数列求和(倒序相加法,错位相减法,裂项相消法,分组求合法等)

考点4 数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等）1．（2015江苏苏州市高三上调考）已知数列{n a }共有2k 项（2≤k 且k ∈N *），数列{n a }的前n 项的和为n S ，满足1a =2，1n a + =（p －1）n S +2（n =1，2，3，…，2n －1），其中常数p ＞1（1）求证：数列{n a }是等比数列； （2）若p =2212k -，数列{n b }满足21log n b n=（12n a a a ⋯）（n =1，2，…，2n ），求数列{n b }的通项公式（3）对于（2）中的数列{ n b }，记3||2n n c b =－，求数列{n c }的前2k 项的和． 【考点】数列的求和；数列的应用．【解】（1）证明：当n =1时，2a =2p ，则21a p a =， 当2≤n 时，112n n a p S +=+（－），-112n n a p S =+（－）， ∴11n n n a a p a +=－（－），即1n n a pa +=， ∴1n na p a +=， 故数列{n a }是等比数列．（2）由（1），得12n n a p -=（n =1，2，…，2n ），∴(1)123121222n nn n nn a a a pp-+++⋯+-⋯==2(1)(1)21221222n n n nn nk k --⨯+--==，2121log n n b a a a n =⋯（） =1(1)()21n nn n k -+-=(1)121n k -+-，（n =1，2，…，2n ）， 即数列{b n }的通项公式为(1)121n n b k -=+-，（n =1，2，…，2n ）． （3）3||2n n c b =-，设32n b ≤，解得n ≤12k +，又n 为正整数，于是：当n ≤k 时，32n b ＜；当n ≥k +1时，32n b ＞，∴数列{n c }的前2k 项的和：2122123333 (2222)k k k T b b b b -=-+-++-+- 12122333333()()...()()()...()222222k k k k b b b b b b ++=-+-++-+-+-++- 12212b k k k k b b b b b ++=++⋯+++⋯+（）－（）[][]11(1)...(21)12...(1)2121k k k k k k =++++--+++--- 221k k =-． 2．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））设数列{n a }的前n 项和记为n S ，且234n S n n =-+．（1）求数列{n a }的通项公式； （2）设3n n n a b =，记数列{n b }的前n 项和记为n T ，，求证：2536nT ≤＜. 【考点】错位相减法求和【解】（1）当n =1时，12a =，当n ≥2时，124n n n a S S n -=-=-，故2,124,2n n a n n =⎧=⎨-⎩≥，（2）2,13243,23n n n nn a b n n ⎧=⎪⎪==⎨-⎪≥⎪⎩，其中123T =，当n ≥2时，22024...333n nn T -=+++①，23112024...3333n n n T +-=+++②，∴①－②得，231222224 (33333)n n n T +-=-++-， ∴521623n n n T -=-⨯(2)n ≥，由于0n b ≥，∴2536nT ≤＜． 3．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））已知数列{}n a 中，11a =，二次函数211()(2)2n n n f x a x a x -+=⋅+-⋅的对称轴为x =12，（1）试证明{}2n n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，试求使得3n S ＜成立的n 的值，并说明理由． 【考点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；错位相减法求和． 【解】（1） ∵二次函数211()(2)2n n n f x a x a x -+=⋅+-⋅的对称轴为x =12， ∴n a ≠0，1211222n n n a a -+--=⨯，整理得11122n n na a +=+， 左右两边同时乘以12n +，得11222n n n n a a ++=+，即11222n n n n a a ++-= (常数)，∴{}2nn a 是以2为首项，2为公差的等差数列，∴222(1)2nn a n n =+-=，∴1222n n n n n a -==． （2）∵ 012211231...22222n n n n nS ---=+++++， ①12n S = 12311231 (22222)n n n n--++++， ②①-②得：1231111111121 (1222222212)n n n n n n n S --=++++-=--， 整理得 1242n n n S -+=-．