结构力学第七章 力法
结构力学力法的计算
结构力学力法的计算在结构力学中，力法是一种常用的计算方法，用于分析和设计各种结构的受力状态和稳定性。
力法基于牛顿第二定律和结构平衡原理，通过将结构划分为多个互相独立的力学系统，再进行力学方程的求解，可以得到结构各点的受力情况。
力法的计算过程主要包括以下几个步骤：1.确定受力系统：首先，需要明确结构的受力体系，包括受力点、受力方向和受力大小。
根据结构的特点和应用要求，可以选择合适的受力系统。
2.提取受力系统：将受力系统从结构中剥离出来，形成独立的力学系统。
这样可以降低计算难度，并且便于分析结构的受力情况。
3.建立力学模型：对于每个独立的力学系统，需要建立相应的力学模型。
根据受力情况和结构的几何形状，可以选择适当的力学模型，如简支梁、悬臂梁等。
4.进行力学方程求解：通过应用牛顿第二定律和结构平衡原理，可以建立相应的力学方程。
根据方程的特点，可以选择适当的数值解法，如代数法或迭代法等。
5.求解受力分布：通过求解力学方程，可以得到结构各点的受力情况。
这包括受力方向、受力大小和受力位置等信息。
根据这些信息，可以对结构的受力状态进行分析和评估。
6.验证和优化设计：对于计算结果，需要进行验证和优化设计。
通过与理论计算或实验结果的对比，可以确认计算的准确性，并对结构的设计进行必要的调整和优化。
需要注意的是，力法的计算过程需要考虑以下几个因素：1.边界条件：在进行力法计算时，需要确定结构的边界条件。
边界条件可以影响结构的受力情况，因此对于计算结果的准确性至关重要。
2.材料性质：在建立力学模型时，需要考虑材料的性质和力学参数。
材料的性质直接影响结构的刚度和强度，因此对于计算结果的准确性有很大影响。
3.荷载条件：在进行力法计算时，需要明确结构所受的荷载条件，包括静载和动载。
不同的荷载条件会导致结构不同的受力状态和响应，因此需要准确确定。
4.结构几何形状：在进行力法计算时，需要考虑结构的几何形状。
结构的几何形状会直接影响结构的受力分布和刚度特性，因此需要准确描述和建模。
结构力学 第七章 力法
§7-3 力法的基本概念
1 0
力1.确法定步基骤本:体系111X111
1P
11
0
力法 方程
2.写出位移条件,力11法 X方1程 1P 0
34..作 求单 出位系弯数1 矩和图自11 由,荷l项载3 /弯3E矩I 图;1P ql 4 / 8EI
5.解力法方程X1 3ql / 8() M M1 X1 M P
11
1 2EI
l2 2
2l 3
1 EI
l3
7 6
l3 EI
EI
l
2 X1
12
1 EI
l2 2
l
1 2
l3 EI
l 荷载作用下超静定 结构内1力1 分布与刚度的12
21
1 EI
l2 2
l
1 2
l3 EI
绝对值无关只与各杆X刚2=1
l度内Mq1的力21 分比XX1=布1值1 与有关.l
22
M2 X 2
X5
X4
X9
X6
X 10
638 10
§7-4 力法的典型方程
1.力法的典型方程
q 2EI EI l
q
1 X2
变形条件:
2EI
l
EI
2 X1 l
12
0 0
l
1.力法的典型方程
q
2EI
EI
l
q 2
1 X2
X1
变形条件:
12
0 0
1 11 X1 12 X2 1P 0
2 21 X1 22 X2 2P 0
M3 31X1 32 X 2 33 X3 3P 0
MP
X1
X2
X3
结构力学第七章计算超静定梁结构力学
(b) A
q X 1
C
"基 本 体 系 "
法中把原超静定结构称为原 (c) A
结构，去掉多余联系后的静
11
B X 1
C
定结构称为基本结构。所去
q
(d)
掉的多余联系，则以相应的
A
B
C
ip
多余未知力X1来代替。
图7-4
这样，基本结构就同时承受着荷载和多余未知力X1的作用， 基本结构在原有荷载和多余未知力X1共同作用下的体系称为力 法的基本体系。现在分析一下如何计算X1 。对原结构讲它代 表B支座反力，是一个被动力，而对基本结构来讲它是一个主
1P
M1MP ds EI
1[1l(2lFllPl)]
EI 6 2
2 22
5Fl3 48EI
(5) 解力法方程。
X1
1P
11
5F 16
所得正号说明X1的实际方向与假设方向相同。
结构力学第七章计算超静定梁结构力 学
2．求解超静定结构要考虑的条件
求解任何超静定结构，都要考虑三个方面的条件： （1）平衡条件；（2）几何条件（变形条件或位移条件）； （3）物理条件。
