2013高中数学 第3章归纳总结同步导学案 北师大版必修5

第三章归纳总结

知识结构

知识梳理

一、不等关系

1.不等关系体现在日常生活中的方方面面，在数学意义上，不等关系可以体现：

（1）常量与常量之间的不等关系；

（2）变量与变量之间的不等关系；

（3）函数与函数之间的不等关系；

（4）一组变量之间的不等关系.

2.实数比较大小的方法：作差法

（1）a-b>0⇔a>b;

（2）a-b=0⇔a=b;

（3）a-b<0⇔a

要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号（仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要）.在具体判断两个实数（或代数式）的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如因式分解、配方法等.对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定.

3.不等式的性质（补充内容）

（1）a>b⇔b

（2）a>b,b>c⇒a>c;

（3）a>b⇔a+c>b+c；

（5）a >b,c >d ⇒a+c >b+d ; （6）a >b >0,c >d >0⇒ac >bd ; （7）a >b >0⇒a n >b n

(n ∈N +且n >1); （8）a >b >0⇒n a >n b (n ∈N +且n >1).

对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用“似乎”、“是”、“很显然”的理由代替不等式的性质.

二、一元二次不等式

1.一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集：

一般地，使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集.

2.解一元二次不等式的步骤：

常用数形结合法解一元二次不等式，步骤：

（1）当a >0时，解形如ax 2

+bx+c >0(≥0)或ax 2

+bx+c <0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定方程ax 2

+bx+c ＝0的解； ②画出对应函数y=ax 2

+bx+c 的简图； ③借助于图像的直观性写出不等式的解集.

（2）特别地，若a <0时，还可先运用不等式的性质将其化成正数，再解不等式. 3.一元二次不等式的解法技巧：

（1）解一元二次不等式ax 2

+bx+c >0(或<0)，当a >0时，若相应一元二次方程的判别式Δ>0，则求两根或分解因式，根据“大于在两边，小于夹中间”写出解；若Δ＝0或Δ<0，这是特殊情形，利用相应一元二次函数的图像写出不等式的解集.

（2）对于含参不等式，在求解过程中，注意不要忽视对其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根的大小进行分类讨论.

4.分式不等式与一元二次不等式的关系 设a

b

x a

x -- >0等价于(x-a )(x-b )>0, b

x a

x --<0等价于(x-a )(x-b )<0, (x-a )(x-b )≥0

b

x a

x --≥0等价于 x-b ≠0

(x-a )(x-b )≤0

a

x -≤0等价于

x-b ≠0

分式不等式解法的实质是转化，把分式不等式转化为整式不等式来求解，需要注意分式有意义即分母不为零，也可将分式不等式转化为两个不等式组的并集，继而求出其解集.

5.简单的一元高次不等式f (x )>0用数轴标根法（或称区间法、穿根法）求解，其步骤是：①将f (x )的最高次项的系数化为正数；

②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；

③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次用曲线把每个根串联起来； ④根据曲线呈现出f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集； ⑤奇次根依次穿过，偶次根穿而不过. 三、基本不等式

1.几个重要的基本不等式:

(1)a 2

+b 2

≥2ab (a,b ∈R ); (2)

2

b

a +≥a

b （a,b ∈R +）; (3)

a b +b

a

≥2（a 与b 同号）； (4)a +

a 1

≥2（a >0）,a +a

1≤-2（a <0）; (5)ab ≤（

2

b a +）2

(a,b ∈R ). 2.利用基本不等式求最值.

(1)利用基本不等式求最值，利用均值不等式求最值常见的有： ①已知某些变量（正数）的积为定值，求和的最小值. ②已知某些变量（正数）的和为定值，求积的最大值. (2)利用基本不等式应注意的问题: ①各数（或式）均为正； ②和或积为定值；

③等号能成立.即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.

(3)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”、将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.

3.创设应用基本不等式的条件

（1）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需构造出“积为定值”或“和为定值”.

（2）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.