第九章 渐近法
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李廉锟《结构力学》(上册)章节题库(9-11章)【圣才出品】
4 / 52
图 9-4 2．如图 9-4 所示结构中，力矩分配系数 μAB＝＿＿＿＿。
【答案】μAB＝0.75。
图 9-4
5 / 52
【解析】因为 SAB＝3i，SAC＝i，SAD＝0。 3．用力矩分配法计算如图 9-5（a）所示结构，EI＝常数，可得：MAB＝＿＿＿＿KN·m， MBA＝＿＿＿＿kN·m，MCA＝＿＿＿＿kN·m。
图 9-6
6 / 52
【答案】
【解析】本题可用剪力分配法计算。方法是柱顶加支杆，由载常数求得支杆反力为 ，
再反向作用于柱顶由剪力分配法求各柱分得剪力均为
。（但左柱总剪力不为此
值）最后弯矩图如图 9-7 中左图所示。
图 9-7
三、判断题
1．在力矩分配法中，杆端的转动刚度只与杆另一端的支承情况有关。（ ） 【答案】错 【解析】除杆另一端的支承情况外，还与线刚度 i 有关。
4．为什么单跨对称刚架可以用无剪力分配？单跨不对称刚架直接用无剪力分配有什么 问题？
答：（1）单跨对称刚架可以用无剪力分配的原因 单跨对称刚架受任意荷载作用时，可将其荷载分解成对称和反对称两组。在对称荷载组 作用下，可用力矩分配法求解。在反对称荷载组作用下，取半边结构后，主柱变成有相对线 位移但剪力静定的杆，可用无剪力分配法求解。 （2）单跨不对称刚架直接用无剪力分配所存在的问题 单跨不对称刚架，不能取半边结构计算，也没有存在线位移但剪力静定的杆，故不能用 无剪力分配求解。
图 9-1
1 / 52
【答案】D 【解析】由于 A 点以右为静定部分，计算分配系数时只需考虑超静定部分即可。由于 转动刚度 SAC＝4i，SAB＝4i，SAD＝0，故 μAB＝1/2。 3．如图 9-2 所示结构中，当结点 B 作用外力偶 M 时，用力矩分配法计算 MBA 等于（ ）。 A．M/3 B．M/2 C．M/7 D．2M/5
图 9-4 2．如图 9-4 所示结构中，力矩分配系数 μAB＝＿＿＿＿。
【答案】μAB＝0.75。
图 9-4
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【解析】因为 SAB＝3i，SAC＝i，SAD＝0。 3．用力矩分配法计算如图 9-5（a）所示结构，EI＝常数，可得：MAB＝＿＿＿＿KN·m， MBA＝＿＿＿＿kN·m，MCA＝＿＿＿＿kN·m。
图 9-6
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【答案】
【解析】本题可用剪力分配法计算。方法是柱顶加支杆，由载常数求得支杆反力为 ，
再反向作用于柱顶由剪力分配法求各柱分得剪力均为
。（但左柱总剪力不为此
值）最后弯矩图如图 9-7 中左图所示。
图 9-7
三、判断题
1．在力矩分配法中，杆端的转动刚度只与杆另一端的支承情况有关。（ ） 【答案】错 【解析】除杆另一端的支承情况外，还与线刚度 i 有关。
4．为什么单跨对称刚架可以用无剪力分配？单跨不对称刚架直接用无剪力分配有什么 问题？
答：（1）单跨对称刚架可以用无剪力分配的原因 单跨对称刚架受任意荷载作用时，可将其荷载分解成对称和反对称两组。在对称荷载组 作用下，可用力矩分配法求解。在反对称荷载组作用下，取半边结构后，主柱变成有相对线 位移但剪力静定的杆，可用无剪力分配法求解。 （2）单跨不对称刚架直接用无剪力分配所存在的问题 单跨不对称刚架，不能取半边结构计算，也没有存在线位移但剪力静定的杆，故不能用 无剪力分配求解。
图 9-1
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【答案】D 【解析】由于 A 点以右为静定部分，计算分配系数时只需考虑超静定部分即可。由于 转动刚度 SAC＝4i，SAB＝4i，SAD＝0，故 μAB＝1/2。 3．如图 9-2 所示结构中，当结点 B 作用外力偶 M 时，用力矩分配法计算 MBA 等于（ ）。 A．M/3 B．M/2 C．M/7 D．2M/5
结构力学-渐近法
4i14
M1 图
4
