倍长中线法
倍长中线法经典例题较难
倍长中线法经典例题较难在说到倍长中线法，大家可能会觉得这是什么神秘的东西，其实并没有那么复杂。
想象一下，我们在课堂上，老师拿着一个三角形，指着那根中线，眼睛闪闪发光，像是在说：“看，这就是你们的未来！”这时的我们，或许有点懵，心里想着：“我能干嘛呢？”可这玩意儿就像一块儿美味的蛋糕，切开来让大家分享，越吃越觉得香。
倍长中线法的核心就像是我们生活中的很多道理，简单明了。
想象一个三角形，边边角角都各有千秋，老师告诉我们，长的那条中线就像是三角形的心脏，连接着两个顶点，恰到好处。
这时候，你可能会想：“这和我有什么关系？”可实际上，这就是几何的魅力所在！你看，学习数学就像是打怪升级，每个定理、每条公式都是你在游戏中的技能点，越多越好。
说到倍长中线，得先搞清楚中线是啥。
简单来说，三角形的中线是连接一个顶点和对边中点的线段。
它像个桥，把三角形的两边连成一体，真是个绝佳的搭档。
老师总爱用“中线”来解释一些深奥的道理，仿佛在说：“只要你找到这个点，生活就会变得简单。
”可这条中线可不止是个连接的角色，它还能让我们看见美丽的几何图形之舞，优雅而又有趣。
再说说倍长的意思。
倍长中线法的“倍长”其实就是中线的长度变成了原来的两倍。
这时候，想象一下我们平常买的衣服，如果腰围从30寸变成了60寸，那可就得赶紧去找裁缝了。
这种变化让我们不仅能观察到三角形的变化，更能思考背后隐藏的数学美感。
倍长中线法就像是一种魔法，把简单的三角形变成了充满可能的世界。
有人会问，倍长中线法到底有什么用呢？这就像问“为什么要吃水果”，答案是让我们更健康。
用倍长中线法，我们可以求得三角形的周长、面积，还能算出各种角度。
学会这招，就像拥有了打开数学大门的钥匙。
数学不仅仅是书本上的公式，更是我们生活中的每一个细节。
在解题时，倍长中线法也特别好用。
拿个简单的例子来说，给你个三角形，让你找出它的面积。
用倍长中线法，你只需简单几步，仿佛在解密一样，轻松搞定，心里那种成就感，简直就像是打通了一个难关，爽得不行。
倍长中线法(经典例题)
倍长中线法例 1：△ ABC 中， AB=5， AC=3，求中线 AD 的取值范围知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一， 添加辅助线．在利用中线解决几何问题时， 常常采用 “倍长中线法 ”所谓倍长中线法， 就是将三角形的中线延长一倍， 以便构造出全等三角形， 从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程： 延长某某到某点，使某某等于某某， 使什么等于什么（延长的那一条），用 SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成 【方法精讲 】常用辅助线添加方法——倍长中线SAS 全等三角形模型的构造。
AA△ ABC 中 AD 是 BC 边中线BDC方式 1： 延长 AD 到 E ，使 DE=AD ，连接 BEB DCE方式 2：间接倍长AAF 作 CF ⊥ AD 于 F ， MDB D C作 BE ⊥ AD 的延长线于 连接 BEE BC 延长 MD 到 N ， 使 DN=M ，D 连接 CNEN经典例题讲解：例2：已知在△ABC中，AB=AC，D 在AB上，E 在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CEADBFCE例3：已知在△ ABC中，AD是BC边上的中线， E 是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFAFEBD C例4：已知：如图，在ABC 中，AB 交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC AC ，D、E 在BC上，且DE=EC，过D作DF // BAAFB D E C例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAEABCE D自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E 为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.ADBE CF3、如图，AD为ABC 的中线，DE平分BDA 交AB于E，DF平分ADC 交AC于F. 求证：BE CF EFAEFB CD第14 题图4、已知：如图，ABC中，C=90 ，CM AB于M，AT 平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB 交BC于E，求证：CT=BE.A MD BETCWelcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
中考数学几何辅助线：倍长中线法
中考数学几何添加辅助线：倍长中线中线或中点是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。
此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角进而用“SAS”证明对应边之间的关系。
常规的倍长中线可以出全等，但需要证明“三点共线”，遇到“中点+平行”，我们“延长出全等”，而非“倍长出全等”. 用“倍长中线法”作辅助线解几何题，是一种重要的技巧套路。
它可以有效地生发出全等、平行等基本条件，关联好多基本图形，帮助解题，大家务必好好掌握。
也给我们解题的启示：抓住核心，找到关键，才能快速解题。
逢中点，便倍长，全等观，平行现.倍长中线法:是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造“8字形”的全等三角形。
