椭圆离心率常见求法整理归纳
5
椭圆的离心率
1．设12F F ，分别是椭圆22221(0)x y
a b a b
+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使
1290F AF ∠=且123AF AF =，则椭圆的离心率为 ．
2．设椭圆C ：22
221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，
212PF F F ⊥，1230PF F ∠=?，则椭圆C 的离心率为_____________.
3．设1F 、2F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线
段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为 .
4．已知椭圆22
221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点为12,F F ,以12F F 为边作正三角形，若椭
圆恰好平分正三角形的另外两条边，且124F F =，则a 等于___________.
5．椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若
1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为________．
6．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．
7．设椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左右焦点为12F F ，
，作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于________.
8．过点(1,1)M 作斜率为1
2
-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M
是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 .
9．椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 左右焦21,F F ，若椭圆C 上恰有4个不同的点P ，使
得21F PF ?为等腰三角形，则C 的离心率的取值范围是 _______
10．设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的两个焦点分别为12F F ，
，过1F 且斜率为2的直线交椭圆C 于P 、Q 两点，若
12PF F 为直角三角形，则椭圆C 的离心率为 .
11．直线3
2
y x =与椭圆22221(0)+=>>x y a b a b 相交于A 、B 两点，过点A 作x 轴的垂线，
垂足恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率是 ．
12．设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的两个焦点分别为12F F ，
，点P 在椭圆上，且120PF PF ?=，123
tan PF F ∠=
，则该椭圆的离心率为 ． 13．设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左，右焦点分别为12F F ，
，P 为椭圆C 上任一点，且12PF PF ?的最大值的取值范围是222,3c c ????，则椭圆C 的离心率的取值范围是
________．
14．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，过原点的直线与该椭圆交于A B
，两点，连接AF ，BF ，若10AB =，6AF =，4
cos 5
ABF ∠=，则该椭圆的离心率是 ．
15．设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的中心、右焦点、右顶点依次分别为O ，F ，G ，
且直线2
a x c =与x 轴相交于点H ，则FG OH
最大时椭圆的离心率为________． 16．在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>中,左焦点为F , 右顶点为A , 短轴上方端点为B ，若
90ABF ∠=?,则该椭圆的离心率为___________．
5
17．已知椭圆()2222:1
0x y C a b a b
+=>>的离心率为3
2，与过右焦点F 且斜率为k
(0k >)的直线相交于A 、B 两点．若3AF FB =，则斜率k 是_______．
18．若斜率为2
2的直线l 与椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>有两个不同的交点，且这两个
交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．
19．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，若以2F 为圆心，b c
-为半径作圆2F ，过椭圆上一点p 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值为3
()2
a c -，则椭圆的离心率的取值范围是________．
20．如图，已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆
上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ＝2PB ，则椭圆的离心率是________．
21．已知12F F ，
是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足PF 1＝2PF 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．
22．设12F F ，
分别是椭圆2222x y a b ＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝2
a c
上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．
23．在平面直角坐标系中，有椭圆22
22x y a b
＋＝1(a>b>0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半
径的圆．过点2,0a c ??
???
作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________．
24．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线
3()y x c =+与椭圆C 的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率
为 .
25．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线y=3(x+c)
与椭圆Γ的一个交点满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 .
26．已知12,F F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点,以原点O 为圆心,OF 1
为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于A,B 两点,若△F 2AB 是等边三角形,则椭圆的离心率等
于 .
27．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别是12F F ，
，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．
28．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上的一点A 为圆心的圆与
x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B 、C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的
离心率的取值范围是________．
29．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别是12F F ，
，过2F 作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．
5
30．已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于B A ,两点，且线段AB 的中
点在直线02=-y x 上，则此椭圆的离心率为_______
31．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若
,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα??
∈????
则椭圆离心率的取值范围是 .
x
32．已知椭圆E 的方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，AB 是它的一条倾斜角为135的弦，且
(2,1)M 是弦AB 的中点，则椭圆E 的离心率为_________.
33．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点为12(,0)(,0)F c F c -、，若存在动点Q ，
满足1||2FQ a =，且
12F QF ?的面积等于2b ，则椭圆离心率的取值范围是 . 34．过椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，
且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若11
32
k <<，则椭圆离心率的取值范围是_____________.