M 1Fj — —将不平衡力矩变号后, 按劲度系数大小的比例,
分配给各近端；
M 12 — —节点转动 Z 1 角产生的弯矩 分配弯矩 F M 12 — —固端弯矩
F M 14 M 14 M 14
F 同理： M 13 M 13 M 13
远端弯矩(传递弯矩)：
i1 l1
4P
1500
2500
C
B
5 P 3 E
2500
A
D
CB
BA 0.625, BC 0.375。 0.5, CD 0.5, DC 0.706, DE 0.294。
A
0.625 0.375 B
1500 -938 -562
0.5 0.5 C
-281 883 -301 -301 29 54 -42 -42
30kN/m B i=1
10m 0.5
160kN C
3m 0.5 +112.5
D i=1
5m
+250.0 -187.5
+32.0 -47.3 -47.3 +4.8 -2.4 -2.4 +0.3 -0.2 -0.2 +237.4 -237.4
B点一次分、传 0.0 C点一次分、传 B点二次分、传 0.0 C点二次分、传 B点三次分、传 0.0 C点第三次分配 最后弯矩 0.0
F
1
1
3 3
2 2
3i12 Z1=1 3i12 Z1=1 2i13 2i13 3
1
1 4i13
3
4i13
M1 图
4 4
i4i14 14
4i14
M1 图
4
M 1Fj — —将不平衡力矩变号后, 按劲度系数大小的比例,
分配给各近端；
M 12 — —节点转动 Z 1 角产生的弯矩 分配弯矩 F M 12 — —固端弯矩
F M 14 M 14 M 14
F 同理： M 13 M 13 M 13
远端弯矩(传递弯矩)：
i1 l1
4P
1500
2500
C
B
5 P 3 E
2500
A
D
CB
BA 0.625, BC 0.375。 0.5, CD 0.5, DC 0.706, DE 0.294。
A
0.625 0.375 B
1500 -938 -562
0.5 0.5 C
-281 883 -301 -301 29 54 -42 -42
30kN/m B i=1
10m 0.5
160kN C
3m 0.5 +112.5
D i=1
5m
+250.0 -187.5
+32.0 -47.3 -47.3 +4.8 -2.4 -2.4 +0.3 -0.2 -0.2 +237.4 -237.4
B点一次分、传 0.0 C点一次分、传 B点二次分、传 0.0 C点二次分、传 B点三次分、传 0.0 C点第三次分配 最后弯矩 0.0
F
1
1
3 3
2 2
3i12 Z1=1 3i12 Z1=1 2i13 2i13 3
1
1 4i13
3
4i13
M1 图
4 4
i4i14 14
4i14
结构力学 渐进法
EI=1 6m
D
iBC iCD
M F -60
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
1 6 2 1 8 4 1 6
B
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
Mij -43.6 43.6 A 21.9
0.3
92.6 -92.6 92.6 B
B
F
CB 0.445 CF 0.222 0.333 CD
单独使用时对连续梁和无结点线位移刚架的 计算特别方便。
一、基本概念
（1）转动刚度（S）： 使杆端发生单位转角时需要施加的杆端弯矩。 SAB=4i
A B
SAB=3i
1
A B
1
SAB=i
A B
SAB=0
A
B
1
SAB=4i SAB与杆的i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承 有关， 而与近端支承无关。
F 21 2
A
q 12kN / m
M1
1
M2
2
B
28.6
50
6.1
100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4
-9.2 -12.2
1.8 1.8
-6.1
6.1 3.5 2.6
放松结点1(结点2固定):
S12 4i S1 A 3i 12 0.571 1 A 0.429
… … ...
