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椭圆的离心率标准方程
椭圆的离心率标准方程首先，我们来了解一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆的离心率e定义为焦距与长轴长度的比值，即e=c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。
离心率描述了椭圆形状的“瘦胖”程度，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
接下来，我们来推导椭圆的离心率标准方程。
设椭圆的两个焦点分别为F1（c,0）和F2（-c,0），椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点P（x,y）到两个焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1|+|PF2|=2a。
根据距离公式，可以得到：√((x-c)²+y²)+√((x+c)²+y²)=2a。
整理得到：(√((x-c)²+y²))²+(√((x+c)²+y²))²=4a²。
化简得到：(x-c)²+y²+(x+c)²+y²=4a²。
化简得到：2x²+2y²+2c²=4a²。
除以2得到：x²/a²+y²/b²=1。
这就是椭圆的标准方程。
在标准方程中，a和b分别代表椭圆的长轴半径和短轴半径，c代表焦距的一半。
通过标准方程，我们可以直观地看出椭圆的形状和大小，进而计算出椭圆的离心率。
最后，我们来计算椭圆的离心率。
根据前面的定义，椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。
根据标准方程x²/a²+y²/b²=1，可以得到c²=a²-b²，代入离心率的定义式中，得到：e=√(1-b²/a²)。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）A. 10B. 5C.310D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。
二、变用公式)c e a =双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34C.45D.23 分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。
1.设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A. C. D.解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即224b a =e ∴===2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A ．B ．C ．D ． 答案：C【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，，，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ，即224b a =，e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．【解析】因为，再由有即2223b a =从而可得e ∴===B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
求解椭圆离心率的常见方法
ʏ河南省郑州市第二高级中学 韦道田椭圆的离心率是椭圆的重要几何性质之一,下面就求解椭圆的离心率(或取值范围)给出几种重要方法,供同学们参考㊂一㊁利用椭圆离心率的定义求解例1 (1)在平面直角坐标系中,椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径的圆,过点P a2c ,0作圆的两条切线且互相垂直,则离心率e =㊂(2)设M 为椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上一点,F 1,F 2为两个焦点,过M 作M F 1ʅx 轴,且øF 1M F 2=60ʎ,则椭圆的离心率为( )㊂A.12 B .22 C .33 D .32图1解析:(1)如图1,切线互相垂直,又半径O A ʅP A ,所以әO A P 是等腰直角三角形㊂因为2c=2,即c =1,所以a 2c=a 2,|O P |=2|O A |,a 2=2a ,则a =2㊂所以e =c a =22㊂(2)设|M F 1|=d ,因为øF 1M F 2=60ʎ,所以|M F 2|=2d ,|F 1F 2|=3d ㊂因此e =2c 2a =|F 1F 2||M F 1|+|M F 2|=3d d +2d =33,选C ㊂点评:e =2c2a =|F 1F 2||P F 1|+|P F 2|,其中F 1,F 2为椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点㊂二㊁利用圆锥曲线的统一定义求解依据e =|M F |d ,其中|M F |表示椭圆上的点M 到焦点F 的距离,d 表示椭圆上的点M 到焦点F 相应准线l 的距离㊂例2 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )㊂A.2 B .22 C .12 D .24解析:设过焦点F 1且垂直于长轴的弦为A B ,则|A B |=2㊂焦点F 1到准线l 的距离为1,则点A 到l 的距离也为1㊂由圆锥曲线的统一定义得离心率e =|A F 1|1=22,选B ㊂点评:利用圆锥曲线的统一定义,可以较快地求出圆锥曲线的离心率㊂三㊁构造离心率的方程(不等式)求解例3 (1)已知A ,B 为椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴与短轴端点,F 为一个焦点,若A B ʅB F ,则该椭圆的离心率为( )㊂A.