确的算式是()(1)44)4(2-=-ab ab ；(2)41135432222=-+；(3)x xx 4728=；(4)).()(2b a b a ba ab >-=--A.(1)和(3) B.(2)和(4)C.(1)和(4)D.(2)和(3)4.下列计算中正确的是()A.7217.04091-=¸+- B.yy x y xy 223255=¸3= D.49167)6(712-=¸-xy xy 5.设ab a 1,322=-=，则a、b 大小关系是()A.a=bB．a>bC．a<bD．a>-b6.将4324-根号外的因式移进根号内，结果等于()A.11-B.11C.44-D.447.若，则xy 的值是A.B.C.m+nD.m-n8.若，则()A.a、b 互为相反数B.a、b 互为倒数C.ab=5D.a=b二、填空题9.计算：____313=10.计算：31101232731´¸=________.11.若三角形的面积为2355cm ,一条边长为cm 152，则这边上的高是________cm.m ==_________13.计算:=-+20272027)322()322(________14.已知x 为奇数，且xx xx --=--9696，则221x x ++的算术平方根为______．三、解答题15.计算：2222434041+-16.计算：53123452¸17.计算：32212332a a a ´¸18.计算：222272)3121(y x x yx x y ×-．19.甲、乙两人对题目“化简并求值：21122-++a a a ，其中51=a ”有不同的解答，甲的解答是:549211)1(1211222=-=-+=-+=-++a a a a a a a a a a a,乙的解答是:5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a a a ,谁的解答是错误的？为什么？20.先化简，再求值：(a＋b)2＋(a-b)(2a＋b)-3a 2，其中a=-2-3，b=3-2.参考答案1.D2.B3.B4.A5.B6.C7.D8.D9.310.57.11.321512.0.1m 13.-114.2215.原式=9516.原式=9117.原式=3a .18.原式=y x x xy 222332-．19.解：乙的错；因为a=15所以a a >1，所以a a a a a a -=-=-111.20.解：原式=a 2＋2ab＋b 2＋2a 2＋ab-2ab-b 2-3a 2=ab.原式=ab=(-2)2-(3)2=4-3=1.。
二次根式的乘除运算
二次根式的乘除运算1、因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．2、有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．一、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
二、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：1a =b a -与b a -等分别互为有理化因式。
2、两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a与a3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
例、已知x =y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+ 小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ②与； ③与； ④与．三、二次根式的乘除1、积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
a≥0，b≥0）2、二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
a≥0，b≥0）注意：1、公式中的非负数的条件；2、在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解（或因数分解；3、c＝abc（ a ≥0，b≥0，c ≥03、商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a≥0，b>0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
a≥0，b>0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．例1．=，且x为偶数，求（1+x的值．解：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值．例2=成立的的x的取值范围是（）A 、2x >B 、0x ≥C 、02x ≤≤D 、无解例3、·（m>0，n>0）解： 原式＝=-22n n m m =-例4、（a>0）解：原式规律公式：1、观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，32=-同理可得：计算代数式（+）的值．解：原式=（……）=（） =2002-1=20012、观察下列各式及其验证过程：，验证：；验证:.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想（2）针对上述各式反映的规律，写出用a(a>1的整数)表示的等式，并给出验证过程.（aa>1））。
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。
专题12.2二次根式的乘除(知识解读)
专题12.2 二次根式的乘除（知识解读）【学习目标】1.并能逆用法则进行化简2.逆用法则进行化简。
3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。
【知识点梳理】知识点1：二次根式的乘法法则1.（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广（1（2项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
