1-向量范数与矩阵范数
数值分析8(向量范数与矩阵范数)
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A 2 ( A A), 其中 ( B ) max{| i ( B ) |}
T i
2 T T 证: 2 这表明矩阵ATA是对称半正定的, 是非负。设矩阵ATA的特征值为
|| Ax || x A Ax 0
1 2
所以它的特征值 都
n 0
并设对应的特征向量为
v1 , 由于ATA是对称,故 v1 ,
vi
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2
1, i 1,
, vn , v n 是Rn的标准正交基: T , n vi v j 0, i j
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对于向量 x 可被特征向量系所表示 x ck v k
n n k 1
n n
n
T T T || Ax ||2 x A Ax ( c v k k )( ck k vk ) 2
Matlab内部函数: norm(A,p)。
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矩阵算子范数
设 ||x||是Rn上的向量范数,A∈Rn×n,则A的非 负函数 || Ax ||
|| A || max
x 0
|| x ||
称为矩阵A的算子范数(或诱导范数)。 注1 矩阵算子范数由向量范数诱导出, 如
|| Ax ||2 || A ||2 max x 0 || x || 2
1 i n
, xn
Matlab内部函数: norm(x,p)。特别的, norm(x) 等价于norm(x,2)。 范数概念是我们熟悉的距离概念的一种自然的 推广。 k *
lim || x x || 0
k
则称序列{xk}在范数||.||下收敛于x*。
第五章--向量范数和矩阵范数
当 x 时，|| x ||A 0 ；当 x θ 时由 A 对称
正定知 xH Ax 0 ，即 || x ||A 0 。
对于任意 k C ，有 || k x ||A (kx)T A(kx) | k | xT Ax | k | || x ||A
由于 A 为Hermite正定矩阵，故存在酉矩阵 U ，使得
|| x ||2
| x1 |2 | x2 |2
| xn |2
定义的|| ||2 是 F n上的向量范数，称为2-范数或 l2
范数，也称为 Euclid 范数。
例 7 对任意 x ( x1, x2, , xn) T F n，由
|| x ||p
1/ p n
| xi |p , p 1
i1
定义的|| ||p 是 F n 上的向量范数，称为p -范数或 lp
UT AU Λ diag( λ1, λ2, , λn)
这里 A 的特征值 λi (i 1, 2, , n) 都为正数。
从而有
A UΛUT U Λ Λ UT BT B
此时
|| x ||A xT Ax xT BT Bx (Bx)T Bx || Bx ||2
因此对任意 y C n ， || x y ||A || B( x y) ||2
数 || A || 表示对于任意向量 x F n ， A 可以 “拉伸”向量 x 的最大倍数，即使得不等式
|| A x || C || x || 成立的最小的数 C 。称 || A || 为范数 || || 和 || ||
j1
n
| xj
j1
yj |; yj |;
yj |;
1
yj |m m;
以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：
向量范数与矩阵范数的相容性
x v 1
v
例3 证明由n维向量的1-范数， ∞-范数和2-范数
所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)n×n)
n
(1)
A
1
max j
i 1
aij
为从属于向量1 – 范数的矩阵范数
列模和之最大者：列和范数
n
(2)
A
max i
j 1
x
F
2
因此，可以用||A||F来刻画变换A 的结果。
对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵 范数？
任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？
从属于向量范数的矩阵范数
定理1 给定C n 上的向量范数 v ，ACnn 定义
Ax A max v
x x v
则
是Cnn上与向量范数
aij
2
2
与向量范数
证明：设 A (aij ) C n，n x 1,2 , ,n T C n
Ax 2
n i 1
a n
2
k 1 ik k
n(
i 1
n k 1
aikk
)2
n (
i 1
a n
k 1 ik
k )2
n [(
i 1
n k 1
aik
2 )(
n k 1
k
2
)]
n i 1
a n
2
k 1 ik
n
2
k1 k
A x
F
2
||A||F 与 ||x||2 相容的性质反映了 ||A||F 是像 Ax 的2-范 数 ||Ax||2 与原像 x 的2-范数之比的最大值，即
向量范数生成的矩阵范数
向量范数生成的矩阵范数矩阵范数在矩阵分析、系统理论、数值逼近等领域有着广泛的应用。
矩阵的范数是一个数学工具，用于度量矩阵的大小或者多样性。
它是矩阵理论中重要的概念之一，具有很多有用的性质。
