专题：椭圆的离心率解法大全

[解析]
5，在 中， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 ．
【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率
[解析] ， ，
6，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上存在一点 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为．
[解析]∵在 中，由正弦定理得 ，则由已知，得 ，即 ，∴ ，由椭圆的定义知 ，∴ ，
解法6：巧用图形的几何特性
由，知点P在以为直径的圆上。
又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，故有
变式(1)：圆 + =1(a>b >0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1,求椭圆的离心率e
分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
变式(5)：8、椭圆 上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则椭圆的离心率的取值范围为
解析：设 为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形 为平行四边形且为矩形， ， ， ，所以 ，由 得 。
6，如图，在平面直角坐标系 中， 为椭圆 的四个顶点， 为其右焦点，直线 与直线 相交于点T，线段 与椭圆的交点 恰为线段 的中点，则该椭圆的离心率为.
∴a2=5c2e=
变式(3):将上题中的条件“PF2∥AB”变换为“ ∥ ( 为坐标原点)”
相似题：椭圆 + =1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?
解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜=
a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0 两边同除以a2e2+e-1=0 e= e= (舍去)
变式(1):椭圆 + =1(a>b >0)，e= , A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？
点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°
引申：此类e= 的椭圆为优美椭圆。
性质：（1）∠ABF=90°
（2）假设下端点为B1,则ABFB1四点共圆。
解：连接PF2,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°图形如上图，e= -1
变式（2） 椭圆 + =1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2∥AB,求椭圆离心率？
解：∵｜PF1｜= ｜F2F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a PF2∥AB ∴ = 又 ∵b=
解：以AD所在直线为X轴，AD中点为坐标原点建立坐标系。设正六边形的边长为r，则椭圆的半焦距 ，易知ΔAOF为等边三角形，∴F（ ，代入椭圆方程 中，得： ，
∴ ，即：
，又法二：如图，连结 NhomakorabeaE，易知 ，设 ，由椭圆定义，
有： ， ，∴
10，椭圆 + =1(a>b >0)，过左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求椭圆的离心率e的值
思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e
解法一：F1（-c，0）F2(c,0) P( ,y0) M( , )
既( , ) 则 1=-( +c, y0)
2=-( -c, ) 1· 2=0( +c, y0) ·( -c, )=0
( +c)·( -c)+ =0a2-3c2≤0 ∴ ≤e<1
解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c ｜PF2｜≥ -c 则2c≥ -c 3c≥ 3c2≥a2则 ≤e<1
即 ，由解法三知 ∴椭圆的离心率 。
7，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为椭圆 上任意一点，且 的最大值的取值范围是 ，其中 ，则该椭圆的离心率的取值范围为．
[解析]：设 ，则 ，而
,∴ 的最大值为 ，
∴
8，在平面直角坐标系中，椭圆 1( 0)的焦距为2，以O为圆心， 为半径作圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 =
解：∴c<ba2=b2+c2>2c2∴0<e<
如图所示,画图可知点 的轨迹是以 为直径的圆，则它在椭圆内部,故 ,
8，椭圆 + =1(a>b >0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P为右准线L：x= 上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，求e的取值范围？
分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。
解：由正弦定理： =
根据和比性质：
= 变形得： = =e
∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°e= =
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=
变式(2)：椭圆 + =1(a>b >0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求椭圆离心率e的取值范围？
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，两式联立得T的坐标 ，所以中点M的坐标为 ，因为点M在椭圆上，代人方程得 则 所以
7，椭圆 + =1(a>b >0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，满足 1· 2=0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？
分析：∵ 1· 2=0∴以F1F2为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。
9，设椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，方程 的两个实根分别为 和 ，则点 （ A ）
Ａ．必在圆 Ｂ．必在圆 上
Ｃ．必在圆 外Ｄ．以上三种情形都有可能
总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。
9，如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是
（3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
变式(2):椭圆 (a＞b＞0)的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e= ．
提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c，又等于直角三角形AOB斜边上的高，∴由面积得： ，但
4，设椭圆 的左、右焦点分别为 ，如果椭圆上存在点P，使 ，求离心率e的取值范围。
[解析]由 ，椭圆 的离心率为
5，已知 则当mn取得最小值时，椭圆 的的离心率为
6，设椭圆 =1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 。
二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率
1，在 ABC中， ， ，如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率
专题：椭圆的离心率
一，利用定义求椭圆的离心率（ 或 ）
1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率
2，椭圆 的离心率为 ，则
[解析]当焦点在 轴上时， ； 当焦点在 轴上时， ，
综上 或3
3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
4，已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆 的离心率为
2，如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线 与BF交于D,且 ,则椭圆的离心率为( )
[解析]
3，以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是
变式（1）：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是
分析：上题公式直接应用。
解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-αe= = =
≥ ∴ ≤e<1
变式(3)：过椭圆 ( )的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为右焦点，若 ，则椭圆的离心率e的值
解析：因为 ，再由 有 从而得
变式(4)：若 为椭圆 的长轴两端点， 为椭圆上一点，使 ，求此椭圆离心率的最小值。{ }
解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m
在△AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得： 两式相除 = e=
练习题：
1，椭圆 上有一点M， 是椭圆的两个焦点，若 ，求椭圆的离心率.
解析: 由椭圆的定义，可得 又 ，所以 是方程 的两根，由 ， 可得 ，即 所以 ，所以椭圆离心率的取值范围是
解：设
法1：利用椭圆范围。
由 得 ，将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 。
由椭圆的性质知 ，得 。
附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似）
法2：判别式法。
由椭圆定义知，又因为 ，
可得 ，则 ，
， 是方程 的两个根，则
解法3：正弦定理
设记
又因为 ，且 则
则 ，
所以
解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有平方后得
2，在 中， ， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 ．
[解析]
3，已知 为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若 , 则此椭圆的离心率为_________.
[解析] [三角形三边的比是 ]
4，在平面直角坐标系中，椭圆 1( 0)的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 =．
4,椭圆 + =1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？
解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜= c c+ c=2a ∴e= = -1