(精品)椭圆离心率经典题型
求椭圆及双曲线的离心率的习题(最新整理)
求椭圆的离心率1、已知F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率． e ＝.23532、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且＝2BF，则C 的离心率为________．解析：答案：FD333、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且＝2BF，则C 的离心率为________．如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a ＞b ＞0)不妨设B 为FD 22x a22y b上顶点，F 为右焦点，设D (x ，y )．由＝2，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，BF FD即，解得，D (，－)．2()2c x c b y =-⎧⎨-=⎩322c x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩32c 2b 由D 在椭圆上得：＝1， ∴＝，∴e＝.22223()()22b c a b -+22c a13ca4、设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l的倾斜角为60o ,2AF FB =.椭圆C 的离心率；解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.直线l 的方程为 )y x c =-，其中c=.联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y ==因为2AF FB =，所以122y y -=.即2=得离心率23c e a ==. 5．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．6、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＋＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，Mx 2a 2y 2b2为线段AB 的中点，若∠MOA ＝30°，则该椭圆的离心率为________． 答案：637．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )A. B. C. D. ，故选B.1525452158、设椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，Bx 2a 2y 2b2两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．e ＝.339．椭圆（）的两个焦点分别为、，以、为边作正三角形，若椭22221x y a b+=0a b >>F 2F 1F 2F 圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（B ）eA B C ．D 1-4(2-10、已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.2224123211、如图所示，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．易知直线B 2A 2的方程为bx ＋ay －ab ＝0，直线B 1F 2的方程为bx －cy －bc ＝0.联立可得P .又A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，(2ac a ＋c ，b （a －c ）a ＋c)所以＝，＝.PB 1→ (－2ac a ＋c ，－2ab a ＋c )PA 2→ (a （a －c ）a ＋c ，－b （a －c ）a ＋c)因为∠B 1PA 2为钝角，所以·<0， 即＋<0.PA 2→ PB 1→ －2a 2c （a －c ）（a ＋c ）22ab 2（a －c ）（a ＋c ）2化简得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故＋－1>0即e 2＋e －1>0，. 而0<e <1，所以(c a )2 c a 5－12<e <1求双曲线的离心率1、已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．由三角形相似或平行线分线段成比例定理得＝，∴＝3，即e ＝326a c ca2、已知F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.＋1 B.＋1 C ．2 D ．2 选B32323、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±x ，则该双曲线的离心率e 等于( )12A ．5 B. C. D. 选C552542.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是( )ABC D 【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=-⎪--++⎝⎭ ，因此222,4,ABBC a b e =∴=∴=C4、设F 1，2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，x 2a 2y 2b2且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )A. B ．2 C. D ．2353如图，设P 为右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，最小角∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得：(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ·cos 30°， 解得e ＝c a＝.35、过双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两x 2a 2y 2b2点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，b 2a。
离心率问题的7种题型和15种方法
离心率问题的7种题型和15种方法离心率（eccentricity）是描述椭圆轨道形状的一个重要参数，它的大小决定了行星或卫星轨道的偏心程度。
在天文学、航天学等相关领域，经常需要解决各种与离心率相关的问题，下面我们将介绍离心率问题的7种常见题型和15种解题方法。
一、离心率的定义及性质离心率是描述椭圆轨道形状的一个参数，它等于椭圆长半轴和短半轴之差的一半与长半轴的比值。
离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆变成了一个圆，当离心率为1时，椭圆变成了一条直线。
离心率越大，椭圆的形状越扁平，轨道越偏心。
二、离心率问题的7种题型1. 求给定离心率的椭圆的半长轴和半短轴长度；2. 已知椭圆的长半轴和离心率，求短半轴长度；3. 已知椭圆的长半轴和短半轴长度，求离心率；4. 求给定行星或卫星的轨道离心率；5. 已知行星或卫星轨道的离心率和半长轴长度，求轨道的半短轴长度；6. 已知行星或卫星的轨道离心率和半短轴长度，求轨道的半长轴长度；7. 求给定行星或卫星的轨道周期。
三、离心率问题的15种解题方法1. 利用椭圆轨道的定义和性质，直接计算出椭圆的长短半轴；2. 利用椭圆的面积和周长公式计算出椭圆的长短半轴；3. 利用行星或卫星的轨道速度和距离公式计算出轨道离心率；4. 利用行星或卫星的轨道周期和距离公式计算出轨道离心率；5. 利用行星或卫星的轨道半径和速度公式计算出轨道离心率；6. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的距离差和总距离计算出轨道离心率；7. 利用行星或卫星的轨道焦点距离和长轴长度计算出轨道离心率；8. 利用行星或卫星的轨道高度、速度和引力公式计算出轨道离心率；9. 利用行星或卫星的轨道高度、周期和引力公式计算出轨道离心率；10. 利用行星或卫星的轨道高度、半径和引力公式计算出轨道离心率；11. 利用行星或卫星的轨道平均速度和最高、最低速度之比计算出轨道离心率；12. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点速度之比计算出轨道离心率；13. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的动能之比计算出轨道离心率；14. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的势能之比计算出轨道离心率；15. 利用行星或卫星的轨道半径、质量和速度计算出轨道离心率。
椭圆离心率题型归类高二数学选择性必修第一册)(解析版)