矩阵范数的定义有很多种不同的形式，其中一种常见的定义是通过向量范数来生成的。
本文重点介绍向量范数生成的矩阵范数的定义、性质和应用。
一、向量范数的定义向量范数是将一个向量映射到非负实数的函数。
常用的向量范数包括欧几里得范数、曼哈顿范数、p-范数、无穷范数等。
以二维向量为例，这些向量范数的定义如下：1. 欧几里得范数：||x||₂ = sqrt(x₁² + x₂²)，其中x=(x₁,x₂)。
2. 曼哈顿范数：||x||₁ = |x₁| + |x₂|。
向量范数满足以下条件：1. 非负性：对于所有的向量x，||x||≥0，且等号成立当且仅当x=0。
2. 齐次性：对于所有的向量x和标量a，||ax|| = |a|||x||。
3. 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y||≤||x||+||y||。
给定一个矩阵A∈R^(m×n)，我们可以通过向量范数定义一种矩阵范数，记作||A||。
向量范数生成的矩阵范数定义如下：||A|| = sup{||Ax|| : x∈R^n, ||x||=1}。
其中||x||=1是指x的范数等于1，sup表示取最大值。
也就是说，矩阵A的范数等于将所有满足x的范数为1的向量Ax的范数取最大值。
4. Frobenius范数：||A||_F = sqrt(∑(i,j)|a_ij|²)。
其中，1-范数和无穷范数是矩阵列向量和行向量的范数的最大值和最大值，而2-范数就是矩阵的谱半径。
Frobenius范数是矩阵元素绝对值平方和的开方。
三、性质和应用和向量范数一样，向量范数生成的矩阵范数也具有一些重要的性质，它们包括：3. 子多项式不等式：对于所有的矩阵A和所有次数不超过n的多项式p，有||p(A)||≤ ||p||_∞||A||。
向量范数与矩阵范数
kA max kAx k max Ax k A .
x 1
x 1
(3) 对任意的n×n矩阵 A 和 B, 有
A B max (A B)x max Ax Bx
x 1
x 1
max Ax Bx x 1
max Ax max Bx A B
正定性三角不等式积的范数小于等于范数的积矩阵范数与向量范数的相容性定义给定向量范数和矩阵范数如果对任和任意的nn矩阵a它们总满足则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的
§1.3 向量范数与矩阵范数
为了研究线性方程组近似解的误差估 计和迭代法的收敛性，我们需要对 Rn 中 向量或 Rn×n 中矩阵的“大小”引进某种 度量----向量或矩阵的范数。向量范数是 三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在 数值分析中起着重要作用。
1.3.1 向量范数
向量的范数是刻画向量大小的量, 又叫向量的模.
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果 对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R
|| kx |;|| k | || x ||
以及
A. F
解 x | 3| | 5| |1| 9, 1
x 32 (5)2 12 35 2
x max{| 3|,| 5|,|1|} 5,
|1| | 2 | | 3 |,
A
1
max
|
5
|
|1|
|
8
|,
Chapter1_2_向量范数与矩阵范数
设 b 精确，A有误差 A ，得到的解为 x x ，即 || A || || A1 || 是关键 的误差放大因子，称为 ( A A的状态数(条件数)， b A)( x x) 记为cond (A) , A( x x) A( x x) b ( A A) x ( A A) x b ( A A) x Ax x A1 A( x x) A( I A1 A) x Ax || x || || A1 || || A || || x x || x ( I A1 A)1 A1 Ax || A || 1 (只要 A充分小，使得
算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数: 由向量范数 || · p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数: ||
利用Cauchy 不等式 则 || AB || p || A || p || B || p || Ax || p || A || p max max || Ax || p y | ||x || || y || |x 2 x0 | |x | |p 1 || x || p || Ax || p || A || p || 2 || p x
命题(P26，推论1） 若A对称，则有: || A ||2 ( A)
证明：|| A ||2 max ( A A) max ( A )
T 2
A对称
若 是 A 的一个特征根，则2 必是 A2 的特征根。
max ( A2 ) 2 ( A) 对某个 A 的特征根 成立
又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A) 为非负实数， 所以2-范数亦称为 故得证。 谱范数。
矩阵范数和向量范数的关系
矩阵范数和向量范数的关系矩阵范数和向量范数是线性代数中常用的概念，它们之间存在一定的关系。
