结构力学 渐进法
结构力学教案第9章用渐进法计算超静定梁和刚架
结构力学教案第9章用渐进法计算超静定梁和刚架第九章用渐进法计算超静定梁和刚架9．1 力矩分配法的基本概念一、力矩分配法中使用的几个名词 1、转动刚度（S ij )使等截面直杆某杆端旋转单位角度?=1时，在该端所需施加的力矩。
2．传递系数（C ij ）远端弯矩与近端弯矩之比称为传递系数，用C ij 表示。
3、分配系数（μi j ）杆ij 的转动刚度与汇交于i 结点的所有杆件转动刚度之和的比值。
（a ）MBM ACADM（a ）A BS AB=3EI/lBS AB =EI/l（c ）（d ）（b ）S=0二、用力矩分配法计算具有一个结点铰位移的结构 1、解题思路2、解题步骤（1）在刚结点上加上刚臂（想象），使原结构成为单跨超静定梁的组合体，计算分配系数。
（2）计算各杆的固端弯矩，进而求出结点的不平衡弯矩。
（3）将不平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后，按分配系数、传递系数进行分配、传递。
（4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得各杆的最后弯矩。
3、例题: 例9?1 试作图示连续梁的弯矩图。
各杆EI 为常数。
M BM f BC M f BACB A (b)A(a)例9?2 试作图示刚架的弯矩图。
9．2用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架一、基本概念1、力矩分配法是一种渐近法。
2、每次只放松一个结点。
3、一般从不平衡弯矩绝对值较大的结点算起。
二、计算步骤1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。
2、计算个杆端的固端弯矩。
3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点上的传递弯矩小到可以略去不计为止。
4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加，即得各杆端的最后弯矩。
B 120kN 89.8三、例题: 试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。
M 图(kN.m)A300kN30kN/m160kNM图(kN.m)例9?4用力矩分配法计算图9?8（a）所示的刚架，并绘M图。
9．3 无剪力分配法一、无剪力分配法的应用条件刚架中除两端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件。
理学结构力学渐进法
§9-2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法：适用于连续梁和无结点线位移的刚架计算。
一、转动刚度S： SAB=4i
1
4i
1
转动刚度 (劲度系数) 杆件AB（如图）的A端转动单 位角时，A端（近端）的弯矩 MAB称为该杆端的劲度系数，用 SAB表示。
转动刚度 (劲度系数)标志该杆端 抵抗转动能力的大小。与杆件 的线刚度有关，与杆件另一端 （远端）的支承情况有关。
取一半结构计算，如图d。
由于假设H点无水平位移，此时竖杆均为无侧移杆，所有横梁都是剪 力静定杆→可用无剪力分配法求解。
§9-4 无剪力分配法
计算过程如图a。
§9-4 无剪力分配法
弯矩图如图b。
求F点的竖向位移时，静定的基本体系如图c。
ΔFy
1 EI
Fl [ 1523l 10000 2
1 3
2l 3
§9-4 无剪力分配法 • 用于计算有侧移刚架。 • 要求刚架仅由剪力静定杆和无侧移杆组成。
无侧移杆
无侧移杆
剪力静定杆
剪力静定杆
无侧移杆
剪力静定杆
§9-4 无剪力分配法
剪力静定杆的转动刚度、传递系数和固端弯矩
剪力静定 杆
M
F AB
ql 2 3
;SLeabharlann A iMF BAql 2 6
CBA 1
剪力静定杆可看成一端固定，一端滑动的单跨超静定梁
配并传递，如图。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
例9-2 试用力矩分配法计算图a 所示连续梁，并绘制弯矩图。
解：EF的内力是 静定可去掉。
1、计算分配系数 设i=2EI/8m。
DC BC
4i 0.625 4i 3 0.8i
01-结构力学 渐进法知识点小结
第9章 渐近法（知识点小结）一、转动刚度与传递系数使杆端产生单位角位移时需要在该端施加（或产生）的力矩称为转动刚度，它表示杆端对转动的抵抗能力，是杆件及相应支座所组成的体系所具有的特性。
转动刚度与该杆远端支承、近端支承情况及杆件的线刚度有关。
传递系数表示近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。
对等截面杆件来说，传递系数随远端支承情况不同而异，如表9-1所示。
二、分配系数各杆端在结点A 的分配系数等于该杆在A 端的转动刚度与交于A 点的各杆端转动刚度之和的比值，即：AjAj Aj S Sμ=∑ 同一结点各杆分配系数之间存在下列关系： 1Aj μ=∑ 这个条件通常用来校核分配系数的计算是否正确。