力法和位移法是超静定结构计算的两种基本方法。力法 是以多余联系的约束力——多余未知力作未知量,位移法则是 以结点的某些位移作为基本未知量。计算超静定结构除上述 两种方法外,常用的还有力矩分配法、有限单元法等。
力法的基本特点可归纳如下： 1.以多余未知力(被撤消多余联系处的约束力)为基本未 知量。 2.根据所去掉的多余联系处的变形协调条件建立力法方 程，从而求出多余未知力。 3.根据平衡条件求出全部反力及内力。 4.一切计算均在基本结构上进行。
例7-1 用力法计算图7-5(a)所 (a) A
结构力学讲稿七(课)
第七章力法本章介绍超静定问题的内力及位移计算。
§7-1超静定结构概述一、超静定结构：指几何不变的超静定结构；二、多余未知力、赘余力或冗力：多余约束/联系中的力，可以是内力，也可以是支反力例如：A B多余未知力F BF N多余未知力F N三、求解超静定问题所利用的条件1)平衡条件：静力平衡方程；2)几何条件：变形必须满足约束条件例如：1 1'Δu=Δv=Δφ=0A BΔBy=03)物理条件：应力应变关系，现指线弹性的应力应变关系。
四、求解超静定问题的两种基本方法1)力法，或柔度法：以多余未知力作为基本未知量柔度：单位力引起的位移。
2)位移法，或刚度法：以未知的结点位移作为基本未知量刚度：单位位移引起的力。
§7-2超静定次数的确定有三种确定超静定次数的方法一、解除多余的约束/联系：去掉多余约束/联系的数目等于超静定次数。
解除多余的约束/联系的方式：1)去掉一个链杆或切断一根二力杆，相当于去掉一个约束/联系，显示一个力或一对内力，例如：注意：约束/联系可以去掉，但其作用不能去掉。
2) 去掉一个固定铰支座，或拆开一个单铰，相当于去掉两个约束/联系，显示两个力或两对内力，例如：3)在刚结点处作一切口，或去掉一个固支端，相当于去掉三个约束/联系，显示三个力或三对内力，例如：4)将刚结点换成铰结点，相当于去掉一个约束/联系，显示一对弯矩，例如：5)将固支端换成固定铰支座，相当于去掉一个约束/联系，显示一个支反力偶，例如：6)将固定铰支座换成滚动铰支座，相当于去掉一个约束/联系，显示一个支反力，例如：注意：可以用不同的方式去掉多余约束，得到不同的静定结构，例如：A B A BA BABAB(1)(2)(3)(4)二、框格结构超静定次数的确定1)一个封闭无铰(也无铰支座)的框格，超静定次数是三次，若有f个封闭无铰的框格，则超静定次数是3×f次，例如：2)若结构上还有若干个铰，等效于h个单铰，则超静定次数是3×f - h次，例如：最终结构的超静定次数是3×7 –2– 3=16次3)地基本身围成的框格不算，即地基作为一个开口的刚片，例如：三、由计算自由度W确定超静定次数n =－W此法对于桁架结构较适用，因为桁架结构的杆件数很容易确定。
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第7章 力 法【圣才出品】
第7章 力 法
7.1 复习笔记【知识框架】
【重点难点归纳】
一、概述（见表7-1-1） ★★
表7-1-1 概述
二、超静定次数的确定（见表7-1-2） ★★★★
表7-1-2 超静定次数的确定
三、力法的基本概念（见表7-1-3） ★★★
力法的基本概念，包括基本未知量、基本体系、基本结构以及基本方程见表7-1-3，此外，表中还归纳了超静定结构的力法分析步骤。
表7-1-3 力法的基本未知量、基本体系和基本方程
四、力法的典型方程（见表7-1-4） ★★★
表7-1-4 力法的典型方程
五、对称性的利用 ★★★★
1．对称结构及作用荷载的对称性（表7-1-5）
表7-1-5 对称结构及作用荷载的对称性
2．非对称荷载的处理（表7-1-6）
表7-1-6 非对称荷载的处理。
结构力学：第七章 力法
A
B
两铰拱，一次超静定结构。
A
B
一次超静定桁架
A
B
曲梁，静定结构。
A
B
静定桁架
§7-2 超静定次数的确定
去掉几个约束后成为静 定结构,则为几次超静定
X1 X2 X3 X1 X2 X3
X1 X2 X3
去掉一个链杆或切断一个链杆相 当于去掉一个约束
§7-2 超静定次数的确定
（2）去掉一个铰支座或一个单铰，等于拆掉两个约束。
以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件 的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，这 种分析方法称为位移法（displacement method）。
3. 混合法----以结点位移和多余约束力作为 基本未知量