∵ 113214(4)0222n n n n n n n n S S +-+++-=---=＞，∴ 数列{n S }是单调递增数列． ∴ 要使n S ＜3成立，即使12432n n -+-＜，整理得n +2>12n -， ∴ n =1，2，3．4．（2015江苏省南京市高三考前综合）公差不为零的等差数列{n a }的前n 项之和为n S ，且2()2n n a k S +＝对n ∈*N 成立．（1）求常数k 的值以及数列{n a }的通项公式；（2）设数列{n a }中的部分项123n k k k k a a a a ⋯，，，⋯，，恰成等比数列，其中1k ＝2，,3k ＝14，求1122n n a k a k a k ⋯＋＋＋的值．【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法． 【解】（1）法一：条件化为2n n S a k ＝＋对n ∈*N 成立． 设等差数列公差为d ，则11(1)2(1)2n n dna a n d k -+＝＋－＋． 分别令n ＝1，2，3得：1111112222332a a k a d a d k a d a d k ⎧=+⎪⎪+=++⎨⎪+=++⎪⎩①②③由①＋③－2②得，1113322a a d a d +=+．两边平方得，21114233a d a a d +＋＝．两边再平方得，2211440a a d d －＋＝．解得d ＝21a ．代入②得，1143a a k ＝＋，④由④－①得，11a a ＝．所以1a ＝0，或1a ＝1． 又当1a ＝0时，d ＝0不合题意．所以1a ＝1，d ＝2． 代入①得k ＝1．而当k ＝1，1a ＝1，d ＝2时，221n n S n a n ＝，＝－，等式2()2n n a k S +＝对n ∈*N 成立．所以k ＝1，21n a n ＝－． 法二：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则211(1)()222n n n d dS na d n a n -＝＋＝＋－，11(1)()n a a n d dn a d ＝＋－＝＋－．． 代入2()2n n a k S +＝得，22111()[()]224d d n a n dn a k d ＋－＝＋＋－， 即22221112(42)2()()dn a d n d n d a k d n a k d ＋－＝＋＋－＋＋－．因为上面等式对一切正整数n 都成立，所以由多项式恒等可得，21112422()0d d a d d a k d a k d ⎧=⎪-=+-⎨⎪+-=⎩因为d ≠0，所以解得，1211d a k =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以常数k ＝1，通项公式21n a n ＝－． （2）设n n k c a ＝，则数列{n c }为等比数列，且1312314327k k c a a c a a ＝＝＝，＝＝＝． 故等比数列{n c }的公比q 满足2319c q c ＝＝． 又n c ＞0，所以q ＝3．所以111333n n n n c c q⨯－－＝＝＝．又21n n k n c a k ＝＝－，所以213nn k －＝．由此可得11322nn k ⨯＝＋．所以2121322n n n n n a k --⨯＝＋． 所以1122n n a k a k a k ⋯＋＋＋123113355(3)(3)(3)222222=⨯++⨯++⨯+2121(3)22n n n --++⨯+L 1231[133353(21)3]2n n =⨯+⨯+⨯++-⨯L1[135(21)]2n +++++-L 123211[133353(21)3]22n n n =⨯+⨯+⨯++-⨯+L ． 法一：令123133353(21)3nS n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ， 则3S =++++2311333(23)3(21)3nn n n +⨯⨯-⨯-⨯L ，两式相减得:=++++23123232323(21)3nn S n +-⨯⨯⨯--⨯L ，113(13)23(21)3213n n S n +⎡⎤-=-⨯---⨯⎢⎥-⎣⎦ 113(13)3(21)32n n n +⎡⎤=------⨯⎣⎦ 1112(1)36(1)332n n n n ++⎡⎤=---⨯-=-⨯+⎣⎦,代入得+++1122n n a k a k a k L 121211(1)33(1)33222n n n n n n ++-⋅++⎡⎤=⨯-⨯++=⎣⎦． 法二：因为1(21)3[(1)2]3(2)3kk k k k k +-⨯=+-⨯--⨯1(1)3k k +=-⨯-(2)3k k -⨯．所以213243[03(1)3][1303][2313]S =⨯--⨯+⨯-⨯+⨯-⨯1[(1)3(2)3]n n n n +++-⨯--⨯L 1(1)33n n ⨯＋＝－＋．代入得1122n n a k a k a k ⋯+++121211(1)33(1)33222n n n n n n ++-⋅++⎡⎤=⨯-⨯++=⎣⎦. 5．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知{}n a 是等差数列，其前n项的和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4421a b +=，4430S b +=. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记*,n n n c a b n =∈N ，求数列{}n c 的前n 项和.【考点】数列的求和，数列递推式.【解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由112a b ==，得4a =2+3d ，342b q =，486S d =+由条件4421a b +=，4430S b +=，得方程组332322186230d q d q ⎧++=⎨++=⎩解得12d q =⎧⎨=⎩ 所以*12n n n a n b n =+=∈N ，，. (2)由题意知，(1)2nn c n =+⨯.记123n n T c c c c =++++L .则123n n T c c c c =++++L =231223242212n n n n -⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L （）， 23412223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L （），所以2311=22(2222)(1)2n n n n T n -+-⨯+++++-+L ，1*2()n n T n n +=⨯∈N .6. （15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知{n a }为等比数列，其中1a =1，且2354a a a a +，，成等差数列． （1）求数列{n a }的通项公式：（2）设21n n b n a =⋅（﹣），求数列{n b }的前n 项和n T ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【解】（1）设在等比数列{n a }中，公比为q ， ∵11a =，且2354a a a a +，，成等差数列，∴35242a a a a +=+（）， ∴2432q q q q +=+（），和为________． 【答案】 75 8．已知函数()22,n n f n n n ⎧⎨-⎩当为奇数时＝,当为偶数时，且()(1)n a f n f n ＝＋＋，则123100+a a a a +L ＋＋等于________． 【答案】 100【分析】 由题意，得123100+a a a a +L ＋＋＝2222222222221223344599100100101------L ＋＋＋＋＋＋ ＝(12)(32)(99100)(101100)--L ＋＋＋＋＋＋＋ ＝(1299100)(23100101)-L L ＋＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝5010150103100-⨯⨯＋＝.9．数列12a ＋，L ，2k a k ＋，L ，1020a ＋共有十项，且其和为240，则1a L ＋＋10k a a L ＋＋的值为________． 【答案】 130 【分析】1a L ＋＋10k a a L ＋＋＝240－(2＋L ＋2k ＋L ＋20)＝240－10．(2015·泰州质检)已知数列{}n a 满足11a ＝，*12()n n n a a n ⋅∈N ＋＝，则2016S =________. 【答案】 1008323⋅-∴201612345620152016S a a a a a a a a L ＝＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝13520152462016()()a a a a aa a a L L ＋＋＋＋＋＋＋＋＋12．(2015·扬州测试)在数列{}n a 中，11a ＝，1(1)(1)n n n a a -＋＝＋，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2013S ＝________. 【答案】 －1005【分析】 由11a ＝，1(1)(1)n n n a a -＋＝＋可得22a -＝，31a -＝，40a ＝，51a ＝, 该数列是周期为4的数列，所以20131234 2 013503()503(2)1S a a a a a ⨯-＝＋＋＋＋＝＋＝ 1005-.13．(2014·济南模拟)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3224S S ＝＋，536a ＝.(1)求n a ，n S ；【解】(1)因为3224S S ＝＋，所以14a d --＝， 又因为536a ＝，所以1436a d ＋＝.解得d ＝8，14a ＝，所以48(1)84n a n n --＝＋＝，(2)241(21)(21)n b n n n --＝＝＋，14．(2015·石家庄模拟)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且122a a ⋅＝，3432a a ⋅＝.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为2*()n S n n ∈N ＝，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和．