知识点2：二次根式的乘法法则的逆用1.二次根式的乘法法则的逆用质）2.二次根式的乘法法则的逆用的推广知识点3：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则2.二次根式的除法法则的推广注意：知识点4：最简二次根式1.最简二次根式的概念（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.化简二次根式的一般方法母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a ＞0，b ＞0，c ＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解y x y x y +==+++)(x222xy 2（x ≥0，y ≥0）3.分母有理化（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。
【典例分析】【考点1：二次根式乘法法则】【典例1】计算： （1）×； （2）4×； （3）6×（﹣3）； （4）3×2． 【答案】（1）4 （2）4． （3）72 （4）30．【解答】解：（1）原式＝＝＝4．（2）原式＝4＝4．（3）原式＝6×（﹣3）×＝﹣18×4＝﹣72． （4）原式＝3×2×＝30． 【变式11】（2022秋•嘉定区期中）化简：＝ ．【答案】6 【解答】解：原式＝＝＝6．故答案为：6．【变式12】（2022春•湘桥区期末）计算：＝ ．【答案】【解答】解：＝．故答案为：．【变式13】（春•容县校级月考）计算：（1）×；（2）4×；（3）6×（﹣3）；（4）3×2．【解答】解：（1）原式＝＝＝4．（2）原式＝4＝4．（3）原式＝6×（﹣3）×＝﹣18×4＝﹣72．（4）原式＝3×2×＝30．【考点2：二次根式乘法法则的逆用】【典例2】计算：（1）．（2）．（3）．【答案】（1）66 （2）20 （3）【解答】解（1）＝×＝11×6＝66．（2）原式＝＝4×5＝20．（3）原式＝×＝×＝．【变式2】（秋•古塔区校级月考）．【解答】解：原式＝＝4×5＝20．【考点3：二次根式除法运算】【典例3】计算：（1）；（2）4÷2．（3）（4）．【答案】（1）5 （2）（3）（4）6a．【解答】（1）＝＝＝5；（2）4÷2＝＝2＝．（3）原式＝＝（4）原式＝2××2＝＝6a．【变式31】（2022春•红河县期末）计算：＝．【答案】3【解答】解：原式＝＝＝3．故答案为：3．【变式32】（2022春•新兴县期末）计算：＝．【答案】【解答】解：原式＝＝＝，故答案为：．【变式33】计算：（1）÷（2）÷（3）（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解答】（1）原式＝×＝＝；（2）÷＝2×＝；（3）＝；（4）＝＝．【典例4】（2022秋•平阴县期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．1B．C．D．【答案】B【解答】解：A、1不是二次根式，故A不符合题意；B、是最简二次根式，故B符合题意；C、＝2，故C不符合题意；D、＝，故D不符合题意；故选：B．【变式41】（2020秋•静安区期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝2，被开方数含能开得尽方的因数，故A不符合题意；B、＝|x|，被开方数含能开得尽方的因式，故B不符合题意；C、，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C符合题意；D、＝＝|a﹣b|，被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；故选：C．【变式42】（2020春•怀宁县期末）把化为最简二次根式，结果是．【答案】【解答】解：，故答案为：【典例5】（2021秋•永丰县期末）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）＝＝；（二）＝＝＝﹣1；（三）＝＝＝＝﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．（1）请用不同的方法化简：①参照（二）式化简＝．②参照（三）式化简＝．（2）化简：+++…+．【解答】解：（1）①＝＝﹣；②＝＝＝﹣；（2）原式＝+++…+＝＝．故答案为：（1）①﹣；②﹣【变式51】（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝．【答案】﹣3﹣【解答】解：原式＝＝﹣3﹣，故答案为：﹣3﹣．【变式52】（2021春•饶平县校级期末）已知a＝，b＝，（1）求ab，a+b的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵a＝＝＝+，b＝＝＝﹣，∴ab＝（+）×（﹣）＝1，a+b＝++﹣＝2；（2）＝+＝（﹣）2+（+）2＝5﹣2+5+2＝10．。
二次根式的乘除
二次根式的乘除1. 什么是二次根式在代数学中，二次根式是指具有形如√a 的形式的数学表达式，其中 a 是一个非负实数。
二次根式是数学中一个重要的概念，常常在代数运算中出现。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法是指对两个二次根式进行相乘的计算。
下面我们来看一个具体的例子：假设有两个二次根式，√a 和√b，我们可以通过以下步骤来计算它们的乘积：1.将二次根式的底数相乘，即 a * b；2.将乘积的结果求平方根，即√(a * b)。
下面是一个示例计算：假设 a = 9，b = 16，我们要计算√9 * √16：1.首先将二次根式的底数相乘：9 * 16 = 144；2.然后将乘积的结果求平方根：√144 = 12。
所以，√9 * √16 = 12。
3. 二次根式的除法二次根式的除法是指对两个二次根式进行相除的计算。
下面我们来看一个具体的例子：假设有两个二次根式，√a 和√b，我们可以通过以下步骤来计算它们的除法：1.将二次根式的底数相除，即 a / b；2.将商的结果求平方根，即√(a / b)。
下面是一个示例计算：假设 a = 25，b = 5，我们要计算√25 / √5：1.首先将二次根式的底数相除：25 / 5 = 5；2.然后将商的结果求平方根：√5 = 2.236。
所以，√25 / √5 ≈ 2.236。
4. 二次根式的乘除综合运算在实际应用中，我们常常需要对多个二次根式进行复合运算，包括乘法和除法。
下面我们来看一个综合运算的例子：假设有三个二次根式，√2、√3 和√5，我们要计算(√2 * √3) / √5：1.首先对√2 和√3 进行乘法运算：√2 * √3 = √6；2.然后将乘积的结果与√5 进行除法运算：√6 / √5；3.为了简化计算，我们将除法转换为乘法，即√6 *(√5)^(-1)；4.最后，将√5 的指数形式转换为根式形式，即√6 *(1/√5) = √6 / √5。
