椭圆离心率求法总结
椭圆常见结论求解离心率
椭圆离心率ace =的求法1.椭圆方程()01:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为F ,过F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为60°，FB AF 2=,求椭圆的离心率？（焦半径公式11ex a PF +=，22ex a PF -=的应用左加右减，弦长公式为直线的斜率k x x k d ,1212-+=）2.椭圆方程()01:2222>>=+b a b y a x C 的右焦点为F ,其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆的离心率的范围？（焦准距cb 2的应用）3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于c a ,的二元二次方程022=++pc nac ma 解法）4.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴上的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D ,且FD BF 2=,则C 的离心率为？（相似三角形性质：对应边成比例 的应用）5.过椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左焦点F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上，且x BF ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ，若PB AP 2=，则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用）6.过椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点，若︒=∠6021PF F ，则椭圆的离心率为？（椭圆焦三角形面积)(2tan 212PF F b S ∠==θθ）7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率？（椭圆基本性质222c b a +=的应用）8.椭圆1422=+y x 的离心率为?（椭圆基本性质222c b a +=的应用）9.椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的焦点为21,F F ，两条准线与x 轴的交点为N M ,，若212F F MN ≤，则该椭圆的离心率的取值范围是？（椭圆基本性质222c b a +=的应用）10.设21,F F 分别是椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距cb 2；垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；三角形性质：两边之和大于第三边 应用）11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为？（通径ab 22，焦准距c a 2）12.已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a =，则该椭圆的离心率的取值范围是？（正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，第一定义a PF PF 221=+）13.在平面直角坐标系中，2121,,,B B A A 为椭圆的四个顶点，F 为其右焦点，直线21B A 与直线F B 1相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为？ （直线方程交点坐标）14.在ABC ∆中，187cos ,-==B BC AB .若以B A ,为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率为？（余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，第一定义）15.已知正方形ABCD ，则以B A ,为焦点，且过两点D C ,的椭圆的离心率为？（通径ab 22）16.已知椭圆的焦距为c 2，以点O 为圆心，a 为半径作圆M 。
求椭圆离心率的方法
求椭圆离心率的方法椭圆的离心率是描述椭圆形状程度的一个数值，它是一个无量纲量，通常用字母e表示。
离心率的计算是通过椭圆的半长轴和半短轴来推导得到的。
首先，我们需要明确椭圆的定义。
椭圆是一个平面上的封闭曲线，它的形状类似于拉长的圆。
椭圆具有一对焦点（F1和F2），而且椭圆上的每一点到这两个焦点的距离之和是一个常数（2a）。
椭圆的长轴是连接两个焦点的直线段，并通过椭圆的中心点，而短轴则是与长轴垂直且通过椭圆的中心点的线段。
椭圆的离心率可以通过椭圆的半长轴（a）和半短轴（b）来计算。
半长轴表示椭圆长轴的一半，即半长轴等于长轴长度的一半，记作a；半短轴表示椭圆短轴的一半，即半短轴等于短轴长度的一半，记作b。
离心率的计算公式如下：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，e表示椭圆的离心率，b表示椭圆的半短轴长度，a表示椭圆的半长轴长度。
举个例子来说明，假设一个椭圆的半长轴的长度是4，半短轴的长度是2，我们可以通过公式来计算其离心率。
首先，计算a的平方：a^2 = 4^2 = 16然后，计算b的平方：b^2 = 2^2 = 4接下来，将b的平方除以a的平方：b^2/a^2 = 4/16 = 1/4最后，计算1减去b的平方除以a的平方的结果：1 - (1/4) = 3/4最后，我们取这个结果的平方根：√(3/4) ≈0.866因此，这个椭圆的离心率约为0.866。
我们可以看到，椭圆的离心率范围是0到1之间的实数，并且离心率越接近于0，椭圆的形状越趋近于圆；离心率越接近于1，椭圆的形状越趋近于长条形。
另外，如果我们已知椭圆的焦距（c）和长轴的长度（2a），也可以通过这些参数来计算椭圆的离心率。
这个计算公式为：e = c/a其中，e表示椭圆的离心率，c表示焦距的长度，a表示长轴的长度。
以上就是计算椭圆离心率的两种方法，通过半长轴和半短轴的长度或者通过焦距和长轴的长度都能得到椭圆的离心率。
椭圆的离心率标准方程
椭圆的离心率标准方程首先，我们来了解一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆的离心率e定义为焦距与长轴长度的比值，即e=c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。