三、力矩分配法的基本原理其过程可形象地归纳为以下步骤：（1）固定结点 在刚结点上加上附加刚臂，使原结构成为单跨超静定梁的组合体。
计算各杆端的固端弯矩，而结点上作用有不平衡力矩，它暂时由附加刚臂承担；（2）放松结点取消刚臂，让结点转动。
这相当于在结点上又加入了一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。
此反号的不平衡力矩按分配系数分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩。
同时，各分配弯矩又向其对应远端进行传递，各远端得到传递弯矩。
（3）将各杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩对应叠加，就可以得到各杆端的最后弯矩值，即：近端弯矩等于固端弯矩加上分配弯矩，远端弯矩等于固定弯矩加上传递弯矩。
四、用力矩分配法计算连续梁和无侧移的刚架多结点的力矩分配法计算步骤如下：1、将所有刚结点固定，计算各杆端的固端弯矩；2、依次放松各结点每次放松一个结点（其余结点仍固定住）进行力矩分配与传递。
对每个结点轮流放松，经多次循环后，结点逐渐趋于平衡。
一般进行2-3个循环就可获得足够精度。
3、将各次计算所得杆端弯矩（固端弯矩及历次得到的分配弯矩和传递弯矩）对应相加，即得各杆端的最终弯矩值。
五、力矩分配法和位移法的联合应用力矩分配法与位移法的联合应用就是利用力矩分配法解算无侧移结构简便的优点和位移法能够解算具有结点线位移结构的特点，在解题过程中使其充分发挥各自优点的联合方法。
结构力学-渐近法
M1 图
4
M 1Fj — —将不平衡力矩变号后, 按劲度系数大小的比例,
分配给各近端；
M 12 — —节点转动 Z 1 角产生的弯矩 分配弯矩 F M 12 — —固端弯矩
F M 14 M 14 M 14
F 同理： M 13 M 13 M 13
远端弯矩(传递弯矩)：
i1 l1
4P
1500
2500
C
B
5 P 3 E
2500
A
D
CB
BA 0.625, BC 0.375。 0.5, CD 0.5, DC 0.706, DE 0.294。
A
0.625 0.375 B
1500 -938 -562
0.5 0.5 C
-281 883 -301 -301 29 54 -42 -42
30kN/m B i=1
10m 0.5
160kN C
3m 0.5 +112.5
D i=1
5m
+250.0 -187.5
+32.0 -47.3 -47.3 +4.8 -2.4 -2.4 +0.3 -0.2 -0.2 +237.4 -237.4
B点一次分、传 0.0 C点一次分、传 B点二次分、传 0.0 C点二次分、传 B点三次分、传 0.0 C点第三次分配 最后弯矩 0.0
F
1
1
3 3
2 2
3i12 Z1=1 3i12 Z1=1 2i13 2i13 3
1
1 4i13
3
4i13
M1 图
4 4
i4i14 14
4i14
结构力学渐进法思考题(有答案)
渐进法与近似法思考题1. 为什么说单结点结构的力矩分配法计算结果是精确解？答案：单结点结构的力矩分配法计算结果与位移法完全相同，是精确解。
解析：单结点结构的力矩分配法是由位移法推导出的，与位移法的计算结果完全相同。
难易程度：易知识点：力矩分配法的基本原理2. 图示梁A 、B 两端的转动刚度AB S 与BA S 是否相同？答案：不相同解析：由转动刚度的定义可知，3AB S i =，4BA S i =（i =EI /l ）。
难易程度：中知识点：力矩分配法的基本原理3. 在力矩分配法中，为什么原结构的杆端弯矩是固端弯矩、分配弯矩（或传递弯矩）的代数和？答案：力矩分配法的计算分为“锁住”刚结点和“放松”刚结点两个过程，最终杆端弯矩便是这两个过程产生的固端弯矩和分配弯矩（或传递弯矩）的叠加。
解析：“锁住”刚结点时，刚结点上产生约束力矩（即不平衡力矩），各杆端有固端弯矩；“放松”刚结点的实质是消除其上的约束力矩，即将约束力矩反号后进行分配与传递，各杆端上产生分配弯矩或传递弯矩。
将这两个过程叠加即得最终的杆端弯矩。
难易程度：易ABlABl≠0EI EI知识点：单结点结构的力矩分配4.在力矩分配法中，如何利用分配弯矩求结点转角？答案：可将刚结点所联的任一杆端在各次分配时所得的分配弯矩累加起来，再除以该杆端的转动刚度，即得结点的转角。
解析：分配弯矩是由放松结点时结点转动所产生的，因此可以直接用它求结点转角。
对于多结点结构中的任一结点，其最终的转角为各次放松结点所得角位移增量之和。
可将刚结点所联的任一杆端在各次放松时所得的分配弯矩累加起来，再除以该杆端的转动刚度，即得结点的转角。
难易程度：难知识点：力矩分配法的基本原理5.在力矩分配法中，如何利用约束力矩求结点转角？答案：将任一结点在各次放松时的约束力矩（或不平衡力矩）累加起来，再反号后除以该结点所联各杆端转动刚度之和，即得该结点的转角。
解析：放松结点消除约束力矩时，结点才产生转角。
结构力学之渐近法
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结构力学 第八章 渐近法.