-1+52 B .1-22C .2-1D .22(2)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.左㊁右焦点分别为F 1(-c ,0)㊁F 2(c ,0),若椭圆上存在点P ,使a s i n øP F 1F 2=cs i n øP F 2F 1,则该椭圆离心率的取值范围为㊂解析:(1)在R tәA B F 中,|A F |2=|A B |2+|B F |2,即(a +c )2=(a 2+b 2)+(b 2+c 2)㊂因为e =c a,所以整理得e 2+e -1=0,e =-1+52,选A ㊂(2)由已知条件及正弦定理求得|P F 1|=ca|P F 2|㊂又|P F 1|+|P F 2|=2a ,则|P F 2|=2a 2c +a ㊂由|P F 2|<a +c ,得2a2c +a<a +c ,即e 2+2e -1>0㊂结合0<e <1,解得2-1<e <1㊂点评:如果直接求解椭圆离心率的值(或取值范围)有困难,那么可以通过构造离心率的方程(或不等式)求解㊂四㊁利用数形结合思想求解例4 ʌ第12届希望杯 试题ɔ设F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P ,使øF 1P F 2=120ʎ,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂图2解析:如图2,当点P 与短轴端点B 重合时,øF 1P F 2最大㊂于是得øF 1P F 2ȡ120ʎ,故t a n øF 1P O ȡt a n 60ʎ=3,即cbȡ3㊂所以e =c a =cb 2+c 2=1bc2+1ȡ113+1=32㊂又0<e <1,所以32ɤe <1㊂点评:利用数形结合思想求椭圆的离心率e ,可回避繁杂的推理与计算过程㊂五㊁利用椭圆的光学性质求解例5 ʌ第一届 希望杯 高二试题ɔ椭圆的两个焦点是F 1(3,-6),F 2(6,3),一条切线方程为4x =3y ,这个椭圆的离心率是㊂解析:设切点为P ,切线为l ,作F 1㊁F 2关于l 的对称点F 1'㊁F 2',则由椭圆的光学性质知点P 是等腰梯形F 1F 2F 2'F 1'对角线的交点,对角线的长应等于椭圆长轴的长㊂由点到直线的距离公式,得F 1㊁F 2到直线l 的距离分别为6㊁3,可见梯形上㊁下底长分别为6㊁12㊂该等腰梯形的腰长即椭圆的焦距310㊂利用6,12,310,求出梯形的对角线长为92,从而得到椭圆的离心率e =31092=53㊂练一练:1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,则椭圆的离心率是( )㊂A.12 B .32 C .34 D .642.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且B F ʅx 轴,直线A B 交y 轴于点P ㊂若A Pң=2P B ң,则椭圆的离心率是( )㊂A.32 B .22 C .13 D .123.已知F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,满足M F 1ң㊃M F 2ң=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )㊂A.(0,1) B .0,12C .0,22D .22,14.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点F 且倾斜角为60ʎ的直线交椭圆于A ,B 两点,若|F A |=2|F B |,则椭圆的离心率等于( )㊂A.33 B .22 C .12 D .23参考答案:1.A2.D3.C4.D(责任编辑 徐利杰)52解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
椭圆的离心率的计算公式
椭圆的离心率的计算公式椭圆是一种常见的几何图形，具有很多独特的性质和特点。
其中一个重要的性质就是离心率，它能够描述椭圆形状的“瘦”或“胖”程度。
在本文中，我们将介绍椭圆的离心率的计算公式以及其相关的概念和应用。
离心率（eccentricity）是衡量椭圆形状的一个重要参数，它定义为焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长度的比值。
离心率的计算公式如下：e = c/a其中，e表示椭圆的离心率，c表示焦点到椭圆中心的距离，a表示椭圆的半长轴长度。
根据离心率的定义，我们可以得出以下几个结论：1. 当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆。
因为此时焦点到椭圆中心的距离等于0，即焦点和中心重合。
2. 当离心率0<e<1时，椭圆是一个真正的椭圆，且焦点位于椭圆长轴上。
离心率越接近0，椭圆越接近于一个圆。
3. 当离心率e=1时，椭圆退化为一个特殊的椭圆，称为抛物线。
此时焦点位于无限远处，无法测量。
4. 当离心率e>1时，椭圆退化为一个双曲线。
离心率越大，椭圆越“瘦长”。
离心率不仅仅是一种几何概念，它在很多领域都有广泛的应用。
下面我们将介绍几个与离心率相关的实际应用。
1. 天体运动：离心率在天文学中有重要的应用。
行星、彗星和卫星的轨道都可以用椭圆来描述，而离心率则能够描述轨道的形状。
例如，地球的离心率约为0.0167，说明地球的轨道接近一个圆。
2. 工程设计：在工程领域，离心率常常用于描述椭圆形的结构，例如天桥的拱形设计。
离心率的选择会直接影响结构的稳定性和承载能力。
3. 天文观测：离心率也可以用于描述彗星的形状和轨道。
彗星的离心率通常较大，可以通过离心率的计算来预测彗星的轨道和运动轨迹。
4. 集中度分析：离心率在集中度分析中有重要的应用。
例如，在人口分布研究中，可以使用离心率来描述城市的集中程度和人口的分布情况。
椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它能够衡量椭圆的“瘦”或“胖”程度，并在很多领域有广泛的应用。
椭圆离心率求法大全
椭圆离心率求法大全
椭圆离心率又叫做偏心率，是衡量椭圆的对称性的重要特征值，表示椭圆的离心程度，离心率值越大椭圆形状越扁，可以表示为0≤E≤1，其中较接近圆形的图形偏心率接近0，而较远离圆形图形的离心率则更接近1。
下面是求椭圆离心率的公式及求法：
（1）根据椭圆的标准方程：
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
，其中a为长轴，b为短轴，可以求出椭圆的离心率E，公式为：
（2）也可以根据椭圆的几何定义求出离心率：
椭圆的离心率按照以下公式求出：
其中，e表示椭圆的外径c与内径b的绝对值的差值，e=|c-b|。
（3）根据椭圆的离心率及长短轴的比值，可以得出椭圆的长轴a和短轴b的关系：
a=b/E
（4）可以根据椭圆的中心坐标和其上任意点坐标进行求椭圆离心率计算：
（i）得到椭圆的中心坐标（h,k），任意点坐标为（x,y），并设椭圆的离心率为E。
（ii）根据点（h,k）和点（x,y）求椭圆的半长轴长：
a = $\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}$
（iii）半短轴长可以求得：
（iv）根据半长轴长a及半短轴长b求离心率：
根据以上公式及求法，可以计算出椭圆的离心率。
注意，离心率在[0,1]之间，较接
近圆形的图形偏心率接近0，而较远离圆形图形的离心率则更接近1。
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椭圆的离心率为(
)
[解析] b ( b ) 1 a2 c2 ac e 5 1
ac
2
3，以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、N 两点，椭圆的左焦点为 F1，直线
MF1 与圆相切，则椭圆的离心率是 3 1
变式（1）：以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 M、N 两点，如果
22
m2
3
综上 m 16 或 3 3 3
3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
5
4，已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆 x2 y2 1的离心率为 mn
2n 2m n
[解析]由 n2 m2n mn 0
m 2 n 4 ，椭圆
x2 m
可得| PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 4c2 ，则| PF1 || PF2 | 2(a2 c2 ) 2b2 ，
PF1
，
PF2
是方程 z 2
2az
2b2
0 的两个根，则
4a2
8(a2
c2) 0 e2
c2 a2
1 2
e
2 2
解法 3：正弦定理
设记 PF1F2 ，PF2 F1 ，由正弦定理有
4
0 3 则 2 sin( ) 1，1 2 sin( ) 2
24
44 2
4
4
所以 2 e 1 2
解法 5：利用基本不等式由椭圆定义，有 2a | PF1|| PF2 | 平方后得 4a 2 | PF1|2 | PF2 |2 2| PF1|| PF2 | 2(| PF1|2 | PF2 |2 ) 2| F1F2 |2 8c2
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
专题讲座：椭圆离心率的常规求法(文)
a,c的齐次式，解出e. 2.思想方法：
方程的思想，转化的思想
六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长 成等差数列，求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆 长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角 三角形，求椭圆的离心率.
专题讲座
椭圆离心率的常规求法
刘帅帅
一.复习巩固
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法 例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1，求椭圆的离心率；
16 8
y
P
a
F1(-c,0)o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e 2. 几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
若椭圆x2 + y2 =1的离心率为1/2，求m的值.
四.高考链接
（ (a>2b0>102)新的课左标、全右国焦卷点），设P为F1直和线F2是x=椭3圆a ax上22 +一by点22 =，1
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形， 求该椭圆
的离心率。
y P
30°
2c
F1 (-c,0)o2c
F2
(c,0)
c
x
2c=3a/2
x=3a/2
五.小结
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一 点 ，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的 离心率。
变式训练2：
椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
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∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求 e?