35．已知点P 是以12F F ，
为焦点的椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的任意一点，若12PF F α
∠=，21PF F β∠=，且cos α=
，3
sin()5
αβ+=，则此椭圆的离心率为 ．
36． 设12F F ，
是椭圆C ：22
221x y a b
+=(0)a b >>的两个焦点，若在C 上存在一点P,使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_____________.
37．已知12F F ，
是椭圆2
2x a
＋22y b ＝1(a>b>0)的左右焦点，P 是椭圆上一点，∠F 1PF 2＝90°，求椭圆离心率的最小值为
38．设12F F ，
是椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点．若AB ⊥AF 2，|AB|:|AF 2|＝3:4，则椭圆的离心率为 ．
39．过椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，
且点B 在x 轴上的射影恰为右焦点F ,若1
2
k =
，则椭圆的离心率e 的值是 . 40．已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（,若椭圆上存
在点P 使
1
221sin sin F PF c
F PF a ∠=∠,则该椭圆的离心率的取值范围为___
41．在等边ABC ?中，若以B A ,为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率为
____________
42．如图，已知过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，
交椭圆于点Q ，若AOP ?是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为 .
43．P 为椭圆C 上一点，12,F F 为两焦点，121212
||13,||15,tan 5
PF PF PF F ==∠=，则椭圆C 的离心率e = .
44．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点A 、B 、C 、D, 若菱形ABCD 的内切圆恰好经过
5
椭圆的焦点, 则椭圆的离心率为 __ ．
45．已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB
的中点为M ，若022
≥+?，则该椭圆离心率的取值范围为 . 46．以椭圆的右焦点2F 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于点M ，N ， 若过椭圆左焦点1F 的直线MF 1是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为
47．椭圆
22189x y k +=+的离心率12
e =, 则k 的值是 48．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则其离心率为 ．
49．已知M 、N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为k 1、k 2（120k k ≠），若12||||k k +的最小值为1，则椭圆的离心率为 。
50．已知点F 和直线l 分别是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点和右准线．过点F 作
斜率为2的直线，该直线与l 交于点A ,与椭圆的一个交点是B ，且FB AF 2=.则椭圆的离心率=e .
51．过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,
若?=∠6021PF F ,则椭圆的离心率为__________________ ．
52．已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为F 1,F 2，P 是椭圆上一点。?PF 1F 2为
以F 2P 为底边的等腰三角形，当60°＜∠PF 1F 2∠120°，则该椭圆的离心率的取值范围是 53．在ABC ?中，满足AC AB ⊥，2==AC AB .若一个椭圆恰好以C 为一个焦点，另
一个焦点在线段AB 上，且A ，B 均在此椭圆上，则该椭圆的离心率为 ．
54．如图，在平面直角坐标系xOy 中， 点A 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左顶点， B ，
C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于 .
（第12题）
55．椭圆22
15x y m
+=
的离心率为5，则实数m 的值为___________.
56．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的长轴两端点为,A B ，若椭圆C 上存在点Q ，
使得0
120AQB ∠=，求椭圆C 的离心率e 的取值范围____________; A 、??
?
???1,21 B 、 ????
??1,22 C 、??
?
??2
2,21 D 、???????1,36 57．已知椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12(0)(0)F c F c -，
，，，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
58．已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使
得
e PF PF =2
1
，则该离心率e 的取值范围是__________；
参考答案
1
．
4
【解析】
试题分析：根据椭圆的定义a AF AF 2||||21=+,
||321AF AF =，∴2
||2a AF =
，2
3||1a AF =
， 1290F AF ∠=?,∴勾股定理得 2
22)2()2
()23c a a =+（，化简得2285c a =，即2258c a =，
所以离心率4
c e a ===． 考点：①椭圆的定义和性质；②勾股定理．
2
．3.
【解析】
试题分析：在
12
Rt PF F ?中，
1230PF F ∠=?
