第二讲 电子衍射原理
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电子衍射原理
h1u k1v l1 w 0 h2 u k 2 v l 2 w 0
得
u=k1l2-k2l1
v=l1h2-l2h1
w=h1k2-h2k1
简单易记法 h1 k1 l1 h1 k1 l1 h2 k2 l2 h2 k2
u
v
w
l2
六、电子衍射基本公式
电子衍射基本公式推导 TEM的电子衍射是把实际 晶体点阵转换为倒易点阵记 录下来，得到的图像叫做电 子衍射花样或叫电子衍射图。
电子束
光阑选区衍射（Le Pool方式）----用位于物镜象 平面上的选区光阑限制微区大小。先在明场象上找 到感兴趣的微区，将其移到荧光屏中心，再用选区 光阑套住微区而将其余部分挡掉。理论上，这种选 区的极限0.5m。 微束选区衍射 ----用微细的入射束直接在样品上 选择感兴趣部位获得该微区衍射像。电子束可聚焦 很细，所选微区可小于0.5m 。可用于研究微小析 出相和单个晶体缺陷等。目前已发展成为微束衍射 技术。
七、单晶电子衍射花样的标定
基本任务 确定花样中斑点的指数及其晶带轴方向［uvw］； 确定样品的点阵类型、物相和位向。 一般分析任务可分为两大类： 鉴定旧结构，这种结构的参数前人已作过测定，要求在这些
已知结构中找出符合的结构来。
测定新结构，这种结构的参数是完全未知的，在ASTM卡片中 和其它文献中都找不到；
OO*透射束，OG衍 射束，θ衍射角， G O*G＝1/d
Θ
1/λ
o
O
1/λ
O*
**
五、晶带定律与零层倒易截面
1.晶带：晶体内同时平行于某一 方向[uvw] 的所有晶面组（hkl ）构成一个晶带， [uvw]称为晶 带轴。
电子衍射原理
•入射束与衍射晶面稍有角度就能产生衍射.
三、结构因子
结构因子F（hkl）是描述晶胞类型和衍射强度之间关系的一个函数。结构因子的数学表达
式为
N
F(hkl) f j exp[2i(hx j kyj lz j )]
j 1
fj 是单胞中位于（x j , y j , z j ）的第j个原子对电子的散射振幅（或叫散射因子），它的大小与原 子序数有关。
c
c*
a
c*
b
0
a*
a
b*
b
c*
c
1
2、在倒易空间中，任意矢量的大小和方向可以用倒易矢量g来表示。
g
ha
*
kb *
lc*
1）ghkl垂直于（hkl）晶面。平行与（hkl）晶面的 法线N（hkl）。 2）倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面。
微束选区衍射 ----用微细的入射束直接在样品上 选择感兴趣部位获得该微区衍射像。电子束可聚焦 很细，所选微区可小于0.5m 。可用于研究微小析 出相和单个晶体缺陷等。目前已发展成为微束衍射 技术。
一、电子衍射原理 透射电镜 单晶体
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ多晶体
非晶体
二、布拉格定律 样品对入射电子的散射
• 晶体物质是由原子、离子或原子团在三维空间按一定 规律周期性排列构成的。当具有一定波长的单色平面 电子波射入晶体时，这些规则排列的质点将对入射电 子束中与其靠近的电子产生散射，由于散射强度较大 ，于是各个质点作为新波源发射次级波.
• 计算结构因子时要把晶胞中的所有原子考虑在内。
三、结构因子
结构因子F（hkl）是描述晶胞类型和衍射强度之间关系的一个函数。结构因子的数学表达
式为
N
F(hkl) f j exp[2i(hx j kyj lz j )]
j 1
fj 是单胞中位于（x j , y j , z j ）的第j个原子对电子的散射振幅（或叫散射因子），它的大小与原 子序数有关。
c
c*
a
c*
b
0
a*
a
b*
b
c*
c
1
2、在倒易空间中，任意矢量的大小和方向可以用倒易矢量g来表示。
g
ha
*
kb *
lc*
1）ghkl垂直于（hkl）晶面。平行与（hkl）晶面的 法线N（hkl）。 2）倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面。
微束选区衍射 ----用微细的入射束直接在样品上 选择感兴趣部位获得该微区衍射像。电子束可聚焦 很细，所选微区可小于0.5m 。可用于研究微小析 出相和单个晶体缺陷等。目前已发展成为微束衍射 技术。
一、电子衍射原理 透射电镜 单晶体
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ多晶体
非晶体
二、布拉格定律 样品对入射电子的散射
• 晶体物质是由原子、离子或原子团在三维空间按一定 规律周期性排列构成的。当具有一定波长的单色平面 电子波射入晶体时，这些规则排列的质点将对入射电 子束中与其靠近的电子产生散射，由于散射强度较大 ，于是各个质点作为新波源发射次级波.