在与中点有关的线段尤其是涉及线段的等量关系时，倍长中线应用较常见，常见添加如图（AD是底边中线）典例1．已知：AD是ΔABC的中线，AE=EF．求证：AC=BF．名师指点：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，再根据等腰三角形的性质证明即可．满分解答：证明：延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，∵AD 是△ABC 中线，∴CD ＝BD ，∵在△ADC 和△MDB 中，{CD ＝BD∠ADC ＝∠MDB AD ＝DM，∴△ADC ≌△MDB （SAS ），∴BM ＝AC ，∠CAD ＝∠M ，∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE ，∵∠AFE ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠CAD ＝∠M ，∴BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF ．名师点评：倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角、线段的代换是解决问题的关键． 1．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．4BF =B ．2ABC ABF ∠>∠。
倍长中线法(初二)
全等三角形的构造方法---常用辅助线搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．(一)倍长中线法:题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
例1．如图（1）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ． 求证：AC=BF 证明：延长AD 至H 使DH=AD ，连BH ，∵BD=CD， ∠BDH=∠ADC ，DH=DA ， ∴△BDH ≌△CDA ，∴BH=CA ，∠H=∠DAC ，又∵AE=EF ， ∴∠DAC=∠AFE ，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠AFE= 图（1） ∠BFD=∠DAC=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ．小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法。
它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
中线一倍辅助线作法△ABC 中 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线DE=AD ，连⊥AD 于F ，延长MD AD 的延长线于使DN=MD ， 连接例2、△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围E AB C DF H例3、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAEB第 1 题图 A B F D EC作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
中线倍长法
中线倍长法
中线倍长法是指使用一组具备特定功能的几何形状，并把它们重复堆叠起来，形成空间结构的设计方式。
它是以传统中国建筑中拱形拱门为设计元素，融合了现代空间建筑技术，以达成建筑空间效果的独特技术。
它最初由中国老牌建筑设计师陆文厦在上世纪八十年代提出，他基于传统的中国建筑拱形结构，提出了一种使用若干倍长的中线构建空间结构的设计方案，以此来巧妙地解决复杂的建筑空间布局问题。
中线倍长法以中线作为基本框架，通过倍长来模拟建筑拱形结构，既可以满足复杂的建筑空间布局，又可以达到拱形的空间效果，使空间变得更加宽敞、完美，并使之有着舒适的感受。
中线倍长法在其设计方法上也有着一些特点，主要体现在通过中线的使用，可以实现把传统的圆形结构形状“堆叠”，从而形成一种
较为宽敞的“拱门”形状，使建筑空间布局更加自由，不受传统拱形结构的限制。
中线倍长法由于具有灵活、高效以及适用性强等特点，被广泛运用于现代建筑空间设计，尤其是在大型建筑中，由于高度和空间结构上的复杂，中线倍长法则成为解决空间布置问题的有效方式。
中线倍长法的应用也被越来越多的应用于工业制造和现代建筑
空间设计中，可以有效地降低工程施工时间，提高工作效率。
特别是在大型建筑项目中，则可以有效地使用中线倍长法的方式简化工作，提高建筑质量，节省建筑施工费用。
因此，中线倍长法在现代建筑空
间设计中，是一个非常有用的技术工具，可以帮助建筑设计师有效地实现空间效果。
总而言之，中线倍长法是一种特定的建筑空间设计方式，它既可以满足复杂的建筑空间布局，又可以实现空间效果的最佳展示，所以在现代建筑空间设计中，中线倍长法是非常有效的工具。
倍长中线法经典例题
倍长中线法经典例题倍长中线法是一种加法运算技巧，有效地提高了大数加法的运算复杂度，其思想是利用“倍数方法”和“中线方法”相结合，让大数加法运算变得更加容易、快捷。
今天，我们就来认真研究一下倍长中线法的经典例题，深入了解它的奥妙之处，为今后的加法运算奠定坚实的理论基础。
例题一：计算788 + 883首先，我们来看倍长中线法的思路：首先用“倍数方法”，将两个加数乘以1000，即78800 + 883000；然后，用“中线方法”，将两个乘以1000后的数放在中线上，形成一条倍长的中线，即| 7880000 | 8830000 |；最后，从右往左数，总计8位，从右往左加即可得出结果。
由于是从右往左加，所以从右边开始计算，第8位末位数相加，结果为1，但此时不进位；再加第7位，结果为8，该位也不进位；继续加第6位，结果为3，也不进位；最终结果为1671000。
即788 + 883 = 1671。
例题二：计算486 + 879先用“倍数方法”，将两个加数乘以1000，即486000 + 879000；然后，用“中线方法”，将两个乘以1000后的数放在中线上，形成一条倍长的中线，即| 4860000 | 8790000 |；最后，从右往左数，总计8位，从右往左加即可得出结果。
从右往左加，第8位末位数相加，结果为2，不进位；继续加第7位，结果为8，该位也不进位；再加第6位，结果为7，此时需要进位；最终结果为1365000。
即486 + 879 = 1365。
通过上面的两个例题，相信读者对倍长中线法的思想及操作方法已经有了一定的了解，下面我们将再来讨论一个关键概念：“倍数方法”与“中线方法”之间如何结合？其实“倍数方法”与“中线方法”之间的相互结合，就是倍长中线法的关键点所在。
前面的例题中，我们都是“倍数方法”将加数乘以1000；然后用“中线方法”将乘以1000的结果放在中线上，然后从右往左依次加数，最终得到结果。
倍长中线法
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，经常采纳“倍长中线法”增添协助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延伸一倍，以便结构出全等三角形，进而运用全等三角形的相关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延伸某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延伸的那一条），用 SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延伸中线一倍，达成SAS全等三角形模型的结构。
【方法精讲】常用协助线增添方法——倍长中线AAB CD △ ABC中方式1：延伸AD到E，AD 是 BC边中线使DE=AD，B C连结BED方式 2：间接倍长AFB D CEEA作 CF⊥ AD于 F，M 延伸 MD到N，作 BE⊥ AD的延伸线于 E BD使 DN=MD，C连结 BEN连结 CN经典例题解说：例 1：△ ABC中， AB=5， AC=3，求中线 AD的取值范围例2：已知在△ ABC中， AB=AC， D 在 AB上， E 在 AC的延伸线上， DE交 BC于 F，且DF=EF，求证： BD=CEADBCFE例3：已知在△ ABC中，AD是 BC边上的中线， E 是 AD上一点，且 BE=AC，延伸 BE交 AC于 F，求证： AF=EFAFEBD C例 4：已知：如图，在ABC 中， AB AC ，D、E在BC上，且DE=EC，过D作 DF // BA交AE于点 F， DF=AC.A求证： AE均分BACFB D E C例5：已知 CD=AB，∠ BDA=∠BAD， AE是△ ABD的中线，求证：∠ C=∠ BAEAB CE D自检自测：1、如图，△ ABC 中， BD=DC=AC,E是 DC的中点，求证，A D均分∠ BAE.2、在四边形 ABCD中， AB∥ DC， E 为 BC边的中点，∠ BAE=∠ EAF， AF 与 DC的延伸线订交于点 F。
尝试究线段 AB与 AF、CF之间的数目关系，并证明你的结论 .ADBE CF3、如图， AD为ABC 的中线，DE均分BDA 交AB于E，DF均分ADC 交AC于F.求证：BE CF EFAEFB CD第 14 题图4、已知：如图，ABC中，C=90，CM AB于M，AT均分BAC交 CM于 D，交 BC于 T，过D 作 DEMAD BETC。
倍长中线法(经典例题)教学内容
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围D ABCEDAB C F EDC B AN D C B AM例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠FE DA B CFEC ABD AB F D E C例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E D ABCF EAB C D3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图 DF CBEADABCMTE。
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倍长中线法
知识网络详解：
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采纳“倍长中线
法”增添辅助线．
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用 SAS证全等（对顶角）
倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线增添方法——倍长中线
A
A
B C
D △ ABC中方式1：延长AD到E，AD 是 BC边中线使DE=AD，
B C连接BE
D
方式 2：间接倍长
A
F
B D C
E
E
A
作 CF⊥ AD于 F，
M延长 MD到
N，
作 BE⊥ AD的延长线于 E B
D
使 DN=MD，
C
连接 BE
N
连接 CN
经典例题讲解：
例 1：△ ABC中， AB=5， AC=3，求中线 AD的取值范围
例 2：已知在△ ABC中， AB=AC， D 在 AB上， E 在 AC的延长线上， DE交 BC于 F，且 DF=EF，
求证： BD=CE
A
D
B
C
F
E
例 3：已知在△ ABC中，AD是 BC边上的中线， E 是 AD上一点，且 BE=AC，延长 BE交 AC于 F，
求证： AF=EF
A
F
E
B
D C
例 4：已知：如图，在ABC 中， AB AC ，D、E在BC上，且DE=EC，过D作 DF // BA
交 AE于点 F， DF=AC.
A
求证： AE均分BAC
F
B D E C
例 5：已知 CD=AB，∠ BDA=∠BAD， AE是△ ABD的中线，求证：∠ C=∠ BAE
A
B C
E D
自检自测：
1、如图，△ ABC 中， BD=DC=AC,E是 DC的中点，求证，A D均分∠ BAE.
2、在四边形 ABCD中， AB∥ DC， E 为 BC边的中点，∠ BAE=∠ EAF， AF 与 DC的延长线订
交于点 F。
尝试究线段 AB与 AF、CF之间的数目关系，并证明你的结论 .
A
D
B
E C
F
3、如图， AD为ABC 的中线，DE均分BDA 交AB于E，DF均分ADC 交AC于F.求证：
BE CF EF
A
E
F
B C
D
第14 题图
4、已知：如图，ABC中，C=90，CM AB于M，AT均分BAC交 CM于 D，交 BC于 T，
过D作DE
M
A
D B
E
T
C。