，
122F F c
=，
所以
21,PF PF =
=，
结合椭圆定义得：
122a PF PF =+=
=
，所以
c e a ==. 考点：由椭圆的标准方程求几何性质. 3
．
3
【解析】试题分析：由已知，2PF x ⊥轴，所以将x c =代入()22
22:10x y C a b a b +=>>，
可得22|||y |P b PF a ==，所以由2
212||tan 30||2b PF a F F c =
=得
，2330e +-=，解
得e e =
=. 考点：椭圆的几何性质. 4．13+
不扣分) 【解析】
试题分析：以12F F 为边作正三角形12PF F ，设线段1PF 与椭圆的交点为M ，则点M 为边1PF 的中点，连接2MF ，则21MF PF ⊥，由于△12PF F 是边长为4的正三角形，所以1||2MF =
，
2||MF =
122||||2a MF MF =+=+
1a =+
考点：椭圆的定义及性质. 5
【解析】
试题分析：由题意可知，1||AF a c =-，12||2F F c =，1||F B a c =+，又∵1121||,||,||
AF F F F B
成等比数列，∴2
4()()5
c c a c a c e a =-+?==. 考点：椭圆离心率的计算. 6
【解析】设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图所示，则B(0，b)，F(c,0)，D(x D ，y D )，则BF ＝(c ，－b)，FD ＝(x D －c ，y D )，
∵BF ＝2FD ，∴()22D D
c x c b y ?=-??-=?? ∴322
D D c x b y ?
=????=-?? ∴
2232c a ?? ???＋2
22b b ??- ?
??＝1，即e 2＝13
，∴e
．
7．
33
【解析】
试题分析：因为OD 平行于2F B ，所以D 为1F B 中点，又1AD F B ⊥，所以
122,
AF AB AF ==设
2,
AF m =则
1122,3,
AF m F F m ==因此
1212233
2F F c c m e a a AF AF =
====+ 考点：椭圆的离心率 82 【解析】
试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y ，则由2222
112222221,1,x y x y a b a b
+=+=两式相减变形得：
1212121222()()()()
0,x x x x y y y y a b -+-++=即2
2
12220,
a b
-?+
=222a b =，从而
222
2,a c e ==
考点：点差法，椭圆离心率 9．（
13，12）∪（1
2
，1） 【解析】
试题分析：分两种情况：第一种情况，当点P 与短轴的顶点重合时，△F 1F 2P 构成以F 1F 2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F 1F 2P ；第二种情况，当△F 1F 2P 构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时，以F 2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F 1F 2=F 1P ，∴点P 在以F 1为圆心，半径为焦距2c 的圆上，因此，当以F 1为圆心，半径为2c 的圆与椭圆C 有2交点
时，存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P ，此时a-c ＜2c ，解得a ＜3c ，所以离心率e 13
>，当e=
12时，△F 1F 2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠1
2
，同理，当F 1P 为等腰三角形的底边时，在e 13>且e≠1
2
时也存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P 这样，又因为椭圆C 上
恰有4个不同的点P ，使得21F PF ?为等腰三角形，故第一种情况不成立，综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（
13，12）∪（1
2
，1）． 考点：直线与椭圆的位置关系． 10．
5
【解析】
试题分析：设22,PF m =则由于12tan 2,PF F =所以112,5.PF m F F m ==因为
1223,a PF PF m =+=所以椭圆E 的离心率为
25
.23
c a = 考点：椭圆的定义 11．
1
2
【解析】
试题分析：依题意可设3
(,)2A c c .所以231,22b c c a a =
∴=，2c a =-（舍去）.所以离心率为1
2
. 考点：1.椭圆的性质.2.解方程的能力. 12．．
【解析】由知，． 由
知，
．
在中，， ∴，
即
．
13．
【解析】∵的最大值为，
∴由题意知，
∴， ∴
，
∴椭圆离心率e 的取值范围是．
14．
【解析】由余弦定理，，解得
，所以A 到右焦点的距离也是8，由椭圆定义：，又
，所以
15．
【解析】 根据已知O(0，0)，F(c ，0)，G(a ，0)，H(，0)，
所以＝，所以当最大时．
16．51
2
e -= 【解析】
试题分析：由题意，得222
AF AB BF =+，∴22222
()a c a b b c +=+++．∵222a b c =+，
∴22a c ac -=，∴2
10e e +-=，∴152e -±=
．又∵01e <<，∴51
2
e =． 考点：椭圆的离心率． 17．k 2
【解析】定点F 分线段AB 成比例，从而分别可以得出A 、B 两点横坐标之间关系式、纵坐标
之间关系式，再把A 、B 点的坐标代入椭圆方程22
22x y a b
+＝1，四个方程联立方程组，解出根，
得出A 、B 两点的坐标，进而求出直线AB 的方程．
由已知e
＝2
c a ＝
，所以a ＝2b ， 所以a
c ，b
.椭圆方程2222x y a b +＝1变为34x 2＋3y 2＝c 2
.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，又AF ＝3FB ，
所以(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，所以121233c x x c y y ???－＝
（－），-＝，所以1212
3430x x c y y ???＋＝，＋＝，
3421x ＋321y ＝c 2，①34
22x ＋32
2y ＝c 2，② ①－9×②，得34(x 1＋3x 2)(x 1－3x 2)＋3(y 1＋3y 2)(y 1－3y 2)＝－8c 2
，所以34
×4c(x 1－3x 2)＝
－8c 2
， 所以x 1－3x 2＝－
83c ，所以x 1＝23c ，x 2＝10
9
c.从而y 1
＝－3c ，y 2
＝9c ，
所以
A 2,33c c ??-
? ???，
B 10,99c c ??
