山东数学中考分类汇编--有关函数的应用题
中考数学考点：专题(50)函数的应用(含答案)
专题50 函数的应用 聚焦考点☆温习理解1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．名师点睛☆典例分类考点典例一、一次函数相关应用题【例1】 (2015.陕西省，第21题，7分)（本题满分7分）胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费。
假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x 人。
（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y （元）与x （人）之间的函数关系式；（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家。
【答案】（1）甲旅行社：x 85.0640y ⨯==x 544.乙旅行社：当20x ≤时，x 9.0640y ⨯==x 576.当x>20时，20)-x 0.75640209.0640y （⨯+⨯⨯==1920x 480+.（2）胡老师选择乙旅行社.【解析】×人数；乙总费用y=20个人九折的费用+超过的人数×报价×打折率，列出y关于x的函数关系式，（2）根据人数计算出甲乙两家的费用再比较大小，哪家小就选择哪家.考点：一次函数的应用、分类思想的应用．【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．【举一反三】(2015·黑龙江哈尔滨）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家到这条公路的距离忽略不计）。
山东省聊城市中考数学专题复习讲义 函数型
中考数学专题：函数型问题(含答案)我们目前所学的函数主要有一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数，在解决函数问题的时候要注意每种函数的时候要注意各自的特点形式：“靠近课本，贴近生活，联系实际”是近年中考函数应用题编题原则，因此在广泛的社会生活、经济生活中，抽取靠近课本的数学模型是近年来中考的热点问题，解决次类问题经常使用待定系法求解析问题，但这类问题蕴含有代入消元法等重要的数学思想方法，又极易与方程、不等式、几何等初中数学中的重要知识相融合.类型之一分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
1.年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农．下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图．请结合图象回答以下问题：（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？（2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，求果园共销售了多少吨脐橙？（3）①求出台该项优惠政策后y与x的函数关系式；②去年“绿荫”果园销售30吨，总收入为10.25万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平．类型之二与二次函数有关的最优化问题二次函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型．二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用，求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用．2.枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树。
每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？3.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：y（间）关于x（元）的函数关系式．（1）房间每天的入住量（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？类型之四 存在探索性函数问题 存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论．探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注．4.在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。
山东数学中考分类汇编--有关分式方程的应用题
有关分式方程的应用题1．（2021•泰安）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？2．（2020•泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？3.（2019•泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？4.（2018年东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．4.（2018年泰安）文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．）（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？5（2019•菏泽）列方程（组）解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．6.（2018•菏泽）列方程（组）解应用题：为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？7（2019济南）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．（1）求A和B两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？8济南2021.24．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？9（2021•青岛）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．（1）求两种品牌洗衣液的进价；（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？10．（2019年青岛市）（8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？11.（2017年青岛市）（本小题满分10分）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨，下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元日总收入（元）（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变。
2023年山东省中考数学试题汇编——函数、二次函数(含解析)
2023年山东省中考数学试题汇编——函数、二次函数1.（2022年山东临沂中考）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是（）A.甲车行驶到距A城240 km处，被乙车追上B.A城与B城的距离是300 kmC.乙车的平均速度是80 km/hD.甲车比乙车早到B城2.（2022年山东潍坊中考）抛物线y＝x2＋x＋c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A.1 4 -B.1 4C.4-D.43.（2022年山东泰安中考）抛物线2y ax bx c=++上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：下列结论不正确的是（）A.抛物线的开口向下B.抛物线的对称轴为直线12x =C.抛物线与x 轴的一个交点坐标为()2,0D.函数2y ax bx c =++的最大值为2544.（2022年山东淄博中考）若二次函数22y ax =+的图象经过P （1，3），Q （m ，n ）两点，则代数式22449n m n --+的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.（2022年山东日照中考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为32x =，且经过点(1,0)-．下列结论：①30a b +=；②若点1(2，1)y ，2(3,)y 是抛物线上的两点，则12y y <；③1030b c -=；④若y c ，则03x ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D．4个6.（2022年山东烟台中考）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝－12，且与x轴的一个交点坐标为（－2，0）.下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a＋c＝0；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－1＝0有两个相等的实数根.其中正确结论的序号是（）A.①③B.②④C.③④D.②③7.（2022年山东济南中考）抛物线y＝－x2＋2mx－m2＋2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m－1，y1），N（m＋1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（）A.m＜－1或m＞0B.－12＜m＜12C.0≤mD.－1＜m＜18.（2022年山东潍坊中考）如图，在ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝1，点E，F在ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A.B.C.D.9.（2022年山东枣庄中考）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1＋N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”.则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（）A.y1＝x2＋2x和y2＝－x＋1B.y1＝和y2＝x＋1C.y1＝－和y2＝－x－1D.y1＝x2＋2x和y2＝－x－110. （2022年山东滨州中考）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()()2,0,6,0A B -，与y 轴交于点C ，小红同学得出了以下结论：①240b ac ->；②40a b +=；③当0y >时，26x -<<；④0a b c ++<．其中正确的个数为（ ）A.4B.3C.2D.111. （2022年山东菏泽中考）根据如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象，判断反比例函数ay x=与一次函数y bx c =+的图象大致是（ ）A.B.C.D.12.（2022年山东青岛中考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，对称轴为直线x＝－1，且经过点（－3，0），则下列结论正确的是（）A.b＞0B.c＜0C.a＋b＋c＞0D.3a＋c＝013.（2022年山东威海中考）如图，二次函数y＝ax2＋bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是（）A.b＞0B.a＋b＞0C.x＝2是关于x的方程ax2＋bx＝0（a≠0）的一个根D.点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜014.（2022年山东聊城中考）如图，一次函数y＝x＋4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（－2，0）是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x＋4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（）A.E(－52，32)，F(0，2)B.E(－2，2)，F(0，2)C.E(－52，32)，F(0，23)D.E(－2，2)，F(0，2 3 )15.（2022年山东济宁中考）已知直线y1＝x－1与y2＝kx＋b相交于点(2，1).请写出一个b值_____________（写出一个即可），使x＞2时，y1＞y2.16.（2022年山东东营中考）如图，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线323y x=+经过它们的顶点A，A1，A2，A3，...，点B1，B2，B3， (x)上，则点A2 022的横坐标是_________.17.（2022年山东枣庄中考）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝－1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a＋b＋c＝0；③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为－3和1；④若点（－4，y1），（－2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a＋c＜0，其中正确的结论有______________.（填序号，多选、少选、错选都不得分）18.（2022年山东烟台中考）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F.设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为_____.19.（2022年山东青岛中考）已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）.（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由.20.（2022年山东威海中考）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成.已知墙长25 m，木栅栏长47 m，在与墙垂直的一边留出1 m宽的出入口（另选材料建出入门）.求鸡场面积的最大值.21.（2022年山东青岛中考）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10 kg，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/kg，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/kg时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.（1）请求出这种水果批发价y（单位：元/kg）与购进数量x（单位：箱）之间的函数关系式；（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？22.（2022年山东聊城中考）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（单位：个）与销售价格x（单位：元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为_______元（利润＝总销售额－总成本）.23.（2022年山东济宁中考）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地.设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆.①写出w与t之间的函数解析式；②当t为何值时，w最小？最小值是多少？24.（2022年山东滨州中考）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．（1）求y关于x的一次函数解析式；（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．答案解析1)（2022年山东临沂中考）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是（）A.甲车行驶到距A城240 km处，被乙车追上B.A城与B城的距离是300 kmC.乙车的平均速度是80 km/hD.甲车比乙车早到B城【答案】D【解析】由题意可知，甲车行驶到距A城240 km处，被乙车追上，故选项A不合题意；由题意可知，A城与B城的距离是300 km，故选项B不合题意；甲车的平均速度是：300560÷=（km/h），4×60＝240（km）,乙车的平均速度是：240(41)80÷-=（km/h），故选项C不合题意；由题意可知，乙车比甲车早到B城，故选项D符合题意.故选D.2)（2022年山东潍坊中考）抛物线y＝x2＋x＋c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A.1 4 -B.1 4C.4-D.4 【答案】B【解析】∵y ＝x 2＋x ＋c 与x 轴只有一个公共点， ∴x 2＋x ＋c ＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝1－4c ＝0， 解得c ＝14. 故选B. 3)（2022年山东泰安中考）抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：下列结论不正确的是（ ） A.抛物线的开口向下 B.抛物线的对称轴为直线12x =C.抛物线与x 轴的一个交点坐标为()2,0D.函数2y ax bx c =++的最大值为254【答案】C【解析】由题意得42046a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得116a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为22125624y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线12x =，该函数的最大值为254，故A ，B ，D 说法正确，不符合题意； 令0y =，则260x x -++=， 解得3x =或2x =-，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（－2，0），（3，0），故C 说法错误，符合题意； 故选C ． 4)（2022年山东淄博中考）若二次函数22y ax =+的图象经过P （1，3），Q （m ，n ）两点，则代数式22449n m n --+的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A【解析】∵二次函数22y ax =+的图象经过P （1，3），∴32a =+， ∴a ＝1，∴二次函数的解析式为22y x =+，∵二次函数22y ax =+的图象经过Q （m ，n ），∴22n m =+即22m n =-， ∴22449n m n --+24(2)49n n n =---+2817n n =-+2(4)1n =-+，∵2(4)0n -≥，∴22449n m n --+的最小值为1， 故选：A. 5)（2022年山东日照中考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为32x =，且经过点(1,0)-．下列结论：①30a b +=；②若点1(2，1)y ，2(3,)y 是抛物线上的两点，则12y y <；③1030b c -=；④若y c ，则03x ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【解析】对称轴322b x a =-=， 3b a ∴=-，30a b ∴+=，①正确；抛物线开口向上，点1(2，1)y 到对称轴的距离小于点2(3,)y 到对称轴的距离，12y y ∴<，故②正确；抛物线经过点(1,0)-，0a b c ∴-+=，对称轴322b x a =-=， 13a b ∴=-，103b b c ∴--+=，34c b ∴=，430b c ∴-=，故③错误；对称轴32x =， ∴点(0,)c 关于对称轴的对称点为(3,)c ，开口向上，y c ∴时，03x ，故④正确；故选C ． 6)（2022年山东烟台中考）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x ＝－12，且与x 轴的一个交点坐标为（－2，0）.下列结论：①abc ＞0；②a ＝b ；③2a ＋c ＝0；④关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －1＝0有两个相等的实数根.其中正确结论的序号是（ ）A.①③B.②④C.③④D.②③ 【答案】D【解析】①由图可知：a ＞0，c ＜0，2ba-＜0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①不符合题意. ②由题意可知：2b a -＝12-， ∴b ＝a ，故②符合题意.③将（－2，0）代入y ＝ax 2＋bx ＋c ， ∴4a －2b ＋c ＝0， ∵a ＝b ，∴2a ＋c ＝0，故③符合题意.④由图象可知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值小于0，存在两个x 使得y ＝1， 将y ＝1代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得ax 2＋bx ＋c ＝1， 即ax 2＋bx ＋c-1＝0，而∴ax 2＋bx ＋c ＝1有两个不相同的解，故④不符合题意. 故选：D. 7)（2022年山东济南中考）抛物线y ＝－x 2＋2mx －m 2＋2与y 轴交于点C ，过点C 作直线l 垂直于y 轴，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ，点M （m －1，y 1），N （m ＋1，y 2）为图形G 上两点，若y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ） A.m ＜－1或m ＞0 B.－12＜m ＜12C.0≤mD.－1＜m ＜1 【答案】D【解析】在y ＝－x 2＋2mx －m 2＋2中，令x ＝m －1，得y ＝－（m －1）2＋2m （m －1）－m 2＋2＝1，令x ＝m ＋1，得y ＝－（m ＋1）2＋2m （m ＋1）－m 2＋2＝1，∴（m －1，1）和（m ＋1，1）是关于抛物线y ＝－x 2＋2mx －m 2＋2对称轴对称的两点，①若m －1≥0，即（m －1，1）和（m ＋1，1）在y 轴右侧（包括（m －1，1）在y轴上），则点（m－1，1）经过翻折得M（m－1，y1），点（m＋1，1）经过翻折得N（m＋1，y2），如图所示.由对称性可知，y1＝y2，∴此时不满足y1＜y2；②当m＋1≤0，即（m－1，1）和（m＋1，1）在y轴左侧（包括（m＋1，1）在y 轴上），则点（m－1，1）即为M（m－1，y1），点（m＋1，1）即为N（m＋1，y2），∴y1＝y2，∴此时不满足y1＜y2；③当m－1＜0＜m＋1，即（m－1，1）在y轴左侧，（m＋1，1）在y轴右侧时，如图所示.此时点（m－1，1）即为M（m－1，y1），点（m＋1，1）翻折后得点N（m＋1，y2），满足y1＜y2；由m－1＜0＜m＋1，得－1＜m＜1，故选D.8)（2022年山东潍坊中考）如图，在ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝1，点E，F在ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】当0≤x≤1时，如图，过点F作FG⊥AB于点G，∵∠A＝60°，AE＝AF＝x，∴AG＝12x，由勾股定理得FG＝32x，∴y＝12AE·FG＝34x2，图象是一段开口向上的抛物线；当1＜x≤2时，如图，过点D作DH⊥AB于点H，∵∠DAH＝60°，AE＝x，AD＝1，DF＝x－1，∴AH＝12，由勾股定理得DH＝32，∴y＝12(DF＋AE)·DH＝32x－34，图象是一条上升的线段；当2＜x≤3时，如图，过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EI⊥CD于点I，∵∠C＝∠DAB＝60°，CE＝CF＝3－x，∴CI＝12(3－x)，由勾股定理得EI －x)，∴y ＝AB ·DH －12CF ·EI －4(3－x)2＝－4x 2＋2x －4，图象是一段开口向下的抛物线；观察四个选项，只有选项A 符合题意， 故选A. 9)（2022年山东枣庄中考）已知y 1和y 2均是以x 为自变量的函数，当x ＝n 时，函数值分别是N 1和N 2，若存在实数n ，使得N 1＋N 2＝1，则称函数y 1和y 2是“和谐函数”.则下列函数y 1和y 2不是“和谐函数”的是（ ） A.y 1＝x 2＋2x 和y 2＝－x ＋1 B.y 1＝和y 2＝x ＋1 C.y 1＝－和y 2＝－x －1D.y 1＝x 2＋2x 和y 2＝－x －1 【答案】B【解析】A 、令y 1＋y 2＝1， 则x 2＋2x －x ＋1＝1， 整理得：x 2＋x ＝0， 解得：x 1＝0，x 2＝－1，∴函数y 1和y 2是“和谐函数”，故A 不符合题意； B 、令y 1＋y 2＝1， 则＋x ＋1＝1，整理得：x 2＋1＝0， 此方程无解，∴函数y 1和y 2不是“和谐函数”，故B 符合题意； C 、令y 1＋y 2＝1， 则－－x －1＝1，整理得：x 2＋2x ＋1＝0，解得：x 1＝x 2＝－1，∴函数y 1和y 2是“和谐函数”，故C 不符合题意；D 、令y 1＋y 2＝1，则x 2＋2x －x －1＝1，整理得：x 2＋x －2＝0，解得：x 1＝1，x 2＝－2，∴函数y 1和y 2是“和谐函数”，故D 不符合题意；故选：B.10) （2022年山东滨州中考）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()()2,0,6,0A B -，与y 轴交于点C ，小红同学得出了以下结论：①240b ac ->；②40a b +=；③当0y >时，26x -<<；④0a b c ++<．其中正确的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A ()2,0-，B ()6,0，∴抛物线对应的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，即⊿24b ac =-＞0，故①正确； 对称轴为6222b x a -=-=， 整理得4a ＋b ＝0，故②正确；由图象可知，当y ＞0时，即图象在x 轴上方时，x ＜－2或x ＞6，故③错误，由图象可知，当x ＝1时，0y a b c =++＜，故④正确．∴正确的有①②④，故选B ．11) （2022年山东菏泽中考）根据如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象，判断反比例函数a y x =与一次函数y bx c =+的图象大致是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】由二次函数图象可知0a >，0c <，由对称轴02b x a=->，可知0b <， 所以反比例函数a y x=的图象在一、三象限，一次函数y bx c =+图象经过二、三、四象限.故选A.12) （2022年山东青岛中考）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，对称轴为直线x ＝－1，且经过点（－3，0），则下列结论正确的是（ ）A.b ＞0B.c ＜0C.a ＋b ＋c ＞0D.3a ＋c ＝0【答案】D【解析】∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵对称轴为直线x ＝－1， ∴－2b a＝－1. ∴b ＝2a.∴b ＜0.故选项A 错误；设抛物线与x 轴的另一个交点为（x 1，0），则抛物线的对称轴可表示为x ＝12（x 1－3）， ∴－1＝12（x 1－3），解得x 1＝1， ∴抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）和（－3，0）.又∵抛物线开口向下，∴抛物线与y 轴交于正半轴.∴c ＞0.故选项B 错误.∵抛物线过点（1，0）.∴a ＋b ＋c ＝0.故选项C 错误；∵b ＝2a ，且a ＋b ＋c ＝0，∴3a ＋c ＝0.故选项D 正确.故选D.13) （2022年山东威海中考）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx （a ≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是（ ）A.b ＞0B.a ＋b ＞0C.x ＝2是关于x 的方程ax 2＋bx ＝0（a ≠0）的一个根D.点（x 1，y 1），（x 2，y 2）在二次函数的图像上，当x 1＞x 2＞2时，y 2＜y 1＜0【答案】D【解析】根据图像知，当1x =时，0y a b =+>，故B 选项结论正确，不符合题意，0a <，0b ∴>，故A 选项结论正确，不符合题意； 由题可知二次函数对称轴为直线12b x a=-=， 2b a ∴=-，20a b a a a ∴+=-=->，故B 选项结论正确，不符合题意；根据图像可知2x =是关于x 的方程()200++=≠axbx c a 的一个根， 故C 选项结论正确，不符合题意，若点（x 1，y 1），（x 2，y 2）在二次函数的图像上，当122x x >>时，120y y <<，故D选项结论不正确，符合题意，故选D.14)（2022年山东聊城中考）如图，一次函数y＝x＋4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（－2，0）是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x＋4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（）A.E(－52，32)，F(0，2)B.E(－2，2)，F(0，2)C.E(－52，32)，F(0，23)D.E(－2，2)，F(0，2 3 )【答案】C【解析】如图，作C(－2，0)关于y轴的对称点G(2，0)，作C(2，0)关于直线y＝x＋4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F.∴DE ＝CE ，CF ＝GF ，∴CE ＋CF ＋EF ＝DE ＋GF ＋EF ＝DG ，此时△CEF 周长最小，由y ＝x ＋4得A (－4，0)，B (0，4)，∴OA ＝OB ＝4，△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝45°.∵点C ，D 关于AB 对称，∴∠DAB ＝∠BAC ＝45°，AD ＝AC ，∴∠DAC ＝90°.∵C (－2，0)，∴AC ＝OA －OC ＝2，∴AD ＝2，∴D (－4，2).由D (－4，2)，G (2，0)可得直线DG 解析式为y ＝－13x ＋23， 在y ＝－13x ＋23中，令x ＝0得y ＝23， ∴F (0，23). 由41233y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，，得 5232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，∴E (－52，32)， ∴E 的坐标为(－52，32)，F 的坐标为(0，23). 故选C.15) （2022年山东济宁中考）已知直线y 1＝x －1与y 2＝kx ＋b 相交于点(2，1).请写出一个b 值_____________（写出一个即可），使x ＞2时，y 1＞y 2.【答案】0【解析】直线y 1＝x －1与y 2＝kx ＋b 相交于点(2，1).∵x ＞2时，y 1＞y 2，∴b ＞－1，故b 可以取0.故答案为0（答案不唯一）.16) （2022年山东东营中考）如图，△AB 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…是等边三角形，直线323y x =+经过它们的顶点A ，A 1，A 2，A 3，…，点B 1，B 2，B 3，…在x 轴上，则点A 2 022的横坐标是_________.【答案】()2023223-【解析】如图，设直线323y x =+与x 轴交于点C ，在323y x =+中，当x ＝0时，y ＝2； 当y ＝0时，即3203x +=，解得23x =-， ∴A （0，2），C （23-，0）， ∴OA ＝2，OC ＝23，∴tan ∠ACO ＝23323OA OC ==， ∴∠ACO ＝30°，∵11AB A △是等边三角形，∴111160AA B AB A ∠=∠=︒， ∴1190CB A ∠=︒，∴130CB A =∠︒，∴AC ＝AB 1，∵AO ⊥CB 1，∴123O O C B ==，∴12124323CB B O ===⨯，同理可得，13228323CB CB ===⨯，2290CB A ∠=︒，324216323CB CB ===⨯，3390CB A ∠=︒，……，∴202320222CB =2022202290CB A ∠=︒，∴(202320232022222OB ==-∴点2022A 的横坐标是(202322-故答案为(202322- 17) （2022年山东枣庄中考）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x ＝－1，结合图象他得出下列结论：①ab ＞0且c ＞0；②a ＋b ＋c ＝0；③关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根分别为－3和1；④若点（－4，y 1），（－2，y 2），（3，y 3）均在二次函数图象上，则y 1＜y 2＜y 3；⑤3a ＋c ＜0，其中正确的结论有______________.