本文将从矩阵范数和向量范数的定义、性质以及它们之间的联系等方面进行阐述。
我们来介绍矩阵范数和向量范数的定义。
矩阵范数是定义在矩阵上的一种范数，它可以将一个矩阵映射为一个非负的实数。
常见的矩阵范数有Frobenius范数、1-范数、2-范数和∞-范数等。
以Frobenius范数为例，对于一个矩阵A，它的Frobenius范数定义为矩阵元素平方和的平方根，即∥A∥F = √(∑∑|aij|^2)。
向量范数是定义在向量空间中的一种范数，它可以将一个向量映射为一个非负的实数。
常见的向量范数有1-范数、2-范数和∞-范数等。
以2-范数为例，对于一个向量x，它的2-范数定义为向量元素平方和的平方根，即∥x∥2 = √(∑|xi|^2)。
矩阵范数和向量范数之间存在一定的联系。
首先，对于一个n维向量x，可以将其看作是一个n×1的矩阵。
此时，向量范数就可以看作是矩阵范数的一种特殊情况。
例如，向量的2-范数就是矩阵的2-范数。
因此，矩阵范数可以看作是向量范数的推广。
矩阵范数和向量范数之间满足一些性质。
例如，对于一个矩阵A和一个向量x，满足以下性质：1. 三角不等式：对于任意的矩阵A和向量x，有∥A∥ + ∥x∥ ≤∥A + x∥。
2. 齐次性：对于任意的矩阵A和实数α，有∥αA∥ = |α|∥A∥。
3. 子多重性：对于任意的矩阵A和B，有∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥。
我们来讨论矩阵范数和向量范数的联系。
通过定义可以看出，矩阵范数和向量范数都是对于矩阵或向量的度量。
矩阵范数可以看作是对矩阵的度量，而向量范数可以看作是对向量的度量。
矩阵范数和向量范数都满足范数的定义，即满足非负性、齐次性和三角不等式。
在应用中，矩阵范数和向量范数有着广泛的应用。
矩阵范数可以用于矩阵的相似性度量、矩阵的特征值估计等问题。
而向量范数可以用于向量的相似性度量、向量的正则化等问题。
向量和矩阵的范数
向量和矩阵的范数一、引言向量和矩阵是线性代数中最基本的概念之一，而范数则是线性代数中一个非常重要的概念。
范数可以用来度量向量或矩阵的大小，也可以用来衡量它们之间的距离。
在本文中，我们将讨论向量和矩阵的范数。
二、向量范数1. 定义向量范数是一个函数，它将一个向量映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的向量x，有||x||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和向量x，有||αx||=|α|·||x||；（3）三角不等式：对于任意的向量x和y，有||x+y||≤||x||+||y||。
2. 常见范数（1）L1范数：也称为曼哈顿距离或城市街区距离。
它定义为所有元素绝对值之和：||x||1=∑i=1n|xi| 。
（2）L2范数：也称为欧几里得距离。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||x||2=(∑i=1nxi^2)1/2 。
（3）p范数：它定义为所有元素p次方和的p次方根：||x||p=(∑i=1n|xi|^p)1/p 。
（4）无穷范数：它定义为所有元素绝对值中的最大值：||x||∞=ma xi|xi| 。
三、矩阵范数1. 定义矩阵范数是一个函数，它将一个矩阵映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的矩阵A，有||A||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和矩阵A，有||αA||=|α|·||A||；（3）三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||。
2. 常见范数（1）Frobenius范数：也称为欧几里得范数。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||A||F=(∑i=1m∑j=1naij^2)1/2 。
（2）一范数：它定义为每列元素绝对值之和的最大值：||A||1=maxj(∑i=1m|aij|) 。
（3）二范数：它定义为矩阵A的最大奇异值：||A||2=σmax(A) 。
（4）∞范数：它定义为每行元素绝对值之和的最大值：||A||∞=maxi(∑j=1n|aij|) 。
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2. 齐次性， 即 aA a A (a R) 3. 三角不等式，即对 则称
N ( A) A
A, B Rnn ,总有 A B A B
AB A B
4. 矩阵乘法不等式，即对 A, B Rnn ,总有 为 R nn 上矩阵
A
的范数（或模）。
在实际应用问题中，矩阵和向量常常具有一定
AX X
1 1
max aij
1 j n i 1
n
AX X
AX
2 2
max ( AT A)
n
∞―范数（行模） A max X X 0
T 其中 max ( A A) max i 1i n
max aij
1i n j 1
T i 为 A A 的特征值。
A2
。
其中 x (1, 2, 3) ,
1 2 0 A 1 2 1 0 1 0
X Y X Y
将向量的长度概念加以推广，便得到向量范数概念。
定义1 设
N(X ) X
是定义在 R n 上的实值函数，