? ???
，故k
. 18
．
2
【解析】由题意易知两交点的横坐标为－c 、c ，纵坐标分别为－2b a 、2
b a ，所以由2
2
()()
b b a a
c c ---
＝
2得2b 2
ac ＝2(a 2－c 2)，即2e 2
－2＝0，解得e
＝2
或e
(负根舍去)． 19．
35
≤e
【解析】因为PT
(b ＞c)，而PF 2的最小值为a －c ，所以PT
的最小值为
－c)，
所以(a －c)2≥4(b －c)2，所以a －c≥2(b－c)，所以a ＋c≥2b，所以(a ＋c)2≥4(a 2－c 2
)，
所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2
＋2e －3≥0 ①.
又b ＞0，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2
， 所以2e 2
＜1②，联立①②，得
35
≤e ＜22.
20．
1
2
【解析】如图，由BF⊥x 轴，知x B ＝－c ，y B ＝2
b a
，设P(0，t)，
∵AP ＝2PB ，∴(－a ，t)＝22,
b c t a ??-- ???
，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝1
2. 21．
3
3
【解析】在△PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝
2
π
，设PF 2＝1，则PF 1＝2，F 2F 13e ＝
22c a
＝33.
22．
3
3
≤e ＜1 【解析】设P 2,a y c ??
???，线段F 1P 的中点Q 的坐标为2 22b y c ??
???
，，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝22cy a c +，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝22
2cy b c
-(b 2－2c 2
≠0)，由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2
＝22222
)(2a c c b c
（＋－）≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2＞0，即3c 2－a 2＞0，即e 2
＞
1
3
3＜e ＜1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的
中点．由2a c
－c ＝2c 得e ＝33，综上得3
3≤e ＜1.
23．
22
【解析】如题图，PA 、PB 与圆O 相切，由于切线PA 、PB 互相垂直，所以四边形OAPB 为正方形，OP ＝2OA ，这样就得到一个关于基本量a 、c 的齐次方程，从而求解出比值
c a
(e)的值．由已知条件，四边形OAPB 为正方形，所以OP ＝2OA ，所以2a c ＝2a ，解得c
a ＝
22，即e ＝2
2
24．13- 【解析】
试题分析：直线3()y x c =
+过点1F ，且倾斜角为60?，所以1260MF F ∠=?，从而
2130MF F ∠=?，所以12MF MF ⊥，在12Rt MF F ?中，12||,||3MF c MF c ==，所以该椭
圆的离心率23123c e a c c
=
==-+. 考点：椭圆的离心率. 25．3-1
【解析】直线y=3(x+c)过点F 1(-c,0)且倾斜角为60°, 所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°, 所以∠F 1MF 2=90°, 所以F 1M ⊥F 2M, 在Rt △F 1MF 2中, |MF 1|=c,|MF 2|=3c, 所以e=c a =22c a =12
2c MF MF +=3c c +=3-1.
26．e=
-1
【解析】因为△F 2AB 是等边三角形,所以A(-,c)在椭圆+=1上,所以+
=1,因为
c 2
=a 2
-b 2
,所以,4a 4
-8a 2c 2
+c 4
=0,即e 4
-8e 2
+4=0,
所以,e 2
=4±2,e=-1或e=+1(舍).
【误区警示】本题易出现答案为-1或+1的错误,其错误原因是没有考虑椭圆离心率的范围. 272－1
【解析】过F 1作倾斜角为45°的直线y ＝x ＋c ，由MF 2垂直于x 轴得M 的横坐标c ，所以纵
坐标2c ，代入椭圆方程得22224c c a b +＝1，∴e 2＋222
4c a c
-＝1，∴(1－e 2)2＝4e 2
，∴e
－1.
28
．
2
?
?
?
【解析】由题意得，圆半径r ＝2b a ，因为△ABC 是锐角三角形，所以cos 0＞cos 2A ＝c
r
＞
cos
4π，
即＜c r ＜1，所
以＜22
ac a c －＜1，
即＜1e
e
-＜1，解得e
∈
2
?