所以，(√2 * √3) / √5 = √6 / √5。
二次根式的乘除法ppt
二次根式的乘除法运算技巧
乘法运算技巧
$(1)$把每个二次根式化成最简二次根式;$(2)$灵活运用分配律，将每一项分别相 乘。
除法运算技巧
$(1)$把除法转化为乘法，将分子分母分别相除;$(2)$运用约分的方法将分子分母 约去公因式，将其化简。
03
二次根式的乘法运算
二次根式的乘法运算定律
运算法则
分配律
二次根式的混合运算同样适用分配律，即将一个二次根式乘以多个二次根式，等于将这个 二次根式分别乘以每一个二次根式，然后进行相乘。
结合律
二次根式的混合运算同样适用结合律，即将多个二次根式相乘，可以先把其中几个二次根 式乘起来，然后再与其他二次根式相乘。
二次根式的混合运算实例
• 例子1：将 $\sqrt{5} \times (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ 进行化简 • 原式 = $\sqrt{5 \times 3} + \sqrt{5 \times 2}$ • = $\sqrt{15} + \sqrt{10}$。 • 例子2：计算 $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$ • 原式 = $\sqrt{2} \times \sqrt{2} + \sqrt{3} \times \sqrt{3} + 2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3}$ • = 2 + 3 + 2 \sqrt{6}$ • = 5 + 2 \sqrt{6}$。 • · 例子1：将 $\sqrt{5} \times (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ 进行化简 • · ``` • · 原式 = $\sqrt{5 \times 3} + \sqrt{5 \times 2}$ • · = $\sqrt{15} + \sqrt{10}$。 • · ``` • · 例子2：计算 $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$
12.2 二次根式乘除(1)
面向全体
先学后教
当堂训练
科研兴教
力求高效
年 教学模式 月 日 讨论交 流
教材 第 12 课（章） 第 2 课 题
节（单元） 第 1
课时，总 4 课时
12.2 二次根式的乘除（1）
【知识与技能】理解 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0） ， ab ＝ a · b （a≥0， 教 学 目 标 （认知 技能 情感） b≥0） ，并利用它们进行计算和化简； 【过程与方法】经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则； 【情感、态度与价值观】在具体的计算过程中讨论交流，总结公式，体会“数学 知识来源于实践”的理念． 二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质． 二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质的理解与运用．
合 作 探 究
-1的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内 容）
教师施教提要 （启发、 精讲、 活动等）
再次 优化
二、数学实验室 （1）在图中，小正方形的边长为 1，AB＝
2 ，BC＝ 8 ，画出矩形 ABCD 的面积是
多少？
C A B
（2）在图中，小正方形的边长为 1．画出矩
-2-
教 学 环 节 随堂 练习
学生自学共研的内容方法
教师施教提要
再次
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容） （启发、精讲、 活动等） 优化
活动二： 验证公式： a · b ＝ ab （a≥0，b≥0） 的正确性． 计算： （1） 8 × 2 ； 课堂 小结 达标 检测 （ 2）
1 × 8； 2
合
形 EFGH，使 EF＝ 2 ，FG＝ 18 ．矩形 EFGH 的面积是多少？
作
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
反过来得: ab
a b (a 0, b 0)
利用这个等式可以化简一些二次根式
例2.化简
（1）
12
；
3 （ 22 a） a 8 a (a 0)
（3） 4a 2 b 3 (a≥0，b≥0) （4） 132 122
变式训练： 化简 （1） 45a (a≥0） （2） 9a 2b3 （a≥0, b≥0） (3) 262 102
2.计算
(1) 8 18 a
3
(2) 15 3 10
小
结
1.
a b ab (a 0, b 0)
两个非负数的算术平方根的 积等于它们积的算术平方根
2. 反过来得:
ab a b (a 0, b 0)
课后作业
伴你学第98—99页
×
两个非负数的算术平方根的 积等于它们积的算术平方根
例1 计算 （1 ） （ 3）
1 2
×
8
（2） 56 14
2a 8a (a 0)
变式训练： Байду номын сангаас1） 20 ×
5
（2）3 2 ×2 8
3
（3）
8 × 18 （4） 6a
×
3a （a≥0） 2
结论：
由
a b ab (a 0, b 0)
计算下列各式
(1) 4 25 10
4 25 10
9 16 12
(2) 9 16
12
2 2 3 2 (3) ( ) ( ) 3 5
2 2 32 ( ) ( ) 3 5
2 5 2 5
比较上述各式,你有什么发现?
结论：
一般地,
a b ab (a 0, b 0)
方法：将被开方数中的平方数因数先分解 再开方 注意:结果被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式
变式训练 计算： 2 3 6
a b c a b c (a 0, b 0, c 0)
推广
b 0, k 0) a b k a b k (a 0,
当堂检测
1. 计算(1) 27 ×
(3) 63× 14× (4)(4) × × 2.化简： （1 ） 27（2）
3 (2)
15×
2a (a≥0)
a 2
5 3
;
2
a
2
12a b
2 3
(a≥0 ，b≥0)
中考链接
1.若
( x 1)( x 2) x 1 x 2
则x的取值范围是_______