分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。 ｜F1F2｜ ｜F1P｜ ｜PF2｜
解：由正弦定理：sin F1PF2 = sin F1F2P = sin PF1F2 根据和比性质： ｜F1F2｜ ｜F1P｜ + ｜PF2｜
sin F1PF2= sinF1F2P + sin PF1F2
A B
F
F
1
2
思路：A 点在椭圆外，找 a、b、c 的关系应借助椭圆，所以取 AF2 的中点 B，连接 BF1 ,把 已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2 分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜= 3c
c c+ 3c=2a ∴e= a= 3-1
x2 y2 变形 1：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ，点 P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角
椭圆离心率的解法
一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线 L 交 OA 于 B，P、Q 在椭圆 上，PD⊥L 于 D，QF⊥AD 于 F,设椭圆的离心率为 e，则
｜PF｜ ｜QF｜ ｜AO｜ ｜AF｜ ｜FO｜ ①e=｜PD｜②e=｜BF｜③e=｜BO｜④e=｜BA｜⑤e=｜AO｜
变形 1：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且
∠F1PF2 =60°，求 e 的取值范围？
分析：上题公式直接应用。
解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α
sin F1PF2
sin60°
e=sin F1F2P + sin PF1F2=sinα + sin(120° - α)=
P
F
F
O
2
O
1
F
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形，求椭圆离心率？
2 O
解：连接 PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜FOP｜,∠F1OPF2 =90°图形如上图，e= 3-1
22 O
x2 y2
O
变形 2: 椭圆a2 +b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、OF2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，
且 PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ O
O
O
O
B
P
O
O
A
F
F
O
O
1
2
O
O
O
O
b2 解：∵｜PF1｜= a ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a
｜PF1｜ b PF2 ∥AB ∴｜F2 F1｜= a 又 ∵b= a2 - c2
∴a2=5c2 e=
点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关 a 与 c 的 方程 式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形
的距离等于长半轴长。
总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角
形公式，列出有关 e 的方程式。 x2 y2
题目 3：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)，过左焦点 F1 且倾斜角为 60°的直线交椭圆与 AB 两点， 若｜F1A｜=2｜BF1｜,求 e?
解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m
1
1
1
2sin(α + 30°)≥2 ∴2≤e<1 x2 y2
变形 2：已知椭圆 4 + 4t2 =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M 为椭圆上任意一点（M 不与长
1α
β1
轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β 若3<tan 2 < tan 2 <2,求 e 的取值范围？
分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。
｜F1F2｜
sin F1PF2
变形得： ｜PF2｜ + ｜F1P｜ =sin F1F2P + sin PF1F2= 2c
=2a=e
∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° sin90°
e=sin75° + sin15° =
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 sin F1PF2
e=sin F1F2P + sin PF1F2 x2 y2
e2+e-1=0 e=
e= (舍去)
x2 y2
变形：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)，e= 求∠ABF？
, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，
点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
答案：90°
引申：此类 e= 的椭圆为优美椭圆。
性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为 B1 ,则 ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间
sin F1PF2
sin(α + β)
解;根据上题结论 e=sin F1F2P + sin PF1F2=sinα + sinβ = =
= =e
11-e1
11
∵3<1 + e<2 ∴3<e<2 三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找 e 所符合的关系式. x2 y2
题目 5：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)，斜率为 1，且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点，
→OA →OB →a OA +OB 与a =(3,-1)共线，求 e?
{ ) a2 –c2 = m(2a - c)
：2a - c
在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得： 2(a2 - c2) = m(2a + c) 两式相除 2a + c
12
=2 e=3
x2 y2
题目 4：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P 是以｜F1F2｜为直 径的圆与椭圆的一个交点，且
x2 y2 题目 2：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点， ∠ABF=90°，求 e?
B A
O F
解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜= a2 + b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以 a2
P D
Q
BA
F
O
B
B
B
评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 a2
∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜= c ∴有③。 x2 y2
题目 1：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ，以 F1F2 为边作正三角形，若椭圆恰 好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率 e？