?
?
.
29．2
【解析】不妨设|F 1F 2|＝1.∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°，∴|MF 2|＝2，|MF 1|
2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2
2c ＝|F 1F 2|＝1，∴e ＝
c
a
＝2
30．
2
2 【解析】
试题分析：直线1+-=x y 与02=-y x 的交点为)31,32(M ，点)3
1,32(M 即为,A B 中点，
设1+-=x y 与122
22=+b
y a x 的交点分别为),(),,(2211y x B y x A ，所以121242
,33
x x y y +=+=。将点),(),,(2211y x B y x A 代入椭圆方程，两式相减整理可得
2121221212()()()()y y y y b x x x x a -?+=--?+，即2
122122y y b x x a
-=--，由直线方程1+-=x y 可知
12121AB
y y k x x -==--，所以2
221b a =，即2212
b a =。因为222a b
c =+，所以222c a =
，即a =，
2
c e a ∴=
=。
考点：1点差法解中点弦问题；2椭圆的离心率。 31
．,]23
【解析】
试题分析：左焦点为1F .连结11,AF BF 可得四边形1AF BF 是矩形，所以AO OF OB c ===.所以2AB c =又,AF BF ⊥所以. 2sin ,2cos AF c BF c αα==.又因为1AF BF =，
12AF AF a +=.所以2sin 2cos 2c c a αα+=.
即
11
sin cos )4
c a πααα==
++.因为,,124ππα??
∈?
???
所以)4πα≤+≤.
所以2c a =≤≤=.
故填. 考点：1.直线与圆的位置关系.2.椭圆的性质.3.椭圆的定义. 32
．
2
【解析】
试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y ，则22
112222
222211
x y a
b x y a
b ?+=????+=??，两式相减得2222
1212220x x y y a b --+=
，22
121212122222
()()()()420022
x x x x y y y y a b e a b a b +-+--+=?+=?=?=. 考点：椭圆.
33
．11)
， 【解析】
试题分析：设(,)Q x y ，则1||2FQ a =，
222
()4x c y a ∴++=，所以||2y a ≤，存在动
点Q ，使得12F QF ?的面积等于2
b ，2
12||2
c y b ∴??=，2||b y c ∴=，22b a c ∴
≤即222a c ac -≤，212e e ∴-≤即2210e e +-≥
，1e ∴≥
或1e ≤，又
01e <<
11e ≤<.
考点：椭圆的标准方程及其几何性质.
34．
12 (,) 23
【解析】
试题分析：如下图所示，设FABθ
∠=，
(,)
B c y，其中222(0)
c a b c
=->，将点B的坐标代入椭圆的方程可得
2
2
22
1
y
c
a b
+=，解得
242
2
00
22
(1)
c b b
y y
a a a
=-=?=±，不妨取
2
b
y
a
=，所以
2
222
22
||
tan
||
b
BF b a c
a
k
AF a c a ac a ac
θ
-
=====
+++
，由
11
32
k
<<，可得
22
2
22
2
1
3
1
2
a c
a ac
a c
a ac
?-
>
??+
?
-
?<
?+
?
即
22
22
320
20
c ac a
c ac a
?+-<
?
?
+->
??
2
2
2
1
32012
3
123
2101
2
e
e e
e
e e e e
?
-<<
?
?+-<
??
???<<
??
+->
???><-
??
或
.
考点：1.直线的倾斜角与斜率；2.椭圆的性质.
35
5
【解析】
试题分析：
525
cos sin
αα
=?=，所以
35425115 sin sin[()]sin()cos cos()sin
55βαβααβααβα
=+-=+-+=±=
或
5
（舍去）.设
1122
,
PF r PF r
==，由正弦定理得：
22
33
55
c c c
e
a
==?=?==
2、三角函数；
3、正弦定理.
【解析】
试题分析：因为PF1⊥PF2，且∠PF1
F2=30°，所以PF1
=
12
sin60
F F?=，
PF2=
12
sin30
F F c
?=，又PF1
+PF2=2a，所以c
+，
c
a
=1.
考点：椭圆方程和性质.
