结构力学——力法
结构力学- 力法
0
X1 4X2
0
解方程得：
X1
1 15
ql 2
(
)
X2
1 60
ql2 (
)
3. 作内力图 1) 根据下式求各截面M值，然后画M图。
M M1X1 M2X2 MP
23
ql2 15
A
C
B
ql2 60
11ql 2 120
D M图
2) 根据M图求各杆剪力并画FQ图。
AB杆： MB 0
FQAB
26
2. 方程求解
q
B
C
ql 2 8
A
MP图
1P
1 E1I1
2 3
l
1 ql 2 8
1 2
ql3 ql3 24E1I1 24E2I2k
2P 0
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
M 2图
1
27
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
1 M2图
11
1 E1I1
1 2
1 l
2 3
1
1 E2 I 2
1 2
1
l
2 3
1
l l l E1I1 E2I2 l k 1 3E1I1 3E2I2 3 E1I1E2I2 3E2I 2 k
( E1I1 k) E2 I2
12
21
1 E2 I2
△iP—荷载产生的沿Xi方向的位移
结构力学——力法
超静定梁
超静定刚架
超静定桁架
超静定拱 超静定组合结构 超静定铰接排架
对超静定结构的内力进行分析的方法主要有两 种，即力法和位移法。本章主要介绍如何用力法求 解超静定结构的内力。
超静定结构具有多余约束，用力法计算超静定 结构的内力时，首先应该确定超静定结构中多余约 束的个数。这个数目表示：除去静力平衡方程外， 尚需补充多少个反应位移条件的方程才能求解全部 的反力和内力。
超静定结构用力法计算绘出最后内力图后，也可用这种方法 计算超静定结构任一已知位移，以进行位移条件的校核。我们可 以计算超静定结构解除约束处的位移，若所求位移与原结构相同 即为正确的，否则是错的。例如，原结构中支座A是固定支座，其 角位移应该为零，利用这一条件即可校核所求得的最后内力图。 图（a）所示刚架支座A的角位移等于图（b）所示基本系中截面A 的角位移，计算该位移时，只需将虚拟力FPk=1作用于基本系的截 面A处，得到下图所示虚拟状态。再将该虚力状态的弯矩图与原超 静定结构的弯矩图图乘，如果原超静定结构弯矩图正确，则必有
12PP 3P
0 0 0
ΔxxX ΔP 0
--- 力法的典型方程
ΔxxX ΔP 0
Δxx ：柔度矩阵，即力法方程中的系数矩阵。 X ：基本未知量列阵。 ΔP：自由项列阵。
ii 主系数，恒为正。 ik 副系数，可正、负、零。互等关系ik ki(i k)
3 31 32 33 3P 31X1 32 X 2 33 X3 3P 0
矩阵形式：
11 21 31
12 22 32
13 23 33
X X X
1 2 3
结构力学——力法
几点注意：
① 一个无铰闭合框有三个多余约束，其超静定次数等于三。 ② 结构的超静定次数是确定不变的，但去掉多余约束的方式 是多种多样的。 ③ 在确定超静定次数时，要将内外多余约束全部去掉。
④ 在支座解除一个约束，用一个相应的约束反力来代替，在
结构内部解除约束，用作用力和反作用力一对力来代替。 ⑤ 只能去掉多余约束，不能去掉必要的约束，不能将原结构 变成瞬变体系或可变体系。
A
D
A
D
A
D
对
X1
错
二、关于基本方程的建立
先讨论两次超静定结构。
q C
FP A
12 22
q
B
C
FP A
B
X1
X2 FP
C
11 X1 B 21
A
基本体系之一
q C FP A B
1P 2P
q C X1 B X2
FP
C A
B X2
FP A
变形条件
Δ1 0 Δ2 0
基本体系之二
二、关于基本方程的建立
q
A l B l C A B
q
X1 X1
q
C
a)一次超静定结构 解：(1)确定基本未知量数目
b)基本体系
此连续梁外部具有一个多余约束，即n=1 (2)选择力法基本体系 (3)建立力法基本方程
Δ d11 X 1 Δ1P 0
(4)求系数d11和自由项1P 在基本结构（静定的简支梁）上分别作 M 1 图和MP图
q
EI
ql 2 8
9 q l2 128
q
EI
ql 2 2
比较可知，采取超静定结构降低了梁的最大 弯矩，提高了梁的强度。
结构力学——力法
X1 X2
ql 2 / 40 M
∆1 = 0 ∆ 2 = 0 δ11 ⋅ X1 + δ12 ⋅ X2 + ∆1P = 0 δ21 ⋅ X1 +δ22 ⋅ X2 + ∆2P = 0
q
X1 = −3ql / 20, X 2 = −ql 2 / 40
将未知问题转化为 已知问题， 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。 基本方法之一。
二.力法的基本体系与基本未知量 力法的基本体系与基本未知量 超静定次数: 超静定次数: 多余约束个数.