（填序号，多选、少选、错选都不得分）【答案】①②③【解析】∵抛物线对称轴在y 轴的左侧，∴ab ＞0，∵抛物线与y 轴交点在x 轴上方，∴c ＞0，①正确；∵抛物线经过（1，0），∴a ＋b ＋c ＝0，②正确.∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x ＝－1，∴另一个交点为（－3，0），∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为－3和1，③正确；∵－1－（－2）＜－1－（－4）＜3－（－1），抛物线开口向下，∴y2＞y1＞y3，④错误.∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴a＋b＋c＝0，∵－＝－1，∴b＝2a，∴3a＋c＝0，⑤错误.故答案为：①②③.18)（2022年山东烟台中考）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F.设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为_____.23【答案】【解析】∵DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形.∴DE＝BF.∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），∴x＝4时，y＝0，∴BC＝4，作FH⊥BC于H，由图2知，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，∴3＝2FH，∴FH＝32，∵∠ABC＝60°，∴BF＝32sin60＝3，∵DE∥AB，EF∥BC，∵BC＝4，当BD＝2时，D为BC的中点，∴AB＝2DE＝2BF＝23，故答案为：23.19)（2022年山东青岛中考）已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）.（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由.【答案】解：（1）将（2，4）代入y＝x2＋mx＋m2－3，得4＝4＋2m＋m2－3，解得m1＝1，m2＝－3.又∵m＞0，∴m＝1.（2）∵m＝1，∴y＝x2＋x－2.∵Δ＝b2－4ac＝12＋8＝9＞0，∴二次函数图象与x 轴有2个交点.20) （2022年山东威海中考）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成.已知墙长25 m ，木栅栏长47 m ，在与墙垂直的一边留出1 m 宽的出入口（另选材料建出入门）.求鸡场面积的最大值.【答案】解：设鸡场面积为y m 2，与墙平行的一边为x m （x ≤25），则与墙垂直的一边长为4712x -+m ， 根据题意，得224711124(24)288222x y x x x x -+=⋅=-+=--+， ∴当x ＝24时，y 有最大值为288， ∴鸡场面积的最大值为288 m 2.21) （2022年山东青岛中考）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10 kg ，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/kg ，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/kg 时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.（1）请求出这种水果批发价y （单位：元/kg ）与购进数量x （单位：箱）之间的函数关系式；（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）根据题意，得y ＝8.2－0.2（x －1）＝－0.2x ＋8.4（1≤x ≤10，x 为整数），答：这种水果批发价y （单位：元/kg ）与购进数量x （单位：箱）之间的函数关系式为y ＝－0.2x ＋8.4（1≤x ≤10，x 为整数）； （2）设李大爷每天所获利润是w 元，由题意，得w＝[12－0.5（x－1）－（－0.2x＋8.4）]×10x＝－3x2＋41x＝－3（x－416）2＋1681 12，∵－3＜0，x为正整数，且|6－416|＞|7－416|，∴x＝7时，w取最大值，最大值为－3×（7－416）2＋168112＝140（元），答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元.22)（2022年山东聊城中考）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（单位：个）与销售价格x（单位：元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为_______元（利润＝总销售额－总成本）.【答案】121【解析】当10≤x≤20时，设y＝kx＋b，把(10，20)，(20，10)代入y＝kx＋b，得1020 2010k bk b+=⎧⎨+=⎩，，解得130 kb=-⎧⎨=⎩，．∴每天的销售量y（单位：个）与销售价格x（单位：元/个）的函数解析式为y＝－x＋30.设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝(x－8)y＝(x－8)(－x＋30)＝－x2＋38x－240＝－(x－19)2＋121，∵－1＜0，10≤19≤20∴当x＝19时，w有最大值，最大值为121.∴该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元.23)（2022年山东济宁中考）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地.设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆.①写出w与t之间的函数解析式；②当t为何值时，w最小？最小值是多少？【答案】解：（1）设甲种货车用了x辆，则乙种货车用了(24－x)辆，根据题意，得16x＋12(24－x)＝328，解得x＝10，∴24－x＝24－10＝14，答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；（2）①根据题意，得w＝1 200t＋1 000(12－t)＋900(10－t)＋750[14－(12－t)]＝50t＋22 500，∴w与t之间的函数解析式是w＝50t＋22 500；②∵12010014(12)0 tttt⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪--⎩，，，，∴0≤t≤10.∵前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，∴16t ＋12(12－t )≥160， 解得t ≥4， ∴4≤t ≤10.在w ＝50t ＋22500中， ∵50＞0，∴w 随t 的增大而增大，∴t ＝4时，w 取最小值，最小值是50×4＋22 500＝22 700（元）， 答：当t 为4时，w 最小，最小值是22 700元.24) （2022年山东滨州中考）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y 是销售价格x （单位：元）的一次函数． （1）求y 关于x 的一次函数解析式；（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润． 【答案】解：（1）设()0y kx b k =+≠，把20x，360y =和30x =，60y =代入可得203603060k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得30960k b =-⎧⎨=⎩，则()y 309601032x x =-+≤≤；（2）设每月获得利润为P ，则()()3096010P x x =-+-()()303210x x =-+-()23042320x x =-+-()230213630x =--+．∵300-<，∴当21x =时，P 有最大值，最大值为3 630．答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3 630元．。
2017-2021年山东中考数学真题分类汇编之一次函数和反比例函数
2017-2021年山东中考数学真题分类汇编之一次函数和反比例函数一．选择题（共14小题）1．（2020•日照）将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（）A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝2（x+3）D．y＝2（x﹣3）2．（2019•东营）甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（）A．乙队率先到达终点B．甲队比乙队多走了126米C．在47.8秒时，两队所走路程相等D．从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢3．（2019•临沂）下列关于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0）的说法，错误的是（）A．图象经过第一、二、四象限B．y随x的增大而减小C．图象与y轴交于点（0，b）D．当x＞﹣时，y＞04．（2019•聊城）某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（）A．9：15B．9：20C．9：25D．9：30 5．（2017•莱芜）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min＝{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x ﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（）A．B．1C．D．6．（2017•菏泽）如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（）A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣1D．x＜﹣1 7．（2021•德州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（a 是常数）的图象上，且y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x2＞x1＞x3B．x1＞x2＞x3C．x3＞x2＞x1D．x3＞x1＞x2 8．（2020•济南）若m＜﹣2，则一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象可能是（）A．B．C．D．9．（2021•青岛）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y ＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．（2020•威海）一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．11．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．36B．48C．49D．64 12．（2020•青岛）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．13．（2021•滨州）如图，在△OAB中，∠BOA＝45°，点C为边AB上一点，且BC＝2AC．如果函数y＝（x＞0）的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（）A．（﹣2019，674）B．（﹣2020，675）C．（2021，﹣669）D．（2022，﹣670）14．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（）A．B．C．D．12二．填空题（共5小题）15．（2021•威海）已知点A为直线y＝﹣2x上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为．16．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝．（结果用a，b表示）17．（2021•菏泽）如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去，…，则点A2021的横坐标为．18．（2020•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为a n，若a1＝2，则a2020＝．19．（2019•潍坊）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x ＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为．三．解答题（共4小题）20．（2020•青岛）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？21．（2021•德州）已知点A为函数y＝（x＞0）图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB＝OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，连接OC．（1）如图1，若点A的坐标为（4，n），求点C的坐标；（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．22．（2021•济南）如图，直线y＝与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2021•潍坊）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：年度（年）201620172018201920202021年度纯收1.52.5 4.57.511.3入（万元）若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2016年开始的年度纯收入变化趋势：y ＝（m＞0），y＝kx+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．（1）能否选用函数y ＝（m＞0）进行模拟，请说明理由；（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．2017-2021年山东中考数学真题分类汇编之一次函数和反比例函数参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2020•日照）将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（）A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝2（x+3）D．y＝2（x﹣3）【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案．【解答】解：∵将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，∴所得图象的函数表达式为：y＝2x+3．故选：A．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．2．（2019•东营）甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（）A．乙队率先到达终点B．甲队比乙队多走了126米C．在47.8秒时，两队所走路程相等D．从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢【考点】一次函数的应用．【专题】函数及其图象．【分析】根据函数图象所给的信息，逐一判断．【解答】解：A、由函数图象可知，甲走完全程需要82.3秒，乙走完全程需要90.2秒，甲队率先到达终点，本选项错误；B、由函数图象可知，甲、乙两队都走了300米，路程相同，本选项错误；C、由函数图象可知，在47.8秒时，两队所走路程相等，均为174米，本选项正确；D、由函数图象可知，从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度慢，本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．3．（2019•临沂）下列关于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0）的说法，错误的是（）A．图象经过第一、二、四象限B．y随x的增大而减小C．图象与y轴交于点（0，b）D．当x＞﹣时，y＞0【考点】一次函数的性质．【专题】一次函数及其应用．【分析】由k＜0，b＞0可知图象经过第一、二、四象限；由k＜0，可得y随x的增大而减小；图象与y轴的交点为（0，b）；当x＞﹣时，y＜0；【解答】解：∵y＝kx+b（k＜0，b＞0），∴图象经过第一、二、四象限，A正确；∵k＜0，∴y随x的增大而减小，B正确；令x＝0时，y＝b，∴图象与y轴的交点为（0，b），∴C正确；令y＝0时，x＝﹣，当x＞﹣时，y＜0；D不正确；故选：D．【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y＝kx+b中，k与b 对函数图象的影响是解题的关键．4．（2019•聊城）某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（）A．9：15B．9：20C．9：25D．9：30【考点】一次函数的应用；解二元一次方程组．【专题】一次函数及其应用．【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．【解答】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，∴y1＝6x+40；设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，∴y2＝﹣4x+240，联立，解得，∴此刻的时间为9：20．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．5．（2017•莱芜）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min＝{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x ﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（）A．B．1C．D．【考点】一次函数的性质．【专题】新定义．【分析】根据定义先列不等式：2x﹣1≥﹣x+3和2x﹣1≤﹣x+3，确定其y＝min{2x﹣1，﹣x+3}对应的函数，画图象可知其最大值．【解答】解：由题意得：，解得：，当2x﹣1≥﹣x+3时，x≥，∴当x≥时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝﹣x+3，由图象可知：此时该函数的最大值为；当2x﹣1≤﹣x+3时，x≤，∴当x≤时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝2x﹣1，由图象可知：此时该函数的最大值为；综上所述，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是当x＝所对应的y的值，如图所示，当x＝时，y＝，故选：D．【点评】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．6．（2017•菏泽）如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（）A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣1D．x＜﹣1【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式﹣2x＞ax+3的解集即可．【解答】解：∵函数y1＝﹣2x过点A（m，2），∴﹣2m＝2，解得：m＝﹣1，∴A（﹣1，2），∴不等式﹣2x＞ax+3的解集为x＜﹣1．故选：D．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．7．（2021•德州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（a是常数）的图象上，且y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x2＞x1＞x3B．x1＞x2＞x3C．x3＞x2＞x1D．x3＞x1＞x2【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；模型思想；应用意识．【分析】先判断k＝a2+1＞0，可知反比例函数的图象在一、三象限，再利用图象法可得答案．【解答】解：∵a2+1＞0，∴反比例函数y＝（a是常数）的图象在一、三象限，如图所示，当y1＜y2＜0＜y3时，x3＞0＞x1＞x2，故选：D．【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，理解“在每个象限内，y随x的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键．8．（2020•济南）若m＜﹣2，则一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】一次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；几何直观．【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．【解答】解：∵m＜﹣2，∴m+1＜0，1﹣m＞0，所以一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象经过一，二，四象限，故选：D．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．9．（2021•青岛）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y ＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴b＜0，A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，B错误；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，C错误；D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．10．（2020•威海）一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观．【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．【解答】解：A、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，﹣a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，矛盾，错误；B、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，相矛盾，故错误；C、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，故错误；D、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，﹣a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，故正确；故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．11．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．36B．48C．49D．64【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【分析】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y＝中求出k的值．【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，∵A（0，4），B（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，∴PE＝PC，PD＝PC，∴PE＝PC＝PD，设P（t，t），则PC＝t，∵S△P AE+S△P AB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD，∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，解得t＝6，∴P（6，6），把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36．故选：A．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．12．（2020•青岛）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观．【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＞0，由此即可得出＜0，﹣b＜0，即可得出一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：∵二次函数开口向下，∴a＜0；∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，∴b符号与a相异，b＞0；∵反比例函数图象经过一三象限，∴c＞0，∴＜0，﹣b＜0，∴一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＞0是解题的关键．13．（2021•滨州）如图，在△OAB中，∠BOA＝45°，点C为边AB上一点，且BC＝2AC．如果函数y＝（x＞0）的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（）A．（﹣2019，674）B．（﹣2020，675）C．（2021，﹣669）D．（2022，﹣670）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出B、C点的坐标，再写出BC解析式，再判断点在BC上．【解答】解：作BD⊥OA，CE⊥OA，∵∠BOA＝45°，∴BD＝OD，设B（a，a），∴，∴a＝3或a＝﹣3（舍去），∴BD＝OD＝3，B（3，3），∵BC＝2AC．∴AB＝3AC，∵BD⊥OA，CE⊥OA，∴BD∥CE，.∴△ABD∽△ACE∵＝3，∴，∴CE＝1，∵图象经过点C，∴，∴x＝9，C（9，1）设BC的解析式为y＝kx+b，，解得，∴x+4，当x＝﹣2019时，y＝677，当x＝﹣2020时，y＝677，当x＝2021时，y＝﹣669，当x＝2022时，y＝﹣670，故选：D．【点评】本题考查反比例函数图象上的点的性质，能求出BC的解析式是解题的关键．14．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（）A．B．C．D．12【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【分析】过点M作MH⊥OB于H．首先利用相似三角形的性质求出△OBM的面积＝9，再证明OH＝OB，求出△MOH的面积即可．【解答】解：过点M作MH⊥OB于H．∵AD∥OB，∴△ADM∽△BOM，∴＝（）2＝，∵S△ADM＝4，∴S△BOM＝9，∵DB⊥OB，MH⊥OB，∴MH∥DB，∴＝＝＝，∴OH＝OB，∴S△MOH＝×S△OBM＝，∵＝，∴k＝，故选：B．【点评】本题考查反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是求出△OMH的面积．二．填空题（共5小题）15．（2021•威海）已知点A为直线y＝﹣2x上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为（，﹣2）或（﹣，2）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；平移、旋转与对称；推理能力；模型思想．【分析】根据点A为直线y＝﹣2x上，可设A（a，﹣2a），由点A与点B关于y轴对称，于是可得B（﹣a，﹣2a），再根据反比例函数图象上点的坐标关系得出答案．【解答】解：因为点A为直线y＝﹣2x上，因此可设A（a，﹣2a），则点A关于y轴对称的点B（﹣a，﹣2a），由点B在反比例函数y＝的图象上可得2a2＝4，解得a＝±所以A（，﹣2）或（﹣，2），故答案为：（，﹣2）或（﹣，2）．【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称的性质，理解一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．16．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝a﹣．（结果用a，b表示）【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象；反比例函数的性质．【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．【分析】设B（m，），A（，n），则P（m，n），阴影部分的面积S△AOB＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．【解答】解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），∵点P为曲线C1上的任意一点，∴mn＝a，∴阴影部分的面积S△AOB＝mn﹣b﹣b﹣（m﹣）（n﹣）＝mn﹣b﹣（mn﹣b﹣b+）＝mn﹣b﹣mn+b﹣＝a﹣．故答案为：a﹣．【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn＝a可解决问题．17．（2021•菏泽）如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去，…，则点A2021的横坐标为+．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；规律型：图形的变化类．【专题】规律型；反比例函数及其应用；运算能力．【分析】由一次函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，可得A（1，1）；易得△OAB是等腰直角三角形，则OB＝2；分别过点A，A1，A2，作x轴的垂线，垂足分别为C，D，E，则△ABD是等腰直角三角形，设BD＝m，则A1D＝m，则A1（m+2，m），点A1在反比例函数上，可得m的值，求出点A1的坐标，同理可得A2的坐标，以此类推，可得结论．【解答】解：如图，分别过点A，A1，A2，作x轴的垂线，垂足分别为C，D，E，∵一次函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，∴联立，解得A（1，1），∴AC＝OC＝1，∠AOC＝45°，∵AB⊥OA，∴△OAB是等腰直角三角形，∴OB＝2OC＝2，∵A1B∥OA，∴∠A1BD＝45°，设BD＝m，则A1D＝m，∴A1（m+2，m），∵点A1在反比例函数y＝上，∴m（m+2）＝1，解得m＝﹣1+，（m＝﹣1﹣，负值舍去），∴A1（+1，﹣1），∵A1B1⊥A1B，∴BB1＝2BD＝2﹣2，∴OB1＝2．∵B1A2∥BA1，∴∠A2B1E＝45°，设B1E＝t，则A2E＝t，∴A2（t+2，t），∵点A2在反比例函数y＝上，∴t（t+2）＝1，解得t＝﹣+，（t＝﹣﹣，负值舍去），∴A2（，﹣），同理可求得A3（2+，2﹣），以此类推，可得点A2021的横坐标为+．故答案为：+．【点评】本题属于规律探究题型，主要考查反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质等内容，将函数图象与几何图形结合起来正确表达点A，A1等关键点的坐标是解题关键．18．（2020•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为a n，若a1＝2，则a2020＝2．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商的情况确定出a2020即可．【解答】解：当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2，A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2＝﹣＝﹣，B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2＝﹣，A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3＝﹣＝，B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3＝﹣，A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4＝﹣＝3，B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝2＝a1，…由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，∵2020÷3＝673…1，∴a2020＝a1＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．19．（2019•潍坊）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x ＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形；反比例函数的性质．【专题】反比例函数及其应用．【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO＝∠ACO＝90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO＝，S△AOC＝，根据相似三角形的性质得到＝（）2＝＝5，求得＝，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，则∠BDO＝∠ACO＝90°，∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，∴S△BDO＝，S△AOC＝，∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∴△BDO∽△OCA，∴＝（）2＝＝5，∴＝，∴tan∠BAO＝＝，故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．三．解答题（共4小题）20．（2020•青岛）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并计算出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到甲进水管的进水速度，从而可以求得单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时．【解答】解：（1）设y与t的函数解析式为y＝kt+b，，解得，，即y与t的函数关系式是y＝140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m3/h）；（2）∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的，∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h，∴甲进水口的进水速度为：140÷（+1）×＝60（m3/h），480÷60＝8（h），即单独打开甲进水口注满游泳池需8h．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．21．（2021•德州）已知点A为函数y＝（x＞0）图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB＝OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，连接OC．（1）如图1，若点A的坐标为（4，n），求点C的坐标；（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】数形结合；转化思想；反比例函数及其应用；推理能力．【分析】（1）先由反比例函数解析式求出A点坐标，再由中点坐标公式求得B点坐标，由于BC∥x轴，得到点B和点C的纵坐标相同，从而得到点C的纵坐标，再由反比例函数解析式求出点C的横坐标，即可解决；（2）设出A点坐标，由OA＝AB，得到B点坐标，由于BC∥x轴，AD⊥BC，可以得到AD∥y轴，由此写出点D坐标，由于BC∥x轴，且点C在图象上，求出点C的坐标，故可以得到BC和BD的长度，进而求得△OBC和△ADB的面积，△OBC与△ADB的面积之差即为四边形OCDA的面积．【解答】解：（1）将点A坐标代入到反比例函数y＝中得，4n＝4，∴n＝1，∴点A的坐标为（4，1），∵AB＝OA，O（0，0），∴点B的坐标为（8，2），∵BC∥x轴，。
2019年、2020年山东省中考试题分类数学(4)——方程的解法与应用
2019年、2020年山东省数学中考试题分类（4）——方程的解法与应用一．一元一次方程的应用（共1小题）1．（2020•东营）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ） A ．96里B ．48里C ．24里D ．12里二．二元一次方程的应用（共1小题）2．（2020•枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S 可用公式S ＝a +12b ﹣1（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick ）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S ＝ ．三．二元一次方程组的解（共1小题）3．（2019•菏泽）已知{x =3y =−2是方程组{ax +by =2bx +ay =−3的解，则a +b 的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．5四．解二元一次方程组（共2小题）4．（2020•泰安）方程组{x +y =16，5x +3y =72的解是 ．5．（2020•淄博）解方程组：{3x +12y =8，2x −12y =2．五．由实际问题抽象出二元一次方程组（共4小题）6．（2020•临沂）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x 人，y 辆车，可列方程组为（ ）A ．{x3=y +2x2+9=y B ．{x3=y −2x−92=yC ．{x3=y +2x−92=yD ．{x3=y −2x 2−9=y 7．（2019•东营）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x ，负的场数为y ，则可列方程组为（ ） A ．{x +y =102x +y =16B ．{x +y =102x −y =16C ．{x +y =10x −2y =16D ．{x +y =10x +2y =168．（2019•德州）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x 尺，木长y 尺，则可列二元一次方程组为（ ） A ．{y −x =4.5y −12x =1 B ．{x −y =4.5y −12x =1 C ．{x −y =4.512x −y =1D ．{y −x =4.512x −y =19．（2019•泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为 ．六．二元一次方程组的应用（共1小题）10．（2019•临沂）用1块A 型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B 型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A 、B 两种型号的钢板共 块． 七．一元二次方程的解（共1小题）11．（2019•济宁）已知x ＝1是方程x 2+bx ﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是 ． 八．解一元二次方程-配方法（共2小题）12．（2020•临沂）一元二次方程x 2﹣4x ﹣8＝0的解是（ ） A ．x 1＝﹣2+2√3，x 2＝﹣2﹣2√3 B ．x 1＝2+2√3，x 2＝2﹣2√3 C ．x 1＝2+2√2，x 2＝2﹣2√2D ．x 1＝2√3，x 2＝﹣2√313．（2020•聊城）用配方法解一元二次方程2x 2﹣3x ﹣1＝0，配方正确的是（ ） A ．（x −34）2=1716 B ．（x −34）2=12 C ．（x −32）2=134D ．（x −32）2=114九．解一元二次方程-公式法（共1小题）14．（2019•威海）一元二次方程3x 2＝4﹣2x 的解是 ． 一十．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）15．（2020•威海）一元二次方程4x （x ﹣2）＝x ﹣2的解为 ．16．（2020•德州）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x 2﹣9x +20＝0的一个根，则该菱形的周长为 ． 一十一．根的判别式（共9小题）17．（2020•潍坊）关于x 的一元二次方程x 2+（k ﹣3）x +1﹣k ＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定18．（2020•菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程x 2﹣4x +k ＝0的两个根，则k 的值为（ ） A ．3B ．4C ．3或4D ．719．（2020•滨州）对于任意实数k ，关于x 的方程12x 2﹣（k +5）x +k 2+2k +25＝0的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判定20．（2019•聊城）若关于x 的一元二次方程（k ﹣2）x 2﹣2kx +k ＝6有实数根，则k 的取值范围为（ ）A．k≥0B．k≥0且k≠2C．k≥32D．k≥32且k≠221．（2020•东营）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是．22．（2020•淄博）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．23．（2020•烟台）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．24．（2019•青岛）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．25．（2019•枣庄）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．一十二．根与系数的关系（共3小题）26．（2019•威海）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（）A．2023B．2021C．2020D．2019 27．（2019•潍坊）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）A．m＝﹣2B．m＝3C．m＝3或m＝﹣2D．m＝﹣3或m＝228．（2019•莱芜区）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则1x1+1x2=．一十三．一元二次方程的应用（共1小题）29．（2019•东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？一十四．分式方程的解（共1小题）30．（2020•枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18．则方程x⊗（﹣2）=2x−4−1的解是（）A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7一十五．解分式方程（共4小题） 31．（2019•淄博）解分式方程1−x x−2=12−x−2时，去分母变形正确的是（ ）A ．﹣1+x ＝﹣1﹣2（x ﹣2）B ．1﹣x ＝1﹣2（x ﹣2）C ．﹣1+x ＝1+2（2﹣x ）D ．1﹣x ＝﹣1﹣2（x ﹣2）32．（2020•菏泽）方程x−1x=x+1x−1的解是 ． 33．（2019•德州）方程6(x+1)(x−1)−3x−1=1的解为 ．34．（2019•滨州）方程x−3x−2+1=32−x的解是 ． 一十六．分式方程的增根（共1小题） 35．（2020•潍坊）若关于x 的分式方程3x x−2=m+3x−2+1有增根，则m ＝ ．一十七．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）36．（2019•济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（ ） A ．500x −50010x =45 B ．50010x−500x =45 C ．5000x−500x=45D ．500x−5000x=45一十八．分式方程的应用（共4小题）37．（2020•威海）在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1200m 的步行道．由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求计划平均每天修建步行道的长度．38．（2020•泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A 种茶叶若干盒，用8400元购进B 种茶叶若干盒，所购B 种茶叶比A 种茶叶多10盒，且B 种茶叶每盒进价是A 种茶叶每盒进价的1.4倍． （1）A ，B 两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A ，B 两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B 种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？39．（2019•日照）“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件产品的实际定价是多少元？40．（2019•菏泽）列方程（组）解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．2019年、2020年山东省数学中考试题分类（4）——方程的解法与应用参考答案与试题解析一．一元一次方程的应用（共1小题）1．【解答】解：设此人第三天走的路程为x 里，则其它五天走的路程分别为4x 里，2x 里，12x 里，14x 里，18x 里，依题意，得：4x +2x +x +12x +14x +18x ＝378， 解得：x ＝48． 故选：B ．二．二元一次方程的应用（共1小题）2．【解答】解：a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积，通过图象可知a ＝4，b ＝6，∴该五边形的面积S ＝4+12×6﹣1＝6， 故答案为：6．三．二元一次方程组的解（共1小题） 3．【解答】解：将{x =3y =−2代入{ax +by =2bx +ay =−3，可得：{3a −2b =23b −2a =−3，两式相加：a +b ＝﹣1， 故选：A ．四．解二元一次方程组（共2小题） 4．【解答】解：{x +y =16①5x +3y =72②②﹣3×①，得2x ＝24， ∴x ＝12．把x ＝12代入①，得12+y ＝16， ∴y ＝4．∴原方程组的解为{x =12y =4． 故答案为：{x =12y =4．5．【解答】解：{3x +12y =8①2x −12y =2②， ①+②，得：5x ＝10， 解得x ＝2，把x ＝2代入①，得：6+12y ＝8， 解得y ＝4，所以原方程组的解为{x =2y =4．五．由实际问题抽象出二元一次方程组（共4小题）6．【解答】解：依题意，得：{x3=y −2x−92=y ．故选：B ．7．【解答】解：设这个队胜x 场，负y 场， 根据题意，得{x +y =102x +y =16．故选：A ．8．【解答】解：设绳长x 尺，木长为y 尺， 依题意得{x −y =4.5y −12x =1， 故选：B ．9．【解答】解：设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得： {9x =11y (10y +x)−(8x +y)=13， 故答案为：{9x =11y(10y +x)−(8x +y)=13．六．二元一次方程组的应用（共1小题）10．【解答】解：设需用A 型钢板x 块，B 型钢板y 块， 依题意，得：{4x +3y =37①x +2y =18②，（①+②）÷5，得：x +y ＝11．故答案为：11．七．一元二次方程的解（共1小题）11．【解答】解：∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，∴x1x2=ca=−2，∴1×x2＝﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故答案为﹣2．八．解一元二次方程-配方法（共2小题）12．【解答】解：一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0，移项得：x2﹣4x＝8，配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12，开方得：x﹣2＝±2√3，解得：x1＝2+2√3，x2＝2﹣2√3．故选：B．13．【解答】解：由原方程，得x2−32x=12，x2−32x+916=12+916，（x−34）2=1716，故选：A．九．解一元二次方程-公式法（共1小题）14．【解答】解：3x2＝4﹣2x3x2+2x﹣4＝0，则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，故x=−2±√526，解得：x1=−1+√133，x2=−1−√133．故答案为：x1=−1+√133，x2=−1−√133．一十．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）15．【解答】解：4x（x﹣2）＝x﹣2 4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0（x﹣2）（4x﹣1）＝0x﹣2＝0或4x﹣1＝0解得x1＝2，x2=1 4．故答案为：x1＝2，x2=1 4．16．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣9x+20＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．故答案为：20．一十一．根的判别式（共9小题）17．【解答】解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．18．【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，解得：k ＝3，当k ＝3时，原方程为x 2﹣4x +3＝0，解得：x 1＝1，x 2＝3，∵1+3＝4，4＞3，∴k ＝3符合题意；当3为底边长时，关于x 的方程x 2﹣4x +k ＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k ＝0，解得：k ＝4，当k ＝4时，原方程为x 2﹣4x +4＝0，解得：x 1＝x 2＝2，∵2+2＝4，4＞3，∴k ＝4符合题意．∴k 的值为3或4．故选：C ．19．【解答】解：12x 2﹣（k +5）x +k 2+2k +25＝0， △＝b 2﹣4ac ＝[﹣（k +5）]2﹣4×12×（k 2+2k +25）＝﹣k 2+6k ﹣25＝﹣（k ﹣3）2﹣16， 不论k 为何值，﹣（k ﹣3）2≤0，即△＝﹣（k ﹣3）2﹣16＜0，所以方程没有实数根，故选：B ．20．【解答】解：（k ﹣2）x 2﹣2kx +k ﹣6＝0，∵关于x 的一元二次方程（k ﹣2）x 2﹣2kx +k ＝6有实数根，∴{k −2≠0△=(−2k)2−4(k −2)(k −6)≥0， 解得：k ≥32且k ≠2．故选：D ．21．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +m ＝0有实数根，∴△＝36﹣4m ≥0，解得：m ≤9，则m 的取值范围是m ≤9．故答案为：m ≤9．22．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a ＝1，b ＝﹣1，c ＝2m∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×1×2m ＞0，解得m ＜18，故答案为m ＜18．23．【解答】解：根据题意得m ﹣1≠0且△＝22﹣4（m ﹣1）×（﹣1）＞0，解得m ＞0且m ≠1．故答案为：m ＞0且m ≠1．24．【解答】解：根据题意得：△＝1﹣4×2m ＝0，整理得：1﹣8m ＝0，解得：m =18，故答案为：18． 25．【解答】解：由关于x 的方程ax 2+2x ﹣3＝0有两个不相等的实数根得△＝b 2﹣4ac ＝4+4×3a ＞0，解得a ＞−13则a ＞−13且a ≠0故答案为a ＞−13且a ≠0一十二．根与系数的关系（共3小题）26．【解答】解：a ，b 是方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，∴b ＝3﹣b 2，a +b ＝﹣1，ab ＝﹣3，∴a 2﹣b +2019＝a 2﹣3+b 2+2019＝（a +b ）2﹣2ab +2016＝1+6+2016＝2023；故选：A ．27．【解答】解：设x 1，x 2是x 2+2mx +m 2+m ＝0的两个实数根，∴△＝﹣4m ≥0，∴m ≤0，∴x 1+x 2＝﹣2m ，x 1•x 2＝m 2+m ，∴x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2＝4m 2﹣2m 2﹣2m ＝2m 2﹣2m ＝12，∴m ＝3或m ＝﹣2；∴m ＝﹣2；故选：A ．28．【解答】解：∵x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣3＝0的两根，∴x 1+x 2＝1，x 1•x 2＝﹣3，∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1⋅x 2=1−3=−13． 故答案为：−13．一十三．一元二次方程的应用（共1小题）29．【解答】解：设降价后的销售单价为x 元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x ）]个， 依题意，得：（x ﹣100）[300+5（200﹣x ）]＝32000，整理，得：x 2﹣360x +32400＝0，解得：x 1＝x 2＝180．180＜200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．一十四．分式方程的解（共1小题）30．【解答】解：根据题意，得1x−4=2x−4−1，去分母得：1＝2﹣（x ﹣4），解得：x ＝5，经检验x ＝5是分式方程的解．故选：B ．一十五．解分式方程（共4小题）31．【解答】解：去分母得：1﹣x ＝﹣1﹣2（x ﹣2），故选：D ．32．【解答】解：方程x−1x =x+1x−1，去分母得：（x ﹣1）2＝x （x +1），整理得：x 2﹣2x +1＝x 2+x ，解得：x=1 3，经检验x=13是分式方程的解．故答案为：x=1 3．33．【解答】解：6(x+1)(x−1)−3x−1=1，6(x+1)(x−1)−3(x+1)(x−1)(x+1)=1，3−3x(x+1)(x−1)=1，−3x+1=1，x+1＝﹣3，x＝﹣4，经检验x＝﹣4是原方程的根；故答案为x＝﹣4；34．【解答】解：去分母，得x﹣3+x﹣2＝﹣3，移项、合并，得2x＝2，解得x＝1，检验：当x＝1时，x﹣2≠0，所以，原方程的解为x＝1，故答案为：x＝1．一十六．分式方程的增根（共1小题）35．【解答】解：去分母得：3x＝m+3+（x﹣2），整理得：2x＝m+1，∵关于x的分式方程3xx−2=m+3x−2+1有增根，即x﹣2＝0，∴x＝2，把x＝2代入到2x＝m+1中得：2×2＝m+1，解得：m＝3；故答案为：3．一十七．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）36．【解答】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是：500x −50010x =45．故选：A ．一十八．分式方程的应用（共4小题）37．【解答】解：设计划平均每天修建步行道的长度为xm ，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm ，依题意，得：1200x −12001.5x =5，解得：x ＝80，经检验，x ＝80是原方程的解，且符合题意．答：计划平均每天修建步行道的长度为80m ．38．【解答】解：（1）设A 种茶叶每盒进价为x 元，则B 种茶叶每盒进价为1.4x 元， 依题意，得：84001.4x −4000x =10，解得：x ＝200，经检验，x ＝200是原方程的解，且符合题意，∴1.4x ＝280．答：A 种茶叶每盒进价为200元，B 种茶叶每盒进价为280元．（2）设第二次购进A 种茶叶m 盒，则购进B 种茶叶（100﹣m ）盒，依题意，得：（300﹣200）×m 2+（300×0.7﹣200）×m 2+（400﹣280）×100−m 2+（400×0.7﹣280）×100−m 2=5800， 解得：m ＝40，∴100﹣m ＝60．答：第二次购进A 种茶叶40盒，B 种茶叶60盒．39．【解答】解：设每件产品的实际定价是x 元，则原定价为（x +40）元，由题意，得5000x+40=4000x ．解得x ＝160．经检验x ＝160是原方程的解，且符合题意．答：每件产品的实际定价是160元．40．【解答】解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x 千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x千米/分钟，由题意，得811.8x+36=81x．解得x＝1．经检验，x＝1是所列方程的根，且符合题意．所以1.8x＝1.8（千米/分钟）．答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8千米/分钟．。
济南市数学中考题分类汇编----函数
BAC Dy xO 第23题图A D C FB E第22题图 10 30O 2 4 S (吨) t (时)第11题图 济南市数学中考题分类汇编----函数2007年10．已知2y ax bx =+的图象如图所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限22．（本小题满分9分）已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=，10BC CD ==，4sin 5C =．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）点E F ，分别是BC CD ，上的动点，点E 从点B 出发向点C 运动，点F 从点C 出发向点D 运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF ．求EFC △面积的最大值，并说明此时E F ，的位置． 23．（本小题满分9分）已知：如图，O 为平面直角坐标系的原点，半径为1的B 经过点O ，且与x y ，轴分交于点A C ，，点A 的坐标为()30-，，AC 的延长线与B 的切线OD 交于点D ．（1）求OC 的长和CAO ∠的度数；（2）求过D 点的反比例函数的表达式．2008年11．济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用４小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均 保持不变）．储运部库存物资S (吨)与时间t (小时)之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（ ） A ．4小时 B ．4.4小时 C ．4.8小时 D ．5小时 12．如图：等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y =x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线ky x=(k ≠0) 与ABC ∆有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．12k << B ．13k ≤≤C ．14k ≤≤D ．14k <≤23．(本小题满分9分)已知：如图，直线343y x =-+与x 轴相交于点A ，与直线3y x =相交于点P ．（1）求点P 的坐标．（2）请判断OPA ∆的形状并说明理由．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O →P →A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B ．设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S ．求：① S 与t 之间的函数关系式．yxO第10题图 y1x OA BC 第12题图第10题图yx O－1 2 A B CD 1y x=-第16题图yx O 1 （第22题图）yxOAD MCB② 当t 为何值时，S 最大，并求S 的最大值．2009年12．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()a b ，，若规定以下三种变换：()()()()1313;f a b a b f -=-如①，=，．，，，()()()()1331;g a b b a g =如②，=，．，，， ()()()()1313h a b a b h --=--如③，=，．，，，．按照以上变换有：(())()()233232f g f -=-=，，，，那么()()53f h -，等于（ ）A ．()53--， B ．()53，C ．()53-，D ．()53-，22．（本小题满分9分）已知：如图，正比例函数y ax =的图象与反比例函数ky x=的图象交于点()32A ，．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MN x ∥轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．23．（本小题满分9分）如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．2010年8．一次函数21y x =-+的图象经过哪几个象限 A ．一、二、三象限 B ．一、二、四象限F第23题图yOA xPEB A DCB M N （第23题图）O第22题xy AB PC D OyxO t /sh /m 26OAB C Dx y ACB D图1图2M Oxy NC ．一、三、四象限D ．二、三、四象限10．二次函数22y x x =--的图象如图所示，则函数值y ＜0时x 的取值范围是A ．x ＜－1 B ．x ＞2 C ．－1＜x ＜2 D ．x ＜－1或x ＞216．如图所示，点A 是双曲线1y x=-在第二象限的分支上的任意一点，点B 、C 、D 分别是点A 关于x 轴、原点、y 轴的对称点，则四边形ABCD 的面积是 ．22．(本小题满分9分)如图所示，菱形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上，∠BAD =60°，点A 的坐标为(－2，0)． ⑴求线段AD 所在直线的函数表达式．⑵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t 秒．求t 为何值时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切？2011年10．一次函数y ＝(k －2)x ＋b 的图象如图所示，则k 的取值范围是【 】A ．k ＞2B ．k ＜2C ．k ＞3D ．k ＜313．竖直向上发射的小球的高度h (m)关于运动时间t (s)的函数表达式为h ＝at 2＋bt ，其图象如图所示．若小球在发射后第2s 与第6s 时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第【 】A ．3s B ．3.5s C ．4.2s D ．6.5s 20．如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为(1，2)，点B 、 D 在反比例函数y ＝ 6x(x ＞0)的图象上，则点C 的坐标为 ．26．(本题共2小题，满分9分)(1)如图1，在△ABC 中，∠C ＝90º，∠ABC ＝30º，AC ＝m ，延长CB 至点D ，使BD ＝AB ．①求∠D 的度数；②求tan75º的值．(2)如图2，点M 的坐标为(2，0)，直线MN 与y 轴的正半轴交于点N ，∠OMN ＝75º． 求直线MN 的函数解析式．。
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类一．一次函数的应用（共1小题）1．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 张；（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B 木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．二．二次函数综合题（共5小题）2．（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x＝，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．4．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．（1）求点C，D的坐标；（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P 为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．①若a＝1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．6．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．三．三角形综合题（共1小题）7．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）写出AB与BD的数量关系．（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．四．四边形综合题（共2小题）8．（2023•淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．（1）操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为 ．（2）深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF 的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．9．（2023•东营）（1）用数学的眼光观察如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．（2）用数学的思维思考如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．（3）用数学的语言表达如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC 的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．五．圆的综合题（共3小题）10．（2023•枣庄）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C做射线BD的垂线，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．11．（2023•日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．12．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．六．相似三角形的判定与性质（共1小题）13．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交BC与点G．（1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数；（2）求证：△EFG∽△BFD；（3）求证：＝．七．相似形综合题（共2小题）14．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．15．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类参考答案与试题解析一．一次函数的应用（共1小题）1．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 （200﹣x） 个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 （200﹣y） 张；（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B 木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）（200﹣x），（200﹣y）；（2）制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张；（3）A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．【解答】解：（1）∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，故制作B种木盒（200﹣x）个；∵有200张规格为40cm×40cm的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，故使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张；故答案为：（200﹣x），（200﹣y）；（2）使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出4y个长、宽均为20cm的木板，使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张，则可切割出8（200﹣y）个长为10cm、宽为20cm 的木板；设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为20cm的木板5x个，制作B种木盒（200﹣x）个，则需要长、宽均为20cm的木板（200﹣x）个，需要长为10cm、宽为20cm的木板4（200﹣x）个；故，解得：，故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张；（3）∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，故总成本为150×5+8×50＝1150（元）；∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，∴，解得：7≤a≤18，设利润为w元，则w＝100a+100（20﹣a）﹣1150，整理得：w＝850+50a，∵50＞0，∴w随a的增大而增大，故当a＝18时，有最大值，最大值为850+50×18＝1750（元），则此时B种木盒的销售单价定为20﹣×18＝11（元），即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．二．二次函数综合题（共5小题）2．（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x＝，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP 翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣3x；（2）（6，6）；（3）存在，P点坐标为（，）或（﹣，﹣）或（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝，∴﹣＝，∴b＝﹣a①，将点A（3，﹣3）代入y＝ax2+bx，∴9a+3b＝﹣3②，联立①②可得，a＝，b＝﹣3，∴函数的解析式为y＝x2﹣3x；（2）设B（m，m2﹣3m），如图1，过A点作EF⊥y轴交于E点，过B点作BF⊥EF交于F点，∴△OAB的面积＝•m（m2﹣3m+3+3）﹣3×3﹣（m﹣3）（m2﹣3m+3）＝18，解得m＝6或m＝﹣3（舍），∴B（6，6）；（3）存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵A（3，﹣3），B（6，6），∴C（，），设直线OB的解析式为y＝kx，∴6k＝6，解得k＝1，∴直线OB的解析式为y＝x，设P（t，t），如图2，当BP为平行四边形的对角线时，BC∥A1P，BC＝A1P，∵AC＝BC，∴AC＝A1P，由对称性可知AC＝A1C，AP＝A1P，∴AP＝AC，∴＝，解得t＝，∴P点坐标为（，）或（﹣，﹣）；如图3，当BC为平行四边形的对角线时，BP∥A1C，BP＝A1C，由对称性可知，AC＝A1C，∴BP＝AC，∴＝，解得t＝+6或t＝﹣+6，∴P（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）；综上所述：P点坐标为（，）或（﹣，﹣）或（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）．3．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．【答案】（1）y＝x2﹣x；（2）当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）抛物线向右平移的距离是4个单位．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣10），∵当t＝2时，BC＝4，∴点C的坐标为（2，﹣4），∴将点C坐标代入解析式得2a（2﹣10）＝﹣4，解得：a＝，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x；（2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，∴AB＝10﹣2t，当x＝t时，点C的纵坐标为t2﹣t，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]＝﹣t2+t+20＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）如图，连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，∵t＝2，∴B（2，0），∴A（8，0），∵BC＝4．∴C（2，﹣4），∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，∴PQ＝CH，∵四边形ABCD是矩形，∴点P是AC的中点，∴P（5，﹣2），∴PQ＝OA，∵OA＝8，CH＝PQ＝OA＝4，∴抛物线向右平移的距离是4个单位4．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MH+DH的最小值为；（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4），设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AM的解析式为y＝2x+2，当x＝0时，y＝2，∴D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，则DH＝D′H，∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，∵D′M＝＝，∴MH+DH的最小值为；（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．由（2）得：D（0，2），M（1，4），∵点P是抛物线上一动点，∴设P（m，﹣m2+2m+3），∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，∴设Q（1，n），当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，3）；当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，1）；当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，5）；综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．5．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．（1）求点C，D的坐标；（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P 为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．①若a＝1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．【答案】（1）C（0，2），D（5，2）；（2）；（3）①（1，6），（4，6），（5，2）；②a＝0.5．【解答】解：（1）在y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）中，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∵抛物线解析式为y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0），∴抛物线对称轴为直线，∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，∴C、D关于抛物线对称轴对称，∴D（5，2）；（2）当时，抛物线解析式为，当y＝0时，，解得x＝﹣1或x＝6，∴A（﹣1，0），如图，设DP上与点M关于直线AD对称的点为N（m，n），由轴对称的性质可得：AN＝AM，DN＝DM，，∴3m+n＝12，∴n＝12﹣3m∴m2+2m+1+144﹣72m+9m2＝25，∴m2﹣7m+12＝0，解得m＝3或m＝4（舍去），∴n＝12﹣3m＝3，∴N（3，3），设直线DP的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线DP的解析式为，联立，解得或，∴P（，）；（3）①当a＝1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+5x+2，E（1，2），F（5，2），∴EH＝EF＝FG＝4，∴H（1，6），G（5，6），当x＝1时，y＝﹣12+5×1+2＝6，∴抛物线y＝﹣x2+5x+2 恰好经过H（1，6）；∵抛物线对称轴为直线，由对称性可知抛物线经过（4，6），∴点（4，6）为抛物线与正方形的一个交点，又∵点F与点D重合，∴抛物线也经过点F（5，2）；综上所述，正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标为（1，6），（4，6），（5，2）；②如图，当抛物线与GH、GF分别交于T、D时，∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴点T的纵坐标为2+2.5＝4.5，∴，∴a2+1.5a﹣1＝0，解得a＝﹣2（舍去）或a＝0.5；如图，当抛物线与GH、EF分别交于T、S，∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴，解得a＝0.4（舍去，因为此时点F在点D下方）如图，当抛物线与EH、EF分别交于T、S，∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴﹣a（）2+5a•+2＝a+1+2.5，解得或（舍去）；当时，y＝﹣ax2+5ax+2＝6.25a+2，当时，6.25a+2＞6+a﹣，∴不符合题意；综上所述，a＝0.5．6．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．【答案】（1）y＝；（2）Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；（3）当m＝时，△PDE的面积最大值为：．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣6），∴﹣9＝a•3×（﹣6），∴a＝，∴y＝（x+3）（x﹣6）＝；（2）如图1，抛物线的对称轴为：直线x＝＝，由对称性可得Q1（3，﹣9），当y＝9时，＝9，∴x＝，∴Q2（，9），Q3（，9），综上所述：Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；（3）设△PED的面积为S，由题意得：AP＝m+3，BP＝6﹣m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．∴BC＝＝3，∵sin∠PBD＝，∴，∴PD＝，∵PE∥BC，∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，∴，∴，∴PE＝，∴S＝PE•PD＝（m+3）（6﹣m）＝﹣，∴当m＝时，S最大＝，∴当m＝时，△PDE的面积最大值为：．三．三角形综合题（共1小题）7．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）写出AB与BD的数量关系．（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．【答案】（1）结论：AB＝（+1）BD．理由见解析部分；（2）（3）证明见解析部分．【解答】（1）解：结论：AB＝（+1）BD．理由：在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT．设AB＝AC＝a，则BC＝a．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠DBT＝45°，∵BD＝BT，∴∠BDT＝∠BTD＝67.5°，∵BC＝AB+BD＝AC+BD＝BT+AC，∴CT＝CA＝a，∴BD＝BT＝BC﹣CT＝a﹣a，∴＝＝+1，∴AB＝（+1）BD；（2）证明：如图2中，在△BCD和△ECF中，，∴△BCD≌△ECF（SAS），∴∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，∴BD∥EF，∵BD⊥AB，∴EF⊥AB；（3）证明：延长CH交EF的延长线于点J．∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝135°，CH平分∠ACE，∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°，∵∠ACB＝∠E＝45°，∴AC∥EJ，∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°，∴CE＝EJ＝CB，∵BC＝BD+AB，EJ＝EF+FJ，∴FJ＝AB＝AC，∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J，∴△ACH≌△FJH（AAS），∴AH＝FH．四．四边形综合题（共2小题）8．（2023•淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．（1）操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为 等腰直角三角形 ．（2）深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF 的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）探究一：；探究二：DH的最大值为+1，最小值为﹣1．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝，在Rt△CFG中，CF＝，∵AB＝GF，BC＝CG，∴AC＝CF，∴△ACF是等腰三角形，∵AB＝GF，∠FGC＝∠ABC＝90°．BC＝CG，∴△ABC≌△FGC（SAS），∴∠ACG＝∠GFC，∵∠GCF+∠GFC＝90°，∴∠ACG+∠GCF＝90°，∴∠ACF＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；（2）探究一：∵CD＝GF，∠FMG＝∠DMC，∠G＝∠CDF＝90°，∴△CDM≌△FGM（AAS），∴CM＝MF，∵AC＝CF，CD⊥AF，∴AD＝DF，∵AB＝CD＝2，AD＝DF＝4，∴DM＝4﹣CM，在Rt△CDM中，CM2＝CD2+DM2，∴CM2＝22+（4﹣CM）2，解得CM＝，∴MF＝，∴△CMF的面积＝2×＝；探究二：连接DE，取DE的中点P，连接HP，取AD、BC的中点为M、N，连接MN，MH，NH，∵H是AE的中点，∴MH∥DE，且MH＝DE，∵CD＝CE，∴CP⊥DE，DP＝PE，∵MH∥DP，且MH＝DP，∴四边形MHPD是平行四边形，∴MD＝HP，MD∥HP，∵AD∥BC，MD＝CN，∴HP∥CN，HP＝CN，∴四边形HNCP是平行四边形，∴NH∥CP，∴∠MHN＝90°，∴H点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为T，∴DT＝＝，∴DH的最大值为+1，最小值为﹣1．方法二：设AC的中点为T，连接HT，∵HT是△ACE的中位线，∴HT＝CE＝1，∴H在以T为圆心，1为半径的圆上，∵DT＝＝，∴DH的最大值为+1，最小值为﹣1．9．（2023•东营）（1）用数学的眼光观察如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．（2）用数学的思维思考如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．（3）用数学的语言表达如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC 的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）直角三角形，理由见解析．【解答】（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN＝BC，PM＝AD，∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM；（2）证明：由（1）知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN∥BC，PM∥AD，∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，∵∠PNM＝∠PMN，∴∠AEM＝∠F；（3）解：△CGD是直角三角形，理由如下：如图③，取BD的中点P，连接PM、PN，∵N是CD的中点，M是AB的中点，∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN ∥BC ，PN ＝BC ，PM ∥AD ，PM ＝AD ，∵AD ＝BC∴PM ＝PN ，∴∠PNM ＝∠PMN ，∵PM ∥AD ，∴∠PMN ＝∠ANM ＝60°，∴∠PNM ＝∠PMN ＝60°，∵PN ∥BC ，∴∠CGN ＝∠PNM ＝60°，又∵∠CNG ＝∠ANM ＝60°，∴△CGN 是等边三角形．∴CN ＝GN ，又∵CN ＝DN ，∴DN ＝GN ，∴∠NDG ＝∠NGD ＝CNG ＝30°，∴∠CGD ＝∠CGN +∠NGD ＝90°，∴△CGD 是直角三角形．五．圆的综合题（共3小题）10．（2023•枣庄）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 是的中点，过点C 做射线BD 的垂线，垂足为E ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若BE ＝3，AB ＝4，求BC 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．【答案】（1）证明见解答．（2）BC的长为2．（3）阴影部分的面积为．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵点C是的中点，∴，∴∠ABC＝∠EBC，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠EBC＝∠OCB，∴OC∥BE，∵BE⊥CE，∴半径OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．（2）解：如图，连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠EBC，∴△ACB∽△CEB，∴，∴，∴．答：BC的长为2．（3）解：如图，连接OD、CD，∵AB＝4，∴OC＝OB＝2，在Rt△BCE中，，∴，∴∠CBE＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠AOC＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠CDO＝∠AOC，∴CD∥AB，∴S△COD＝S△CBD，∴．答：阴影部分的面积为．11．（2023•日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）．【解答】（1）证明：由旋转的性质可得AE＝AD，∠DAE＝α，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，又∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠AEB＝∠ADC，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠AEB+∠ADB＝180°，∴A、B、D、E四点共圆；（2）证明：如图所示，连接OA，OD，∵AB＝AC，AD＝CD，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DAC，∵⊙O是四边形AEBD的外接圆，∴∠AOD＝2∠ABC，∴∠AOD＝2∠ABC＝2∠DAC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，∴2∠DAC+2∠OAD＝180°，∴∠DAC+∠OAD＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，又∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（3）解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于G、F，连接AM，PM，如图：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵点M是边BC的中点，∴，AM⊥BC，∴，，在Rt△BGF中，，∴FM＝BM﹣BF＝3﹣2＝1，∵⊙P是四边形AEBD的外接圆，∴点P一定在AB的垂直平分线上，∴点P在直线GF上，∴当MP⊥GF时，PM有最小值，∴∠PFM＝∠BFG＝90°﹣∠ABC＝60°，在Rt△MPF中，PM＝MF•sin∠PFM＝1×sin60°＝，∴圆心P与点M距离的最小值为．12．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF ⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】（1）证明过程见解答；（2）MN＝BM+DN，理由见解答．【解答】（1）证明：∵CF⊥OE，OC是半径，∴CF是圆O的切线，∵BE是圆O的切线，∴BF＝CF，∵EF＝2BF，∴EF＝2CF，sin E＝＝，∴∠E＝30°，∠EOB＝60°，∵CD＝CB，∴＝，∴OC⊥BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°＝∠EBO，∵∠E+∠EBD＝90°，∠ABD+∠EBD＝90°，∴∠E＝∠ABD＝30°，∴AD＝BO＝AB，∴△ABD≌△OEB（AAS）；（2）解：MN＝BM+DN，理由如下：延长ND至H使得DH＝BM，连接CH，BD，如图2所示，∵∠CBM+∠NDC＝180°，∠HDC+∠NDC＝180°，∴∠HDC＝∠MBC，∵CD＝CB，DH＝BM，∴△HDC≌△MBC（SAS），∴∠BCM＝∠DCH，CM＝CH，由（1）可得∠ABD＝30°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DCB＝180°﹣∠A＝120°，∵∠MCN＝60°，∴∠BCM+∠NCD＝120°﹣∠NCM＝120°﹣60°＝60°，∴∠DCH+∠NCD＝∠NCH＝60°，∴∠NCH＝∠NCM，∵NC＝NC，∴△CNH≌△CNM（SAS），∴NH＝MN，∴MN＝DN+DH＝DN+BM，∴MN＝BM+DN．六．相似三角形的判定与性质（共1小题）13．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交BC与点G．（1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数；（2）求证：△EFG∽△BFD；（3）求证：＝．【答案】（1）60°；（2）证明过程详见解答；（3）证明过程详见解答．【解答】（1）解：∵△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠CFE＝180°﹣∠ACB﹣∠CED＝90°，∴EF＝DF＝DE，∵BH＝DH，EH⊥BD，∴BE＝DE，∴EF＝BE，∴cos∠BED＝，∴∠BED＝60°；（2）证明：由（1）得：∠CFE＝90°，∴CF⊥DE，∴∠BFD＝∠EFG＝∠BHE＝90°，∵∠BGH＝∠EGF，∴∠DBF＝∠FEG，∴△EFG∽△BFD；（3）证明：如图，作BQ∥AC，交EH的延长线于点Q，∴△BGQ∽△CGE，∴，∠Q＝∠CEH，∠QBE＝∠AEB，∴，设∠DBF＝DEH＝α，由（1）知：BC是DE的垂直平分线，∴BE＝BD，∴∠EBF＝∠DBF＝α，∴∠AEB＝∠ACB+∠EBF＝45°+α，∠CEH＝∠CED+∠FEG＝45°+α，∴∠AEB＝∠CEH，∴∠Q＝∠QBE，∴BE＝EQ，∴＝．七．相似形综合题（共2小题）14．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC 的最小值．【答案】（1）∠BDC＝60°，；（2）；（3）4．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，，∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，，∴，∴∠BDC＝60°，∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，即∠DAG＝∠BAE，∴△ADG∽△ABE，∴；（2）如图2，过点F作FM⊥CG于点M，∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF，∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，∴△ABE≌△GMF（AAS），∴BE＝MF，AB＝GM＝2，∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG，∴，∴，设DM＝x，则，∴DG＝GM+MD＝2+x，由（1）可知：，∴，解得x＝1，∴；（3）如图3，连接AC，将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP'，连接PP'，矩形ABCD中，AD＝BC＝，AB＝2，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝4，∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°，∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°，∴△AGC是等边三角形，AG＝AC＝4，∴PE＝EF＝AG＝4，∵将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP'，∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，∴，∴当点P，C，P′三点共线时，PA+PC的值最小，此时为．15．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF+∠DFC＝90°，∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF，∵CH＝DE，∴CF＝CH，∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°，又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH（SAS），∴∠DFC＝∠H，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H；（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS），∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11，∵CF+CG＝FG，∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，即CF的长为3．。
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有关函数的应用题
1.（2022年东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经
了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
2.（2020济南）
5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
进价（元/部）售价（元/部）
A30003400
B35004000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
3.（2021）20．（8分）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利
900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
4.（2022）19. 某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B 两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
5.（2017年莱芜）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．
（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？
（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种
6.（2018年莱芜）口罩的数量大于乙种口罩的4
5
，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙
种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？
快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．
（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；
（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？
7.（2019年莱芜）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改
造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个
甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．
（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？
（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大棚的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？8.（2017临沂）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40cm3（二月份用水量不超过25cm3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？。