【解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得21251232a q a q ⎧=⎨=⎩，又∵10a ＞，0q ＞，解得112a q =⎧⎨=⎩，∴12n n a －＝.(2)由2n S n ＝得()21(1)2n S n n --＝≥，∴当2n ≥时，121n n n b S S n ---＝＝，当n ＝1时，11b ＝符合上式， ∴*21()n b n n -∈N ＝，∴1(21)2n n n a b n -⋅-⋅＝.12113252(21)2n n T n -=+⋅+⋅++-⋅L ，2312123252(23)2(21)2n n n T n n ⋅⋅⋅-⋅-⋅L －＝＋＋＋＋＋，两式相减得2112(222)(21)2(23)23n n n n T n n ----⋅--⋅-L ＝＋＋＋＋＝， ∴(23)23nn T n -＝＋.15．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n --＋＋＝，则{}n a 的前60项和为________．【答案】 1830【分析】 ∵1(1)21nn n a a n --＋＋＝，∴211a a ＝＋，312a a -＝，417a a -＝，51a a ＝，619a a ＝＋，712a a -＝，8115a a -＝， 91a a ＝，10117a a ＝＋，1112a a -＝，12123a a -＝，L ，571a a ＝，581113a a ＝＋， 5912a a -＝，601119a a ＝－，所以111333n n nn a a q --⨯＝＝＝，前n 项和，则21S ＝________. 【答案】 6偶数项分别相等，则2111a a ＝＝，211234()()S a a a a L ＝＋＋＋＋1920()a a ＋＋ 18．(2015·长沙模拟)已知函数()()2cos f n n n π＝，且()(1)n a f n f n ＝＋＋，则12a a ＋3100a a L ＋＋＋＝________.【答案】 －100【分析】 若n 为偶数，则()22(1)(1)(21)n a f n f n n n n --＝＋＋＝＋＝＋，为首项为25a -＝，公差为4-的等差数列；若n 为奇数，则()(1)n a f n f n ＝＋＋＝ 22(1)21n n n -＋＋＝＋，为首项为13a ＝，公差为4的等差数列．所以123100139924100()()a a a a a a a a a a L L L ＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋________． 【答案】5即S ＝5. 20．在数列{}n a 中，15a -＝，22a -＝，记()12n A n a a a L ＝＋＋＋，()23B n a a ＝＋1n a L ＋＋＋，()*342()n C n a a a n ∈N L ＋＝＋＋＋，若对于任意*n ∈N ，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}||n a 的前n 项和．【解】(1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列， ∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得2121253n n a a a a ---＋＋＝＝＋＝， ∴数列{}n a 是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴53(1)38n a n n ---＝＋＝. (2)38,2||=38,3n n n a n n -+⎧⎨-⎩≤≥，记数列{}||n a 的前n 项和为n S .21. (2014·广州综测)已知等差数列{}n a 的前n 项和为2()n S n pn q p q ∈R ＝＋＋，，且2a ，3a ，5a 成等比数列．(1)求p ，q 的值；(2)若数列{}n b 满足22log log n n a n b ＋＝，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解】(1)当n ＝1时，111a S p q ＝＝＋＋， 当2n ≥时，1n n n a S S -－＝＝22[(1)(1)]n pn q n p n q ---＋＋＋＋ ＝21n p -＋. ∵{}n a 是等差数列，∴1＋p ＋q ＝2×1－1＋p ，得q ＝0. 又23a p ＝＋，35a p ＝＋，59a p ＝＋， ∵2a ，3a ，5a 成等比数列，∴2325a a a =，即2(5)(3)(9)p p p ＋＝＋＋，解得p ＝－1. (2)由(1)得22n a n -＝. ∵22log log n n a n b ＋＝，∴221224n an n n b n n n --⋅⋅⋅＝＝＝.∴1231n n n T b b b b b -L ＝＋＋＋＋＋0122142434(1)44n n n n --⨯⨯⋅⋅L ＝＋＋＋＋－＋，① 1231442434(1)44n n n T n n -⨯⨯-⋅⋅L ＝＋＋＋＋＋，②①－②得0121344444n nn T n ---⋅L ＝＋＋＋＋。