若一个结构有N个多余约束,则称其为N次超静定结构. . 几次超静定结构? 几次超静定结构
X
= 3 ql / 8 ( ↑ )
⋅ X
+ M
P
ql
2
/ 2
l
MP
M1
力法步骤: 力法步骤: 1.确定基本体系 4.求出系数和自由项 确定基本体系 求出系数和自由项 2.写出位移条件 力法方程 写出位移条件,力法方程 5.解力法方程 写出位移条件 解力法方程 3.作单位弯矩图 荷载弯矩图 6.叠加法作弯矩图 作单位弯矩图,荷载弯矩图 作单位弯矩图 荷载弯矩图; 叠加法作弯矩图 练习 P EI l EI l 作弯矩图. 作弯矩图
M1
3 Pl 8 5 Pl 8
=0 δ 11 = 4l / 3EI ∆1P = − Pl 3 / 2 EI
X 1 = 3 P / 8(↑)
M = M1 ⋅ X 1 + M P
P
MP
结构力学第7章力法
结构力学第7章力法力法是结构力学中的一种分析方法，通过力法可以计算结构系统中各个构件的受力情况。
力法分为两种，即静力法和动力法。
静力法是力法的一种基本形式，它假设结构系统处于静止状态，通过平衡条件来计算结构中构件的受力。
在应用静力法时，我们根据不同的受力情况选择适当的计算方法。
常见的静力法有三种，即图解法、解析法和力平衡方程法。
图解法是最直观、易于理解和应用的方法之一、在图解法中，我们首先绘制结构的荷载图和支座反力图。
然后，根据等效荷载和支座反力，我们可以通过直观的力平衡图来计算结构中各个构件的受力情况。
解析法是一种较为精确的力法方法。
在解析法中，我们可以通过力平衡方程来计算结构中各个构件的受力。
通过将力平衡方程应用于不同的构件，我们可以得到方程组，并解得未知力的数值。
常见的解析法有支反推移法、拆解法和替换法。
支反推移法是一种常见的解析法，它通过将处于平衡状态的内力反向传递来计算结构中各个构件的受力。
该方法适用于简单、对称的结构系统。
拆解法是一种适用于复杂结构的方法，它将结构系统拆解为多个简单结构，在每个简单结构中应用平衡条件计算受力。
替换法是一种常用于桁架结构的方法，它通过将构件按照等效的支座反力进行替换，然后计算受力。
力平衡方程法是一种广泛应用于结构力学中的方法。
在力平衡方程法中，我们通过应用力平衡方程来计算结构中各个构件的受力。
在计算过程中，我们需要考虑结构的平衡条件、力的合成和分解等因素。
常见的力平衡方程法有梁静力法、杆件静力法和平面结构静力法等。
动力法是力法的另一种形式，它适用于分析结构在动力作用下的响应。
动力法通过求解结构的动力方程，计算结构的振动、位移和应力等。
常见的动力法有等效荷载法、阻尼振动法和模态分析法等。
等效荷载法是一种常用的动力法，它将随机振动转化为与之等效的静力荷载，然后用静力法来计算结构的受力情况。
阻尼振动法是一种考虑结构阻尼特性的动力法，它在动力方程中引入阻尼项，计算结构的振动衰减情况。
《结构力学》第七章力法
沿X1方向：
沿X2方向：
沿X3方向：
据叠加原理，上述位移条件可写成
原结构
基本结构
△1=
（7—2）
（a）
（b）
11
21、22、23和△2P ；
31、32、33和△3P 。
△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
11X1
+12X2
+13X3
11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0
则 X3=0 。
这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下， 只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。
↓
↓
a
a
P
P
↓
↓
P
P
MP图
（2）对称结构作用反 对称荷载
MP图是反对称的，故
2 .确定超静定次数的方法:
解除多余联系的方式通 常有以下几种：
（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。
↓
↑
（2）拆开一个单铰，相当 于去掉两个联系。
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。
↓
↑
←
→
多余联系或多余未知力的个数。
多余未知力：
多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。
此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。
此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。
返 回
*