• 计算结构因子时要把晶胞中的所有原子考虑在内。
教学课件：第二章-电子衍射原理与分析
光既具有波动特性，又具有粒子特性 。光既能像波一样向前传播，有时又 表现出粒子的特征。因此，我们称光 为“波粒二象性”。
德布罗意假设
路易·德布罗意提出所有微观粒子都具 有波粒二象性。人们熟悉的电子、质 子、中子同样具有波粒二象性。
德布罗意波长
德布罗意波长的公式
λ=h/p，其中λ是德布罗意波长，h是普朗克常数，p是动量。
表面反应动力学研究
表面反应动力学是研究表面化学反应速率和反应机制的学科，电子衍射技术在表 面反应动力学研究中发挥着重要作用。
通过分析电子衍射数据，可以获得关于表面反应中间物、产物和反应路径的信息 ，有助于深入理解表面化学反应机理和动力学过程，为催化剂设计、环境保护和 能源转化等领域提供理论支持。
06 结论
电子衍射原理的重要性和应用价值
电子衍射原理是研究物质微观结构的 重要手段，通过分析电子衍射图样可 以获得物质内部的精细结构信息，对 于材料科学、物理学、化学等领域的 研究具有重要意义。
电子衍射原理的应用范围广泛，包括 材料结构表征、晶体缺陷分析、表面 形貌观察、纳米材料研究等方面，对 于推动科学技术进步和产业发展具有 重要作用。
表面电子态研究
表面电子态研究是电子衍射在表面科学中的另一个重要应 用。通过分析电子衍射数据，可以获得表面电子的能级结 构、占据情况和跃迁行为等信息，有助于深入理解表面物 理和化学性质以及电子传输和光学性能。
表面电子态的研究对于发展新型电子器件、光电器件和能 源材料等具有重要意义，有助于推动相关领域的技术进步 和创新。
对未来研究的展望
随着科学技术的发展，电子衍射原理 的应用前景将更加广阔。未来可以进 一步拓展其在新型材料、纳米科技、 生物医学等领域的应用，为解决人类 面临的能源、环境等问题提供更多有 效手段。
德布罗意假设
路易·德布罗意提出所有微观粒子都具 有波粒二象性。人们熟悉的电子、质 子、中子同样具有波粒二象性。
德布罗意波长
德布罗意波长的公式
λ=h/p，其中λ是德布罗意波长，h是普朗克常数，p是动量。
表面反应动力学研究
表面反应动力学是研究表面化学反应速率和反应机制的学科，电子衍射技术在表 面反应动力学研究中发挥着重要作用。
通过分析电子衍射数据，可以获得关于表面反应中间物、产物和反应路径的信息 ，有助于深入理解表面化学反应机理和动力学过程，为催化剂设计、环境保护和 能源转化等领域提供理论支持。
06 结论
电子衍射原理的重要性和应用价值
电子衍射原理是研究物质微观结构的 重要手段，通过分析电子衍射图样可 以获得物质内部的精细结构信息，对 于材料科学、物理学、化学等领域的 研究具有重要意义。
电子衍射原理的应用范围广泛，包括 材料结构表征、晶体缺陷分析、表面 形貌观察、纳米材料研究等方面，对 于推动科学技术进步和产业发展具有 重要作用。
表面电子态研究
表面电子态研究是电子衍射在表面科学中的另一个重要应 用。通过分析电子衍射数据，可以获得表面电子的能级结 构、占据情况和跃迁行为等信息，有助于深入理解表面物 理和化学性质以及电子传输和光学性能。
表面电子态的研究对于发展新型电子器件、光电器件和能 源材料等具有重要意义，有助于推动相关领域的技术进步 和创新。
对未来研究的展望
随着科学技术的发展，电子衍射原理 的应用前景将更加广阔。未来可以进 一步拓展其在新型材料、纳米科技、 生物医学等领域的应用，为解决人类 面临的能源、环境等问题提供更多有 效手段。