2.远端铰支： M DA C M AD, C 0
3.远端定向： M CA C M AC , C 1
故用下列公式表示传递弯矩的计算：
M BA CAB M AB
现在把力矩分配法的物理概念简述如下：先 在刚结点B上加上阻止转动的约束，把连续梁分 为单跨梁，求出杆端产生的固端弯矩，然后求出 结点的不平衡力矩MB。去掉约束（相当于在结点 上施加-MB )，求出各杆B端新产生的分配力矩和 远端新产生的传递力矩。叠加各杆端记下的力矩 就得到实际的杆端弯矩。
为了消除附加刚臂的影响，施加一个其值与 不平衡力矩等值反向的外力矩，使基本结构与 原结构具有相同的受力和变形。
3、三分配
(c)
30KN.m
A
B
C
设在结点B产生一单位转角，应在B端施加的外 力矩为，
mBA 4i2 1 4 21 8, mBC 4i1 1 411 4
M AB 4iAB A , M BA 2iAB A M AC iAC A , M CA iAC A M AD 3iAD A , M DA 0
由上述结果可知:
M BA M AB
CAB
1 2
CAB：为传递系数
1.远端固定：
M BA C M AB ,
C1 2
B
C
D 配、传递）求杆端
B
＋ MC3
C
D
弯矩 按单结点问题（分
配、传递）求杆端
MC3 MC1 MC2 弯矩
例9－2 试用力矩分配法作连续梁弯矩图
20kN / m
100kN
A EI 1 6m
B EI 2
C EI 1 D
4m 4m
结构力学第7章 渐近法
S S
AB
S AC S AD S AE 12i
§7-2 力矩分配法的基本概念
回代求杆端弯矩：
M AB M AD SAB 4i 1 S AB A = M 0 = AB M 0 = M0 = M0 12i 3 S SAD 2i 1 S AD A = M 0 = AD M 0 = M0 = M0 12i 6 S SAE 6i 1 M 0 = AE M 0 = M0= M0 12i 2 S
§7-3 力矩分配法的基本运算
(4) 作弯矩图
167.13 115.74
A 158.56
B
力矩分配法的基本运算指的是单结点结构的力矩分配法计算。
(a) 200kN A EI
3m
20kN/m B
3m
M B 60kN m
B 150kN· m -90kN· m
EI
6m
C
M B 60kN m 20kN/m (b) 200kN A B
150 kN m 150 kN m 90 kN m
S
对于某一结点，各杆分配系数之代数和为1，即：
1 1 1 ij 3 6 2 1
§7-2 力矩分配法的基本概念
3 传递系数
传递系数指的当近端有转角时(无线位移)，远端弯矩与近端 弯矩的比值称为传递系数，用C表示。
(a) A θA i
MBA=0 B i
MAB=4iθA
MBA=2iθA B
§7-2 力矩分配法的基本概念
θA=1 A SAB i B
(a) SAB=4i，远端为固定端
θA=1 SAB
θA=1 SAB B i
B i
(b) SAB=3i，远端为铰支座
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EI=1 6m
D
iBC iCD
M F -60
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
1 6 2 1 8 4 1 6
B
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
Mij -43.6 43.6 A 21.9
0.3
92.6 -92.6 92.6 B
B
F
CB 0.445 CF 0.222 0.333 CD
单独使用时对连续梁和无结点线位移刚架的 计算特别方便。
一、基本概念
（1）转动刚度（S）： 使杆端发生单位转角时需要施加的杆端弯矩。 SAB=4i
A B
SAB=3i
1
A B
1
SAB=i
A B
SAB=0
A
B
1
SAB=4i SAB与杆的i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承 有关， 而与近端支承无关。
F 21 2
A
q 12kN / m
M1
1
M2
2
B
28.6
50
6.1
100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4
-9.2 -12.2
1.8 1.8
-6.1
6.1 3.5 2.6
放松结点1(结点2固定):
S12 4i S1 A 3i 12 0.571 1 A 0.429
… … ...