3. 超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架； （3）超静定拱；
结构力学第6章力法
结构力学第6章力法力法（也叫统一力法）是一种简化结构分析和计算的方法，通过将结构的内力和力的作用点集中在一些特定的位置，从而简化结构计算的复杂性。
力法在结构力学中有很广泛的应用，特别是在求解复杂结构的内力分布和变形方程时非常有用。
力法的基本原理是将结构的内力分布看作是由一系列基本力的叠加形成的。
这些基本力包括拉力、压力、剪力和弯矩等。
通过对这些基本力的作用点和大小进行合理的选取，可以将结构的内力分布近似为一个简单的形式，从而方便地进行计算。
力法的具体步骤如下：1.选择合适的基本力系统：根据结构的受力情况，选择适合的基本力系统，一般包括平行力、共点力、算术力和等效力等。
2.确定基本力的作用点和大小：通过结构的受力平衡条件和变形方程，确定基本力的作用点和大小，一般可以通过静力平衡方程或者变形方程进行计算。
3.将基本力作用在结构上：将确定的基本力作用在结构上，这些基本力可以是集中力也可以是分布力，根据具体情况进行选择。
4.分析结构的受力和变形：应用力学的基本原理和公式，分析结构的受力和变形情况，求解结构的内力和位移等参数。
5.进行计算和分析：根据步骤4中得到的结果，进行计算和分析，比较计算结果与实际情况的差异，进行调整和修正。
力法的优点是计算简单、直观，尤其适用于计算结构的内力和变形情况；缺点是只能得到局部的内力情况，无法得到整体的受力情况。
在结构力学中，力法的应用非常广泛。
例如，可以利用力法求解悬臂梁的内力分布和变形情况，以及桁架和刚架的受力情况等。
同时，力法还可以用于计算复杂结构的等效荷载，简化结构的计算过程。
总结起来，力法是一种通过将结构的内力和力的作用点集中在一些特定的位置，从而简化结构计算的方法。
通过选择合适的基本力系统，确定基本力的作用点和大小，将基本力作用在结构上，进行受力和变形分析，最终得到结构的内力和变形情况。
力法在结构力学中有很广泛的应用，对于求解复杂结构的内力分布和变形方程非常有用。
力法 结构力学知识点概念讲解
力法1概述1.1超静定结构我们学习了各种静定结构的计算方法，它们的支座反力和内力都可以由静力平衡条件全部唯一确定下来。
一个结构，如果它的支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一的确定，我们就称为静定结构，图1a所示简支梁就是一个静定结构。
一个结构，如果它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一的确定，我们就称之为超静定结构，图1b所示的连续梁就是一个超静定结构。
（a）（b）图1从几何构造来看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系，超静定结构是有多余约束的几何不变体系。
例如图1a所示的简支梁，如果我们去掉一个支杆B，它就变成了几何可变体系。
图1b所示的连续梁，如果我们去掉支杆C，体系仍然是几何不变的，所以，支杆C是多余约束。
而多余约束上产生的反力称为多余力。
可见，超静定结构的基本特点是：内力是超静定的，约束是有多余的。
1.2超静定次数超静定次数就是超静定结构中所具有的多余约束的数目，或者说多余未知力的数目。
在超静定结构中，由于具有多余约束力，使平衡方程的数目少于未知力的数目，所以仅靠平衡条件无法确定全部反力和内力，还必须考虑位移条件以建立补充方程。
一个超静定结构有多少个多余约束，相应的便有多少个多余未知力，也就需要建立同样数目的补充方程，才能求解。
因此，用力法计算超静定结构时，首先必须确定多余约束的数目。
确定超静定次数的方法，就是把给定的超静定结构通过去掉多余约束变为静定结构，所去掉的多余约束的数目就是超静定次数。
如去掉n个约束，就称原结构是n次超静定。
通过前面几何组成分析的学习我们知道：(1)去掉一个链杆支座或切断一根链杆的轴向联系，相当于去掉一个约束。
(2)去掉一个铰支座或去掉一个单铰，相当于去掉两个约束。
(3)去掉一个固定支座或切断一根受弯杆，相当于去掉三个约束。
(4)一个固定支座改为固定铰支座或将一个刚性联结改为单铰，相当于去掉一个约束。
图2 (a)所示连续梁，去掉右边两根链杆支座后，即变为静定结构。
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2
0
1
4
P 对称 2
NP
0
2 P 2
+P/2
P 3 0 +0.414P
+0.172P 1
4
对称
25回 返
P
N
2
7—6 对称性的利用
用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高， 计算工作量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数 项)和解算典型方程。利用结构的对称性可使计算得到简 化。简化的原则是使尽可能多的副系数、自由项等于零。 结构的对称性： 指结构的几何形状、约束、刚度和 荷载具有对称性(正对称或反对称)。正对称简称对称。 例如：
↑ ← ↓→ →X← X ↑ X ← → ↓ X
X1
3
X2
X1
↑ ← ↓→ →X←
3
X2
4
5
6
n=6
X4
X← 6
X5
对于具有较多框格的结构，可 按 框格的数目确定，因为一个封 闭框格，其 超 静定次数等于三。 当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。 n=3×7=21
返8回
§7—3 力法的基本概念
作基本结构各 和MP图 由于 3=0,故
X1 1
M1图
1 X2 1
M 2图
M 3图
P
Pab LPab L22M图X
13= 31= 23= 32= △3P=0
33 3
3
1 则典型方程第三式为
MP图
Pa 2 b L2
代入典型方程 (消去公因子)得 代入典型方程解得 X =0
16回 返
（1）力法方程的物理意义为： 基本结构在全部多余 未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向 上的位移，应与原结构相应的位移相等。 （2）系数及其物理意义： 系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿其自身方向上的位移， 其值恒为正。 系数 i j(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未 知力 单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移， 其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有 i j= j i △i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起 的沿Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。 17
§7—2 超静定次数的确定
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。 1. 超静定次数： 多余联系或多余未知力的个数。 2 .确定超静定次数的方法: 采用解除多余联系的 方法。 解除多余联系的方式通 → 常有以下几种： X1 （1）去掉或切断一根链杆，相 当于去掉一个联系。 （2）拆开一个单铰，相当 于去掉两个联系。
A
B
P
X1
C
X1 ↙ X 2 ↙
↗
↗
此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。
P 此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。
多余联系： 这些联系仅就保持结构的几何不变 性来说，是不必要的。 多余未知力： 多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。 返4回 多余联系与多余未知力的选择。
3. 力法方程及系数的物理意义
返回
4. 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算
典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在 已知力作用下的位移，可以用第六章的方法计算。对于 平面结构，这些位移的计算公式为
对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后， 返 代入典型方程即可解出各多余未知力。 18回
…………………………………………………………… i 1X1+ i 2X2+ … + i iXi+ … + i nXn+△iP=0 …………………………………………………………… n1X1+ n2X2+ … + niXi+ … + nnXn+△nP=0
（7—3）
式中： Xi为多余未知力， i i为主系数，i j(i≠j)为副系数, △iP 为常数项（又称自由项）。
13
§7—4 力法的典型方程
用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立 力法方程以求解多余未知力。 1. 三次超静定问题的力法方程 基本体系的位移条件为：
△1=0 △2=0 △3=0
据叠加原理，上述位移条件可写成
14回 返
