向量和矩阵范数

3.4 向量和矩阵范数•主要内容：内积和向量范数；矩阵范数。

理学院谢冬秀教授3.4.1 内积与向量范数41nR n），)T )T定义4.1设,x y ∈（或C 1(,,,n x x x =1(,,,n y y y =实数(,)ni i x y x y =∑或复数nH ii x y y x xy (,)==∑(,HTyy y=12n⎛1i =1i =为y 的共轭），称为向量x 与y 的数量积也称内积。

12221i i x x x x (,),=⎞==⎜⎟⎝⎠∑非负实数称为向量x 的欧氏范数或2-范数。

3.4.1 内积与向量范数41设nn定理4.1 ,x y R ∈（或C ）,（1）(,)0,x x ≥当且仅当0x =时等号成立；则内积具有以下性质（3）（2）1x y x y R (,)(,),ααα=∈或1x y x y C (,)(,),;ααα=∈x y y x (,)(,),=或x y y x (,)(,),=n x y C,∈（4）x y z x z y z (,)(,)(,),+=+nx y z R ,,∈（5）22x y x y (,)≤（称为Cauchy-Schwarz 不等式）（6）222x y x y ,+≤+（称为三角不等式）3.4.1 内积与向量范数定义4.2 向量nx R ∈的某个实值函数()N x ，记作x ，若满足以下条件：（1）0x ≥当且仅当0x =时等号成立（正定性）（2）,ax x R αα=∈（齐次性） （3）x y x y +≤+（三角不等式）； 则称()N x x=是nR 上的一个向量范数向量范数几种常用的向量范数:1/2221ni i x x =⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑1max ii nxx ∞≤≤=称为∞−范数1nix x ==∑称为1−范数1i 统一1pnp i pxx /⎛⎞=⎜⎟∑1i =⎝⎠向量的范数4.2=nR 定理4.2 设()N x x是上任一种向量范数，则()N x 是向量x 的分量12,,,n x x x 的连续函数。

定理4.3 设s i 与t i 是n R 上任意两种向量范数，则存在常数120,c c >，使12st s c xx c x ≥≥不等式称为向量范数等价性矩阵范数3.4.2 矩阵范数122n/⎛⎞矩阵可看成向量，对应的2-范数()1ij F i j F A A a ,===⎜⎟⎝⎠∑称为矩阵的Frobenius ，简称范数。

F −满足向量范数的三条性质。

矩阵的乘法运算没有考虑，因此矩阵范数定义如下矩阵范数3.4.2 矩阵范数定义4.3 如果()n nijA a R ×=∈的某个非负实函数 ()N A A 记作满足条件：（1）0A ≥当且仅当0A =（零矩阵）时等号成立；（2）,;A A R ααα=∈（3）,,n nA B A B A B R ×+≤+∈（4）,,n n AB A B A B R ×≤∈则称A 为()N A =n n R ×上的一种矩阵范数342矩阵范数3.4.2 矩阵范数除矩阵自身的运算外，在解方程中矩阵乘向量的运算即x Α，也是必不可少的.因此要求所引进的范数应满足条件：Ax A x υυ≤称为相容性条件定义4.4 设,,n n nx R A R ×∈∈当给定向量范数υi 时可定义1maxmax x x Ax A Ax x υυυυ≠===υ称为矩阵的算子范数或从属范数。

3.4.2 矩阵范数定理4.4 设 ,,nn nx R A R x υ×∈∈ 是n R 上的一种向量范数，则由定义4.4的A υ是一种矩阵范数，且满足相容性条件容性条件证明（略）矩阵范数 阵范定理 4.5A∞n n× n 设 x ∈ R , A∈ R 则n= max ∑ aijj1≤ i ≤ n j =1n 1≤ j ≤ n（ A 的行范数） （ A 的列范数） （ A 的 2 范数）A 1 = max ∑ aiji =1A2=ρ ( AT A )这里 ρ ( i ) 为矩阵的谱半径。

矩阵范数证明 这里只给出Ax 1 = ∑i =1 n n nA1n的证明。

设n nx = ( x1 ,, x n ) , A = a ij ∈ R n× n ,T( )n ⎛ ⎞ n aij x j ≤ ∑∑ aij x j = ∑∑ aij x j ≤ ⎜ max ∑ aij ⎟ ∑ x j = μ x ∑ j =1 i =1 j =1 j =1 i =1 ⎝ 1≤ j ≤ n i =1 ⎠ j =11μ = max ∑ aij = ∑ aij . 其中， 1≤ j ≤ ni =1 i =1onn故 ∀x ∈ R , x ≠ 0 均有nAx x11≤ μ.下面证明 ∃x ≠ 00使得0 nAx 0 x0 11=μ现设 x = ( x , , x0 0 1)T，n⎧ = 1, j = j0 其中 x = ⎨ 0, j ≠ j0 ⎩0 j显然x0 1=1且Ax0 1=∑i =1∑aj =1n0 ijx0 j= ∑ aij0 = μ 。

i =1n证毕矩阵范数计算A∞及 A 1 较容易，而计算A2困难。

当 A 对称时，有A2=2 ρ ( AT A ) = λmax ( AT A ) = λmax ( A2 ) = λmax ( A) = ρ ( A)例例 已知⎛ 1 −2 ⎞ A=⎜ ⎟ ，求 A − 3 4 ⎝ ⎠∞, A F , A 2, A1解A ∞ = 7, A 1 = 6, ATF= 30 ≈ 5.477⎛ 10 −14 ⎞ A A=⎜ ⎟, ⎝ −14 20 ⎠d t(λ I − A A) = det(Tλ − 101414 = λ 2 − 30λ + 4 = 0 λ − 20λ1,2 = 15 ± 221,A 2 = 29.866 ≈ 5.465矩阵范数定理 4.6 则 ρ ( A) ≤ A反之，对任意 ε > 0 ，至少存在一种从属范数 i ε 使对任何 A ∈ R n× n ， i 为任一种从属范数，A ε ≤ ρ ( A) + ε证明只证定理前一半 . 设 λ 为 Α 的特征值Tn 则 ∃ x ≠ 0 ，使 Ax = λ x ，且有 ρ ( A) = λ ，则有 y ∈ R使得 xy 是非零矩阵，由范数概念 λ ( A) xyT = λ xyT = AxyT ≤ A xyT λ ≤ A , 即 ρ ( A ) = max λ ≤ A矩阵范数注意，当A对称时，ρ ( A ) = A 2矩阵范数定理 4.7 （矩阵范数等价性）对 Rn×n上的任两种范数 i s 及it存在常数 c1 ≥ c2 > 0 使 c1 A s ≥ A t ≥ c2 A定理 4.8证明设B∈ Rn× n，B < 1 ，则 I± B 非奇异，且(Ι ± B)Bx 0 x0−1≤用反证法。

假定 ( I ± B )奇异，则齐次方程=11 1− B( I ± B ) x = 0 有非零解 x ∈ Rn ，即 ∃x 0 ≠ 0 使 x0 = ± Bx0 故Bx 0 Bx ≥ = 1 与 B < 1 的假设矛盾，故 ( I + B ) 非奇异。

而 B = max 0 x≠0 x x又 ( I ± B )( I ± B ) = I ，即 ( I ± B ) ± B ( I ± B ) = I 得 ( I ± B )−1−1 −1−1= I ∓ B ( I ± B)−1取范数 ( I ± B )−1≤ 1+ B( I ± B)−1,整理可得。

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