37．
2
【解析】
试题分析：因为∠F1PF2＝90°，所以222
1212
PF PF F F
+=,因为
12
2
PF
PF a
+=
，且12
2
F F c
=，可解的22
12
22
PF PF a c
=-。因为
12
2a PF PF
=+≥=，整理的22
2c a
≥，即2
2
1
2
c
e
a
=≥，所以e≥
考点：椭圆的概念和离心率问题，基本不等式
38．
3
．
【解析】
试题分析：设
2
3,4
AB AF，因AB⊥AF 2，则
2
5
BF，由椭圆的定义得22
++412=43
AB AF BF a a a
，即，，所以
1
2
AF，
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜ ｜PD ｜② e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、 F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三
角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正 三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？
解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e? 解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-5 2 (舍去) 变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5 2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个 顶点，求∠ABF ？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e= 5-1 2 的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的
离心率的五种求法专题
离心率的求法 椭圆的离心率10<
椭圆离心率求法
椭圆离心率求法
离心率的五种求法 椭圆的离心率10<
D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，2 3 ==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆 12 2 22=+b y a x （0>>b a ）的左 准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A 3 3 B 31 C 2 2 D 2 1 解：由题意知，入射光线为()32 5 1+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则 ?? ???=+-=05532 c c a 解得3=a ，1=c ， 则3 3==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。 例2：已知1F 、2 F 是双曲线12 2 22 =-b y a x （0,0>> b a ）的两焦点， 以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1 MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 21 3+ D. 13+
关于椭圆离心率专项练习(1)
关于椭圆离心率的演练 一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在椭圆中，a c e =，222 22221a b a b a a c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 5.若椭圆)0(,122 22>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥， 则椭圆的离心率为 6..已知)0.0(121>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆1 22 22=+n y m x 的的离心率为 7.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点 分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是 8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为=e 。 9.P 是椭圆22a x +22 b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知 ,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 12.设椭圆22 22b y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1 且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 。 13.椭圆 12222=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F
椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法
椭圆离心率的三种求法： (1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝c a 或利用 22 1a b e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得c a 的值，通常由已知寻求a ， b ， c 的关系式，再与a 2 ＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解. (3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围. 1. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点??? ??0,2b 分成5∶3 的两段，则此椭圆的离心率为( ) A.1617 B.41717 C.45 D.25 5 解析 依题意，得c ＋b 2c －b 2 ＝5 3，∴c ＝2b ，∴a ＝ b 2＋ c 2＝5b ，∴e ＝ 2b 5b ＝255. 答案D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率. 2. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°， 求椭圆离心率的取值范围. 分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝1 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.② ①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③ 由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 2 3 .④
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜ ｜BO ｜④ e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜ ｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜ BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭 圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正
三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e?
椭圆的离心率求法
椭圆3 例7.椭圆22a x +22 b y =1(a ＞b ＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个等边三角形的三个顶点，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3，求椭圆的方程. 122x +92 y =1 例8．根据条件，求出椭圆的方程：中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上， 短轴的一个顶点B 与两个焦点12,F F 组成的三角形的周长为4+1223F BF π∠=. （2）设长轴为2a ，焦距为2c ，则在2F OB ?中，由23 F OB π∠= 得：2c a =，所以21F BF ? 的周长为2224a c a +==+ 22,1a c b ∴==∴=故得：22 141 x y +=. 四.怎么求椭圆的离心率. 引例. 已知椭圆长轴与短轴的比为2：1，求离心率. 例8、已知椭圆一焦点与短轴两端点连线的夹角为90?，求椭圆的离心率. 解：∵ |FO| = c , |OA| = b , |AF| = a ∴ 在△AOF 中, θcos =a c , θ = 45? ? cos45?=22 ∴ 椭圆的离心率e =22 说明：离心率与角度关系：θcos =e 例9.椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？ ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2| . ( ) A. 16x 2＋9y 2＝1 B. 16x 2＋12y 2＝1 C. 4x 2＋3y 2＝1 D. 3x 2 ＋4 y 2＝1 变式：椭圆12222=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21∣AF ∣，求椭圆的离心率.（3 6） 10.焦点在Y 轴上的椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则=m .