2_2.电子散射原理
7
夫朗和费(Fraunhofer)近似 和Fraunhofer衍射
Fraunhofer衍射是指当一个平面波与障碍物相 互作用时发生的衍射。由于从点光源反射的 波只有在很远的距离以外才能成为平面波， 所以这种衍射又称为远场衍射。 夫朗和费近似的实质是用平面波代替球面波。
( ) F ( K ) q(r ) exp[ 2iK r ]dr
第二讲 电子衍射原理
晶体学的预备知识 电子的散射与衍射 电子衍射谱的标定
1
电子的散射和衍射
电子衍射的发展过程
1912年，劳埃通过X-ray衍射实验
– 证实了晶体中原子的微观排列 – 开辟了用X-ray衍射研究晶体结构这一新领域
1926~1927年，实现了晶体的电子衍射
– 肯定了电子波动性 – 奠定了电子衍射学科
2me F Vhkl 2 h
Vhkl是(hkl )衍射方向的傅立叶系数
20
原子散射因子的推导——原子 对入射电子散射的波动理论*
在相对论下:
eV eV mc 2 m0 c 2 m m0 2 c m0 m v2 1 2 c
h 2 eV m m0
1 m 2c 2 2 2 2 0 2 m 2c 2 p2 eV m m0 mc m0 c m m0 m0 c 2 1 1 v 1 v 2 c c2
电子的散射和衍射
高速电子进入到固体中，与单个原子的原子核及核外电子间发生相 互作用，从而发生方向、能量的改变，称为散射。从能量损失的角 度分为弹性散射和非弹性散射
从粒子角度讲，为连续的粒子流与原子核及核外电子的相互作用 的库仑碰撞
从波的角度讲，为准单色电子波，受单个原子扰动而形成球面波 高速电子被固体中周期排列的原子散射后，其弹性散射部分是相干 的，能够在某些方位上相干加强，形成花样，是为衍射 电子的衍射为多原子相互作用的集体行为 衍射行为反映了固体原子排列的周期性 注意散射和衍射的本质和区别，在不同情况下，我们将根据习惯而 分别使用这两个术语。 5
电子衍射
❖
2、衍射斑点为倒易点的投影
可以证明，电子衍射标定（指标化），可得到 倒易点阵空间分布状态
16
17
例1
下图为某物质的电子衍射花样 ，试指标化并 求其晶胞参数和晶带方向。
RA＝7.1mm, RB＝10.0mm, RC=12.3mm, (rArB）90o, (rArC）55o , L＝14.1mm Å.
人们能在高倍下选择微区进行晶体结构分析， 弄清微区的物相组成； 2）电子波长短，使单晶电子衍射斑点大都分布 在一二维倒易截面内，这对分析晶体结构和位 向关系带来很大方便； 3）电子衍射强度大，所需曝光时间短，摄取衍 射花样时仅需几秒钟。
2
2、单晶电子衍射 当一电子束照射在单晶体薄膜上时，透射束穿
8 Find [uvw]= g1 g2 =[110]
u k1l2 k2l1 v l1h2 l2h1 w h1k2 h2k1
112
A110
112C
002
000
112
110
B 002
112
24
例2 下图为某物质（ CaO）的两个方向的电子衍射花 样 ，试指标化并求其晶胞参数和晶带方向。 L=800mm, V=100KV, R 列在下表。 解：K=Lλ=800*1.225/100,0001/2=2.961mm nm.
20
4检查夹角：
cosAB 0,AB 900,cosAC 1 3,AC 54.70
与测量值一致。
112
5对各衍射点指标化如下 。
6 a= 2dB=2.83 Å,
d a h2 k2 l2
002
7可得到 [uvw]=[220].
112
晶带轴为 [uvw]=[110]。
电子的衍射原理
电子的衍射原理电子的衍射原理是指当电子束通过一个尺寸与其波长接近的孔或经过晶体时，会发生衍射现象。
这个现象与光波的衍射原理非常相似，但是由于电子的特殊性质，使得电子的衍射具有一些独特的特点。
首先，我们知道根据德布罗意波动方程，物质粒子也具有波动性质。
对于电子来说，它的波长可以由德布罗意公式λ = h/p计算得出，其中h是普朗克常数，p为电子的动量。
电子的衍射主要是通过电子与晶体或孔的相互作用来产生的。
当电子束遇到晶格的时候，晶格的周期性结构会对电子束产生散射，这种散射就是电子的衍射。
晶格常数决定了衍射的微细结构，而晶体的平面则决定了衍射的方向性。
衍射的过程可以通过惠更斯-菲涅尔原理来描述。
根据该原理，每个点上的波前都可以看作是一系列波源发出的次级波的叠加，这些次级波形成了新的波前。
在电子的衍射过程中，散射的电子波可以视为次级波，而晶体或孔则形成了作为波前的电子波传播的界面。
电子的衍射表现出了一些有趣的现象。
首先是衍射图样的特点，类似于光的衍射，电子的衍射图样也会出现干涉条纹。
这些条纹的形状和分布可以提供关于晶体结构的有用信息，因此电子衍射技术在材料科学中有着重要的应用。
另一个有趣的现象是衍射的相对强度。
电子的散射过程中，不同方向的电子波会相互干涉，形成强度不均匀的衍射图样。
这些强度的变化可以通过使用衍射模型和计算方法来解释。
电子衍射原理在很多领域都有重要的应用，特别是在材料科学、凝聚态物理和电子显微镜技术中。
使用电子衍射技术，科学家们可以研究材料的晶体结构、晶格常数、晶格缺陷等重要的性质。
此外，电子衍射还可用于表征纳米材料、薄膜以及生物分子的结构，为相关研究提供了强有力的工具。
总之，电子的衍射原理是基于电子的波动性而实现的一种衍射现象。
通过电子与晶体或孔的相互作用，电子束会发生散射，形成干涉和衍射的图样。
电子衍射原理的理解和应用对于探索材料的微观结构、研究纳米领域以及发展电子显微镜技术都具有重要的意义。
电子衍射原理概述
测出正空间中各衍射晶面问的相对方位，这就是电子衍射分析要解
决的主要问题。
三、晶带定理与零层倒易截面
在正点阵中，同时平行于某一晶向 [uvw]的一组晶面构成一个晶带，而这 一晶向称为这一晶带的晶带轴。
图10-5为正空间中晶体的[uvw]晶带及 其相应的零层倒易截面(通过倒易原点) 。
特点：
1.晶面（ h）1k1l1 (h2k2l2)、 、 （ h3k3l3） 的法向
的指数应是
1、 1 10 、 0 1 1 0 、 1 1、 2 0、 0 2 00 、 0 0、 2 0 2 0 0 。
再来看[011]晶带的标准零层倒易截面，
1. 1.满足晶带定理的条件是衍射晶面的k和l两个指数必须相等和
符号相反；
. 2.如果同时再考虑结构消光条件，则指数h必须是偶数。因此，
在中心点000周围的八个点应是
电子衍射原理概述
由于电子波与x射线相比具有下列不同之处：
透射电镜能在同一试样上把物相的形貌观察与结构分析结合起来 ，可借助显微图象，在放大几百万倍的情况下，将直径小到几个埃 的微晶挑选出来，进行晶体结构的研究，也可借助衍射花样，弄清 薄晶衍衬成象的衬度来源，对光怪陆离的现象加以确切解释。这些 ，对于材料科学工作这都是至关重要的。