离心率描述了椭圆形状的“瘦胖”程度，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
接下来，我们来推导椭圆的离心率标准方程。
设椭圆的两个焦点分别为F1（c,0）和F2（-c,0），椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点P（x,y）到两个焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1|+|PF2|=2a。
根据距离公式，可以得到：√((x-c)²+y²)+√((x+c)²+y²)=2a。
整理得到：(√((x-c)²+y²))²+(√((x+c)²+y²))²=4a²。
化简得到：(x-c)²+y²+(x+c)²+y²=4a²。
化简得到：2x²+2y²+2c²=4a²。
除以2得到：x²/a²+y²/b²=1。
这就是椭圆的标准方程。
在标准方程中，a和b分别代表椭圆的长轴半径和短轴半径，c代表焦距的一半。
通过标准方程，我们可以直观地看出椭圆的形状和大小，进而计算出椭圆的离心率。
最后，我们来计算椭圆的离心率。
根据前面的定义，椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。
根据标准方程x²/a²+y²/b²=1，可以得到c²=a²-b²，代入离心率的定义式中，得到：e=√(1-b²/a²)。
求解椭圆离心率的常见方法
ʏ河南省郑州市第二高级中学 韦道田椭圆的离心率是椭圆的重要几何性质之一,下面就求解椭圆的离心率(或取值范围)给出几种重要方法,供同学们参考㊂一㊁利用椭圆离心率的定义求解例1 (1)在平面直角坐标系中,椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径的圆,过点P a2c ,0作圆的两条切线且互相垂直,则离心率e =㊂(2)设M 为椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上一点,F 1,F 2为两个焦点,过M 作M F 1ʅx 轴,且øF 1M F 2=60ʎ,则椭圆的离心率为( )㊂A.12 B .22 C .33 D .32图1解析:(1)如图1,切线互相垂直,又半径O A ʅP A ,所以әO A P 是等腰直角三角形㊂因为2c=2,即c =1,所以a 2c=a 2,|O P |=2|O A |,a 2=2a ,则a =2㊂所以e =c a =22㊂(2)设|M F 1|=d ,因为øF 1M F 2=60ʎ,所以|M F 2|=2d ,|F 1F 2|=3d ㊂因此e =2c 2a =|F 1F 2||M F 1|+|M F 2|=3d d +2d =33,选C ㊂点评:e =2c2a =|F 1F 2||P F 1|+|P F 2|,其中F 1,F 2为椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点㊂二㊁利用圆锥曲线的统一定义求解依据e =|M F |d ,其中|M F |表示椭圆上的点M 到焦点F 的距离,d 表示椭圆上的点M 到焦点F 相应准线l 的距离㊂例2 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )㊂A.2 B .22 C .12 D .24解析:设过焦点F 1且垂直于长轴的弦为A B ,则|A B |=2㊂焦点F 1到准线l 的距离为1,则点A 到l 的距离也为1㊂由圆锥曲线的统一定义得离心率e =|A F 1|1=22,选B ㊂点评:利用圆锥曲线的统一定义,可以较快地求出圆锥曲线的离心率㊂三㊁构造离心率的方程(不等式)求解例3 (1)已知A ,B 为椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴与短轴端点,F 为一个焦点,若A B ʅB F ,则该椭圆的离心率为( )㊂A.-1+52 B .1-22C .2-1D .22(2)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.左㊁右焦点分别为F 1(-c ,0)㊁F 2(c ,0),若椭圆上存在点P ,使a s i n øP F 1F 2=cs i n øP F 2F 1,则该椭圆离心率的取值范围为㊂解析:(1)在R tәA B F 中,|A F |2=|A B |2+|B F |2,即(a +c )2=(a 2+b 2)+(b 2+c 2)㊂因为e =c a,所以整理得e 2+e -1=0,e =-1+52,选A ㊂(2)由已知条件及正弦定理求得|P F 1|=ca|P F 2|㊂又|P F 1|+|P F 2|=2a ,则|P F 2|=2a 2c +a ㊂由|P F 2|<a +c ,得2a2c +a<a +c ,即e 2+2e -1>0㊂结合0<e <1,解得2-1<e <1㊂点评:如果直接求解椭圆离心率的值(或取值范围)有困难,那么可以通过构造离心率的方程(或不等式)求解㊂四㊁利用数形结合思想求解例4 ʌ第12届希望杯 试题ɔ设F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P ,使øF 1P F 2=120ʎ,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂图2解析:如图2,当点P 与短轴端点B 重合时,øF 1P F 2最大㊂于是得øF 1P F 2ȡ120ʎ,故t a n øF 1P O ȡt a n 60ʎ=3,即cbȡ3㊂所以e =c a =cb 2+c 2=1bc2+1ȡ113+1=32㊂又0<e <1,所以32ɤe <1㊂点评:利用数形结合思想求椭圆的离心率e ,可回避繁杂的推理与计算过程㊂五㊁利用椭圆的光学性质求解例5 ʌ第一届 希望杯 高二试题ɔ椭圆的两个焦点是F 1(3,-6),F 2(6,3),一条切线方程为4x =3y ,这个椭圆的离心率是㊂解析:设切点为P ,切线为l ,作F 1㊁F 2关于l 的对称点F 1'㊁F 2',则由椭圆的光学性质知点P 是等腰梯形F 1F 2F 2'F 1'对角线的交点,对角线的长应等于椭圆长轴的长㊂由点到直线的距离公式,得F 1㊁F 2到直线l 的距离分别为6㊁3,可见梯形上㊁下底长分别为6㊁12㊂该等腰梯形的腰长即椭圆的焦距310㊂利用6,12,310,求出梯形的对角线长为92,从而得到椭圆的离心率e =31092=53㊂练一练:1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,则椭圆的离心率是( )㊂A.12 B .32 C .34 D .642.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且B F ʅx 轴,直线A B 交y 轴于点P ㊂若A Pң=2P B ң,则椭圆的离心率是( )㊂A.32 B .22 C .13 D .123.已知F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,满足M F 1ң㊃M F 2ң=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )㊂A.(0,1) B .0,12C .0,22D .22,14.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点F 且倾斜角为60ʎ的直线交椭圆于A ,B 两点,若|F A |=2|F B |,则椭圆的离心率等于( )㊂A.33 B .22 C .12 D .23参考答案:1.A2.D3.C4.D(责任编辑 徐利杰)52解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
椭圆离心率求法大全
椭圆离心率求法大全
椭圆离心率又叫做偏心率，是衡量椭圆的对称性的重要特征值，表示椭圆的离心程度，离心率值越大椭圆形状越扁，可以表示为0≤E≤1，其中较接近圆形的图形偏心率接近0，而较远离圆形图形的离心率则更接近1。
下面是求椭圆离心率的公式及求法：
（1）根据椭圆的标准方程：
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
，其中a为长轴，b为短轴，可以求出椭圆的离心率E，公式为：
（2）也可以根据椭圆的几何定义求出离心率：
椭圆的离心率按照以下公式求出：
其中，e表示椭圆的外径c与内径b的绝对值的差值，e=|c-b|。
（3）根据椭圆的离心率及长短轴的比值，可以得出椭圆的长轴a和短轴b的关系：
a=b/E
（4）可以根据椭圆的中心坐标和其上任意点坐标进行求椭圆离心率计算：
（i）得到椭圆的中心坐标（h,k），任意点坐标为（x,y），并设椭圆的离心率为E。
（ii）根据点（h,k）和点（x,y）求椭圆的半长轴长：
a = $\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}$
（iii）半短轴长可以求得：
（iv）根据半长轴长a及半短轴长b求离心率：
根据以上公式及求法，可以计算出椭圆的离心率。
注意，离心率在[0,1]之间，较接
近圆形的图形偏心率接近0，而较远离圆形图形的离心率则更接近1。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2 c∴有③。
题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率解：∵｜PF1｜= b2 a｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。
关于椭圆离心率求法
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a b a2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sincoscosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe解法4：利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x ca e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222≤-<∈c a e ae 得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
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椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2c∴有③。
题目1：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3cc+3c=2a ∴e= ca= 3-1变形1：椭圆x2 a2 +y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜= b2a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=aPF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= ba 又 ∵b= a2-c2∴a2=5c2 e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。
二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a2+b2a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52(舍去)变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+ 52, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
答案：90° 引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。
性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。
3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。
题目3：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)，过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F1A ｜=2｜BF1｜,求e?解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得：⎩⎨⎧a2 –c2=m(2a-c) 2(a2-c2)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c=12 ⇒e=23题目4：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c ，0）、F2 (c,0)，P 是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且 ∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
解：由正弦定理：｜F1F2｜sin F1PF2 = ｜F1P ｜sin F1F2P = ｜PF2｜sin PF1F2根据和比性质：｜F1F2｜sin F1PF2 = ｜F1P ｜+｜PF2｜sinF1F2P+sin PF1F2变形得： ｜F1F2｜ ｜PF2｜+｜F1P ｜ =sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F2 ==2c2a=e ∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° e=sin90° sin75°+sin15° =63点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F2变形1：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c ，0）、F2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F1PF2 =60°，求e 的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。
解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 = sin60°sin α+sin(120°-α) =1 2sin(α+30°)≥12 ∴12≤e<1变形2：已知椭圆x24+ y2 4t2 =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M 为椭圆上任意一点（M 不与长轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若13 <tan α 2< tan β2 <12,求e 的取值范围？分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。
解;根据上题结论e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 =sin(α+β)sin α+sin β =2sin α+β 2 cosα+β 2 2sin α+β 2 cos α-β2= cos α 2cos β 2 -sin α 2 sin β2cos α 2cos β 2 +sin α 2 sin β 2=1- tan α 2 tan β21- tan α 2 tan β2=e∵13<1-e 1+e <12 ∴13<e<12三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e 所符合的关系式. 题目5：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B两点，→OA +→OB 与→a =(3,-1)共线，求e?法一：设A(x1,y1) ,B(x2,y2)⎩⎨⎧b2x2+a2y2=a2b2 y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2=2a2c a2+b2 y1+y2=2a2c a2+b2-2c=-2b2ca2+b2→OA +→OB =(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则 -（x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e=63法二：设AB 的中点N ，则2→ON =→OA +→OB⎩⎨⎧x12a2+ y12 b2=1 ①x22a2+ y22b2 =1 ②① -② 得： y1-y2x1-x2 =- b2a2 x1 +x2 y1+y2 ∴1=- b2a2 (-3) 既a2=3b2 e=63 四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。
题目6：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c ，0）、F2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围？分析：∵→MF 1·→MF 2 =0∴以F1F2 为直径作圆，M 在圆O 上，与椭圆没有交点。
解：∴c<ba2=b2+c2 >2c2 ∴0<e<22题目7：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c ，0）、F2 (c,0)，P 为右准线L 上一点，F1P 的垂直平分线恰过F2 点，求e 的取值范围？分析：思路1,如图F1P 与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a 、b 、c 的不等关系。
思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e 解法一：F1 （-c ，0） F2 (c,0) P(a2c ,y0 ) M( a2c -c 2 ,y0 2 )既( b22c , y0 2 ) 则→PF 1 =-( a2c +c, y0 ) →MF 2 =-( b22c -c, y0 2 ) →PF 1·→MF 2 =0( a2c +c, y0 ) ·( b22c -c, y02 )=0 ( a2c +c)·( b22c -c)+ y02 2 =0a2-3c2≤0 ∴33≤e<1 解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c｜PF2｜≥a2c -c 则2c ≥a2c -c 3c ≥a2c3c2≥a2 则33≤e<1 设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x a a c a b a b a2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe解法4：利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x ca e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222≤-<∈c a e ae 得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)|| 得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。