椭圆练习题(经典归纳)
初步圆锥曲线 感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点1,22?? ? ??? ，,M N 为平面上关于原点对称的两点，已知N 的 坐标为0,3? - ?? ,过N 作直线交圆于,A B 两点 (1）求圆O 的方程; （2)求ABM ?面积的取值范围 二. 曲线方程和方程曲线 （1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程 例题:教材P .３7 A 组.T3 T4 Ｂ组 T2 练习 1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 ,则动点P 的轨迹方程是____ 练习２.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -,动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为＿＿_____＿＿__ 总结：求点轨迹方程的步骤： (1）建立直角坐标系 （2）设点:将所求点坐标设为(),x y ,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示)
（3）列式:从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （４）化简:将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程 设直线方程：若直线方程未给出，应先假设． (1)若已知直线过点00(,)x y ,则假设方程为00()y y k x x ； (２）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0,则假设方程为t kx y +=； （３）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ,且水平线不满足条件（斜率为０),可以假设 直线为x my t 。 【反斜截式，1 m k 】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 例题:圆C 的方程为：.0222=-+y x (1)若直线过点）（4,0且与圆C 相交于Ａ，B 两点,且2=AB ,求直线方程． (2）若直线过点） （3,1且与圆C 相切,求直线方程. (3)若直线过点） （0,4且与圆C 相切,求直线方程． 附加:4)4(3:22 =-+-y x C ）（ ． 若直线过点）（0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ S ?最大时的直线方程. 椭 圆
高中数学选择填空破题(椭圆的基本性质)：构造齐次方程求椭圆的离心率-Word版含答案
今天我们研究构造齐次方程求椭圆的离心率。椭圆的几何性质中，离心率问题是重点。根据题设条件，借助a ,b ,c 之间的关系，构造a ,c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。 先看例题： 例：椭圆22 221x y a b +=(a>b>0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为________. 22 2155c e e a ==?= 规律整理： 构造齐次方程求离心率的一般方法 先列出关于a ,b ,c 的齐次方程，然后根据222 b a c ＝－消去b , 进而，方程两边同时除以a 2（a 4等，由方程的次数决定） 转化成关于e 的方程求解。 再看一个例题，加深印象 例：如图,在平面直角坐标系xOy 中,A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的四个顶点,F 为其右焦点,直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为________.
联立①②可得两直线交点T 的坐标为2()(,)ac b a c a c a c +--, 则线段OT 的中点M 的坐标为()(,)2() ac b a c a c a c +--, 代入椭圆22 221x y a b +=,可得4c 2+(a +c )2=4(a －c )2,两边同时除以a 2 即得关于离心率的方程：e 2 +10e －3=0, 解之得5e =-±e ∈(0,1),∴5e =. 总结： 1.根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系. 2.在a 、c 的关系式中除以a 的合适次数，得到关于e 的齐次方程，解得离心率e . 练习： 1.椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的半焦距为 c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ， 则椭圆的离心率为 ( ) A.2－22 B.22－12 C.3－1 D.2－1 2. 已知椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c ,0)和 F 2(c ,0)(c >0),过点2 (,0)a E c 的直线与椭圆相交于A ,B 两点,且 F 1A ∥F 2B ,|F 1A |=2|F 2B |. (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)求直线AB 的斜率;
专题椭圆的离心率解法大全
专题：椭圆的离心率 一，利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 2 21?? ? ??-=a b e ） 1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e 3 2，椭圆1422=+m y x 的离心率为2 1，则=m [解析]当焦点在x 轴上时， 32124=?=-m m ； 当焦点在y 轴上时，316 214=?=-m m m ， 综上3 16 = m 或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是 5 3 4，已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为 [解析]由??? ???≠=+=0 222 2mn n m n n m n ?? ?==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(12 1>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23 6，设椭圆22 22b y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的 距离，则椭圆的离心率是2 1 。 二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e 1，在?Rt ABC 中，ο 90=∠A ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 ( ) 36-= e 2， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且ο 901=∠BDB , 则椭圆的离心率为( ) [解析] =?=-?-=-?e ac c a c b a b 221)(21 5- 3，以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13- 变式（1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13-
椭圆离心率常见求法整理归纳
5 椭圆的离心率 1．设12F F ，分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使 1290F AF ∠=且123AF AF =，则椭圆的离心率为 ． 2．设椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点， 212PF F F ⊥，1230PF F ∠=?，则椭圆C 的离心率为_____________. 3．设1F 、2F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线 段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为 . 4．已知椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点为12,F F ,以12F F 为边作正三角形，若椭 圆恰好平分正三角形的另外两条边，且124F F =，则a 等于___________. 5．椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若 1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为________． 6．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________． 7．设椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右焦点为12F F ， ，作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于________. 8．过点(1,1)M 作斜率为1 2 -的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 . 9．椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 左右焦21,F F ，若椭圆C 上恰有4个不同的点P ，使 得21F PF ?为等腰三角形，则C 的离心率的取值范围是 _______
关于椭圆离心率求法(供参考)
水深火热的演练 一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在椭圆中，a c e =，22 2 22221a b a b a a c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为 2 1 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 12 。 5.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e 22 。 6..已知)0.0(12 1>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23 8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为= e 2 2 。 9.P 是椭圆22a x +22 b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF , 321α=∠PF F 椭圆的离心率为= e 13- 10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 3 6 13.椭圆12222=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于2 1 ∣AF∣， 则椭圆的离心率是36 。 14.椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则 椭圆的离心率是 2 1 5-
椭圆离心率求法
离心率的五种求法 椭圆的离心率10<
离心率的五种求法
离心率的五种求法 Revised at 2 pm on December 25, 2020.