专题9椭圆离心率题型归类目录【题型一】离心率基础.....................................................................................................................1【题型二】利用椭圆第一定义求离心率.........................................................................................3【题型三】焦点三角形与余弦定理.................................................................................................5【题型四】顶角直角三角形型.........................................................................................................7【题型五】焦半径与第二定义.......................................................................................................10【题型六】第三定义与中点弦.......................................................................................................12【题型七】焦点三角形：双底角型...............................................................................................14【题型八】焦点三角形：双余弦定理型.......................................................................................16【题型九】焦点弦与定比分点.......................................................................................................19【题型十】焦点圆...........................................................................................................................22【题型十一】椭圆与圆...................................................................................................................24培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................26培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................31培优第三阶——培优拔尖练.. (35)综述：1.椭圆离心率求解方法主要有：①求出a ，c ，代入公式ce a；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．③特殊情况下的不等方程，甚至可以直接设a=1，分别解出c 或b 的值，c 值就是离心率2.椭圆扁平程度：因为e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆【题型一】离心率基础【典例分析】如果椭圆221(8)89x y kk+=>-+的离心率为12e=，则k=（）A．4B．4或54-C．45-D．4或45-【答案】B【分析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．【详解】解：因为椭圆221(8)89x y kk+=>-+的离心率为12e=，当89k+>时，椭圆焦点在x轴上，可得：13,2a b c e=∴=∴==，解得4k=，当089k<+<时，椭圆焦点在y轴上，可得：13,32ca b c ea======，解得54k=-．4k∴=或54k=-.故选：B．1.已知椭圆()22105x y mm+=>的离心率5e=，则m的值为______．【答案】253或3【分析】分别对焦点在x轴和y轴讨论，结合离心率求解m即可.【详解】已知椭圆方程为221(05).5x y m mm+=>≠且当焦点在x轴上，即05m<<时，有a b=则c=105=，解得m＝3.当焦点在y轴上，即5m>时，有a b则c==253m=，即m的值为3或253.故答案为：3或2532.方程22134x y m m +=--表示的曲线是椭圆，则离心率的取值范围是____________．【答案】(0,1)；【分析】根据椭圆的标准方程求解．【详解】由题意4030m m ->⎧⎨->⎩且34m m -≠-，解得4m >。
(完整版)求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e 的不等式.一、利用曲线的范围，建立不等关系例1已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围.例2已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a cPF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为()21,1-.二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2Ｃ．2(0,)2 Ｄ．2[,1)2xy OF 1F 2三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系例4已知ABC ∆的顶点B 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围.四、利用函数的值域，建立不等关系例5椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=⋅OB OA （O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为[]6,5，求椭圆离心率的范围.五、利用均值不等式，建立不等关系.例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围；解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mncos 60°＝(m ＋n)2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2 xy OA BF MC(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥12.又0<e<1，∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.例7 已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围.解析1：令n PF m pF ==21,，则a n m 2=+ 由21PF PF ⊥2224c n m=+∴ ()22222224a nm n m c=+≥+=∴ 即21222≥=ac e又12210<≤∴<<e e 六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系解析2：不妨设短轴一端点为B 则2245tan 21b b S PFF =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=∆22121b ⇒≤c 2b ⇒≤2c 22c a -⇒≤2c 222ac e =⇒≥21故22≤e ＜1 七、利用实数性质，建立不等关系解析3：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得1-=-⋅+cx y c x y ，即222x c y -=，代入12222=+by a x 得()22222c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥即222c a c-≥，22≥=∴a c e 又1<e 122<≤∴e 八、利用曲线之间位置关系，建立不等关系解析4：21PF PF ⊥ 为直径的圆上点在以21F F P ∴ 又P 在椭圆上，222c y x P =+∴为圆 与 12222=+by a x 的公共点.由图可知222a c b a c b <≤⇒<≤ ∴2222a c c a <≤-122<≤∴e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.九、利用21PF F ∠最大位置，建立不等关系解析4：椭圆12222=+by a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <0902245sin sin 001=<∠=<∴OPF a c 又10<<e 所以若存在一点P 则 122<≤e .。
求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆离心率范围的常见题型及解析解析解题关键：挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式。
一、利用曲线的范围，建立不等关系已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$右顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右顶点为A，点P在椭圆上，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。
小改写：已知F1、F2是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。
三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系已知$\triangle ABC$的顶点B为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。
小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，短轴的一个端点为B，另两个顶点也在椭圆上，$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。
四、利用函数的值域，建立不等关系椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$与直线$x+y-1=0$相交于A、B两点，且OA·OB=（O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为$[5,6]$，求椭圆离心率的范围。
(完整版)椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C． D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B．C． D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C． D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A． B． C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A． B． C．D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B 在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e ＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b ，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A ．B ．C ．D ．解解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，答：∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．解解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，答：F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c ，﹣c）（c ，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解解：设|PF2|=x，答：∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G （，），∵，∴IG∥x轴，∴I 的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=•|F1F2|•|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I 的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A ．B．2﹣C．2（2﹣）D ．解解：如图，答：在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．或解答：解：∵椭圆C上的点P 满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e 的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C ．D ．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F 关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．一l解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则解答：，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|， 可得2c=2，即ac=b 2=a 2﹣c 2．可得e 2+e ﹣1=0． 解得e=．故选：D ． 15．已知椭圆（a ＞b ＞0）的两焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于P ，Q 两点，若|PF 2|=|F 1F 2|，且2|PF 1|=3|QF 1|，则椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．解答： 解：由题意作图如右图，l 1，l 2是椭圆的准线，设点Q （x 0，y 0），∵2|PF 1|=3|QF 1|，∴点P （﹣c ﹣x 0，﹣y 0）； 又∵|PF 1|=|MP|，|QF 1|=|QA|， ∴2|MP|=3|QA|， 又∵|MP|=﹣c ﹣x 0+，|QA|=x 0+，∴3（x 0+）=2（﹣c ﹣x 0+），解得，x 0=﹣，∵|PF 2|=|F 1F 2|， ∴（c+x 0+）=2c ； 将x 0=﹣代入化简可得，3a 2+5c 2﹣8ac=0， 即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y 轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A ．B ．C ．D ．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+co s∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）解答：解：由已知P （，y），得F1P的中点Q 的坐标为（），∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．19．点F 为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c ，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O 的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C 的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C ：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e ∈．故选：D．24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]解答：解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=+，化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（x0，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a 有最小值，对应的离心率e 有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B 在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k ＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）解解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，答：∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k ＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B 使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP 中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。
(完整版)椭圆离心率题型总结,推荐文档
）【解析】选 C
( A) 1 2
(B) 2 3
(C)
(D)
解：
F2PF1 是底角为 30 的等腰三角形 PF2
F2 F1
2( 3 a c) 2c e c 3
2
a4
x 2 y 2 1(a 0, b 0)
3、（12 辽理）已知点（2，3）在双曲线 C： a 2 b 2
上，C 的焦距为 4，则它的离心率为 ．
y2 b2
（1 a b 0）和圆 x 2
y2
b 2
c 2 （其中 c 为椭圆半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的
离心率的取值范围。 解：要使椭圆与圆有四个不同的交点，只需满足
b
b 2
c
a
，即
b b
2c 2a
2c
b b
2 2
4c 2 4a2
8ac 4c 2
Байду номын сангаас
c2 a2
5
3a 5c
椭圆离心率题型：
e c a
1
b2 a2
一）求离心率
1）用定义（求出 a,c 或找到 c/a）求离心率
1、已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0)
的两个焦点分别为
F1
(1,
0),
F2
(1,
0)
,且椭圆
C
经过点
P(
4 3
,
1) 3
.求椭圆
C 的离心率;
【答案】解: 2a PF1 PF2
x2 2ax 2b2 0 的两根，由 (2a)2 4 2b2 0 ， 可得 a2 2b2 ，即 a2 2(c2 a2 ) 所以 e c
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
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椭圆离心率经典习题 一、直接求出a c
，或求出a 与b 的比值，以求解e。
在椭圆中，a c
e =，2
2
2
2
2
2
2
1a
b
a b a a c a c e -
=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于
2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为
3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(2
1
F F ,则椭圆的离心率为 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率。
5.若椭圆
)0(,12
2
22>>=+b a b y a x 短轴端点
为P 满足2
1
PF PF ⊥，则椭圆的离心
率为=e 。
6..已知)0.0(12
1>>=+n m n
m 则当mn 取得最小值时，椭圆12
2
2
2
=+n
y m
x 的的离心率为
7.椭圆2
2
2
2
1(0)x y a b a
b
+=>>的焦点为1
F ，2
F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12
MN F F 2≤，则该椭
圆离心率的取值范围是1⎫
⎪⎪⎣⎭
8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为。