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
渐近法有力矩分配法
附加刚臂,即相当于在B结点作用一个反向的不平衡力矩(-MB)，求 出各杆端的分配弯矩及传递弯矩MC，叠加各杆端弯矩即得原连续 梁各杆端的最后弯矩。连续梁的M、FS图及支座反力则不难求出。 用力矩分配法作题时,不必绘图9-3(b)、(c)所示图,而是按一定的格 式进行计算,即可十分清晰地说明整个计算过程,举例如下。
§9-2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法对连续梁和无结点线位移刚架的计算特别方 便，下面先介绍几个常用的名词。 1．转动刚度(也称为劲度系数)S
(a)
SAB=4i
A A=1
l 远端固定SAB=4i
(d)
A=1
A
MAB=4i=SAB
MAB=2i
B
MAB=2i
B
(b)
SAB=3i
A A=1
MAB=0
4．力矩分配法的基本原理 以图9-3(a)为例进行说明:
（1）设想在B结点加上一个刚臂阻止B结点转动如图9-3(b)所示。 此时只有AB跨受荷载作用产生变形,相应的杆端弯矩MFAB、 MFAB即 为固端弯矩、,附加刚臂的反力矩可取B结点为隔离体而得：
ΣMB=0
,M B
MF, BA
MB是汇交于B结点各杆端固端弯矩代数和,
A
S AD M S
AD M
A
式中AB、AC、 AD称为分配系数,就相当于把结点力矩M按各杆转
动刚度的大小比例分配给各杆的近端,所得的近端弯矩称为分配弯 矩，用M表示。其中汇交于A结点各杆端分配系数之和为1,即
1 。
Aj
AB
AC
AD
远端杆端弯矩MBA=MAB/2、MCA=-MAC、MDA=0，是由分配弯矩乘 传递系数而得,即为传递弯矩。
第九章 塑造、渐隐
28
应用练习2：
你将要训练一个6个月大的小狗完成下面的反 应：当你命令它“过来”的时候，它就向你 跑来。假设训练时你有6米长的绳子和一口袋 狗食可以利用。
29
辨别性刺激——命令“过来” 反应——小狗向你跑过来 强化物——狗食和你的赞扬，抚摸 身体引导——绳子
1用绳子拴住狗，让它走开几尺，拉动绳子的同时，发出指令“过来 ”，狗狗过来后，强化 2重复上述练习并渐隐身体引导——拉动绳子，只要狗狗朝你的方向 跑来就停止拉动，拉动绳子的次数应越来越少，渐隐身体引导
8
（二）选择好初始行为： 初始行为必须是个体已经在做 的动作，至少是偶尔做过，另 外初始行为必须和目标行为有 些关联。 初始行为需要满足的条件： 1）该行为已经出现过。 2）该行为与目标行为接近， 可以作为目标行为的基础。
例子：海豚钻圈的初始行为可 以是什么动作？
9
（三）设定好塑造步骤 设定塑造步骤，就是要大体规划好当事人初始行 为到目标行为之间的若干连续相似的行为。
例子：训练海豚钻圈用特 定的声音刺激作为条件性 强化物。
11
（五）把握好塑造进度
首先，从一个行为过渡到下一个行为不能进行的太 快，也就是说行为重复的次数不能太少。如果因为 步子进行的太快或步子太大而失去了一个行为时， 应该回到一个能够重新产生该行为的较前的那个行 为上去。 其次，从一个行为过渡到下一个行为也不能进行的 太慢，也就是说行为重复的次数不能太多。 研究表明，如果个体在某一步骤的尝试中，有60% 以上的次数是成功的，就应转向下一步了，否则就 会导致个体行为的停滞不前。
17
第二节
一、渐隐的含义与正例
渐隐
（一）渐隐的含义 所谓渐隐（fading） ，是逐渐改变控制反应的刺激，最 终使个体对部分变化了的刺激或完全更新了的刺激，仍能 做出同样反应的现象。 问题：控制反应的刺激是什么？ 一般是去除促进性刺激，达到仅仅通过辨别性刺激就能控 制行为的发生。
应用练习2：
你将要训练一个6个月大的小狗完成下面的反 应：当你命令它“过来”的时候，它就向你 跑来。假设训练时你有6米长的绳子和一口袋 狗食可以利用。
29
辨别性刺激——命令“过来” 反应——小狗向你跑过来 强化物——狗食和你的赞扬，抚摸 身体引导——绳子
1用绳子拴住狗，让它走开几尺，拉动绳子的同时，发出指令“过来 ”，狗狗过来后，强化 2重复上述练习并渐隐身体引导——拉动绳子，只要狗狗朝你的方向 跑来就停止拉动，拉动绳子的次数应越来越少，渐隐身体引导