如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未 知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力 的平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixture method）。
思考：多余约束是多余的吗？
从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。
q
q
A
B
A
B
C
l
A
B
q l2 8
超静定结构的优点为:
0.5l
A
ql 2 64
0.5l
q l2
32
B
C ql 2
64
1. 内力分布均匀 2. 抵抗破坏的能力强
§7-1 超静定结构概述
二、超静定结构的类型
超静定梁 超静定刚架 超静定拱
A
C
D
B
A
CD
B
F E
以五个支座链杆为多余约束
其它形式的静定刚架：
AA
CC KK DD
结构力学第7章力法
结构力学第7章力法力法是结构力学中的一种分析方法，通过力法可以计算结构系统中各个构件的受力情况。
力法分为两种，即静力法和动力法。
静力法是力法的一种基本形式，它假设结构系统处于静止状态，通过平衡条件来计算结构中构件的受力。
在应用静力法时，我们根据不同的受力情况选择适当的计算方法。
常见的静力法有三种，即图解法、解析法和力平衡方程法。
图解法是最直观、易于理解和应用的方法之一、在图解法中，我们首先绘制结构的荷载图和支座反力图。
然后，根据等效荷载和支座反力，我们可以通过直观的力平衡图来计算结构中各个构件的受力情况。
解析法是一种较为精确的力法方法。
在解析法中，我们可以通过力平衡方程来计算结构中各个构件的受力。
通过将力平衡方程应用于不同的构件，我们可以得到方程组，并解得未知力的数值。
常见的解析法有支反推移法、拆解法和替换法。
支反推移法是一种常见的解析法，它通过将处于平衡状态的内力反向传递来计算结构中各个构件的受力。
该方法适用于简单、对称的结构系统。
拆解法是一种适用于复杂结构的方法，它将结构系统拆解为多个简单结构，在每个简单结构中应用平衡条件计算受力。
替换法是一种常用于桁架结构的方法，它通过将构件按照等效的支座反力进行替换，然后计算受力。
力平衡方程法是一种广泛应用于结构力学中的方法。
在力平衡方程法中，我们通过应用力平衡方程来计算结构中各个构件的受力。
在计算过程中，我们需要考虑结构的平衡条件、力的合成和分解等因素。
常见的力平衡方程法有梁静力法、杆件静力法和平面结构静力法等。
动力法是力法的另一种形式，它适用于分析结构在动力作用下的响应。
动力法通过求解结构的动力方程，计算结构的振动、位移和应力等。
常见的动力法有等效荷载法、阻尼振动法和模态分析法等。
等效荷载法是一种常用的动力法，它将随机振动转化为与之等效的静力荷载，然后用静力法来计算结构的受力情况。
阻尼振动法是一种考虑结构阻尼特性的动力法，它在动力方程中引入阻尼项，计算结构的振动衰减情况。
《结构力学》第七章力法
沿X1方向：
沿X2方向：
沿X3方向：
据叠加原理，上述位移条件可写成
原结构
基本结构
△1=
（7—2）
（a）
（b）
11
21、22、23和△2P ；
31、32、33和△3P 。
△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
11X1
+12X2
+13X3
11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0
则 X3=0 。
这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下， 只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。
↓
↓
a
a
P
P
↓
↓
P
P
MP图
（2）对称结构作用反 对称荷载
MP图是反对称的，故
2 .确定超静定次数的方法:
解除多余联系的方式通 常有以下几种：
（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。
↓
↑
（2）拆开一个单铰，相当 于去掉两个联系。
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。
↓
↑
←
→
多余联系或多余未知力的个数。
多余未知力：