X 0, X 0
如果它满足三个条件：
① 非负性，即 ② 齐次性，即 则称 N ( X ) X 为
பைடு நூலகம்Rn
当且仅当
(a R)
X 0
aX a X
③ 三角不等式，即对 X , Y Rn,总有
X X X
1
1 2 3 6 (1) 2 (3) 14
2 2 2
2
max{ 1 , 2 , 3} 3
(2) 矩阵的范数 定义2 设
N ( A) A
是定义在
R nn
上的实值函数，
如果它满足4个条件： 1. 非负性， 即 A 0,
A 0 当且仅当 A 0
X
2 2 n i 1
X
2
2
，又
2 2 2 2
xi n max{x1 , x2 ,, xn } n X
即有 X 2 n X
，故有 X
X
2
n X
例5 设 X (1, 2, 3) ，求 X 1 , X 2 , X 解：由向量 X 的1，2， 范数定义
T
AT A 的特征方程为 10 20 T I A A 0 10 10
它的根为1 15 5
因而
A
2
5, 2 15 5 5
15 5 5 5.1167
练习:已知矩阵A和向量X，求
X 1, X 2 , X
， A , A1 及
§3 向量范数与矩阵范数 为了学习线性方程组的迭代解法并研究其收 敛性，对方程组的近似解作出误差分析，下面简 要介绍向量范数与矩阵的范数（模），用于描述 向量与矩阵的大小。 (1) 向量的范数
R 3 中的任意向量 对于空间直角坐标系
X ( x1 , x2 , x3 )T
，其长度为
X ( x12 x22 x32 )1/ 2
kA r max
X 0
kAX X
r
r
k max
X 0
AX X
r
r
k Ar
（3）对任意的矩阵 A, B Rnn ，式
A B r max
X 0
( A B) X X AX X
r r r
r
max
X 0
AX BX X
r
r
max(
X 0
AX X
r
r
BX X
r
由于 所以有
max
X 0
AX X
r
r
Y A Y r
X 0
r
1 AY Y r
r r
r
AY
r
Y r max
AX X
ArY
r
此结果显然也适用于Y=0的情形。 再证明
A r max
X 0
AX X
r
r
满足矩阵范数的四个条件。
（1）当A=0时， A r 0 ；当A≠0时，必有 A r 0 （2）对任一数 k R 有
X X
X X
2 1
n X n X
下面验证第2式 设 X ( x1 , x2 ,, xn )T ，则
2
X
[max{x1 , x2 ,, xn }]2 max{x1 , x2 ,, xn } xi X
2 2 2 2 i 1 n 2 2
于是有 X
X
2 2 2 x12 x2 xn 0
满足定义中条件① （2）对任一 k R 有
kX
2
(kxi ) 2 k 2 xi2 k
i 1 i 1
n
n
xi2 k X
i 1
n
2
满足定义中条件②
由 X 2 的含义，可用内积表示，即
X
2
XTX
（3）任取向量 y R
例6 设 解： A max{4 3 ,2 1} 7
A 1 {4 2, 3 1} 6
4 3 A ，求 A , A 1 2 1
及 A2 。
又
4 2 4 3 20 10 A A 2 1 10 10 3 1
X Y
2 2 T
n
，则有
2 2
(X Y) (X Y) X
2X Y Y
T
2 2
根据Cauchy-Schwarz（柯西-施瓦兹）不等式
( X T Y )2 ( X T X )(Y T Y )
有
X Y
2 2
X
2 X 2
2
2
Y
Y 2
2 2
( X
Y 2 )2 2
满足定义中条件③。证毕
向量的2—范数也称为Euclid范数。
其实，向量的1—范数， 2—范数， 范数，
它们都是p—范数
X
p
( xi )
i 1
n
1 p p
的特例，其中，正整数
p 1
，并且有
lim X
p
p
max xi
1i n
容易验证 R n 的3种范数之间有如下关系： X 2 X 1 n X 2
X Y X Y
上向量 X 的范数（或模）。
最常用的如下3种向量范数： n X 1 xi 向量 X 的1—范数： i 1 n X 2 ( xi 2 )1/ 2 向量 X 的2—范数： i 1 X max xi 向量 X 的 范数： 1i n
下面只证 X 2 是向量范数： 证明： （1）由向量的2—范数有
关系，即满足矩阵、向量乘法的相容性，且有结论
AX A X
定理 设向量 范数
X
r
X Rn ,
n A R n，给定一种向量 矩阵
，令
A
r
max
X 0
AX X
r
r
,
则它与所给定的向量范数相容，称为矩阵 A 的算子范数。
证 首先证明相容性。
n A R nn 和任意的非零向量 Y R 对任意矩阵
我们用其度量向量的“大小”。
实质上是向量 X 的一个实值函数， 它满足如下3个条件： (1非负性). 对任意 X R 3 ，都有 X 0 当且仅当 X 0 ，有 X 0 (2齐次性). 对任意 a R 和向量
aX a X
X R3
,
(3三角不等式). 对任意 X , Y R3 ,都有
r
)
max
X 0
max
X 0
BX X
r
r
Ar B
r
成立。
（4）
AB r max
X 0
ABX X
X 0 r
r
max A r
X 0 r r
BX X
r r
r
A r max
证毕。
BX X
Ar B
常用的3种算子范数的定义与算式为：p10-11 1―范数（列模） A 1 max X 0 2―范数（谱模） A 2 max X 0