理解
沿X1方向： 11 、12 、13 和△1P ； 沿X2方向： 21、22、23和△2P ； 沿X3方向： 31、32、33和△3P 。 △1=11X1 +12X2+13X3 +△1P=0 △2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0 （7—2）
3. 超静定结构的类型 （1）超静定梁; （2）超静定桁架； ⑶ （3）超静定拱； （4）超静定刚架； （5）超静定组合结构。 4. 超静定结构的解法 ⑷
求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件: （1）平衡条件； ⑸ （2）几何条件； （3）物理条件。 返5回 具体求解时，有两种基本(经典)方法—力法和位移法。
L
qL2 2
↑ M图
X1 1
1
q
MP图
qL2 8
qL 8
2
M图
返回
将11、 ∆1p代入力法方程式(8-1)，可求得
11
结
论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而得到
静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知量，
根据基本体系应与原结构变形相同而建立位移条件
首先求出多余未知力，然后再由平衡条件计算其余
EI2 EI1 EI1 EI1 EI1
对称
对称
26回 返
a
a
1. 选取对称的基本结构 正对称多余未知力， 反对称多余未知力。
EI2 EI1
X1
各单位弯矩图
则 13= 31= 23= 32=0
对 称 EI1 轴
X X
3
2
基本结构
← →
X1 1
X2 1
力法典型方程简化为
11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0 对称结构进一步讨论。
15回 返
11X1+12X2+13X3+△1P=0 21X1+22X2+23X3+△2P=0 31X1+32X2+33X3+△3P=0
（7—2）
2. n次超静定问题的力法典型(正则)方程
对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有 n个位移条件，可写出n个方程 11X1+ 12X2+ … + 1iXi+ … + 1nXn+△1P=0
EI11=(1/2×3×3×2) ×4 +（3×6×3）×2 =144 EI△1P=(3×6×30+1/2×3× 3×80) ×2=1800 代入力法方程 11X1+△1P=0
解： 这是一个对称结构，为四次
10kN
X
1
6m
EI=常数
6m
基体 系
3
X 1
1
60
10kN
第七章
力
法
§7—1 概
述
1. 静定结构与超静定结构 静定结构：全部反力和内力只用平衡条件便可确 定的结构。 P HA A B
VA
RB
超静定结构：仅用平衡条件不能确定全部反力和 内力的结构。
A B
P
C RC
HA
VA
RB
P 内力超静定问题
返3回
外力超静定问题
2 . 超静定结构在几何组成上的特征
是几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。
1
§7—1 超静定结构概述 §7—2 超静定次数的确定 §7—3 力法的基本概念 §7—4 力法的典型方程 §7—5 力法的计算步骤和示例 §7—6 对称性的利用 §7—7 超静定结构的位移计算 §7—8 最后内力图的校核 §7—9 温度变化时超静定结构的计算 §7—10 支座移动时超静定结构的计算 §7—11 超静定结构的特性 2
MP图是反对称的，故 △1P= △2P=0 则得 X1=X2=0
这表明：对称的超静定结构，在反对称的荷载作用下， 28回 返 只有反对称的多余未知力，对称的多余未知力必为零。
MP图
↓
7—4 分析图示刚架。
10kN
6m
超静定。选取对称的基本结构 只有反对称多余未知力X1 如图示， 为计算系数和自由项分别作 和MP图(见图)。 由图乘法可得
首先以一个简单的例子，说明力法的思路和 基本概念。讨论如何在计算静定结构的基础上， 进一步寻求计算超静定结构的方法。
9
q
A
B
EI 原结构 L
q
A 基本体系
↑B
X1
q
↑ X
11
1
1P
10
(a)
将 ∆11=11x1 代入(a)得
(8—1) 此方程便为一次超静定结 构的力法方程。 计算系数和常数项
M1图
M 2图
X3 1
M 3图
27回 返
（1）对称结构作用对 称荷载
11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0
↓
P
a
a P
↓
P ↓
↓P
MP图
MP图是正对称的，故△3P=0。 则 X3=0 。