8
（二）选择好初始行为： 初始行为必须是个体已经在做 的动作，至少是偶尔做过，另 外初始行为必须和目标行为有 些关联。 初始行为需要满足的条件： 1）该行为已经出现过。 2）该行为与目标行为接近， 可以作为目标行为的基础。
例子：海豚钻圈的初始行为可 以是什么动作？
9
（三）设定好塑造步骤 设定塑造步骤，就是要大体规划好当事人初始行 为到目标行为之间的若干连续相似的行为。
例子：训练海豚钻圈用特 定的声音刺激作为条件性 强化物。
11
（五）把握好塑造进度
首先，从一个行为过渡到下一个行为不能进行的太 快，也就是说行为重复的次数不能太少。如果因为 步子进行的太快或步子太大而失去了一个行为时， 应该回到一个能够重新产生该行为的较前的那个行 为上去。 其次，从一个行为过渡到下一个行为也不能进行的 太慢，也就是说行为重复的次数不能太多。 研究表明，如果个体在某一步骤的尝试中，有60% 以上的次数是成功的，就应转向下一步了，否则就 会导致个体行为的停滞不前。
17
第二节
一、渐隐的含义与正例
渐隐
（一）渐隐的含义 所谓渐隐（fading） ，是逐渐改变控制反应的刺激，最 终使个体对部分变化了的刺激或完全更新了的刺激，仍能 做出同样反应的现象。 问题：控制反应的刺激是什么？ 一般是去除促进性刺激，达到仅仅通过辨别性刺激就能控 制行为的发生。
结构力学之渐近法
工程实例分析
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结构力学09第九章渐近法
MB11kN.m
9 B -8
例9-1-2 讨论悬臂端的处理。
200kN
20kN/m
30kN
A
EI B
EI C D
a)
3m
3m
6m
2m
解： 切除CD段，则BC杆的C端有顺时针方向
的力矩60kN.m，该力矩在BC杆产生固端弯 矩，见图 b）。
200kN
20kN/m 60KN.m 30kN
A
EI B
3m
B
C
32.13
158.56 M图（ kN.m ）
例题9-1-1 作图示刚架 M 图。
解：
10kN.m
12kN
6kN/m
1）求分配系数 i E I
4
A
D I (i) B I (i)
S BA 3i SBD 4i
(2i) 2I
4m
SBC23i6i
BA
3 13
0.231
C
2m 2m
4m
BC
6 13
分配法进行计算，见图 c）。
解： i E I
6
1）求分配系数
SBA 4i
BA
4 7
0.571
SBC 3i
BC
3 7
0.429
2）求固端弯矩
M A FB1 82006150kN.m MB FA1 82006150kN.m
MB FC1 8206290kN.m
结点B约束力矩为： 结点B分配力矩为：
SBA35i15i S BC 3i
BA
5 6
BC
1 6
2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩 的求解问题。
3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方
第九章 力矩分配法3-2
9.4 无剪力分配法
一、两个概念
1、有侧移杆与无侧移杆
杆件两端没有垂直于杆轴的相对线位移，称无侧移杆
杆件两端在垂直杆轴的方向上有相对线位移，称有侧移杆
2、剪力静定杆 杆件内的各截面剪力可以 由静力平衡条件唯一确定 的杆称为剪力静定杆
B
A C
A
图（A）
二、无剪力分配法
1、刚架特点：竖杆为剪力静定杆，节点A水平移动时，竖杆除 受本身的弹性约束外无其他杆件或支座的约束。 位移法解题：一般A处加刚臂，C点加支杆，基本结构如右下图 力矩分配法：通常只适用于计算仅以节点角位移为基本未知量
B
SBA
SBC 1
B C
i2
1
i2
0.2 0.8
3i1
-2.67 -3.75 1.28 5.14
-1.39 1.39 -5.33
i2 A
CBA 1
1.39
1.39 5.70
-1.28 -6.61
S BA i2 3 S BC 3i1 12 3 BA 3 12 0.2 12 0.8 BC 3 12
A
图（C）
B
A
A
图（D）
B
A
加刚臂阻止转动 放松节点使产生真实转角 A
A
C
A
C
SAC= 3iAC
SAB= iAB
A
B
A
(节点A处产生 不平衡力矩) B
(A处不平衡力矩 反号后待分配) MAB A
B 右1图因节点A,C 同时 水平移动，AC 杆作 刚体平 移不引起内力
SAB=iAB A 右2图A处实际转角时， 水平杆在A端有转动 Q=0 CAB=-1 刚度，AB杆受弯 B -MAB （参与A节点不平衡 力矩的分配）
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M AB 4i A S AB A M AC 0 =S AC A M AD 2i A =S AD A M AE 6i A =S AE A
E 2i B M0 A i C D
i
2i
S AB 4i S AC 0 S AD 2i S AE 6i
5
平衡方程为：
q1
A q2 B q2 B 此杆转动刚度S=0 q1 A
A
3m
讨论悬臂端的处理。
20kN/m B
3m
200kN
EI
30kN
C
2m
EI
6m
D
a)
解：
切除图a)所示梁的CD段，则BC杆的C端 有顺时针方向的力矩60kN.m，该力矩在BC 杆B端产生固端弯矩30kN.m，见图 b）。
200kN 20kN/m B
3m
60KN .m 30kN
C C
2m
18
A
3m
EI
150
-90
30 -51.39 -38.61 98.61 -98.61
19
175.70 A
98.61
60
C
B 162.85
10.70
D
M 图（ kN.m ）
20
§9-2 多结点力矩分配
一、多结点力矩分配
60kN A EI EI 4m B
2m
C 2m
EI 4m
D
1）锁住结点B、C，各杆产生固端弯矩。
BD
4 0.307 13
14
2) 求固端弯矩
12kN
10kN.m
6kN/m D B 2I I (i)
4m
3 M 12 4 9kN .m A 16 1 F M BD 6 16 8kN .m 12
F BA
I (i)
(2i)
M
F DB
1 6 16 8kN .m 12
A
M AB
A i A
B
M BA i A
A
i
A
B
M BA C AB 1 M AB
在上面的讨论中可知，远端弯矩等于近端 弯矩乘传递系数，即 M BA CAB M AB 。
9
四、单结点力矩分配
200kN A
3m
20kN/m B EI
3m 6m
EI
C
a)
MB=60kN.m A
4 EI iBC i 4 4 EI iBA 2i 2
18kN/m C D
4m
4I(2i) B 4 I (i) 4I (i) E
2m 4m
4 EI iBE i 4 2 EI 2 iCD i 3 3
2I (2i/3)
结点B S BA 2i BA 2 0.2
10
5 6
BC
1 6
2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩 的求解问题。 3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方 法。
A
EI 5i
1m
B
EI i
5m
50kN .m
C C
50kN D
1m
30
二、几个问题的讨论
1. 对称结构的计算
对称结构在对称荷载作用下，结构无侧移， 可以利用力矩分配法计算。根据位移法中的讨 论，取半边结构以简化计算。
第九章 渐近法
§９-1 力矩分配法基本概念 §９-2 多结点力矩分配 §９-3 无剪力分配法
1
§９-1 力矩分配法基本概念
力矩分配法源自位移法，但不必求解方程组， 只需按表格进行计算，计算方便、快捷。 力矩分配法是逐步逼近（对多结点力矩分配 而言）精确解的计算方法，是渐近法，不是近 似法。 力矩分配法只适用于连续梁和无结点线位移 的刚架。
作图示刚架 M 图。
12kN A I (i) (2i) C
2m 2m 4m
10kN.m
6kN/m D B 2I I (i)
4m
EI 1）求分配系数 i 4
S BA 3i
S BD 4i
S BC 3 2i 6i
BA
3 0.231 13
BC
6 0.462 13