2. 2.只有不产生消光的晶
面才能在零层倒易面上出
现倒易阵点。
图l0-7为体心立方晶体[001]和[011]晶带的标准零层倒易截面图。
对[001]晶带的零层例易截面来说， 1.要满足晶带定理的晶面指数必定是
hk型0的，
2.考虑体心立方晶体的消光条件是三指数之和应是奇数，因此，必
须使h、k 两个指数之和是偶数，此时在中心点000周围最近八个点
《电子衍射原理》课件
透射电子显微镜技术
透射电子显微镜技术是一种利用透射 电镜观察物质内部微细结构的方法， 具有高分辨率和高放大倍数的特点。 随着科技的不断进步，透射电子显微 镜技术的应用范围越来越广泛，在材 料科学、生物学、医学等领域得到广 泛应用。
VS
例如，在材料科学领域，透射电子显 微镜技术可用于研究材料的晶体结构 和相变行为，为新材料的开发和优化 提供有力支持。在生物学领域，透射 电子显微镜技术可用于研究细胞器和 生物大分子的结构和功能，为生命科 学和医学研究提供新的视角。
电子显微镜的放大倍数较高，能够观察到非常细微的结构细节，是研究物质结构和 形貌的重要工具之一。
电子源
电子源是电子显微镜中的核心部件之一，它能够产生用于观察和成像的 电子束。
电子源通常由加热阴极、栅极和加速电极等部分组成，通过加热阴极使 得电子逸出并经过栅极和加速电极的调制和加速，形成用于成像的电子
电子衍射可以揭示细胞内部的超微 结构，有助于理解细胞的生理和病 理过程。
在表面科学中的应用
表面晶体结构
电子衍射可以用于研究固体表面 的晶体结构和化学组成，对表面 改性和催化等应用具有指导意义
。
表面应力分析
通过电子衍射可以分析表面应力 状态，有助于理解表面行为的物
理机制。
表面吸附和反应
电子衍射可以研究表面吸附分子 的结构和反应活性，对表面化学 和工业催化等领域有重要意义。
05
电子衍射的发展前景
高能电子衍射技术
高能电子衍射技术是一种利用高能电子束进行物质结构分析的方法，具有高分辨 率和高灵敏度的特点。随着科技的不断进步，高能电子衍射技术的应用范围越来 越广泛，在材料科学、生物学、医学等领域发挥着重要作用。
例如，在材料科学领域，高能电子衍射技术可用于研究材料的微观结构和晶体取 向，为新材料的开发和优化提供有力支持。在生物学领域，高能电子衍射技术可 用于研究生物大分子的结构和功能，为药物设计和疾病治疗提供新的思路。
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第二讲 电子衍射原理
1. 晶体学的预备知识 2. 电子的散射与衍射 3. 电子衍射谱的标定提供什么？
电子衍射——揭示合金相的晶体结构 形貌特征——固体中的界面、位错形貌 晶体的原子结构——固体的原子结构
2
§1 晶体学的预备知识
掌握相当晶体学知识的重要性
晶体学是关于晶体结构及其表征的知识 晶体结构是电子显微分析的研究对象
例如，晶体的衍射特征 布拉格公式 衍射斑点的分布与倒易点阵平面对应
晶体学的必要知识
二维晶体学：
平面点阵（5）、平面点群（10）、平面群（17）
三位晶体学：
布拉菲点阵（17）及其相互间的变换关系、点群（32）、空间群（230）
晶体结构的表征：
晶面，晶面指数
倒易点阵的知识：
3
二维晶体学
* ac * bc cc ...
... ... 1 ... 18 ...
晶系 三斜
正点阵标量积矩阵
ab cos ac cos b a 2 ab cos bc cos a b 2 ac cos b bc cos a c
d uvw
*
1 ruvw
单胞体积
aa ab ac 1 2 V ba bb bc ca cb cc
V
*
1 V
* 1
1 2
V
* * a a * * b a * * c a
* * a b * * b b * * c b
(e)
六角点阵
六方形
a=b, =60 六方
3, 3m, 6, 6mm
4
二维晶体学
点对称性
点操作和点对称性：
保证某一点或某些点不变的操作称之为点操作；对晶体实施的 某些点操作后，晶体可以完全复原，这种特性称之为点对称性。
点对称性类型：
旋转对称性——旋转轴 N 1 a 360(0) 2 180 3 120 4 90 6 60
13
三维晶体学
菱面体单胞的六角坐标描述
变换关系
三个阵点的位置: (000), (1/3, 2/3, 1/3), (1/3, 2/3, 2/3)
aH cH
2 a 2 1 cos a 3a 2 1 cos a
1 a 3 cos a
3a H c H
2
2
2
2c H 2a H 2 c H 2a H
正交
2 a 0 0
0
b
0
2
0
0 0 2 c
1 2 a 0 0
0 1
2
b
0
0 0 1 2 c
四方
2 a 0 0
2 a 0 0
a
2
0
0
0 0 2 c
0 0 2 a
1 2 a 0 0
0 1
a
0
2
0 0 1 2 c
立方
a
2
0
1 2 a 0 0
0 1
2
a
0
0 0 1 2 a
20
倒易点阵
倒易关系
倒易关系的几何
2 2
2
14
三维晶体学
点群
新对称元素引入
1) 反演（反映）(x, y, z)(-x, -y, -z) 2) 倒反轴——旋转反演轴
中心对称
32种点群
空间群
新对称元素引入
1) 滑移反映——平移对称和反应对称的合成对称操 2) 螺旋对称轴
空间群 230种
15
倒易点阵
倒易点阵的概念
倒易点阵的定义
a aa ab ac ... b b a b b b c ... a b c ... c a b c c c ... c ... ... ... ... ...
0 1
2
b
0
cos b 2 ac sin b 0 1 2 2 b c sin
三角
2a a cos a 2 cos a a
2
a cos a a cos a a a cos a a cos a a
2 2 2 2 2 2
2 a cosa 1 cosa cosa 1 cosa 2 1 cos a 1 cos a a cos a 1 cos a a 2B 2 a cosa 1 cosa cosa 1 cosa
a
*
1
*
a sin b sin a sin b sin * 1 1 b* b sin * sin a b sin sin a * 1 1 c* c sin a * sin b c sin a sin b *
sin c
A = 1-cos2a-cos2b-cos2+2cos acosbcos
单斜
2 0 ac cos b
a
0
b
0
2
ac cos b 0 2
c
1 2 2 a sin b 0 cos b 2 ac sin b
2mm
正方p
4 4mm 3m 6
六角p
6mm
6
十种平面点群
1
2
3
4
6
m
2mm
3m
4mm
6mm
7
三维晶体学
平移对称性
r ut 1 vt 2 wt 3
8
三维晶体学
14种布拉菲点阵
晶系 三斜 单斜 点阵符号 P P C P C I F P I P I F R P 晶胞参数特征 abc ab abc a = 90, b 90 abc a = b = 90 a=bc a = b = 90 a=b=c a = b = 90 a=b=c a = b = 90 a=bc a= b = 90, 120 需注明的晶胞参数 a, b, c a , b, a, b, c b a, b, c 点对称性 1 2/m
* *
ca cb ca ab a 2bc(cos b cos cos a ) aa ab
a b* c* sin a * / V * ca sin b / V ab sin / V sin a * / V * V abc sin a * sin b sin abc sin a sin b * sin abc sin a sin b sin *
从几何上讲，每一个点阵（基矢为a,b,c）都对应一个倒易点阵：
* * * rhkl ha kb lc
其中基矢为：
* b c * c a * a b a ,b ,c V V V
倒易点阵的基矢与相应点阵的关系
1 , if i j a i b j b j a i ij 0 , if i j
正交
mmm
四方
a, c
4/mmm
立方
三角 六角
a
a a a, c
m3m
3m
6/mmm
9
三维晶体学
14种布拉菲点阵（I）
10
三维晶体学
14种布拉菲点阵（II）
11
三维晶体学
14种布拉菲点阵的推导
12
三维晶体学
菱面体单胞的六角坐标描述
优越性及注意事项
简单化：2个直角 多重胞：包含三个阵点 将三角和六角统一起来 出现消光
* *
16
倒易点阵
倒易点阵的概念
倒易点阵的意义
几何意义： 正点阵内的一组点阵平面对应于倒易点阵的一个 阵点 衍射物理： 正点阵与倒易点阵互为傅立叶变换 电子显微学的意义： 电子衍射图相当于一个二维倒易点阵平面的投影， 每一个衍射斑点对应于一个倒易点阵的阵点
17
倒易点阵
广义倒易点阵——正点阵标量积和倒易点阵标量积
sin
sin
sin
B = sin2a-2cos2a+2cos3a
19
六角
2 a 2 a 2 0
a
2
2
2
a
0
0 0 0
4 2 3a 2 2 3a 0
2
3a
4
2
3a
0
2
0 0 1 2 c
* b
* c
aa * * ba ... * ca ...
* ab * bb * cb ...
a * a * b b 1 * c c ... ...
表示一组平面族，其中每个平面 都是由三维点阵的阵点组成，它 们等间距排列，相互平行，法线 方向是r*,面间距为1/r. *
r r n
倒易点阵方向——密勒指数
晶面指数(hkl)构成了倒易点阵的 坐标分量。
倒易点阵长度
d hkl
1 rhkl
21
倒易点阵
互为倒易关系
倒易点阵的倒易面和正点阵的方向
反映对称（镜像对称）——镜线
平面点群：10种
平面群
微观对称操作——滑移反应 平面群：点对称操作与点阵的结合, 17种
1. 晶体学的预备知识 2. 电子的散射与衍射 3. 电子衍射谱的标定提供什么？
电子衍射——揭示合金相的晶体结构 形貌特征——固体中的界面、位错形貌 晶体的原子结构——固体的原子结构
2
§1 晶体学的预备知识
掌握相当晶体学知识的重要性
晶体学是关于晶体结构及其表征的知识 晶体结构是电子显微分析的研究对象
例如，晶体的衍射特征 布拉格公式 衍射斑点的分布与倒易点阵平面对应
晶体学的必要知识
二维晶体学：
平面点阵（5）、平面点群（10）、平面群（17）
三位晶体学：
布拉菲点阵（17）及其相互间的变换关系、点群（32）、空间群（230）
晶体结构的表征：
晶面，晶面指数
倒易点阵的知识：
3
二维晶体学
* ac * bc cc ...
... ... 1 ... 18 ...
晶系 三斜
正点阵标量积矩阵
ab cos ac cos b a 2 ab cos bc cos a b 2 ac cos b bc cos a c
d uvw
*
1 ruvw
单胞体积
aa ab ac 1 2 V ba bb bc ca cb cc
V
*
1 V
* 1
1 2
V
* * a a * * b a * * c a
* * a b * * b b * * c b
(e)
六角点阵
六方形
a=b, =60 六方
3, 3m, 6, 6mm
4
二维晶体学
点对称性
点操作和点对称性：
保证某一点或某些点不变的操作称之为点操作；对晶体实施的 某些点操作后，晶体可以完全复原，这种特性称之为点对称性。
点对称性类型：
旋转对称性——旋转轴 N 1 a 360(0) 2 180 3 120 4 90 6 60
13
三维晶体学
菱面体单胞的六角坐标描述
变换关系
三个阵点的位置: (000), (1/3, 2/3, 1/3), (1/3, 2/3, 2/3)
aH cH
2 a 2 1 cos a 3a 2 1 cos a
1 a 3 cos a
3a H c H
2
2
2
2c H 2a H 2 c H 2a H
正交
2 a 0 0
0
b
0
2
0
0 0 2 c
1 2 a 0 0
0 1
2
b
0
0 0 1 2 c
四方
2 a 0 0
2 a 0 0
a
2
0
0
0 0 2 c
0 0 2 a
1 2 a 0 0
0 1
a
0
2
0 0 1 2 c
立方
a
2
0
1 2 a 0 0
0 1
2
a
0
0 0 1 2 a
20
倒易点阵
倒易关系
倒易关系的几何
2 2
2
14
三维晶体学
点群
新对称元素引入
1) 反演（反映）(x, y, z)(-x, -y, -z) 2) 倒反轴——旋转反演轴
中心对称
32种点群
空间群
新对称元素引入
1) 滑移反映——平移对称和反应对称的合成对称操 2) 螺旋对称轴
空间群 230种
15
倒易点阵
倒易点阵的概念
倒易点阵的定义
a aa ab ac ... b b a b b b c ... a b c ... c a b c c c ... c ... ... ... ... ...
0 1
2
b
0
cos b 2 ac sin b 0 1 2 2 b c sin
三角
2a a cos a 2 cos a a
2
a cos a a cos a a a cos a a cos a a
2 2 2 2 2 2
2 a cosa 1 cosa cosa 1 cosa 2 1 cos a 1 cos a a cos a 1 cos a a 2B 2 a cosa 1 cosa cosa 1 cosa
a
*
1
*
a sin b sin a sin b sin * 1 1 b* b sin * sin a b sin sin a * 1 1 c* c sin a * sin b c sin a sin b *
sin c
A = 1-cos2a-cos2b-cos2+2cos acosbcos
单斜
2 0 ac cos b
a
0
b
0
2
ac cos b 0 2
c
1 2 2 a sin b 0 cos b 2 ac sin b
2mm
正方p
4 4mm 3m 6
六角p
6mm
6
十种平面点群
1
2
3
4
6
m
2mm
3m
4mm
6mm
7
三维晶体学
平移对称性
r ut 1 vt 2 wt 3
8
三维晶体学
14种布拉菲点阵
晶系 三斜 单斜 点阵符号 P P C P C I F P I P I F R P 晶胞参数特征 abc ab abc a = 90, b 90 abc a = b = 90 a=bc a = b = 90 a=b=c a = b = 90 a=b=c a = b = 90 a=bc a= b = 90, 120 需注明的晶胞参数 a, b, c a , b, a, b, c b a, b, c 点对称性 1 2/m
* *
ca cb ca ab a 2bc(cos b cos cos a ) aa ab
a b* c* sin a * / V * ca sin b / V ab sin / V sin a * / V * V abc sin a * sin b sin abc sin a sin b * sin abc sin a sin b sin *
从几何上讲，每一个点阵（基矢为a,b,c）都对应一个倒易点阵：
* * * rhkl ha kb lc
其中基矢为：
* b c * c a * a b a ,b ,c V V V
倒易点阵的基矢与相应点阵的关系
1 , if i j a i b j b j a i ij 0 , if i j
正交
mmm
四方
a, c
4/mmm
立方
三角 六角
a
a a a, c
m3m
3m
6/mmm
9
三维晶体学
14种布拉菲点阵（I）
10
三维晶体学
14种布拉菲点阵（II）
11
三维晶体学
14种布拉菲点阵的推导
12
三维晶体学
菱面体单胞的六角坐标描述
优越性及注意事项
简单化：2个直角 多重胞：包含三个阵点 将三角和六角统一起来 出现消光
* *
16
倒易点阵
倒易点阵的概念
倒易点阵的意义
几何意义： 正点阵内的一组点阵平面对应于倒易点阵的一个 阵点 衍射物理： 正点阵与倒易点阵互为傅立叶变换 电子显微学的意义： 电子衍射图相当于一个二维倒易点阵平面的投影， 每一个衍射斑点对应于一个倒易点阵的阵点
17
倒易点阵
广义倒易点阵——正点阵标量积和倒易点阵标量积
sin
sin
sin
B = sin2a-2cos2a+2cos3a
19
六角
2 a 2 a 2 0
a
2
2
2
a
0
0 0 0
4 2 3a 2 2 3a 0
2
3a
4
2
3a
0
2
0 0 1 2 c
* b
* c
aa * * ba ... * ca ...
* ab * bb * cb ...
a * a * b b 1 * c c ... ...
表示一组平面族，其中每个平面 都是由三维点阵的阵点组成，它 们等间距排列，相互平行，法线 方向是r*,面间距为1/r. *
r r n
倒易点阵方向——密勒指数
晶面指数(hkl)构成了倒易点阵的 坐标分量。
倒易点阵长度
d hkl
1 rhkl
21
倒易点阵
互为倒易关系
倒易点阵的倒易面和正点阵的方向
反映对称（镜像对称）——镜线
平面点群：10种
平面群
微观对称操作——滑移反应 平面群：点对称操作与点阵的结合, 17种