离心率的五种求法 椭圆的离心率10<
椭圆离心率问题专题练习
椭圆离心率问题专题练习 1． 已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 2.椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等 于 2 1 ∣AF ∣，椭圆的离心率为 3.椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过 焦点，椭圆的离心率为 4. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，椭圆的离心率为 5.以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，椭圆的离心率为 6. 如图所示，A 、B 是椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点， 且AB ⊥BF 2，椭圆的离心率为 7.已知直线L 过椭圆 122 22=+b y a x （a>b>0）的 顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 距离为2 a ，椭圆的离心率为 · 8.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 6021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为 9.椭圆12222=+b y a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b +2 )2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2 , 椭圆离心 率e 的取值范围为 10.设椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存在一
高中数学椭圆题型完美归纳(经典)
椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .
|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e
离心率的求法情况总结[精]
圆锥曲线中的离心率问题 离心率两大考点：求值、求范围 求值: 1. 利用a与c的关系式（或齐次式） 2. 几何法 3. 与其它知识点结合 求范围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c 、不等关系求解. 2. 运用数形结合建立a c 、不等关系求解 3. 利用曲线的范围，建立不等关系 4. 运用函数思想求解离心率 5. 运用判别式建立不等关系求解离心率 一、求离心率的值 1. 利用a与c的关系式（或齐次式） 题1：(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为． 题2：已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°， 则双曲线C的离心率为 6 2
题3：设双曲线()222200x y a b a b －＝1＞，＞的渐近线与抛物线2 1y ＝x ＋相切，则该双曲线的 离心率等于（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6 解：由题双曲线()22 2200x y a b a b －＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程 整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即 5522=?=e a c ，故选择C 。 题4：(2009浙江理) 过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该 直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若12 AB BC u u u r u u u r =，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）10 2. 几何法 题1： 以椭圆的右焦点F ，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线MF l (F l 为左焦点)是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是 11211,2,3,31MF F F MF e ====-
高中数学椭圆离心率求法专题
关于椭圆离心率 设椭圆x a y b a b 222 210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭 圆上存在点P ，使∠=?F PF 1290，求离心率e 的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则 F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 121212122222 9000→→ → → → → =+=-∠=?⊥?=+-+=+=()()()()，，，由，知， 则， 即得 将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得 x a c a b a b F PF x a a c a b a b a 2 222222 1222 222222 2 9000= --∠=? ≤<≤--<但由椭圆范围及知即 可得，即，且从而得，且所以，） c b c a c c a e c a e c a e 2222222 2212 2 1≥≥-<= ≥=<∈[ 解法2：利用二次方程有实根 由椭圆定义知 ||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=?++=
又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此 ∠=?+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||() ||||() ?=--≥?=≥ ?≥ 4801 22 2 2222 22a a c e c a e () 因此，e ∈[ )2 2 1 解法3：利用三角函数有界性 记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有 ||sin ||sin || sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211 22 2 122 βααβ αβ αβ αβ αβ == ??++=+=== =+=+-= -又，，则有 而知从而可得09002 45222 12 2 1 ≤-
椭圆离心率的解法
椭圆离心率的解法 椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜ ｜BA ｜ ⑤e=｜FO ｜ ｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a, ｜BO ｜= a 2 c ∴有③。 题目1：椭圆x 2 a +y 2 b =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF 1｜= b 2 a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2 ∴a 2 =5c 2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e? 解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2 +b 2 a 2+ b 2+a 2 =(a+c)2 =a 2+2ac+ c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2 e 2 +e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52 (舍去) 变形：椭圆x 2 a +y 2 b =1(a>b >0)，e=-1+ 5 2 , A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？ B A F 2 F 1 P O F B A O