多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。
此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。
此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。
返 回
*
3. 超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架； （3）超静定拱；
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11 ——基本结构在X1=1作用下沿X1方向的位移； 1P ——基本结构在FP作用下沿X1方向的位移。
12
3. 力法计算 1) 求系数及自由项
FP l 2
FP
A
B l
1C FRK CK l
4）求未知力X1
3EI X 1 1C / 11 l 3 l 3EI 2 ( ) l
3EI X 1 / 11 l 3EI ( ) l
21
5） 作内力图
A
3EI l
B
M图
3EI 2 l
A FQ图
B
3EI 2 l
在基本体系II中，若X1为逆时针方向，如下图 示，则力法方程成为：
A
X1=1
B
11 X1
22
小结：
1）当超静定结构有支座位移时，所取的基本体 系上可能保留有支座移动，也可能没有支座移 动。应当尽量取无支座移动的基本体系。 2）当基本体系有支座移动时，自由项按下式求 解： 1C FRK CK
6
c)
X3
X1
X2
原结构
n=3
d)
X2
X1
X1
X2
n=2
原结构
7
e)
原结构
X1
X2
n=1 f)
原结构
不要把原结构拆成几何 可变体系。此外，要把超 静定结构的多余约束全部 拆除。
n=3
X1
X3
X2
8
§7-2 力法基本原理
解超静定结构，除应满足平衡条件外，还必 须满足位移协调条件。
一、一次超静定结构的力法计算
2P 0
31
将系数代入力法方程就得到：
2l l ql 3 X1 X2 0 3EI 6 EI 24 EI l 2l X1 X2 0 6 EI 3EI
1 2 解方程得： X 1 ql ( 15 )
ql 2 4 X1 X 2 0 4 X1 4 X 2 0
A FQAB
l
1 2 ql B 15
FQBA
17 FQBA ql 30
33
M
C
0
1 ql 2 ql 2 1 FQBC ( ) ql l 15 60 12
1 2 ql 15
1 2 ql 60
B FQBC
l
C FQCB
1 FQCB ql 12
很容易求得CD杆剪力为:
1 FQCD FQDC ql 60
l/2
B
A
MP图
M图
X1 1
1 1 2 l3 11 l l l EI 2 3 3EI
1 1 FP l l 2 1 l 1 p ( l ) EI 2 2 2 3 3 2 5FPl 3 1 FP l 2 5 l EI 8 6 48 EI
M M1 X1 M 2 X 2 M 3 X 3 M P
FQ FQ1 X1 FQ2 X 2 FQ3 X 3 FQP
FN FN1 X1 FN 2 X 2 FN 3 X 3 FNP
18
三、超静定结构支座移动时的力法计算
超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解 力法的解题思路很有帮助。与静定结构不同，超 静定结构产生支座移动时，结构不仅产生变形， 而且有内力。下面讨论超静定结构产生支座移动 时力法的解题思路。 A A θ EI l 基本体系I θ B
FRK 为基本体系由X=1产生的支座反力； C K 为基本体系的支座位移。
3）当超静定结构有支座移动时，其内力与杆件 的抗弯刚度EI成正比，EI越大，内力越大。
23
例7-2-1 写出图示刚架的力法方程并求出系数ΔiC。 EI l EI l 原结构 C
θ
解: a
A
b
1）取两种基本体系如下图示
24
B
X2
C
X1
B
C
ΔCH=0 θ
A a
b
ΔCV=0
X2
X1
ΔAH=-a A
b
θA= θ
基本体系I
基本体系II
11 X1 12 X 2 1C a
21 X1 22 X 2 2C
2） 建立力法方程
11 X1 12 X 2 1来自 0 21 X1 22 X 2 2C 0
q q
C FP A
D
C
D
ΔBH=0
ΔBV=0 θB=0 原结构 B
FP
A 基本体系
X3
B
X2
X1
15
q
C FP A
C D
D
Δ3P B Δ 2P Δ1P
A
δ31 δ21
B
X1=1
δ11
C D
C
D