-9.375
结点B新的约束力矩为
M B 9.375kN .m
23
4）重新锁住结点C，同时放松结点B，即在B施 加力矩 M B ，这又相当于做一个单结点力矩分 配。 M C 2.344 M B 9.375
A 2.344 B 4.688 4.688 C D
2.344
4 -4.8
0.2 0.4
BC
0.4
CB CD
0.667 0.333
D
8
-24
4.8
9.6
-8 9.6
24 -16
-8
-0.32
-1.6 0.32 0.64 0.64
4.8 -3.2
0.32
-1.6
-0.213 -0.107 -1.12 13.12 10.24 -23.36 E 4.8 0.32 5.12 9.71 -9.71
AD
M AE =S AE A
S AE 6i 1 M 0 = AE M 0 = M0 = M0 12i 2 S
AE
S AE 1 S 2
M AC 0
AC
S AC 0 S
7
由上式可以看出，结点力偶M0按系数μ 确定 的比例分配给各杆端。系数μ 称为分配系数， 某杆的分配系数μ 等于该杆的转动刚度S与交 于同一结点的各杆转动刚度之和 S的比值， 即 i Si / S 。 对某结点，各杆分配系数之代数和为1，即：
200kN
M B 60kN .m 20kN/m
B b)
B 150kN.m -90kN.m 150kN.m
150kN.m
90kN.m
C
用位移法解图a)所示结构时，首先在结点B加 上附加转动约束，锁住B使之不能转动，于是可 求得各杆固端弯距。附加约束产生的反力矩MB等 于各杆端固端弯矩的代数和，见图 b)。
结点C约束力矩变为
M C 2.344kN .m
如此循环，可见连续梁的变形曲线越来越接 近实际的变形曲线，即越来越趋近于精确解。 所谓多结点力矩分配，本质上是单结点力矩 分配。通常各结点做两轮至三轮分配运算，就 可以达到满意的精度。
24
例9-2-1
作图示刚架M 图。
6kN/m A
解： 1) 求分配系数
-8
2.76
-5.24
C
16
4) 作弯矩图
A
11.08
9.38 D
5.24 4.16 B 4.69 6.46
5) 讨论
C
M图（ kN.m ）
若结点力矩为逆时针方向，则：
M B 10 (9 8) 11kN .m
M B 11kN .m
9
MB B
10kN.m
-8
17
例9-1-2
M B 30 60kN M C 30
A
EI
EI
B
-30 30
C
EI
D
F 结点约束力矩： M B M BC 30kN .m
F M C M CB 30kN .m
21
2）放松结点B，即在结点B施加力矩-MB ，结 点C仍锁住。这相当于做一个单结点力矩分 配。 M C 30 7.5 37.5 M B 30
A 7.5 B 15 15
C 7.5
D
结点C约束力矩变为： M C 37.5kN .m
22
3）重新锁住结点B，同时放松结点C，即在C 施加力矩 M C，这又相当于做一个单结点力矩 分配。
M B 9.375
A B
M C 37.5
C -18.75 -18.75
D
-9.37直杆的转动刚度。
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数 值上等于使杆端产生单位转角（无线位移）时 所需施加的力矩。用符号S表示，见下面各图。
施力端称为近端 ，另一端称为远端。
A SAB
i
B
A 1
a) SAB=4i，远端为固端
3
A
SAB
A 1
i
B
b) SAB=3i，远端为滚轴 支座或铰支座。
3m
结点C
SBE 4i
BE
4 0.4 10
SCB 4i
SCD
CB
4 0.667 6
SBC 4i BC
4 0.4 10
2 2 3 i 2i CD 0.333 25 3 6
2) 求固端弯矩
A
M
F AB
6kN/m
18kN/m C D
2I (2i/3)
3）运算格式
分配系数 BA BC A
-150
0.571 0.429
固端弯矩
分配传递 杆端弯矩
C
0 0
150
-90
-17.13 -167.13
-34.26 -25.74 115.74 -115.74
4）作弯矩图
167.13
115.74
B C
A
158.56
32.13
M图（ kN.m ）
13
例题9-1-1 解：
1 1 1 3 6 2 1
8
三、传递系数
当近端有转角时（无线位移），远端弯矩 与近端弯矩的比值称为传递系数，用C表示。
M AB 4i A
M BA 2i A
A
M AB 3i A
A
i i
B
E 2i B M0 A i C D
i
2i
S AB 4i S AC 0 S AD 2i S AE 6i
5
平衡方程为：
q1
A q2 B q2 B 此杆转动刚度S=0 q1 A
A
3m
讨论悬臂端的处理。
20kN/m B
3m
200kN
EI
30kN
C
2m
EI
6m
D
a)
解：
切除图a)所示梁的CD段，则BC杆的C端 有顺时针方向的力矩60kN.m，该力矩在BC 杆B端产生固端弯矩30kN.m，见图 b）。
200kN 20kN/m B
3m
60KN .m 30kN
C C
2m
18
A
3m
EI
150
-90
30 -51.39 -38.61 98.61 -98.61
19
175.70 A
98.61
60
C
B 162.85
10.70
D
M 图（ kN.m ）
20
§9-2 多结点力矩分配
一、多结点力矩分配
60kN A EI EI 4m B
2m
C 2m
EI 4m
D
1）锁住结点B、C，各杆产生固端弯矩。
BD
4 0.307 13
14
2) 求固端弯矩
12kN
10kN.m
6kN/m D B 2I I (i)
4m
3 M 12 4 9kN .m A 16 1 F M BD 6 16 8kN .m 12
F BA
I (i)
(2i)
M
F DB
1 6 16 8kN .m 12
A
M AB
A i A
B
M BA i A
A
i
A
B
M BA C AB 1 M AB
在上面的讨论中可知，远端弯矩等于近端 弯矩乘传递系数，即 M BA CAB M AB 。
9
四、单结点力矩分配
200kN A
3m
20kN/m B EI
3m 6m
EI
C
a)
MB=60kN.m A
4 EI iBC i 4 4 EI iBA 2i 2
18kN/m C D
4m
4I(2i) B 4 I (i) 4I (i) E
2m 4m
4 EI iBE i 4 2 EI 2 iCD i 3 3
2I (2i/3)
结点B S BA 2i BA 2 0.2
10
5 6
BC
1 6
2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩 的求解问题。 3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方 法。
A
EI 5i
1m
B
EI i
5m
50kN .m
C C
50kN D
1m
30
二、几个问题的讨论
1. 对称结构的计算
对称结构在对称荷载作用下，结构无侧移， 可以利用力矩分配法计算。根据位移法中的讨 论，取半边结构以简化计算。
第九章 渐近法
§９-1 力矩分配法基本概念 §９-2 多结点力矩分配 §９-3 无剪力分配法
1
§９-1 力矩分配法基本概念
力矩分配法源自位移法，但不必求解方程组， 只需按表格进行计算，计算方便、快捷。 力矩分配法是逐步逼近（对多结点力矩分配 而言）精确解的计算方法，是渐近法，不是近 似法。 力矩分配法只适用于连续梁和无结点线位移 的刚架。
作图示刚架 M 图。
12kN A I (i) (2i) C
2m 2m 4m
10kN.m
6kN/m D B 2I I (i)
4m
EI 1）求分配系数 i 4
S BA 3i
S BD 4i
S BC 3 2i 6i
BA
3 0.231 13
BC
6 0.462 13
-9.375
结点B新的约束力矩为
M B 9.375kN .m
23
4）重新锁住结点C，同时放松结点B，即在B施 加力矩 M B ，这又相当于做一个单结点力矩分 配。 M C 2.344 M B 9.375
A 2.344 B 4.688 4.688 C D
2.344
4 -4.8
0.2 0.4
BC
0.4
CB CD
0.667 0.333
D
8
-24
4.8
9.6
-8 9.6
24 -16
-8
-0.32
-1.6 0.32 0.64 0.64
4.8 -3.2
0.32
-1.6
-0.213 -0.107 -1.12 13.12 10.24 -23.36 E 4.8 0.32 5.12 9.71 -9.71
AD
M AE =S AE A
S AE 6i 1 M 0 = AE M 0 = M0 = M0 12i 2 S
AE
S AE 1 S 2
M AC 0
AC
S AC 0 S
7
由上式可以看出，结点力偶M0按系数μ 确定 的比例分配给各杆端。系数μ 称为分配系数， 某杆的分配系数μ 等于该杆的转动刚度S与交 于同一结点的各杆转动刚度之和 S的比值， 即 i Si / S 。 对某结点，各杆分配系数之代数和为1，即：
200kN
M B 60kN .m 20kN/m
B b)
B 150kN.m -90kN.m 150kN.m
150kN.m
90kN.m
C
用位移法解图a)所示结构时，首先在结点B加 上附加转动约束，锁住B使之不能转动，于是可 求得各杆固端弯距。附加约束产生的反力矩MB等 于各杆端固端弯矩的代数和，见图 b)。
结点C约束力矩变为
M C 2.344kN .m
如此循环，可见连续梁的变形曲线越来越接 近实际的变形曲线，即越来越趋近于精确解。 所谓多结点力矩分配，本质上是单结点力矩 分配。通常各结点做两轮至三轮分配运算，就 可以达到满意的精度。
24
例9-2-1
作图示刚架M 图。
6kN/m A
解： 1) 求分配系数
-8
2.76
-5.24
C
16
4) 作弯矩图
A
11.08
9.38 D
5.24 4.16 B 4.69 6.46
5) 讨论
C
M图（ kN.m ）
若结点力矩为逆时针方向，则：
M B 10 (9 8) 11kN .m
M B 11kN .m
9
MB B
10kN.m
-8
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例9-1-2
M B 30 60kN M C 30
A
EI
EI
B
-30 30
C
EI
D
F 结点约束力矩： M B M BC 30kN .m
F M C M CB 30kN .m
21
2）放松结点B，即在结点B施加力矩-MB ，结 点C仍锁住。这相当于做一个单结点力矩分 配。 M C 30 7.5 37.5 M B 30
A 7.5 B 15 15
C 7.5
D
结点C约束力矩变为： M C 37.5kN .m
22
3）重新锁住结点B，同时放松结点C，即在C 施加力矩 M C，这又相当于做一个单结点力矩 分配。
M B 9.375
A B
M C 37.5
C -18.75 -18.75
D
-9.37直杆的转动刚度。
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数 值上等于使杆端产生单位转角（无线位移）时 所需施加的力矩。用符号S表示，见下面各图。
施力端称为近端 ，另一端称为远端。
A SAB
i
B
A 1
a) SAB=4i，远端为固端
3
A
SAB
A 1
i
B
b) SAB=3i，远端为滚轴 支座或铰支座。
3m
结点C
SBE 4i
BE
4 0.4 10
SCB 4i
SCD
CB
4 0.667 6
SBC 4i BC
4 0.4 10
2 2 3 i 2i CD 0.333 25 3 6
2) 求固端弯矩
A
M
F AB
6kN/m
18kN/m C D
2I (2i/3)
3）运算格式
分配系数 BA BC A
-150
0.571 0.429
固端弯矩
分配传递 杆端弯矩
C
0 0
150
-90
-17.13 -167.13
-34.26 -25.74 115.74 -115.74
4）作弯矩图
167.13
115.74
B C
A
158.56
32.13
M图（ kN.m ）
13
例题9-1-1 解：
1 1 1 3 6 2 1
8
三、传递系数
当近端有转角时（无线位移），远端弯矩 与近端弯矩的比值称为传递系数，用C表示。
M AB 4i A
M BA 2i A
A
M AB 3i A
A
i i
B