数字信号处理习题集(附答案)13576汇编
第一章数字信号处理概述
简答题：
1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？
答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。
在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。
判断说明题：
2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）答：错。需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理
理论，对信号进行等效的数字处理。（）
答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字
长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章 离散时间信号与系统分析基础
一、连续时间信号取样与取样定理
计算题：
1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混迭效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。
（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。
解 （a ）因为当0)(8=≥ω
πωj e H rad 时，在数 — 模变换中
)(1)(1)(T
j X T
j X T
e Y a a j ωω=Ω=
所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为
8
π
=
ΩT c
因此 Hz T
f c c 625161
2==Ω=
π
由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T
π，因此对T
8π没有影响，
故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。
（b ）采用同样的方法求得kHz 201=，整个系统的截止频率为 Hz T
f c 1250161==
二、离散时间信号与系统频域分析
计算题：
1．设序列)(n x 的傅氏变换为
)(ωj e X ，试求下列序列的傅里叶变换。 （1）)2(n x （2）)(*n x （共轭） 解：（1）)2(n x 由序列傅氏变换公式 DTFT ∑∞
-∞
=-=
=n n
j j e
n x e X n x ωω)(()]([)
可以得到
DTFT 2
)()2()]2([n j n n jn e
n x e
n x n x '
-∞
-∞
='-∑∑'=
=
ωω
为偶数
)()(2
1
)(2
1)(21)(21)(21)]()1()([2
122)2(2
)2
(2
2ωωπω
ωπω
ωωj j j j n j n n jn n j n
n e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+=+=-+=++-∞
-∞=∞-∞=--∞
-∞=∑∑∑
（2）)(*n x （共轭）
解：DTFT )(**])([)(*)(*ωωω
j n n jn jn e X e n x e
n x n x -∞
-∞
=∞
-∞
=-===
∑
∑
2．计算下列各信号的傅里叶变换。
（a ）][2n u n
- （b ）]
2[)41
(+n u n
（c ）]24[n -δ （d ）n
n )
21(
解：（a ）∑∑-∞
=--∞
-∞
==
-=
2
][2)(n n j n
n
j n n
e e
n u X ωωω
ω
ωj n
n j e e 2
111)2
1(0-=
=∑∞
=
（b ）∑∑∞
-=--∞
-∞==+=2
)41(]2[41)(n n j n n
j n n e e n u X ωωω）（ ωω
ωj j m m j m e e e -∞
=---==∑4
1116)41(20
)2(2 （c ）ωωωδω2]24[][)(j n n
j n
j n e e
n e
n x X -∞
-∞
=--∞
-∞==-=
=
∑∑
（d ）]12
111
2111[21)(?--+-==--∞
-∞=∑ω
ωωωj j n j n n e e e X
）（ 利用频率微分特性，可得
22)2
11(121)211(121)
()(ωω
ωωω
ωωj j j j e e e e d X d j
X ---+--=-=
3．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jw
e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）)(*
n x - （2）)](Re[n x (3) )(n nx
解： （1）)(*])([)(*)
(*
jw n n jw n jwn
e X e
n x e
n x =-=
-∑∑∞
-∞
=--∞
-∞
=-
（2）∑∑∞
-∞
=-*-*
∞
-∞=-+=+=
n jw jw jwn n jwn
e X e X e n x
n x e
n x )]()([2
1
)]()([21
)](Re[
（3）dw e dX j e n x dw d j dw e n dx j e
n nx jw n jwn
n jwn n jwn
)()()(1)(==-=∑∑∑∞-∞=-∞
-∞
=-∞
-∞
=- 4．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jw
e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）)(n x * （2）)](Im[n x j (3) )(2
n x
解：（1）)(])([])([)()())((jw n n w j n n w j n jwn
e X e n x e
n x e
n x -**∞
-∞
=--∞
-∞
=*
---∞
-∞
=-*
===
∑∑∑
（2）
[]
)()(2
1
)()(21])()([21)]()([21)(jw jw n n w j jw
n n jwn jwn jwn n e X e X e n x e X e n x e n x e n x n x -**
∞-∞=--∞-∞=∞-∞=-*--∞
-∞=*-=
???
???????? ??-=-=--∑∑∑∑
（3）
)()(21)()(21)()(21
)()()(2
jw j w j j n n n w j j n jwn
e X e X d e X e X e n x d e X e
n x *==?
?
????=?∑?∑∑--∞
-∞=-
∞
-∞=--∞
-∞
=-θπ
π
θθπ
π
θθ
π
θπθ
π
5．令)(n x 和)(jw e X 表示一个序列及其傅立叶变换，利用
)(jw
e X 表示下面各序列的傅立叶变换。
（1）)2()(n x n g =
（2）()?
??=为奇数为偶数
n n n x n g 02)(
解：（1）∑∑∑∞
-∞
=-∞
-∞
=-∞
-∞
=-=
=
=
为偶数
k k w k j n jnw
n jnw
jw
e
k x e
n x e
n g e G 2
)()2()()(