δ32
A
X2=1
B δ12
δ22
A
δ33 δ23
X3=1
B δ13
16
力法方程为
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P BH 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P BV 0 31 X1 32 X 2 33 X 3 3P B 0
13
2) 求未知力X1
5FP l 3 3EI X 1 1P / 11 3 48EI l 5 FP () 16
3) 作内力图
3 FPl 16
M MX1 M P
A
11 FP 16
B
5 FPl 32
5 FP 16
M图
FQ图
14
二、多次超静定结构的力法计算
下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和 未知力X分别作用下的位移图。
1. 力法的基本体系和基本未知量 如下图示超静定梁，去掉支座B的链杆，用相 应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。去 掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法 FP 基本结构。 EI A B l/2 l/2
9
A
EI l/2
FP B l/2 A A
FP B 基本体系
X1
B
原结构（ΔBV=0） Δ11
第七章 力
§7-2 力法基本原理
法
§7-1 超静定结构的组成和超静定次数
§7-3 力法举例 §7-4 力法简化计算 §7-5 温度变化及有弹簧支座结构的计算 §7-6 超静定结构的位移计算及力法计算校核
1
§7-1 超静定结构的组成 和超静定次数
一、超静定结构的组成
超静定结构有如下特征： 1) 从几何构造分析的观点来看，超静定结构是 有多余约束的几何不变体系。 2) 若只考虑静力平衡条件，超静定结构的内力 和支座反力不能够由平衡方程唯一确定，还要 补充位移条件。
M 2图
36
X1=1
1
B
E1I1 l
B C
E1I1 l E2I2 l
C
1
E2I2 l
A
M 1图
X2=1
A
1
M 2图
E1 I1 ( k) E2 I 2
1 1 2 1 1 2 11 1 l 1 l E1 I1 2 3 E2 I 2 2 3 l l l E I E2 I 2 l k 1 11 3E1 I1 3E2 I 2 3 E1I1E2 I 2 3E2 I 2 k
1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束；
2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；
4
3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当 于去掉三个约束；
4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个 约束。
例： a)
X1
原结构
X2
n=2 n=2
X1
X2
5
b)
X2
原结构
n=2
X1
X2
X1
X2
n=2
X1
n=2
35
2. 方程求解 q B
C
X1=1
1
E1I1 l
ql 8
A
MP图 A
2
1
B
E2I2 l
C
M 1图
E1I1 l
1 2 1 2 1 1P l ql E1I1 3 8 2 ql 3 ql 3 24 E1I1 24 E2 I 2 k
B
C
E2I2 l
X2=1
2P 0
A
1
方程各系数示于上页图中。讨论方程和系 数的物理意义。
2. 方程求解
图的一个特征是：弯矩图局部化。
M 1图、 M 2 图及MP图见下页图示。上述弯矩
30
q
A
ql 8
2
D
B
X1=1
C
MP图
A
B
D
C
M 1图 M 2图
A
1
B
C
X2=1
D
2l 22 3EI
1 2 1 2 2l 11 l 1 EI 2 3 3EI 1 1 1 l 12 21 1 l EI 2 3 6 EI 1 2 1 2 1 ql 3 1P l ql EI 3 8 2 24EI
若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座反 力可以有无穷多组解答。
2
如下图超静定梁，若只满足平衡条件，支 座B的竖向反力可以是任意值。
q
A EI , l
B 3 ql 8
3
二、超静定次数
超静定次数 n = 结构多余约束数目。