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
C
41.3 C 133.1 D M图（kN· m）
1 0.667 CB 1 1 2 CD 0.333
1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。
3）结点不平衡力矩要变号分配。
4）结点不平衡力矩的计算： 固端弯矩之和 固端弯矩之和 （第一轮第一结点） （第一轮第二、三……结点）
结点不平 衡力矩
加传递弯矩
传递弯矩 （其它轮次各结点）
A
q 12kN / m
EI
1
EI
2
B
EI
A
q 12kN / m
10 m
10 m
10 m
u M2
1
2
B
A
q 12kN / m
M1u
1
B
MF 0
0.429 0.571 0.571 0.429
150 -100 -28.6 -9.2 -12.2 1.8 -0.8 -1.0 140 -140 40.3 -40.3 140 40.3
BC
B -90 -25.7
-115.7
分配力矩: C M BA 0.571 (60) 34.3
3i 0.429 7i
=
-17.2
-167.2
-34.3
115.7
0
0
M BC 0.429 (60) 25.7
(3) 最后结果。合并前面两个过程
例1.计算图示梁,作弯矩图
M F 40
分 配 传 递
0 .5 0 .5 40 45 2 .5 2 .5
0 0
1.25
M
F AB
40kN m
M 38.75
42 .5 42 .5 42 .5
0
M
M
F BA
40kN m
45kN m
练习
38.75
M
F BC
练习答案
1、
AB 1 / 2
40.3
1
2
B
FS1A 10 140 12 10 5 0 F1A 74
y
M
140
0
FA1
46
A
F1 A
69.97 74 50.03 4.03
1
FA1 46
F
Fy 0
F 1 74 69.97 143.97(kN )( )
74
1
69.97
F1
力矩分配法小结：
总等于附加刚臂上的约束力矩 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
作 M图
208
484
553
练习.
用力矩分配作图示连续粱的M图。（计算两轮）
56kN EI 3m 3m 6kN/m 2 EI 8m 6m EI
41.85
42.29 84 48 21.52 10.73
1
r11 4i12 3i13 i14
S12 S13 S14 S
1
分配系数:
1 j
S14 14 S
1
S
1
S1 j
S12 12 S
1
S13 13 S
1
r11 z1 R1P 0 R1P M1Fj
近端弯矩:
r11 S1 j
A B EI=常数 C 50kN D 1m 50kN· m C 1m 50 +50 50kN D
1m
A B
5m
EI=常数
1m
5/6 1/6 25 -20.8 -4.2 -20.8 +20.8
5m
M
A B
M/2
例. q=20kN/m
A
1 B E
D
4
F
1
2m
2
4m
4m
3
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
1
BA 0.3 BE 0.3 0.4 BC
20kN/m A EI=1 6m 92.6 B EI=2 4m
100kN C 4m EI=1 6m D
43.6
A 21.9 56.4 B 133.1
41.3
C
D
M图（kN· m）
51.8 A
6.9 B 68.2 B 56.4 68.2 124.6 43.6 C D
FS图（kN）
求支座反力
练习. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。
u B
60
例2.计算图示刚架,作弯矩图
1 q 64
B
2ql
11 32
1
1 16
C
EI C
3 64
解:
S1B 3i S1 A 4i S1C i 4i 1 A 1/ 2 4i 3i i 3i 1B 3/8 4i 3i i i 1C 1/ 8 4i 3i i 所的结果是 M F 近似解吗 ql 2 8 ?
F 21 F 1j
S M
1
S
近
M31 M C13[13 (M )]
F 31 F 41 F 1j
M41 M C14[14 (M )]
F 1j
S13 13 S
1
（固端弯矩）+ (传递弯矩）
B
固端弯矩带本身符号
A
MAB
MBA MB
MBC
C
MB MBA MBC
=
A
MABF
M
(ql 2 )
练习:3.作弯矩图
解: EI 3 S BA 3 EI 10 10 EI S BC 5 0.3 EI BA 0.6 (0.3 0.2) EI 0.2 EI BC 0.4 (0.3 0.2) EI
100
100 kN .m
100 kN .m
A
q 12kN / m
EI
1
EI
2
B
EI
10 m
10 m
10 m
M ql / 12 100 F M1 M1F M A 12 50 F F M 2 M 21 M2 B 100 放松结点2(结点1固定): S21 4i S 2 B 3i 21 0.571 2 B 0.429
MBAF
B
-MB
MBCF
C
MB= MBA+ MBC -MB
+
0 C
M BA
A
M BC
M
C AB
M BA B M BC
M BA BA ( M B )
最后杆端弯矩：
MBA = MBAF+ M BA
C MAB= MABF+ M AB
M BC BC ( M B )
1B F 1A 2
l
A
l
l
结点 杆端
B B1
A A1
1 1A 1B 1C 1/2 3/8 1/8
C C1
MF
分配 传递
0 0 0
-1/4 1/4 1/8
0
0
3 64
3 64
M ql 4
M ql 4
F A1 2
3 3 9 3 16 32 64 64
11 32 1 16 1 3 64 64
z1
F 12 F 1j
M
M12 M 12 (M )
F M13 M13 13 (M1Fj ) F M14 M14 14 (M1Fj )
S
1
F 1j
1j
S12 12 S
（固端弯矩）+ （分配弯矩） 14 M 远 14
C
远端弯矩: