2019年山东省济南市莱芜区中考数学试卷解析版
(2021年整理)2019年山东省济南市中考数学试卷(解析版)(2)
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2019年山东省济南市中考数学试卷一、选择题(每小题4分，共48分）1．﹣7的相反数是（)A．﹣7 B．﹣C．7 D．12．以下给出的几何体中,主视图是矩形,俯视图是圆的是（）A．B．C．D．3．2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177。
6度、南纬45.5度附近,实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为( ）A．0.1776×103B．1.776×102C．1.776×103D．17。
76×1024．如图,DE∥BC,BE平分∠ABC，若∠1＝70°,则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°5．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞06．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线7．化简+的结果是（）A．x﹣2 B．C．D．8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7m,9。
山东莱芜2019中考试题精品解析-数学
山东莱芜2019中考试题精品解析-数学【一】选择题〔本大题共12小题，每题3分，总分值36分〕 1、如图，在数轴上的点M 表示的数可能是【】A 、1.5B 、－1.5C 、－2.4D 、2.42、四名运动员参加了射击预选赛，他们的成绩的平均环数错误！未找到引用源。
A 、甲B 、乙C 、丙D 、丁3、大量事实证明，环境污染治理刻不容缓、据统计，全球每秒钟约有14.2万吨污水排入江河湖海、把14.2万用科学记数法表示为【】A 、1.42×105B 、1.42×104C 、142×103D 、0.142×1064、如下图是由假设干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，那么小立方体的个数不可能是【】A 、6个B 、7个C 、8个D 、9个5、以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有【】A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6、对于非零的实数A 、B ，规定A ⊕B ＝ 1 b － 1a 、假设2⊕（2X －1）＝1，那么X＝【】A 、5 6B 、 5 4C 、 3 2D 、－ 167、M 、N 是方程X2＋22X ＋1＝0的两根，那么代数式m2＋n2＋3mn 的值为【】 A 、9B 、±3C 、3D 、58、从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是【】A 、1 4B 、 1 3C 、 5 12D 、2 39、以下四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序【】①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系） ②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系） ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）A 、①②③④B 、③④②①C 、①④②③D 、③②④①10、假设一个圆锥的底面积为错误！未找到引用源。
2019年山东省济南市莱芜区中考数学复习试卷(附答案)
2019年山东省济南市莱芜区中考数学复习试卷（附答案）副标题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 在下列四个实数中，最大的数是（ ）A. B.C.D.2. 港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额1269亿元，1269亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）A.B.C.D.4. 下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ）A.B.C.D.5. 如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别与AB ，CD 交于点E ，F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，若∠1=65°，则∠2的度数是（ ）A. B. C. D.6. 某企业为了推选代表队参加市职业技能大赛，对甲、乙两个车间进行了五次测试，其中甲车间五次成绩的平均数是90分，中位数是91分，方差是2.4；乙车间五次成绩的平均数是90分，中位数是89分，方差是4.4．下列说法正确的是（ ） A. 甲车间成绩的平均水平高于乙车间 B. 甲、乙两车间成绩一样稳定C. 甲车间成绩优秀的次数少于乙车间 成绩不低于90分为优秀D. 若选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可能性更大7. 如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（ ）A. 10B. 11C. 12D. 138. 为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A 型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B 型单车，B 型单车的投放数量与A 型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B 型单车的单价比购买A 型单车的单价少50元，则A 型单车每辆车的价格是多少元？设A 型单车每辆车的价格为x 元，根据题意，列方程正确的是（ ）A.B.C.D.9.如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB=S△BOC=1，则k=（）A. 1B. 2C. 3D. 410.如图，点A、B，C，D在⊙O上，AB=AC，∠A=40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2．则图中阴影部分的面积是（）A.B.C.D.11.将二次函数y=x2-5x-6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A. 或B. 或2C. 或2D. 或12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF、有以下结论：①AN=EN②当AE=AF时，=2-③BE+DF=EF④存在点E、F，使得NF＞DF其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）13.计算：（-）-1++|1-π|=______．14.已知x1，x2是方程x2-x-3=0的两根，则+=______．15.用一块圆心角为120°的扇形铁皮，围成一个底面直径为10cm的圆锥形工件的侧面，那么这个圆锥的高是______cm．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF=，则CE=______．17.定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]=2，[1]=1．有以下结论：①[-1.2]=-2；②[a-1]=[a]-1；③[2a]＜[2a]+1；④存在唯一非零实数a，使得a2=2[a]．其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）18.先化简，再求值：（a-1）÷（a+-2），其中a=-1．四、解答题（本大题共6小题，共58.0分）19.某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题：（）在此次调查中，该校一共调查了名学生；（2）a=______；b=______；（3）在扇形计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；（4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数．20.公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：si n62°≈0.88，tan42°≈0.90）21.如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE=AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG．（1）求证：BE=BF；（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．22.某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？23.如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD=AD，求的值．24.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O 为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵-＜-1＜＜，∴四个实数中，最大的数是．故选：C．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2.【答案】B【解析】解：1269亿=126900000000，用科学记数法表示为1.269×1011．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：∵a2•a3=a5，∴选项A不符合题意；∵a3-a2≠a，∴选项B不符合题意；∵（a2）3=a6，∴选项C不符合题意；∵a3÷a2=a，∴选项D符合题意．故选：D．根据同底数幂的乘除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可．此题主要考查了同底数幂的乘除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及合并同类项的方法，要熟练掌握．4.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】A【解析】解：∵∠1=65°，∴∠BEF=180°-65°=115°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠BEF=57.5°，∵AB∥CD，∴∠2+∠BEG=180°，∴∠2=180°-57.5°=122.5°，故选：A．求出∠BEG，再利用平行线的性质即可解决问题．本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】D【解析】解：A、甲车间成绩的平均水平和乙车间相同，故本选项错误；B、因为甲车间的方差是2.4，乙车间的方差是4.4，所以甲车间成绩比较稳定，故本选项错误；C、因为甲车间的中位数是91分，乙车间的中位数是89分，所以甲车间成绩优秀的次数多于乙车间（成绩不低于90分为优秀），故本选项错误；D、选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可能性更大，正确；故选：D．根据平均数、中位数以及方差的意义分别对每一项进行分析即可得出答案．此题考查了平均数、中位数以及方差的意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．7.【答案】C【解析】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n-2）•180°=5×360°，解得n=12．故选：C．根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．8.【答案】A【解析】解：设A型单车每辆车的价格为x元，则B型单车每辆车的价格为（x-50）元，根据题意，得=故选：A．设A型单车每辆车的价格为x元，则B型单车每辆车的价格为（x-50）元，依据“B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同”列出关于x的方程．考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9.【答案】D【解析】解：如图，作CD⊥x轴于D，设OB=a（a＞0）．∵S△AOB=S△BOC，∴AB=BC．∵△AOB的面积为1，∴OA•OB=1，∴OA=，∵CD∥OB，AB=BC，∴OD=OA=，CD=2OB=2a，∴C（，2a），∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，∴k=×2a=4．故选：D．作CD⊥x轴于D，设OB=a（a＞0）．由S△AOB=S△BOC，根据三角形的面积公式得出AB=BC．根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k．此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：如图所示，连接BC、OD、OB，∵∠A=40°，AB=AC，∴∠ACB=70°，∵BD∥AC，∴∠ABD=∠A=40°，∴∠ACD=∠ABD=40°，∴∠BCD=30°，则∠BOD=2∠BCD=60°，又OD=OB，∴△BOD是等边三角形，-S△BOD则图中阴影部分的面积是S扇形BOD=-×22=π-，故选：B．连接BC、OD、OB，先证△BOD是等边三角形，再根据阴影部分的面积是S扇-S△BOD计算可得．形BOD本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形和等边三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积公式等知识点．11.【答案】A【解析】解：如图所示，过点B的直线y=2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，令y=x2-5x-6=0，解得：x=-1或6，即点B坐标（6，0），将一次函数与二次函数表达式联立得：x2-5x-6=2x+b，整理得：x2-7x-6-b=0，△=49+4（-6-b）=0，解得：b=-，当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y=2x+b得：0=12+b，解得：b=-12，综上，直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为-12或-；故选：A．如图所示，过点B作直线y=2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=2x+b在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．12.【答案】B【解析】解：①如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°，∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，∴△AMN∽△BME，∴，∵∠AMB=∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN=∠ABD=45°∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN=EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=CD，∴CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE=OF，Rt△CEF中，OC=EF=x，△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE，∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），∴AO=AB=1，∴AC==AO+OC，∴1+x=，x=2-，∴===；故②不正确；③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF=AH，∠DAF=∠BAH，∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE，∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H、B、E三点共线，在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故③正确；④△ADN中，∠FND=∠ADN+∠NAD＞45°，∠FDN=45°，∴DF＞FN，故存在点E、F，使得NF＞DF，故④不正确；故选：B．①如图1，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断；②先证明CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，表示AC的长为AO+OC可作判断；③如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH （SAS），则EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断；④在△ADN中根据比较对角的大小来比较边的大小．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．13.【答案】π【解析】解：原式=-3+4+π-1=π．故答案为：π．直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．14.【答案】-【解析】解：∵x1，x2是方程x2-x-3=0的两根，∴x1+x2=1，x1•x2=-3，∴+===-．故答案为：-．利用根与系数的关系可得出x1+x2=1，x1•x2=-3，将其代入+=中即可得出结论．本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-，两根之积等于”是解题的关键．15.【答案】10【解析】解：设圆锥的母线长为l，则=10π，解得：l=15，∴圆锥的高为：=10，故答案为：10求得圆锥的母线的长利用勾股定理求得圆锥的高即可．考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长，难度不大．16.【答案】【解析】解：过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD，由折叠得：EC=EF，BC=BF=，∠C=∠BFE=90°，∵sin∠BAF==，设FM=x，则AM=2x，BM=4-2x，在Rt△BFM中，由勾股定理得：x2+（4-2x）2=（）2，解得：x1=1，x2=＞2舍去，∴FM=1，AM=BM=2，∴FN=-1，易证△BMF∽△FNE，∴，即：，解得：EF==EC．故答案为：．已知tan∠BAF=，可作辅助线构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理可求出FM、BM，进而求出FN，再利用三角形相似和折叠的性质求出EC．考查矩形的性质、直角三角形的边角关系、轴对称的性质以及相似三角形的性质等知识，作合适的辅助线，恰当的利用题目中的已知条件，是解决问题的关键．17.【答案】①②③【解析】解：①[-1.2]=-2，故①正确；②[a-1]=[a]-1，故②正确；③[2a]＜[2a]+1，故③正确；④当a=0时，a2=2[a]=0；当a=时，a2=2[a]=2；原题说法是错误的．故答案为：①②③．根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查新定义，解答本题的关键是明确题目中的新定义，可以判断出各个小题中的结论是否正确．18.【答案】解：（a-1）÷（a+-2）=（a-1）÷=（a-1）=，当a=-1时，原式=．【解析】根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19.【答案】50 8 5【解析】解：（1）12÷24%=50人故答案为50．（2）a=50×16%=8人，b=50-15-8-12-10=5人，故答案为：8，5．（3）360°×=108°答：“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为108°；（4）1200×=240人答：该校1200名学生中最喜爱“相声”的学生大约有240人．（1）从表格和统计图中可以得到喜欢“小品”的人数为12人，占调查人数的24%，可求出调查人数，（2）舞蹈占50人的16%可以求出a的值，进而从总人数中减去其他组的人数得到b的值，（3）先计算“歌曲”所占的百分比，用360°去乘即可，（4）样本估计总体，用样本喜欢“相声”的百分比估计总体的百分比，进而求出人数．考查扇形统计图、频数统计表的制作方法，明确统计图表中的各个数据之间的关系是解决问题的关键．20.【答案】解：如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．由题意，可知OE=2.4-0.6=1.8，∠OBE=42°，∠BAO=∠BAC=62°．在Rt△OBD中，∵tan∠OBE=，∴OB=≈=2．在Rt△OAB中，∵sin∠OAB=，∴AB=≈≈2.3（m）．答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．【解析】连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．解Rt△OBD，求出OB=≈=2．解Rt△OAB中，即可求出AB=．本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，锐角三角函数定义，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21.【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°∵CD⊥AB，AC=BC∴BD=AD，∠BCD=30°，∵AF⊥AC∴∠FAC=90°∴∠FAB=∠FAC-∠BAC=30°∴∠FAB=∠ECB，且AB=BC，AF=CE∴△ABF≌△CBE（SAS）∴BF=BE（2）AF=2GD，AF∥DG理由如下：连接EF，∵△ABF≌△CBE∴∠ABF=∠CBE，∵∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠ABF=60°，且BE=BF∴△BEF是等边三角形，且GE⊥BF∴BG=FG，且BD=AD∴AF=2GD，AF∥DG【解析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，BD=AD，∠BCD=30°，由“SAS”可证△ABF≌△CBE，可得BF=BE；（2）通过证明△BEF是等边三角形，可得BG=GF，由三角形中位线定理可得AF=2GD，AF∥DG．本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键．22.【答案】解：（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，依题意，得：，解得：．答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元．（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8-m）个乙种型号大棚，依题意，得：，解得：≤m≤．∵m为整数，∴m=3，4，5，∴共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚．方案1所需费用12×3+18×5=126（万元）；方案2所需费用12×4+18×4=120（万元）；方案3所需费用12×5+18×3=114（万元）．∵114＜120＜126，∴方案3改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元．【解析】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，根据“改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8-m）个乙种型号大棚，根据改造时间不超过35天且改造费用不超过128万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各改造方案，再利用总价=单价×数量分别求出三种方案所需改造费用，比较后即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．23.【答案】（1）证明：连接OD，设OC交BD于K．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OC∥AD，∴OC⊥BD，∴DK=KB，∴CD=CB，∵OD=OB，OC=OC，CD=CB，∴△ODC≌△OBC（SSS），∴∠ODC=∠OBC，∵CB⊥AB，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵CD=AD，∴可以假设AD=a，CD=a，设KC=b．∵DK=KB，AO=OB，∴OK=AD=a，∵∠DCK=∠DCO，∠CKD=∠CDO=90°，∴△CDK∽△COD，∴=，∴=整理得：2（）2+（）-4=0，解得=或（舍弃），∵CK∥AD，∴===．【解析】（1）连接OD，设OC交BD于K．想办法证明△ODC≌△OBC（SSS）即可解决问题．（2）由CD=AD，可以假设AD=a，CD=a，设KC=b．由△CDK∽△COD，推出=，推出=整理得：2（）2+（）-4=0，解得=或（舍弃），由此即可解决问题．本题考查切线的判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，题目有一定难度．24.【答案】解：（1）把A（-3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y=ax2+bx+c得，解得，所以抛物线的函数表达式为y=-x2-2x+3．（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，∵A（-3，0），C（0，3），∴直线AC解析式为y=x+3，设P点坐标为（x，-x2-2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3），∴PQ=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x．∴S△PAC=，∴，解得：x1=-1，x2=-2．当x=-1时，P点坐标为（-1，4），当x=-2时，P点坐标为（-2，3），综上所述：若△PAC面积为3，点P的坐标为（-1，4）或（-2，3），（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，∵D为抛物线y=-x2-2x+3的顶点，∴D点坐标为（-1，4），又∵A（-3，0），∴直线AC为y=2x+4，AF=2，DF=4，tan∠PAB=2，∵B（1，0），C（0，3）∴tan∠ABC=3，BC=，sin∠ABC=，直线BC解析式为y=-3x+3．∵AC=4，∴AE=AC•sin∠ABC==，BE=，∴CE=，∴tan∠ACB=，∴tan∠ACB=tan∠PAB=2，∴∠ACB=∠PAB，∴使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM=∠CAB=45°时，△ABC∽△OMA，即OM为y=-x，设OM与AD的交点M（x，y）依题意得：，解得，即M点为（，）．Ⅱ．若∠AOM=∠CBA，即OM∥BC，∵直线BC解析式为y=-3x+3．∴直线OM为y=-3x，设直线OM与AD的交点M（x，y）．则依题意得：，解得，即M点为（，），综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为（，）或（，）．【解析】（1）利用待定系数法，然后将A、B、C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；（2））过P点作PQ垂直x轴，交AC于Q，把△APC分成两个△APQ与△CPQ，把PQ作为两个三角形的底，通过点A，C的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM为y=-x，若∠AOM=∠CBA，则OM为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM与AD的交点M．本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
【真题】2019年济南市中考数学试题含答案解析(Word版)
∴ ，
∴圆形螺母的外直径 ．
11．将一次函数 的图象向上平移 个单位后，当 时， 的取值范围是（）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】一次函数 的图象向上平移 个单位后，得到的函数解析式为 ．
当 时，即 ，解得 ．
12．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长 的竹竿 斜靠在石坝旁，量出杆长 处的 点离地面的高度 ，又量的杆底与坝脚的距离 ，则石坝的坡度为（）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用排除法解答此题．对于选项 ，在 时，影子的长度是减小的，与图象不符；
对于选项 ，在 时，影子的长度是减小的，与图象不符；
比较选项 与 ，区别在于走的是 还是 ，观察图象可以发现，第二段的路程要比第一段的路程长，
∴排除 ，选 ．
第Ⅱ卷（非选择题共75分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
∴ ，解得 ，
故原方程为 ，解得 ， ，
因此方程的另一个根为 ．
8．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出 钱，会多 钱；每人出 钱，又会差 钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为 人，物价为 钱，以下列出的方程组正确的是（）．
【答案】
【解析】∵点 在反比例函数 上，
∴ ．
根据反比例的图象关于原点对称，可知 ，
∴点 的横坐标为 ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ．
21．定义：在平面直角坐标系 中，把从点 出发沿纵或横方向到达点 （至多拐一次弯）的路径长称为 ， 的“实际距离”．如图，若 ， ，则 ， 的“实际距离”为 ，即 或 ．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具，设 ， ， 三个小区的坐标分别为 ， ， ，若点 表示单车停放点，且满足 到 ， ， 的“实际距离”相等，则点 的坐标为__________．
2019年山东省济南市中考数学试卷及答案解析
2019年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣7的相反数是（）A．﹣7B．−17C．7D．12．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A．B．C．D．3．2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（）A．0.1776×103B．1.776×102C．1.776×103D．17.76×102 4．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°5．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞06．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线7．化简4x2−4+1x+2的结果是（）A．x﹣2B．1x−2C．2x−2D．2x+28．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m9．函数y＝﹣ax+a与y=ax（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9√3−3πB．9√3−2πC．18√3−9πD．18√3−6π11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A 测得历下亭C 在北偏东37°方向，继续向北走105m 后到达游船码头B ，测得历下亭C 在游船码头B 的北偏东53°方向．请计算一下南门A 与历下亭C 之间的距离约为（ ）（参考数据：tan37°≈34，tan53°≈43）A ．225mB ．275mC ．300mD ．315m 12．关于x 的一元二次方程ax 2+bx +12=0有一个根是﹣1，若二次函数y ＝ax 2+bx +12的图象的顶点在第一象限，设t ＝2a +b ，则t 的取值范围是（ ）A ．14＜t ＜12B ．﹣1＜t ≤14C ．−12≤t ＜12D ．﹣1＜t ＜12二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．分解因式：m 2﹣4m +4＝ ．14．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于 ．15．一个n 边形的内角和等于720°，则n ＝ ．16．代数式2x−13与代数式3﹣2x 的和为4，则x ＝ ．17．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l 1、l 2分别表示去年、今年水费y （元）与用水量x （m 3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m 3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若AD ＝8，AB ＝5，则线段PE 的长等于 ．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：（12）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+√9 20．（6分）解不等式组{5x −3≤2x +93x ＞x+102，并写出它的所有整数解． 21．（6分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AD 和BC 上的点，∠DAF ＝∠BCE ．求证：BF ＝DE ．22．（8分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A 种图书花费了3000元，购买B 种图书花费了1600元，A 种图书的单价是B 种图书的1.5倍，购买A 种图书的数量比B 种图书多20本．（1）求A 和B 两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A 种图书20本和B 种图书25本，共花费多少元？23．（8分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．（1）求证；∠ABD＝∠CAB；（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．24．（10分）某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.25.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.24.4 4.2 4.35.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.14.2 4.4 4.5 4.1 4.55.1 4.4 5.0 5.2 5.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（x）频数频率A x＜4.240.1B 4.2≤x≤4.4120.3C 4.5≤x≤4.7aD 4.8≤x≤5.0bE 5.1≤x≤5.3100.25合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝，b＝；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．25．（10分）如图1，点A （0，8）、点B （2，a ）在直线y ＝﹣2x +b 上，反比例函数y =k x（x＞0）的图象经过点B ．（1）求a 和k 的值；（2）将线段AB 向右平移m 个单位长度（m ＞0），得到对应线段CD ，连接AC 、BD ． ①如图2，当m ＝3时，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求DE EF 的值；②在线段AB 运动过程中，连接BC ，若△BCD 是以BC 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m 的值．26．（12分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．27．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx−125经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．2019年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣7的相反数是（）A．﹣7B．−17C．7D．1【解答】解：﹣7的相反数为7，故选：C．2．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；故选：D．3．2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（）A．0.1776×103B．1.776×102C．1.776×103D．17.76×102【解答】解：177.6＝1.776×102．故选：B．4．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°【解答】解：∵DE∥BC，∴∠1＝∠ABC＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=12∠ABC＝35°，故选：B．5．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0【解答】解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，∴关系式不成立的是选项C．故选：C．6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．7．化简4x2−4+1x+2的结果是（）A．x﹣2B．1x−2C．2x−2D．2x+2【解答】解：原式=4(x+2)(x−2)+x−2(x+2)(x−2)=x+2(x+2)(x−2)=1x−2，故选：B．8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，平均数为：（9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）÷7＝9.8m，故选：B．9．函数y＝﹣ax+a与y=ax（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y=ax在一、三象限，无选项符合．a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y=ax（a≠0）在二、四象限，只有D符合；故选：D．10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9√3−3πB．9√3−2πC．18√3−9πD．18√3−6π【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，E为BC的中点，∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，由勾股定理得：AE=2−32=3√3，∴S△AEB＝S△AEC=12×6×3√3×12=4.5√3=S△AFC，∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.5√3+4.5√3−120π×32360=9√3−3π，故选：A．11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈34，tan53°≈43）A ．225mB ．275mC ．300mD ．315m【解答】解：如图，作CE ⊥BA 于E ．设EC ＝xm ，BE ＝ym ．在Rt △ECB 中，tan53°=ECEB ，即43=xy，在Rt △AEC 中，tan37°=ECAE ，即34=x 105+y，解得x ＝180，y ＝135，∴AC =√EC 2+AE 2=√1802+2402=300（m ）， 故选：C ．12．关于x 的一元二次方程ax 2+bx +12=0有一个根是﹣1，若二次函数y ＝ax 2+bx +12的图象的顶点在第一象限，设t ＝2a +b ，则t 的取值范围是（ ） A ．14＜t ＜12B ．﹣1＜t ≤14C ．−12≤t ＜12D ．﹣1＜t ＜12【解答】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +12=0有一个根是﹣1， ∴二次函数y ＝ax 2+bx +12的图象过点（﹣1，0）， ∴a ﹣b +12=0， ∴b ＝a +12，t ＝2a +b ， 则a =2t−16，b =2t+26，∵二次函数y ＝ax 2+bx +12的图象的顶点在第一象限，∴−b2a ＞0，12−b 24a＞0，将a =2t−16，b =2t+26代入上式得： −2t+262×2t−16＞0，解得：﹣1＜t ＜12，12−(2t+26)24(2t−16)＞0，解得：t ≠12， 故：﹣1＜t ＜12， 故选：D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．分解因式：m 2﹣4m +4＝ （m ﹣2）2 ． 【解答】解：原式＝（m ﹣2）2， 故答案为：（m ﹣2）214．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于13．【解答】解：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的， 所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有6种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能结果，所以指针落在红色区域的概率是26=13；故答案为13．15．一个n 边形的内角和等于720°，则n ＝ 6 ． 【解答】解：依题意有：（n ﹣2）•180°＝720°， 解得n ＝6． 故答案为：6． 16．代数式2x−13与代数式3﹣2x 的和为4，则x ＝ ﹣1 ．【解答】解：根据题意得：2x−13+3﹣2x ＝4，去分母得：2x ﹣1+9﹣6x ＝12， 移项合并得：﹣4x ＝4， 解得：x ＝﹣1， 故答案为：﹣117．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l 1、l 2分别表示去年、今年水费y （元）与用水量x （m 3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m 3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 210 元．【解答】解：设当x ＞120时，l 2对应的函数解析式为y ＝kx +b ， {120k +b =480160k +b =720，得{k =6b =−240， 即当x ＞120时，l 2对应的函数解析式为y ＝6x ﹣240， 当x ＝150时，y ＝6×150﹣240＝660，由图象可知，去年的水价是480÷160＝3（元/m 3），故小雨家去年用水量为150m 3，需要缴费：150×3＝450（元）， 660﹣450＝210（元），即小雨家去年用水量为150m 3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元， 故答案为：210．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若AD ＝8，AB ＝5，则线段PE 的长等于203．【解答】解：过点P 作PG ⊥FN ，PH ⊥BN ，垂足为G 、H ， 由折叠得：ABNM 是正方形，AB ＝BN ＝NM ＝MA ＝5， CD ＝CF ＝5，∠D ＝∠CFE ＝90°，ED ＝EF ， ∴NC ＝MD ＝8﹣5＝3，在Rt △FNC 中，FN =√52−32=4， ∴MF ＝5﹣4＝1，在Rt △MEF 中，设EF ＝x ，则ME ＝3﹣x ，由勾股定理得， 12+（3﹣x ）2＝x 2， 解得：x =53，∵∠CFN +∠PFG ＝90°，∠PFG +∠FPG ＝90°， ∴△FNC ∽△PGF ，∴FG ：PG ：PF ＝NC ：FN ：FC ＝3：4：5， 设FG ＝3m ，则PG ＝4m ，PF ＝5m ，∴GN ＝PH ＝BH ＝4﹣3m ，HN ＝5﹣（4﹣3m ）＝1+3m ＝PG ＝4m ， 解得：m ＝1， ∴PF ＝5m ＝5，∴PE ＝PF +FE ＝5+53=203， 故答案为：203．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）计算：（12）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+√9【解答】解：（12）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+√9＝2+1﹣2×12+3 ＝3﹣1+3 ＝520．（6分）解不等式组{5x −3≤2x +93x ＞x+102，并写出它的所有整数解． 【解答】解：{5x −3≤2x +9①3x ＞x+102②解①得：x ≤4； 解②得：x ＞2；∴原不等式组的解集为2＜x ≤4； ∴原不等式组的所有整数解为3、4．21．（6分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AD 和BC 上的点，∠DAF ＝∠BCE ．求证：BF ＝DE ．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B ＝∠D ，∠BAD ＝∠BCD ，AB ＝CD ， ∵∠DAF ＝∠BCE ， ∴∠BAF ＝∠DCE ，在△ABF 和△CDE 中，{∠B =∠DAB =CD∠BAF =∠DCE ，∴△ABF ≌△CDE （ASA ）， ∴BF ＝DE ．22．（8分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A 种图书花费了3000元，购买B 种图书花费了1600元，A 种图书的单价是B 种图书的1.5倍，购买A 种图书的数量比B 种图书多20本． （1）求A 和B 两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A 种图书20本和B 种图书25本，共花费多少元？【解答】解：（1）设B 种图书的单价为x 元，则A 种图书的单价为1.5x 元， 依题意，得：30001.5x−1600x=20，解得：x ＝20，经检验，x ＝20是所列分式方程的解，且符合题意， ∴1.5x ＝30．答：A 种图书的单价为30元，B 种图书的单价为20元． （2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）． 答：共花费880元．23．（8分）如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，过点C 的⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC 、BD ．（1）求证；∠ABD ＝∠CAB ；（2）若B 是OE 的中点，AC ＝12，求⊙O 的半径．【解答】解：（1）证明：∵AB 、CD 是⊙O 的两条直径， ∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∠ODB ＝∠OBD ，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠OAC＝∠OCA＝∠ODB＝∠OBD，即∠ABD＝∠CAB；（2）连接BC．∵AB是⊙O的两条直径，∴∠ACB＝90°，∵CE为⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∵B是OE的中点，∴BC＝OB，∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴BC=√33AC＝4√3，∴OB＝4√3，即⊙O的半径为4√3．24．（10分）某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.25.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.24.4 4.2 4.35.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.14.2 4.4 4.5 4.1 4.55.1 4.4 5.0 5.2 5.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（x）频数频率A x＜4.240.1B 4.2≤x≤4.4120.3C 4.5≤x≤4.7aD 4.8≤x≤5.0bE 5.1≤x≤5.3100.25合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝8，b＝0.15；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．【解答】解：（1）由题意知C等级的频数a＝8，则C组对应的频率为8÷40＝0.2，∴b＝1﹣（0.1+0.3+0.2+0.25）＝0.15，故答案为：8、0.15；（2）D组对应的频数为40×0.15＝6，补全图形如下：（3）估计该校八年级学生视力为“E 级”的有400×0.25＝100（人）； （4）列表如下：男 男 女 女 男 （男，男）（女，男） （女，男） 男 （男，男） （女，男）（女，男） 女 （男，女） （男，女） （女，女）女（男，女）（男，女）（女，女）得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种， 所以恰好选到1名男生和1名女生的概率812=23．25．（10分）如图1，点A （0，8）、点B （2，a ）在直线y ＝﹣2x +b 上，反比例函数y =kx（x ＞0）的图象经过点B ．（1）求a 和k 的值；（2）将线段AB 向右平移m 个单位长度（m ＞0），得到对应线段CD ，连接AC 、BD ． ①如图2，当m ＝3时，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求DE EF的值；②在线段AB 运动过程中，连接BC ，若△BCD 是以BC 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m 的值．【解答】解：（1）∵点A （0，8）在直线y ＝﹣2x +b 上， ∴﹣2×0+b ＝8， ∴b ＝8，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +8，将点B （2，a ）代入直线AB 的解析式y ＝﹣2x +8中，得﹣2×2+8＝a ， ∴a ＝4， ∴B （2，4），将B （2，4）在反比例函数解析式y =kx （x ＞0）中，得k ＝xy ＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B （2，4），k ＝8， ∴反比例函数解析式为y =8x ， 当m ＝3时，∴将线段AB 向右平移3个单位长度，得到对应线段CD ， ∴D （2+3，4）， 即：D （5，4），∵DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数y =8x 的图象于点E ， ∴E （5，85），∴DE ＝4−85=125，EF =85， ∴DE EF=12585=32；②如图，∵将线段AB 向右平移m 个单位长度（m ＞0），得到对应线段CD ， ∴CD ＝AB ，AC ＝BD ＝m ， ∵A （0，8），B （2，4）， ∴C （m ，8），D （m +2，4）， ∵△BCD 是以BC 为腰的等腰三形，∴Ⅰ、当BC＝CD时，∴BC＝AB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，Ⅱ、当BC＝BD时，∵B（2，4），C（m，8），∴BC=√(m−2)2+(8−4)2，∴√(m−2)2+(8−4)2=m，∴m＝5，即：△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．26．（12分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是∠NAB＝∠MAC，NB与MC的数量关系是NB＝CM；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．【解答】解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠P A1Q，∴∠QA1B1＝∠P A1N，∵A1A＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△P A1N（SAS），∴B1Q＝PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，∴A1M＝A1B1•sin60°＝4√3，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝4√6，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝4√6−8，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝4√3−4√2，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为4√3−4√2．27．（12分）如图1，抛物线C ：y ＝ax 2+bx 经过点A （﹣4，0）、B （﹣1，3）两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180°，得到新的抛物线C ′． （1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标；（2）如图2，直线l ：y ＝kx −125经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （m ＜﹣2），连接DO 并延长，交抛物线C ′于点E ，交直线l 于点M ，若DE ＝2EM ，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得∠DEP ＝∠GAB ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A （﹣4，0）、B （﹣1，3）代入y ＝ax 2+bx 中，得{16a −4b =0a −b =3解得{a =−1b =−4∴抛物线C 解析式为：y ＝﹣x 2﹣4x ，配方，得：y ＝﹣x 2﹣4x ＝﹣（x +2）2+4，∴顶点为：G （﹣2，4）； （2）∵抛物线C 绕点O 旋转180°，得到新的抛物线C ′． ∴新抛物线C ′的顶点为：G ′（2，﹣4），二次项系数为：a ′＝1 ∴新抛物线C ′的解析式为：y ＝（x ﹣2）2﹣4＝x 2﹣4x将A （﹣4，0）代入y ＝kx −125中，得0＝﹣4k −125，解得k =−35， ∴直线l 解析式为y =−35x −125，设D （m ，﹣m 2﹣4m ），∵D 、E 关于原点O 对称， ∴OD ＝OE ∵DE ＝2EM∴OM ＝2OD ，过点D 作DF ⊥x 轴于F ，过M 作MR ⊥x 轴于R ， ∴∠OFD ＝∠ORM ， ∵∠DOF ＝∠MOR ∴△ODF ∽△OMR ∴OR OF=RM DF=OM OD=2∴OR ＝2OF ，RM ＝2DF ∴M （﹣2m ，2m 2+8m ） ∴2m 2+8m =−35•（﹣2m ）−125， 解得：m 1＝﹣3，m 2=−25， ∵m ＜﹣2∴m 的值为：﹣3； （3）由（2）知：m ＝﹣3，∴D （﹣3，3），E （3，﹣3），OE ＝3√2，如图3，连接BG ，在△ABG 中，∵AB 2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG 2＝2，AG 2＝20∴AB 2+BG 2＝AG 2∴△ABG 是直角三角形，∠ABG ＝90°， ∴tan ∠GAB =BG AB =√232=13，∵∠DEP ＝∠GAB∴tan ∠DEP ＝tan ∠GAB =13，在x 轴下方过点O 作OH ⊥OE ，在OH 上截取OH =13OE =√2，过点E 作ET ⊥y 轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点； ∵E （3，﹣3）， ∴∠EOT ＝45° ∵∠EOH ＝90° ∴∠HOT ＝45°∴H （﹣1，﹣1），设直线EH 解析式为y ＝px +q ，则{3p +q =−3−p +q =−1，解得{p =−12q =−32∴直线EH 解析式为y =−12x −32，解方程组{y =−12x −32y =−x 2−4x ，得{x 1=−7−√734y 1=√73−58，{x 2=−7+√734y 2=−√73+58， ∴点P 的横坐标为：−7+√734或√73−74．。
山东省莱芜市2019-2020学年中考第三次质量检测数学试题含解析
山东省莱芜市2019-2020学年中考第三次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列命题是真命题的是( )A ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D ．若三角形的三边a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝ac ＋bc ＋ab ，则该三角形是正三角形2． “可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800亿用科学记数法可表示为（ ） A ．0.8×1011B ．8×1010C ．80×109D ．800×1083．已知一元二次方程x 2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（ ） A ．13B ．11或13C ．11D ．124．如图，在已知的△ ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B 、C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，则下列结论正确的是（ ）A ．CD+DB=AB B ．CD+AD=ABC ．CD+AC=ABD ．AD+AC=AB5．对于实数x ，我们规定[x]表示不大于x 的最大整数，如[4]=4，3]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：821第次−−−−−→ [82⎡⎤]=92第次−−−−−→ [93]=33第次−−−−−→ 3]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx+b （k 、b 是常数，且k≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c≠0）的图象相交于A （﹣3，﹣2），B （2，3）两点，则不等式y 1＞y 2的解集是（ ）A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜27．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球、3个白球．从布袋中一次性摸出两个球，则摸出的两个球中至少有一个红球的概率是（）A．12B．23C．25D．7108．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B（3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF=（）A．34B．45C．56D．6710．已知常数k＜0，b＞0，则函数y=kx+b，kyx的图象大致是下图中的（）A．B．C．D．11．在1、﹣1、3、﹣2这四个数中，最大的数是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣212．剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A（-3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为__．14．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S 阴影=_____．15．关于x的分式方程211x a ax x++--=2的解为正实数，则实数a的取值范围为_____．16．小明和小亮分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途中会经过奶茶店C，小明先到达奶茶店C，并在C地休息了一小时，然后按原速度前往B地，小亮从B地直达A地，结果还是小明先到达目的地，如图是小明和小亮两人之间的距离y(千米)与小亮出发时间x(时)的函数的图象，请问当小明到达B地时，小亮距离A地_____千米．17．225abπ-的系数是_____，次数是_____．18．如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限的图象经过A，C两点，若△OAB面积为6，则k的值为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有3，4，5，x，甲，乙两人每次同时从袋中各随机取出1个小球，并计算2个小球上的数字之和．记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表：摸球总次数10 20 30 60 90 120 180 240 330 450“和为8”出现的频数2 10 13 24 30 37 58 82 110 150“和为8”出现的频率0.20 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33解答下列问题：如果试验继续进行下去，根据上表提供的数据，出现和为8的频率将稳定在它的概率附近，估计出现和为8的概率是________；如果摸出的2个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以为7吗？为什么？20．（6分）甲、乙、丙、丁四位同学进行乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．若确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，恰好选中乙同学的概率是．若随机抽取两位同学，请用画树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．21．（6分）如图，△ABC中AB=AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△ABC～△PAC不写画法，（保留作图痕迹）.22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过»BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．（1）求证：∠G=∠CEF；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =34，AH=33，求EM的值．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）24．（10分）（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，∠MPN＝90°，且∠MPN的直角顶点在BC 边上，BP＝1．①特殊情形：若MP过点A，NP过点D，则PAPD＝．②类比探究：如图2，将∠MPN绕点P按逆时针方向旋转，使PM交AB边于点E，PN交AD边于点F，当点E与点B重合时，停止旋转．在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．（2）拓展探究：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD⊥AB，⊙A的半径为1，点E是⊙A上一动点，CF⊥CE交AD于点F．请直接写出当△AEB为直角三角形时ECFC的值．25．（10分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：参加比赛的学生共有____名；在扇形统计图中，m的值为____，表示“D 等级”的扇形的圆心角为____度；组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．26．（12分）观察下列算式：① 1 × 3 - 22 =" 3" - 4 = -1② 2 × 4 - 32 =" 8" - 9 = -1③3 × 5 - 42 =" 15" - 16 = -1④……（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．27．（12分）如图1，AB为半圆O的直径，半径的长为4cm，点C为半圆上一动点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，点D为弧AC的中点，连接DE，如果DE=2OE，求线段AE的长．小何根据学习函数的经验，将此问题转化为函数问题解决．小华假设AE的长度为xcm，线段DE的长度为ycm．（当点C与点A重合时，AE的长度为0cm），对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．下面是小何的探究过程，请补充完整：（说明：相关数据保留一位小数）．（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8y/cm 0 1.6 2.5 3.3 4.0 4.7 5.8 5.7当x=6cm时，请你在图中帮助小何完成作图，并使用刻度尺度量此时线段DE的长度，填写在表格空白处：（2）在图2中建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象解决问题，当DE=2OE时，AE的长度约为cm．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据真假命题的定义及有关性质逐项判断即可.【详解】A、真命题为:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故本选项错误;B、真命题为:对角线相等且互相垂直的四边形是正方形或等腰梯形,故本选项错误;C、真命题为:平分弦的直径垂直于弦(非直径),并且平分弦所对的弧,故本选项错误;D、∵a2＋b2＋c2＝ac＋bc＋ab，∴2a2＋2b2＋2c2-2ac-2bc-2ab=0，∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0，∴a=b=c，故本选项正确.故选D.【点睛】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题.熟练掌握所学性质是解答本题的关键.2．B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将800亿用科学记数法表示为：8×1．故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．B【解析】试题解析：x2-8x+15=0，分解因式得：（x-3）（x-5）=0，可得x-3=0或x-5=0，解得：x1=3，x2=5，若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=1；若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5=11，综上，△ABC的周长为11或1．故选B.考点：1.解一元二次方程-因式分解法；2.三角形三边关系；3.等腰三角形的性质．4．B【解析】【分析】作弧后可知MN⊥CB，且CD=DB.【详解】由题意性质可知MN是BC的垂直平分线，则MN⊥CB，且CD=DB，则CD+AD=AB. 【点睛】了解中垂线的作图规则是解题的关键.5．C【解析】分析：[x]表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．详解：1211211[]11233111=== u u u u u x u u u u u u x u u u u u u x第次第次第次∴对121只需进行3次操作后变为1.故选C．点睛：本题是一道关于无理数的题目，需要结合定义的新运算和无理数的估算进行求解. 6．C【解析】【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=cx图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．7．D【解析】【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个红球的情况数，即可求出所求的概率．【详解】画树状图如下：一共有20种情况，其中两个球中至少有一个红球的有14种情况， 因此两个球中至少有一个红球的概率是：710． 故选：D ． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 8．B 【解析】 【分析】通过图象得到a 、b 、c 符号和抛物线对称轴，将方程24ax bx c ++=转化为函数图象交点问题，利用抛物线顶点证明()+x ax b a b ≤+. 【详解】由图象可知，抛物线开口向下，则0a <，0c >，Q 抛物线的顶点坐标是()1,4A ，∴抛物线对称轴为直线12bx a=-=， ∴2b a =-，∴0b >，则①错误，②正确；方程24ax bx c ++=的解，可以看做直线4y =与抛物线2y ax bx c =++的交点的横坐标， 由图象可知，直线4y =经过抛物线顶点，则直线4y =与抛物线有且只有一个交点， 则方程24ax bx c ++=有两个相等的实数根，③正确；由抛物线对称性，抛物线与x 轴的另一个交点是()1,0-，则④错误； 不等式()x ax b a b +≤+可以化为2ax bx c a b c ++≤++，Q 抛物线顶点为()1,4，∴当1x =时，y a b c =++最大， ∴2ax bx c a b c ++≤++故⑤正确.故选：B . 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的各项系数与图象位置的关系、抛物线对称性和最值，以及用函数的观点解决方程或不等式.9．B【解析】【分析】【详解】解：由折叠的性质可得，∠EDF=∠C=60º,CE=DE,CF=DF 再由∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120º可得∠ADE=∠BFD，又因∠A=∠B=60º，根据两角对应相等的两三角形相似可得△AED∽△BDF所以DE AD AE DF BF BD==，设AD=a，BD=2a，AB=BC=CA=3a，再设CE==DE=x，CF==DF=y，则AE=3a-x，BF=3a-y，所以332x a a x y a y a-==-整理可得ay=3ax-xy，2ax=3ay-xy，即xy=3ax-ay①，xy=3ay-2ax②；把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax，所以5ax=4ay，4455x ay a==，即45 CE CF=故选B．【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质．10．D【解析】【分析】当k＜0，b＞0时，直线经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限，由此确定正确的选项．【详解】解：∵当k＜0，b＞0时，直线与y轴交于正半轴，且y随x的增大而减小，∴直线经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限．故选D．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质．关键是明确系数与图象的位置的联系．11．C【解析】【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得-2＜-1＜1＜1，∴在1、-1、1、-2这四个数中，最大的数是1．故选C．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．12．A【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念可知：选项A既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确；选项B不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；选项C既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；选项D既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误．故选A．考点：中心对称图形；轴对称图形．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（-2，7）．【解析】【详解】解：过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AOB＝∠DFA＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC，∴∠OAB+∠DAF＝90°，∴∠ABO＝∠DAF，∴△AOB∽△DFA，∴OA：DF＝OB：AF＝AB：AD，∵AB：BC＝3：2，点A（﹣3，0），B（0，6），∴AB：AD＝3：2，OA＝3，OB＝6，∴DF＝2，AF＝4，∴OF＝OA+AF＝7，∴点D的坐标为：（﹣7，2），∴反比例函数的解析式为：y＝﹣14x①，点C的坐标为：（﹣4，8）．设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则b=6-4k+b=8⎧⎨⎩解得：1k=-2b=6⎧⎪⎨⎪⎩∴直线BC的解析式为：y＝﹣12x+6②，联立①②得：x=-2y=7⎧⎨⎩或x=14y=-1⎧⎨⎩（舍去），∴点E的坐标为：（﹣2，7）．故答案为（﹣2，7）．14．【解析】【分析】根据垂径定理求得然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB-S△DOE+S△BEC．【详解】如图，假设线段CD、AB交于点E，∵AB是O的直径,弦CD⊥AB,∴又∵∴∴∴S 阴影=S 扇形ODB −S △DOE +S △BEC故答案为:.【点睛】考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.15．a ＜2且a≠1【解析】【分析】将a 看做已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可得到a 的范围．【详解】分式方程去分母得：x+a-2a=2(x-1)，解得：x=2-a ，∵分式方程的解为正实数，∴2-a>0,且2-a≠1，解得：a ＜2且a≠1．故答案为：a ＜2且a≠1．【点睛】分式方程的解．16．1【解析】【分析】根据题意设小明的速度为akm/h ，小亮的速度为bkm/h ，求出a,b 的值，再代入方程即可解答.【详解】设小明的速度为akm/h ，小亮的速度为bkm/h ，2 3.5 2.5(3.52)(3.5 2.5)210b a b a ⎧=-⎪⎨⎪-+-=⎩ ， 解得，12060a b =⎧⎨=⎩ ， 当小明到达B 地时，小亮距离A 地的距离是：120×(3.5﹣1)﹣60×3.5＝1(千米)， 故答案为1．【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于列出方程组.17．25π- 1 【解析】【分析】根据单项式系数及次数的定义进行解答即可．【详解】根据单项式系数和次数的定义可知，﹣225ab π的系数是25π-，次数是1． 【点睛】本题考查了单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键．18．4【解析】【分析】分别过点A 、点C 作OB 的垂线，垂足分别为点M 、点N ，根据C 是AB 的中点得到CN 为AMB V 的中位线，然后设MN NB a ==，CN b =，2AM b =，根据OM AM ON CN ⋅=⋅，得到OM a =，最后根据面积32236a b ab =⋅÷==求得2ab =，从而求得224k a b ab =⋅==.【详解】分别过点A 、点C 作OB 的垂线，垂足分别为点M 、点N ，如图Q 点C 为AB 的中点，∴CN 为AMB V 的中位线，∴MN NB a ==，CN b =，2AM b =，Q OM AM ON CN ⋅=⋅，∴()2OM b OM a b ⋅=+⋅，∴OM a =，∴32236AOB S a b ab =⋅÷==V ，∴2ab =，∴224k a b ab =⋅==.故答案为：4.【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义及三角形的中位线定理，关键是正确作出辅助线，掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是2k ，且保持不变. 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）出现“和为8”的概率是0.33；（2）x 的值不能为7.【解析】【分析】（1）利用频率估计概率结合表格中数据得出答案即可；（2）假设x=7，根据题意先列出树状图，得出和为9的概率，再与13进行比较，即可得出答案. 【详解】解：(1)随着试验次数不断增加，出现“和为8”的频率逐渐稳定在0.33，故出现“和为8”的概率是0.33.(2)x 的值不能为7.理由：假设x ＝7，则P(和为9)＝16≠13，所以x 的值不能为7. 【点睛】 此题主要考查了利用频率估计概率以及树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键.20． (1);(2)【解析】【分析】1）由题意可得共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，则可利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解:(1)∵甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛,确定甲打第一场,再从其余的三位同学中随机选取一位,∴恰好选到丙的概率是: ;(2)画树状图得:∵共有12种等可能的结果,恰好选中甲、乙两人的有2种情况,∴恰好选中甲、乙两人的概率为:【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．21．见解析【解析】【分析】根据题意作∠CBA=∠CAP即可使得△ABC～△PAC.【详解】如图，作∠CBA=∠CAP，P点为所求.【点睛】此题主要考查相似三角形的尺规作图，解题的关键是作一个角与已知角相等.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3253.【解析】试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出»»AD AC，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得AH HC EM OE=，由此即可解决问题； 试题解析：（1）证明：如图1．∵AC ∥EG ，∴∠G=∠ACG ，∵AB ⊥CD ，∴»»AD AC =，∴∠CEF=∠ACD ，∴∠G=∠CEF ，∵∠ECF=∠ECG ，∴△ECF ∽△GCE ．（2）证明：如图2中，连接OE ．∵GF=GE ，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH ，∵OA=OE ，∴∠OAE=∠OEA ，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE ⊥OE ，∴EG 是⊙O 的切线．（3）解：如图3中，连接OC ．设⊙O 的半径为r ．在Rt △AHC 中，tan ∠ACH=tan ∠G=AH HC =34，∵AH=33HC=3Rt △HOC 中，∵OC=r ，OH=r ﹣33HC=43222(33)(43)r r -+=，∴r=36，∵GM ∥AC ，∴∠CAH=∠M ，∵∠OEM=∠AHC ，∴△AHC ∽△MEO ，∴AH HC EM OE =，∴3343253EM =，∴EM=2538． 点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．23．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形．【解析】【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可得到△A 1B 1C 1为所作； （2）利用网格特定和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，从而得到△A 2B 2C 2， （3）根据勾股定理逆定理解答即可．【详解】（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA 1224117+=A 12253+34即OB 2+OA 12=A 1B 2，所以三角形的形状为等腰直角三角形．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．24． (1) ①特殊情形：12；②类比探究: 12PE PF = 是定值，理由见解析;(2) EC 4FC =或31 【解析】【分析】（1）证明Rt ABP Rt CDP V V ∽，即可求解；（2）点E 与点B 重合时，四边形EBFA 为矩形，即可求解；（3）分AEB 90∠︒＝时、EAB 90∠︒＝时，两种情况分别求解即可．【详解】解：（1）APB DPC 90DPC PDC 90Q ＝，＝∠∠∠∠+︒+︒，APB PDC ∠∠∴＝，Rt ABP Rt CDP ∴V V ∽， 21512PA AB PD CP ∴===-， 故答案为12；（2）点E与点B重合时，四边形EBFA为矩形，则PE1PF2=为定值；（3）①当AEB90∠︒＝时，如图3，过点E、F分别作直线BC的垂线交于点G，H，由（1）知：ECB CFHα＝＝∠∠，AB2AE1ABE30∠︒＝，＝，则＝，EB ABcos303︒则＝＝，3cos602GB EB︒==，同理32EG=，322cos cos2GCECFH ABαα+====.则FH2cos cosFCαα==，则314ECFC=+；②当EAB90∠︒＝时，如图4，GB EA1EG FH AB2＝＝，＝＝＝，则BE5GC3＝，＝，22EG G13EC C=+=，EG 2tan tan GC 3EGC α∠===，则3cos 13α=， FH 13cos 4FC α==， 则4EC FC= ， 故EC 4FC =或314+ ． 【点睛】本题考查的圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形的基本知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．25．（1）20；（2）40，1；（3）23． 【解析】试题分析：（1）根据等级为A 的人数除以所占的百分比求出总人数；（2）根据D 级的人数求得D 等级扇形圆心角的度数和m 的值；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．试题解析：解：（1）根据题意得：3÷15%=20（人），故答案为20；（2）C 级所占的百分比为820×100%=40%，表示“D 等级”的扇形的圆心角为420×360°=1°； 故答案为40、1．（3）列表如下：所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，则P 恰好是一名男生和一名女生=46 =23． 26．⑴； ⑵答案不唯一.如； ⑶.【解析】（1）根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；（2）将（1）中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论；（3）一定成立．利用整式的混合运算方法加以证明．27．（1）5.3（2）见解析（3）2.5或6.9【解析】【分析】（1）（2）按照题意取点、画图、测量即可．（3）中需要将DE=2OE转换为y与x的函数关系，注意DE 为非负数，函数为分段函数．【详解】（1）根据题意取点、画图、测量的x=6时，y=5.3故答案为5.3（2）根据数据表格画图象得（3）当DE=2OE时，问题可以转化为折线y=()()28048248x xx x⎧-+≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩与（2）中图象的交点经测量得x=2.5或6.9时DE=2OE．故答案为2.5或6.9【点睛】动点问题的函数图象探究题，考查了函数图象的画法，应用了数形结合思想和转化的数学思想．。
山东济南2019中考试题-数学(解析版)
山东济南2019中考试题-数学（解析版）【一】选择题〔共15小题，每题3分，总分值45分〕1、-12的绝对值是〔Ａ〕A、12B、-12C、112D、112【考点】绝对值、【专题】【分析】依照绝对值的定义进行计算、【解答】解：|-12|=12，应选A、【点评】此题考查了绝对值、一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0、2、如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1=65°，那么∠2=〔Ｂ〕A、115°B、65°C、35°D、25°【考点】平行线的性质、【专题】【分析】由直线a∥b，∠1=65°，依照两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由对顶角相等，即可求得答案、【解答】解：∵直线a∥b，∠1=65°，∴∠3=∠1=65°，∴∠2=∠3=65°、应选B、【点评】此题考查了平行线的性质、此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用、3、2018年伦敦奥运会火炬传递路线全长约为12800公里，数字12800用科学记数法表示为〔Ｃ〕A、1.28×103B、12.8×103C、1.28×104D、0.128×105【考点】科学记数法—表示较大的数、【专题】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数、确定n的值是易错点，由于12800有5位，因此能够确定n=5-1=4、【解答】解：12 800=1.28×104、应选C、【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键、4、以下事件中必定事件的是〔Ｂ〕A、任意买一张电影票，座位号是偶数B、正常情况下，将水加热到100℃时水会沸腾C、三角形的内角和是360°D、打开电视机，正在播动画片【考点】随机事件、【专题】【分析】依照必定事件的定义确实是一定发生的事件，即可作出判断、【解答】解：A、是随机事件，可能发生也可能不发生，应选项错误；B、必定事件，应选项正确；C、是不可能发生的事件，应选项错误；D、是随机事件，可能发生也可能不发生，应选项错误、应选B、【点评】考查了随机事件，解决此题需要正确理解必定事件、不可能事件、随机事件的概念、必定事件指在一定条件下一定发生的事件、不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件、不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件、5、以下各式计算正确的选项是〔Ｄ〕A、3x-2x=1B、a2+a2=a4C、a5÷a5=aD、a3•a2=a5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法、【专题】【分析】依照合并同类项法那么，同底数幂乘除法法那么，逐一检验、【解答】解：A、3x-2x=x，本选项错误；B、a2+a2=2a2，本选项错误；C、a5÷a5=a5-5=a0=1，本选项错误；D、a3•a2=a3+2=a5，本选项正确；应选D、【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项法那么、关键是熟练掌握每一个法那么、6、下面四个立体图形中，主视图是三角形的是〔Ｃ〕A、B、C、D、【考点】简单几何体的三视图、【专题】【分析】找到立体图形从正面看所得到的图形为三角形即可、【解答】解：A、主视图为长方形，不符合题意；B、主视图为中间有一条竖线的长方形，不符合题意；C、主视图为三角形，符合题意；D、主视图为长方形，不符合题意；应选C、【点评】此题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图、7、化简5〔2x-3〕+4〔3-2x〕结果为〔Ａ〕A、2x-3B、2x+9C、8x-3D、18x-3【考点】考整式的加减、【专题】【分析】首先利用分配律相乘，然后去掉括号，进行合并同类项即可求解【解答】解：原式=10x-15+12-8x=2x-3、应选A、【点评】此题考查了整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法那么，熟练运用合并同类项的法那么，这是各地中考的常考点、8、暑假即今后临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为〔 Ｂ 〕A 、12B 、13C 、16D 、19【考点】列表法与树状图法、【专题】【分析】首先依照题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小亮选到同一社区参加实践活动的情况，再利用概率公式即可求得答案、【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况， ∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：3193=、 应选B 、【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率、注意树状图法与列表法能够不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比、9、如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长基本上1，假设△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，那么tan ∠ACB 的值为〔 Ａ 〕A 、13B 、12 C2D 、3 【考点】锐角三角函数的定义、【专题】网格型、【分析】结合图形，依照锐角三角函数的定义即可求解、【解答】解：由图形知：tan ∠ACB=2163=， 应选A 、【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义、A 、对角线相等的四边形是矩形B 、一组邻边相等的四边形是菱形C 、四个角是直角的四边形是正方形D 、对角线相等的梯形是等腰梯形【考点】命题与定理、【专题】【分析】依照矩形、菱形的判定方法以及定义即可作出判断【解答】解：A 、对角线相等的平形四边形是矩形，应选项错误；B 、一组邻边相等的平行四边形是菱形，应选项错误；C 、四个角是直角的四边形是矩形，应选项错误；D 、正确、应选D 、【点评】此题考查了真命题的判断，正确掌握定义、定理是关键、11、一次函数y=kx+b 的图象如下图，那么方程kx+b=0的解为〔Ｃ〕A 、x=2B 、y=2C 、x=-1D 、y=-1【考点】一次函数与一元一次方程、【专题】数形结合、【分析】直截了当依照函数图象与x 轴的交点进行解答即可、【解答】解：∵一次函数y=kx+b 的图象与x 轴的交点为〔-1，0〕，∴当kx+b=0时，x=-1、应选C 、【点评】此题考查的是一次函数与一元一次方程，能依照数形结合求出x 的值是解答此题的关键、12、⊙O 1和⊙O 2的半径是一元二次方程x 2-5x+6=0的两根，假设圆心距O 1O 2=5，那么⊙O 1和⊙O 2的位置关系是〔Ｂ〕A 、外离B 、外切C 、相交D 、内切【考点】圆与圆的位置关系、【专题】【分析】先依照一元二次方程根与系数的关系，可知圆心距=两圆半径之和，再依照圆与圆的位置关系即可判断、【解答】：解：∵⊙O 1和⊙O 2的半径是一元二次方程x 2-5x+6=0的两根，∴两根之和=5=两圆半径之和，又∵圆心距O 1O 2=5，∴两圆外切、应选B 、【点评】此题综合考查一元二次方程根与系数的关系及两圆的位置关系的判断、圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d ＞R+r ；②两圆外切⇔d=R+r ；③两圆相交⇔R-r ＜d ＜R+r 〔R ≥r 〕；④两圆内切⇔d=R-r 〔R ＞r 〕；⑤两圆内含⇔d ＜R-r 〔R ＞r 〕、13、如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为〔Ａ〕A1BC、55D 、52【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质、【专题】代数综合题、【分析】取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD，依照三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再依照勾股定理列式求出DE的长，依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解、【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，如今，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1，DE====∴OD1、应选A、【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，依照三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键、14、如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A〔2，0〕同时动身，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，那么两个物体运动后的第2018次相遇地点的坐标是〔Ｄ〕A、〔2，0〕B、〔-1，1〕C、〔-2，1〕D、〔-1，-1〕【考点点的坐标、【专题】规律型【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答、【解答】解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×13=4，物体乙行的路程为12×23=8，在BC边相遇；②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×1 3=8，物体乙行的路程为12×2×23=16，在DE边相遇；③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×1 3=12，物体乙行的路程为12×3×23=24，在A点相遇；…如今甲乙回到原动身点，那么每相遇三次，两点回到动身点，∵2018÷3=670…2，故两个物体运动后的第2018次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×13=8，物体乙行的路程为12×2×23=16，在DE边相遇；如今相遇点的坐标为：〔-1，-1〕，应选：D、【点评】此题要紧考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发明规律就能够解决问题、15、如图，二次函数的图象通过〔-2，-1〕，〔1，1〕两点，那么以下关于此二次函数的说法正确的选项是〔D〕A、y的最大值小于0B、当x=0时，y的值大于1C、当x=-1时，y的值大于1D、当x=-3时，y的值小于0【考点】二次函数的图象；二次函数的性质、【专题】【分析】依照图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直截了当回答、【解答】解：A、由图象知，点〔1，1〕在图象的对称轴的左边，因此y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B、由图象知，当x=0时，y的值确实是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在〔1，1〕点的左边，故y＜1；故本选项错误；C、对称轴在〔1，1〕的右边，在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵-1＜1，∴x=-1时，y的值小于x=-1时，y的值1，即当x=-1时，y的值小于1；故本选项错误；D、当x=-3时，函数图象上的点在点〔-2，-1〕的左边，因此y的值小于0；故本选项正确、应选D、【点评】此题要紧考查了二次函数图象上点的坐标特征、解答此题时，需熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识、【二】填空题〔共6小题，每题3分，总分值18分〕16、分解因式：a2-1=〔a+1〕〔a-1〕、【考点】因式分解-运用公式法、【专题】【分析】符合平方差公式的特征，直截了当运用平方差公式分解因式、平方差公式：a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕、【解答】解：a2-1=〔a+1〕〔a-1〕、【点评】此题要紧考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键、17、计算：2sin30°=-3、【考点】实数的运算；特别角的三角函数值、【专题】【分析】由特别角的三角函数值与二次根式的化简的知识，即可将原式化简，继而求得答案、【解答】解：2sin30×12-4=1-4=-3、故答案为：-3、【点评】此题考查了实数的混合运算、此题难度不大，注意掌握特别角的三角函数值与二次根式的化简，注意运算要细心、18、不等式组2x-4＜0x+1≥0的解集为-1≤x ＜2、【考点】解一元一次不等式组、【专题】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可、【解答】解： -⎧⎨+≥⎩2x 40x 10＜①②，由①得，x ＜2；由②得，x ≥-1，故此不等式组的解集为：-1≤x ＜2、故答案为：-1≤x ＜2、【点评】此题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原那么是解答此题的关键、19、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，将△ABC 沿CB向右平移得到△DEF ，假设平移距离为2，那么四边形ABED 的面积等于8、【考点】平移的性质；平行四边形的判定与性质、【专题】【分析】依照平移的性质，通过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形ABED 是平行四边形，再依照平行四边形的面积公式即可求解、【解答】解：∵将△ABC 沿CB 向右平移得到△DEF ，平移距离为2，∴AD ∥BE ，AD=BE=2，∴四边形ABED 是平行四边形，∴四边形ABED 的面积=BE ×AC=2×4=8、故答案为8、【点评】此题要紧考查平移的差不多性质：①平移不改变图形的形状和大小；②通过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等、20、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH 的各边分别与半圆相切且平行于AB 或BC ，那么矩形EFGH 的周长是48、【考点】切线的性质；勾股定理；矩形的性质、【专题】【分析】首先取AC 的中点O ，过点O 作MN ∥EF ，PQ ∥EH ，由题意可得PQ ⊥EF ，PQ ⊥GH ，MN ⊥EH ，MN ⊥FG ，PL ，KN ，OM ，OQ 分别是各半圆的半径，OL ，OK 是△ABC 的中位线，又由在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，即可求得个线段长，继而求得答案、【解答】解：取AC 的中点O ，过点O 作MN ∥EF ，PQ ∥EH ，∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ∥PQ ∥FG ，EF ∥MN ∥GH ，∠E=∠H=90°，∴PQ ⊥EF ，PQ ⊥GH ，MN ⊥EH ，MN ⊥FG ，∵AB ∥EF ，BC ∥FG ，∴AB ∥MN ∥GH ，BC ∥PQ ∥FG ，∴AL=BL ，BK=CK ，∴OL=12BC=12×8=4，OK=12AB=12×6=3，∵矩形EFGH 的各边分别与半圆相切，∴PL=12AB=12×6=3，KN=12BC=12×8=4，在Rt △ABC中，10AC =， ∴OM=OQ=12AC=5，∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，∴矩形EFGH 的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48、故答案为：48、【点评】此题考查了切线的性质、矩形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理等知识、此题难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用、21、如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx 、小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，那么小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需36秒、【考点】二次函数的应用【专题】【分析】10秒时和26秒时拱梁的高度相同，那么A ，B 一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，那么O 到对称轴的时间能够求得，进而即可求得OC 之间的时间、【解答】解：设在10秒时到达A 点，在26秒时到达B ，∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，∴A ，B 关于对称轴对称、那么从A 到B 需要16秒，那么从A 到D 需要8秒、∴从O 到D 需要10+8=18秒、∴从O 到C 需要2×18=36秒、故答案是：36、【点评】此题考查了二次函数的应用，注意到A 、B 关于对称轴对称是解题的关键、【三】解答题〔共7小题，共57分，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤〕22、〔1〕解不等式3x-2≥4，并将解集在数轴上表示出来、〔2〕化简：2121224a a a a a --+÷--、【考点】分式的乘除法；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式、 【专题】计算题、【分析】〔1〕先依照不等式的性质求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可；〔2〕先将22124a a a -+-的分子和分母因式分解，再将除法转化为乘法进行解答、【解答】解：〔1〕移项得，3x ＞6，系数化为1得，x ＞2，在数轴上表示为、〔2〕原式212(2)22(1)1a a a a a --=⨯=---、 【点评】此题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集、分式的乘除法，不仅要熟悉不等式的性质，还要熟悉分式的除法法那么、23、〔1〕如图1，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，AE=CF 、求证：DE=BF 、〔2〕如图2，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分线，求∠BDC 的度数、【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质、【专题】证明题、【分析】〔1〕依照四边形ABCD 是平行四边形，利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等，在加上的一对边的相等，利用“SAS ”，证得△ADE ≌△CBF ，最后依照全等三角形的对应边相等即可得证；〔2〕首先依照AB=AC ，利用等角对等边和的∠A 的度数求出∠ABC 和∠C 的度数，再依照的BD 是∠ABC 的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC 的度数，最后依照三角形的内角和定理即可求出∠BDC 的度数、【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，∠A=∠C ，在△ADE 和△CBF 中，AD=CB ，∠A=∠C ，AE=CF ，∴△ADE ≌△CBF 〔SAS 〕，∴DE=BF ；〔2〕解：∵AB=AC ，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=12〔180°-40°〕=70°，又BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC=12∠ABC=35°，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=75°、【点评】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握定理与性质是解此题的关键、24、冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，假设采摘油桃和樱桃分别用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？【考点】分式方程的应用、【专题】【分析】依照樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，得出设油桃每斤为x 元，那么樱桃每斤是2x 元，再利用油桃比樱桃多摘了5斤，采摘油桃和樱桃分别用了80元，得出等式方程求出即可、【解答】解：设油桃每斤为x 元，那么樱桃每斤是2x 元，依照题意得出：808052x x=+， 解得：x=8，经检验得出：x=8是原方程的根，那么2x=16，答：油桃每斤为8元，那么樱桃每斤是16元、【点评】此题要紧考查了分式方程的应用，依照利用购买两种水果的质量得出等式方程求出是解题关键、25、济南以“泉水”而闻名，为保护泉水，造福子孙后代，济南市积极开展“节水保泉”活动，宁宁利用课余时间对某小区300户居民的用水情况进行了统计，发明5月份各户居民的用水量比4月份有所下降，宁宁将5月份各户居民的节水量统计整理如下统计图表： 节水量〔米3〕 1 1.5 2.5 3户数 50 80 100 700〔1〕300户居民5月份节水量的众数，中位数分别是多少米3？〔2〕扇形统计图中2.5米3对应扇形的圆心角为120度；〔3〕该小区300户居民5月份平均每户节约用水多少米3？【考点】考点：扇形统计图；统计表；加权平均数；中位数；众数、【专题】【分析】〔1〕众数是一组数据中出现次数最多的数据；将一组数据按照从小到大〔或从大到小〕的顺序排列，假如数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数确实是这组数据的中位数，依照定义可求解；〔2〕首先计算出节水量2.5米3对应的居名民数所占百分比，再用360°×百分比即可；〔3〕依照加权平均数公式：假设n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n 的权分别是w 1，w 2，w 3，…，w n ，那么112212n n nx w x w x w x w w w ++⋅⋅⋅+=++，进行计算即可； 【解答】解：〔1〕数据2.5出现了100次，次数最多，因此节水量的众数是2.5〔米3〕；位置处于中间的数是第150个和第151个，基本上2.5，故中位数是2.5米3、 〔2〕100300×100%×360°=120°；〔3〕〔50×1+80×1.5+2.5×100+3×70〕÷300=2.1〔米3〕、【点评】此题要紧考查了统计表，扇形统计图，平均数，中位数与众数，关键是看懂统计表，从统计表中猎取必要的信息，熟练掌握平均数，中位数与众数的计算方法、26、如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=23，AC，BD相交于点O、〔1〕求边AB的长；〔2〕如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G、①判断△AEF是哪一种特别三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时〔BE＞CE〕，求CG的长、【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质、【专题】几何综合题、【分析】〔1〕依照菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度；〔2〕①本小问为探究型问题、要点是确定一对全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再依照条件∠EAF=60°，能够判定△AEF是等边三角形；②本小问为计算型问题、要点是确定一对相似三角形△CAE∽△CFG，由对应边的比例关系求出CG的长度、解答：【解答】解：〔1〕∵四边形ABCD是菱形，∴△AOB为直角三角形，且OA=12AC=1，OB=12BD=3、在Rt△AOB中，由勾股定理得：2==、〔2〕①△AEF是等边三角形、理由如下：∵由〔1〕知，菱形边长为2，AC=2，∴△ABC与△ACD均为等边三角形，∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF、在△ABE与△ACF中，∵∠BAE=∠CAF，AB=AC=2，∠EBA=∠FCA=60°，∴△ABE≌△ACF〔ASA〕，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形，又∵∠EAF=60°，∴△AEF 是等边三角形、②BC=2，E 为四等分点，且BE ＞CE ，∴C E=12，BE=32、由①知△ABE ≌△ACF ，∴CF=BE=32、∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°〔三角形内角和定理〕，∠AEG=∠FCG=60°〔等边三角形内角〕，∠EGA=∠CGF 〔对顶角〕∴∠EAC=∠GFC 、在△CAE 与△CFG 中，∵∠EAC=∠GFC ，∠ACE=∠FCG=60°，∴△CAE ∽△CFG ， ∴ =CG CF CE AC ，即32 122=CG ， 解得：CG=38、【点评】此题是几何综合题，综合考查了相似三角形、全等三角形、四边形〔菱形〕、三角形〔等边三角形和等腰三角形〕、勾股定理等重要知识点、尽管涉及考点众多，但此题着重考查基础知识，难度不大，需要同学们深刻理解教材上的基础知识，并能够熟练应用、27、如图，双曲线k y x=，通过点D 〔6，1〕，点C 是双曲线第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC 、〔1〕求k 的值；〔2〕假设△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式；〔3〕判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由、【考点】反比例函数综合题、【专题】综合题、【分析】〔1〕把点D 的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；〔2〕先依照点D 的坐标求出BD 的长度，再依照三角形的面积公式求出点C 到BD 的距离，然后求出点C 的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C 的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；〔3〕依照题意求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，可知与直线CD 的解析式k 值相等，因此AB 、CD 平行、【解答】解：〔1〕∵双曲线k y x=通过点D 〔6，1〕， ∴16k=，解得k=6；〔2〕设点C 到BD 的距离为h ，∵点D 的坐标为〔6，1〕，DB ⊥y 轴，∴BD=6，∴S △BCD =12×6•h=12，解得h=4，∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1，∴点C 的纵坐标为1-4=-3， ∴63x =，解得x=-2，∴点C 的坐标为〔-2，-3〕，设直线CD 的解析式为y=kx+b ，那么2361k b k b -+=-⎧⎨+=⎩， 解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 因此，直线CD 的解析式为122y x =-； 〔3〕AB ∥CD 、理由如下：∵CA ⊥x 轴，DB ⊥y 轴，点C 的坐标为〔-2，-3〕，点D 的坐标为〔6，1〕，∴点A 、B 的坐标分别为A 〔-2，0〕，B 〔0，1〕，设直线AB 的解析式为y=mx+n ，那么201m n n -+=⎧⎨=⎩，解得121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，直线AB 的解析式为112y x =+， ∵AB 、CD 的解析式k 都等于12相等，∴AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD 、【点评】此题是对反比例函数的综合考查，要紧利用了待定系数法求函数解析式，三角形的面积的求解，待定系数法是求函数解析式最常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用、28、如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x 轴相交于点A 〔-3，0〕，B 〔-1，0〕，与y 轴相交于点C ，⊙O1为△ABC 的外接圆，交抛物线于另一点D 、〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕求cos ∠CAB 的值和⊙O1的半径；〔3〕如图2，抛物线的顶点为P ，连接BP ，CP ，BD ，M 为弦BD 中点，假设点N 在坐标平面内，满足△BMN ∽△BPC ，请直截了当写出所有符合条件的点N 的坐标、【考点】二次函数综合题、【专题】【分析】〔1〕利用待定系数法求出抛物线的解析式；〔2〕如答图1所示，由△AOC 为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C 为等腰直角三角形，从而求出半径的长度； 〔3〕如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D 坐标，进而求出点M 的坐标和线段BM 的长度；点B 、P 、C 的坐标，求出线段BP 、BC 、PC 的长度；然后利用△BMN ∽△BPC 相似三角形比例线段关系，求出线段BN 和MN 的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N 的坐标、【解答】解：〔1〕∵抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A 〔-3，0〕，B 〔-1，0〕，∴933030a b a b -+=⎧⎨-+=⎩， 解得a=1，b=4，∴抛物线的解析式为：y=x 2+4x+3、〔2〕由〔1〕知，抛物线解析式为：y=x 2+4x+3，∵令x=0，得y=3，∴C 〔0，3〕，∴OC=OA=3，那么△AOC 为等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∴cos ∠CAB=2、在Rt △BOC 中，由勾股定理得：、如答图1所示，连接O1B 、O1B ，由圆周角定理得：∠BO 1C=2∠BAC=90°，∴△BO 1C 为等腰直角三角形，∴⊙O 1的半径O 1B=2、〔3〕抛物线y=x 2+4x+3=〔x+2〕2-1，∴顶点P 坐标为〔-2，-1〕，对称轴为x=-2、又∵A 〔-3，0〕，B 〔-1，0〕，可知点A 、B 关于对称轴x=2对称、如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D 、点C 〔0，3〕关于对称轴对称，∴D 〔-4，3〕、又∵点M 为BD 中点，B 〔-1，0〕，∴M 〔52-，32〕， ∴= 在△BPC 中，B 〔-1，0〕，P 〔-2，-1〕，C 〔0，3〕，由两点间的距离公式得：BP=，PC=∵△BMN ∽△BPC ， ∴ ==BM BN MN BP BC PC ，即==，解得：=BN ，MN = 设N 〔x ，y 〕，由两点间的距离公式可得：222222(1)53()()22x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩， 解之得，117232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，221292x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点N 的坐标为〔72，32-〕或〔12，92-〕、 【点评】此题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大、难点在于第〔3〕问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N 有两个，并画出草图；然后查找线段之间的数量关系，最终正确求得点N 的坐标、。
2019莱芜数学中考题真题(解析版)
2019莱芜数学中考题（解析版）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.在下列四个实数中，最大的数是（）A．﹣1 B．﹣C．D．2.港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额1269亿元，1269亿用科学记数法表示为（）A．1.269×1010B．1.269×1011C．12.69×1010D．0.1269×10123.下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a3÷a2＝a4.下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A．B．C．D．5.如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝65°，则∠2的度数是（）A．122.5°B．123°C．123.5°D．124°6.某企业为了推选代表队参加市职业技能大赛，对甲、乙两个车间进行了五次测试，其中甲车间五次成绩的平均数是90分，中位数是91分，方差是2.4；乙车间五次成绩的平均数是90分，中位数是89分，方差是4.4．下列说法正确的是（）A．甲车间成绩的平均水平高于乙车间B．甲、乙两车间成绩一样稳定C．甲车间成绩优秀的次数少于乙车间（成绩不低于90分为优秀）D．若选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可能性更大7.如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．138.为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B型单车，B型单车的投放数量与A 型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B型单车的单价比购买A型单车的单价少50元，则A型单车每辆车的价格是多少元？设A型单车每辆车的价格为x元，根据题意，列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝9.如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，若S△＝S△BOC＝1，则k＝（）AOBA．1 B．2 C．3 D．410.如图，点A、B，C，D在⊙O上，AB＝AC，∠A＝40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2．则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣11.将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣1212.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF、有以下结论：①AN＝EN②当AE＝AF时，＝2﹣③BE+DF＝EF④存在点E、F，使得NF＞DF其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共5小题）13.计算：（﹣）﹣1++|1﹣π|＝．14.已知x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则+＝﹣．15.用一块圆心角为120°的扇形铁皮，围成一个底面直径为10cm的圆锥形工件的侧面，那么这个圆锥的高是cm．16.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝，则CE＝．17.定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1．有以下结论：①[﹣1.2]＝﹣2；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③[2a]＜[2a]+1；④存在唯一非零实数a，使得a2＝2[a]．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（共7小题）18.先化简，再求值：（a﹣1）÷（a+﹣2），其中a＝﹣1．19.某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题：最喜爱的节目人数歌曲15舞蹈a小品12相声10其它b（1）在此次调查中，该校一共调查了名学生；（2）a＝；b＝；（3）在扇形计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；（4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数．20.公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）21.如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE＝AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG．（1）求证：BE＝BF；（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．22.某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？23.如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝AD，求的值．24.如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△P AC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．2019莱芜数学中考题（解析版）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵﹣＜﹣1＜＜，∴四个实数中，最大的数是．故选：C．【知识点】算术平方根、实数大小比较2.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：1269亿＝126900000000，用科学记数法表示为1.269×1011．故选：B．【知识点】科学记数法—表示较大的数3.【分析】根据同底数幂的乘除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可．【解答】解：∵a2•a3＝a5，∴选项A不符合题意；∵a3﹣a2≠a，∴选项B不符合题意；∵（a2）3＝a6，∴选项C不符合题意；∵a3÷a2＝a，∴选项D符合题意．故选：D．【知识点】同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法4.【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【知识点】轴对称图形、中心对称图形5.【分析】求出∠BEG，再利用平行线的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠1＝65°，∴∠BEF＝180°﹣65°＝115°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠BEF＝57.5°，∵AB∥CD，∴∠2+∠BEG＝180°，∴∠2＝180°﹣57.5°＝122.5°，故选：A．【知识点】平行线的性质6.【分析】根据平均数、中位数以及方差的意义分别对每一项进行分析即可得出答案．【解答】解：A、甲车间成绩的平均水平和乙车间相同，故本选项错误；B、因为甲车间的方差是2.4，乙车间的方差是4.4，所以甲车间成绩比较稳定，故本选项错误；C、因为甲车间的中位数是91分，乙车间的中位数是89分，所以甲车间成绩优秀的次数多于乙车间（成绩不低于90分为优秀），故本选项错误；D、选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可能性更大，正确；故选：D．【知识点】中位数、算术平均数、方差、可能性的大小7.【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°＝5×360°，解得n＝12．故选：C．【知识点】多边形内角与外角8.【分析】设A型单车每辆车的价格为x元，则B型单车每辆车的价格为（x﹣50）元，依据“B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同”列出关于x的方程．【解答】解：设A型单车每辆车的价格为x元，则B型单车每辆车的价格为（x﹣50）元，根据题意，得＝故选：A．【知识点】由实际问题抽象出分式方程9.【分析】作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．由S△AOB＝S△BOC，根据三角形的面积公式得出AB＝BC．根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k．【解答】解：如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．∵S△AOB＝S△BOC，∴AB＝BC．∵△AOB的面积为1，∴OA•OB＝1，∴OA＝，∵CD∥OB，AB＝BC，∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，∴C（，2a），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，∴k＝×2a＝4．故选：D．【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题10.【分析】连接BC、OD、OB，先证△BOD是等边三角形，再根据阴影部分的面积是S扇形BOD﹣S△BOD计算可得．【解答】解：如图所示，连接BC、OD、OB，∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ACB＝70°，∵BD∥AC，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°，∴∠BCD＝30°，则∠BOD＝2∠BCD＝60°，又OD＝OB，∴△BOD是等边三角形，则图中阴影部分的面积是S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣×22＝π﹣，故选：B．【知识点】勾股定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、扇形面积的计算、圆周角定理11.【分析】如图所示，过点B作直线y＝2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y＝2x+b在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．【解答】解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，△＝49+4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣，当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣；故选：A．【知识点】一次函数的性质、抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换12.【分析】①如图1，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，可得∠NAE＝∠AEN＝45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断；②先证明CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，表示AC的长为AO+OC可作判断；③如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，可作判断；④在△ADN中根据比较对角的大小来比较边的大小．【解答】解：①如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt△CEF中，OC＝EF＝x，△EAF中，∠EAO＝∠F AO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，∴OE＝BE，∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），∴AO＝AB＝1，∴AC＝＝AO+OC，∴1+x＝，x＝2﹣，∴＝＝＝；故②不正确；③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，∵∠ABE＝∠ABH＝90°，∴H、B、E三点共线，在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，故③正确；④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，∠FDN＝45°，∴DF＞FN，故存在点E、F，使得NF＞DF，故④不正确；故选：B．【知识点】全等三角形的判定与性质、正方形的性质二、填空题（共5小题）13.【分析】直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣3+4+π﹣1＝π．故答案为：π．【知识点】负整数指数幂、实数的运算14.【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝1，x1•x2＝﹣3，将其代入+＝中即可得出结论．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝1，x1•x2＝﹣3，∴+＝＝＝﹣．故答案为：﹣．【知识点】根与系数的关系15.【分析】求得圆锥的母线的长利用勾股定理求得圆锥的高即可．【解答】解：设圆锥的母线长为l，则＝10π，解得：l＝15，∴圆锥的高为：＝10，故答案为：10【知识点】圆锥的计算16.【分析】已知tan∠BAF＝，可作辅助线构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理可求出FM、BM，进而求出FN，再利用三角形相似和折叠的性质求出EC．【解答】解：过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD，由折叠得：EC＝EF，BC＝BF＝，∠C＝∠BFE＝90°，∵sin∠BAF＝＝，设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4﹣2x，在Rt△BFM中，由勾股定理得：x2+（4﹣2x）2＝（）2，解得：x1＝1，x2＝＞2舍去，∴FM＝1，AM＝BM＝2，∴FN＝﹣1，易证△BMF∽△FNE，∴，即：，解得：EF＝＝EC．故答案为：．【知识点】矩形的判定与性质、翻折变换（折叠问题）、解直角三角形17.【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：①[﹣1.2]＝﹣2，故①正确；②[a﹣1]＝[a]﹣1，故②正确；③[2a]＜[2a]+1，故③正确；④当a＝2时，a2＝2[a]＝2；当a＝时，a2＝2[a]＝2；原题说法是错误的．故答案为：①②③．【知识点】解一元一次不等式组三、解答题（共7小题）18.【分析】根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（a﹣1）÷（a+﹣2）＝（a﹣1）÷＝（a﹣1）＝，当a＝﹣1时，原式＝．【知识点】分式的化简求值19.【分析】（1）从表格和统计图中可以得到喜欢“小品”的人数为12人，占调查人数的24%，可求出调查人数，（2）舞蹈占50人的16%可以求出a的值，进而从总人数中减去其他组的人数得到b的值，（3）先计算“歌曲”所占的百分比，用360°去乘即可，（4）样本估计总体，用样本喜欢“相声”的百分比估计总体的百分比，进而求出人数．【解答】解：（1）12÷24%＝50人故答案为50．（2）a＝50×16%＝8人，b＝50﹣15﹣8﹣12﹣10＝5人，故答案为：8，5．（3）360°×＝108°答：“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为108°；（4）1200×＝240人答：该校1200名学生中最喜爱“相声”的学生大约有240人．【知识点】统计表、扇形统计图、用样本估计总体20.【分析】连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．解Rt△OBD，求出OB＝≈＝2．解Rt△OAB中，即可求出AB＝．【解答】解：如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．由题意，可知OE＝2.4﹣0.6＝1.8，∠OBE＝42°，∠BAO＝∠BAC＝62°．在Rt△OBD中，∵tan∠OBE＝，∴OB＝≈＝2．在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝，∴AB＝≈≈2.3（m）．答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题21.【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，BD＝AD，∠BCD＝30°，由“SAS”可证△ABF≌△CBE，可得BF＝BE；（2）通过证明△BEF是等边三角形，可得BG＝GF，由三角形中位线定理可得AF＝2GD，AF∥DG．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°∵CD⊥AB，AC＝BC∴BD＝AD，∠BCD＝30°，∵AF⊥AC∴∠F AC＝90°∴∠F AB＝∠F AC﹣∠BAC＝30°∴∠F AB＝∠ECB，且AB＝BC，AF＝CE∴△ABF≌△CBE（SAS）∴BF＝BE（2）AF＝2GD，AF∥DG理由如下：连接EF，∵△ABF≌△CBE∴∠ABF＝∠CBE，∵∠ABE+∠EBC＝60°∴∠ABE+∠ABF＝60°，且BE＝BF∴△BEF是等边三角形，且GE⊥BF∴BG＝FG，且BD＝AD∴AF＝2GD，AF∥DG【知识点】等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质22.【分析】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，根据“改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，根据改造时间不超过35天且改造费用不超过128万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各改造方案，再利用总价＝单价×数量分别求出三种方案所需改造费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，依题意，得：，解得：．答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元．（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，依题意，得：，解得：≤m≤．∵m为整数，∴m＝3，4，5，∴共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚．方案1所需费用12×3+18×5＝126（万元）；方案2所需费用12×4+18×4＝120（万元）；方案3所需费用12×5+18×3＝114（万元）．∵114＜120＜126，∴方案3改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元．【知识点】二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用23.【分析】（1）连接OD，设OC交BD于K．想办法证明△ODC≌△OBC（SSS）即可解决问题．（2）由CD＝AD，可以假设AD＝a，CD＝a，设KC＝b．由△CDK∽△COD，推出＝，推出＝整理得：2（）2+（）﹣4＝0，解得＝或（舍弃），由此即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，设OC交BD于K．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OC∥AD，∴OC⊥BD，∴DK＝KB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，OC＝OC，CD＝CB，∴△ODC≌△OBC（SSS），∴∠ODC＝∠OBC，∵CB⊥AB，∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵CD＝AD，∴可以假设AD＝a，CD＝a，设KC＝b．∵DK＝KB，AO＝OB，∴OK＝AD＝a，∵∠DCK＝∠DCO，∠CKD＝∠CDO＝90°，∴△CDK∽△COD，∴＝，∴＝整理得：2（）2+（）﹣4＝0，解得＝或（舍弃），∵CK∥AD，∴＝＝＝．【知识点】相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定与性质24.【分析】（1）利用待定系数法，然后将A、B、C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；（2））过P点作PQ垂直x轴，交AC于Q，把△APC分成两个△APQ与△CPQ，把PQ作为两个三角形的底，通过点A，C的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．（3）通过三角形函数计算可得∠DAO＝∠ACB，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，∠AOM＝∠CAB＝45°，即OM为y＝﹣x，若∠AOM＝∠CBA，则OM为y＝﹣3x+3，然后由直线解析式可求OM与AD的交点M．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c得，解得，所以抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC解析式为y＝x+3，设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3），∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．∴S△P AC＝，∴，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．当x＝﹣1时，P点坐标为（﹣1，4），当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，3），综上所述：若△P AC面积为3，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，∵D为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的顶点，∴D点坐标为（﹣1，4），又∵A（﹣3，0），∴直线AD为y＝2x+6，AF＝2，DF＝4，tan∠DAB＝2，∵B（1，0），C（0，3）∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直线BC解析式为y＝﹣3x+3．∵AB＝4，∴AE＝AB•sin∠ABC＝＝，BE＝，∴CE＝，∴tan∠ACB＝，∴tan∠ACB＝tan∠P AB＝2，∴∠ACB＝∠P AB，∴使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，即OM为y＝﹣x，设OM与AD的交点M（x，y）依题意得：，解得，即M点为（﹣2，2）．Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，∵直线BC解析式为y＝﹣3x+3．∴直线OM为y＝﹣3x，设直线OM与AD的交点M（x，y）．则依题意得：，解得，即M点为（，），综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为（﹣2，2）或（，），【知识点】二次函数综合题。
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2019年山东省济南市莱芜区中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共36分）1．（3分）在下列四个实数中，最大的数是( )A ．1-B ．C ．23D ．122．（3分）港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额1269亿元，1269亿用科学记数法表示为( )A ．101.26910⨯B ．111.26910⨯C ．1012.6910⨯D ．120.126910⨯3．（3分）下列运算正确的是( )A ．236a a a =B ．32a a a -=C ．235()a a =D ．32a a a ÷=4．（3分）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是( )A ．B ．C ．D ．5．（3分）如图，直线//AB CD ，直线EF 分别与AB ，CD 交于点E ，F ，EG 平分BEF ∠，交CD 于点G ，若165∠=︒，则2∠的度数是( )A ．122.5︒B ．123︒C ．123.5︒D ．124︒6．（3分）某企业为了推选代表队参加市职业技能大赛，对甲、乙两个车间进行了五次测试，其中甲车间五次成绩的平均数是90分，中位数是91分，方差是2.4；乙车间五次成绩的平均数是90分，中位数是89分，方差是4.4．下列说法正确的是( )A ．甲车间成绩的平均水平高于乙车间B ．甲、乙两车间成绩一样稳定C ．甲车间成绩优秀的次数少于乙车间（成绩不低于90分为优秀）D ．若选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可能性更大7．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是( )A ．10B ．11C ．12D ．13 8．（3分）为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A 型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B 型单车，B 型单车的投放数量与A 型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B 型单车的单价比购买A 型单车的单价少50元，则A 型单车每辆车的价格是多少元？设A 型单车每辆车的价格为x 元，根据题意，列方程正确的是( )A ．200000200000(120%)50x x -=- B ．200000200000(120%)50x x +=- C ．200000200000(120%)50x x -=+D ．200000200000(120%)50x x +=+ 9．（3分）如图，直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点C ，若1AOB BOC S S ∆∆==，则(k = )A ．1B ．2C ．3D ．410．（3分）如图，点A 、B ，C ，D 在O 上，AB AC =，40A ∠=︒，//BD AC ，若O 的半径为2．则图中阴影部分的面积是( )A．23π B．23π C．43π D．43π11．（3分）将二次函数256y x x =--在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线2y x b =+与这个新图象有3个公共点，则b 的值为( )A ．734-或12-B ．734-或2C ．12-或2D ．694-或12- 12．（3分）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且45EAF ∠=︒，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连按EN 、EF 、有以下结论：①AN EN =②当AE AF =时，2BE EC=③BE DF EF +=④存在点E 、F ，使得NF DF >其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卡上）13．（4分）计算：11()|1|3π--+-= ． 14．（4分）已知1x ，2x 是方程230x x --=的两根，则1211x x += ． 15．（4分）用一块圆心角为120︒的扇形铁皮，围成一个底面直径为10cm 的圆锥形工件的侧面，那么这个圆锥的高是 cm ．16．（4分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，BC ，E 为CD 边上一点，将BCE ∆沿BE 折叠，使得C 落到矩形内点F 的位置，连接AF ，若1tan 2BAF ∠=，则CE = ．17．（4分）定义：[]x 表示不大于x 的最大整数，例如：[2.3]2=，[1]1=．有以下结论：①[ 1.2]2-=-；②[1][]1a a -=-；③[2][2]1a a <+；④存在唯一非零实数a ，使得22[]a a =． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18．（6分）先化简，再求值：1(1)(2)a a a-÷+-，其中1a =-． 19．（8分）某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题：（1）在此次调查中，该校一共调查了 名学生；（2）a = ；b = ；（3）在扇形计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；（4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数．20．（9分）公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124︒，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42︒时，恰好能够照到石桌的中央E处(A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1)︒≈m（参考数据：sin620.88︒≈，tan420.90)21．（9分）如图，已知等边ABC⊥，E为线段CD上一点，且∆，CD AB⊥于D，AF AC⊥于G，连接DG．=，连接BE，BF，EG BFCE AF（1）求证：BE BF=；（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．22．（10分）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？23．（10分）如图，已知AB 是O 的直径，CB AB ⊥，D 为圆上一点，且//AD OC ，连接CD ，AC ，BD ，AC 与BD 交于点M ．（1）求证：CD 为O 的切线；（2）若CD ，求CM MA的值．24．（12分）如图，抛物线2y ax bx c =++经过(3,0)A -，(1,0)B ，(0,3)C 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC ∆面积为3，求点P 的坐标；（3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与ABC ∆相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2019年山东省济南市莱芜区中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共36分）1．（3分）在下列四个实数中，最大的数是( )A ．1-B ．C ．23D ．12【考点】22：算术平方根；2A ：实数大小比较【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：122123-<-<<， ∴四个实数中，最大的数是23． 故选：C ．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0>>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．（3分）港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额1269亿元，1269亿用科学记数法表示为( )A ．101.26910⨯B ．111.26910⨯C ．1012.6910⨯D ．120.126910⨯【考点】1I ：科学记数法-表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【解答】解：1269亿126900000000=，用科学记数法表示为111.26910⨯．故选：B ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（3分）下列运算正确的是( )A ．236a a a =B ．32a a a -=C ．235()a a =D ．32a a a ÷=【考点】47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法；35：合并同类项【分析】根据同底数幂的乘除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可．【解答】解：235a a a =，∴选项A 不符合题意；32a a a -≠，∴选项B 不符合题意；236()a a =，∴选项C 不符合题意；32a a a ÷=，∴选项D 符合题意．故选：D ．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及合并同类项的方法，要熟练掌握．4．（3分）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是( )A ．B ．C ．D ．【考点】3P ：轴对称图形；5R ：中心对称图形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；B 、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；C 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B ．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．（3分）如图，直线//AB CD ，直线EF 分别与AB ，CD 交于点E ，F ，EG 平分BEF ∠，交CD 于点G ，若165∠=︒，则2∠的度数是( )A ．122.5︒B ．123︒C ．123.5︒D ．124︒【考点】JA ：平行线的性质【分析】求出BEG ∠，再利用平行线的性质即可解决问题．【解答】解：165∠=︒，18065115BEF ∴∠=︒-︒=︒， EG 平分BEF ∠，157.52BEG BEF ∴∠=∠=︒， //AB CD ，2180BEG ∴∠+∠=︒，218057.5122.5∴∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．（3分）某企业为了推选代表队参加市职业技能大赛，对甲、乙两个车间进行了五次测试，其中甲车间五次成绩的平均数是90分，中位数是91分，方差是2.4；乙车间五次成绩的平均数是90分，中位数是89分，方差是4.4．下列说法正确的是( )A ．甲车间成绩的平均水平高于乙车间B ．甲、乙两车间成绩一样稳定C ．甲车间成绩优秀的次数少于乙车间（成绩不低于90分为优秀）D ．若选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可能性更大【考点】1W ：算术平均数；2X ：可能性的大小；4W ：中位数；7W ：方差【分析】根据平均数、中位数以及方差的意义分别对每一项进行分析即可得出答案．【解答】解：A 、甲车间成绩的平均水平和乙车间相同，故本选项错误； B 、因为甲车间的方差是2.4，乙车间的方差是4.4，所以甲车间成绩比较稳定，故本选项错误；C 、因为甲车间的中位数是91分，乙车间的中位数是89分，所以甲车间成绩优秀的次数多于乙车间（成绩不低于90分为优秀），故本选项错误；D 、选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可能性更大，正确；故选：D ．【点评】此题考查了平均数、中位数以及方差的意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．7．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是( )A ．10B ．11C ．12D ．13【考点】3L ：多边形内角与外角【分析】根据多边形的内角和公式(2)180n -︒与外角和定理列出方程，然后求解即可．【解答】解：设这个多边形是n 边形，根据题意得，(2)1805360n -︒=⨯︒，解得12n =．故选：C ．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360︒．8．（3分）为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A 型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B 型单车，B 型单车的投放数量与A 型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B 型单车的单价比购买A 型单车的单价少50元，则A 型单车每辆车的价格是多少元？设A 型单车每辆车的价格为x 元，根据题意，列方程正确的是( )A ．200000200000(120%)50x x -=- B ．200000200000(120%)50x x +=- C ．200000200000(120%)50x x -=+D ．200000200000(120%)50x x +=+ 【考点】6B ：由实际问题抽象出分式方程【分析】设A 型单车每辆车的价格为x 元，则B 型单车每辆车的价格为(50)x -元，依据“B 型单车的投放数量与A 型单车的投放数量相同”列出关于x 的方程．【解答】解：设A 型单车每辆车的价格为x 元，则B 型单车每辆车的价格为(50)x -元， 根据题意，得200000200000(120%)50x x -=- 故选：A ．【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9．（3分）如图，直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点C ，若1AOB BOC S S ∆∆==，则(k = )A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】8G ：反比例函数与一次函数的交点问题【分析】作CD x ⊥轴于D ，设(0)OB a a =>．由AOB BOC S S ∆∆=，根据三角形的面积公式得出AB BC =．根据相似三角形性质即可表示出点C 的坐标，把点C 坐标代入反比例函数即可求得k ．【解答】解：如图，作CD x ⊥轴于D ，设(0)OB a a =>． AOB BOC S S ∆∆=，AB BC ∴=．AOB ∆的面积为1，∴112OA OB =， 2OA a∴=， //CD OB ，AB BC =， 2OD OA a∴==，22CD OB a ==， 2(C a∴，2)a ，反比例函数(0)ky x x =>的图象经过点C ，224k a a∴=⨯=． 故选：D ．【点评】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．10．（3分）如图，点A 、B ，C ，D 在O 上，AB AC =，40A ∠=︒，//BD AC ，若O 的半径为2．则图中阴影部分的面积是( )A ．23π B ．23πC ．43π D ．43π【考点】2M ：垂径定理；MO ：扇形面积的计算；6M ：圆内接四边形的性质；5M ：圆周角定理；KQ ：勾股定理【分析】连接BC 、OD 、OB ，先证BOD ∆是等边三角形，再根据阴影部分的面积是BOD BOD S S ∆-扇形计算可得．【解答】解：如图所示，连接BC 、OD 、OB ，40A ∠=︒，AB AC =， 70ACB ∴∠=︒， //BD AC ， 40ABD A ∴∠=∠=︒， 40ACD ABD ∴∠=∠=︒， 30BCD ∴∠=︒，则260BOD BCD ∠=∠=︒， 又OD OB =，BOD ∴∆是等边三角形，则图中阴影部分的面积是BOD BOD S S ∆-扇形 2260232360π=-23π=， 故选：B ．【点评】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形和等边三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积公式等知识点．11．（3分）将二次函数256y x x =--在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线2y x b =+与这个新图象有3个公共点，则b 的值为() A ．734-或12- B ．734-或2 C ．12-或2 D ．694-或12- 【考点】5F ：一次函数的性质；6H ：二次函数图象与几何变换；8F ：一次函数图象上点的坐标特征；5H ：二次函数图象上点的坐标特征；HA ：抛物线与x 轴的交点【分析】如图所示，过点B 作直线2y x b =+，将直线向下平移到恰在点C 处相切，则一次函数2y x b =+在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．【解答】解：如图所示，过点B 的直线2y x b =+与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C 处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，令2560y x x =--=，解得：1x =-或6，即点B 坐标(6,0)，将一次函数与二次函数表达式联立得：2562x x x b --=+，整理得：2760x x b ---=， △494(6)0b =+--=，解得：734b =-， 当一次函数过点B 时，将点B 坐标代入：2y x b =+得：012b =+，解得：12b =-， 综上，直线2y x b =+与这个新图象有3个公共点，则b 的值为12-或734-； 故选：A ．【点评】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．12．（3分）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且45EAF ∠=︒，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连按EN 、EF 、有以下结论：①AN EN =②当AE AF =时，2BEEC=③BE DF EF +=④存在点E 、F ，使得NF DF > 其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】LE ：正方形的性质；KD ：全等三角形的判定与性质【分析】①如图1，证明AMN BME ∆∆∽和AMB NME ∆∆∽，可得45NAE AEN ∠=∠=︒，则AEN ∆是等腰直角三角形可作判断；②先证明CE CF =，假设正方形边长为1，设C E x =，则1B E x =-，表示AC 的长为AO OC +可作判断；③如图3，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABH ∆，证明()AEF AEH SAS ∆≅∆，则EF EH BE BH BE DF==+=+，可作判断； ④在ADN ∆中根据比较对角的大小来比较边的大小． 【解答】解：①如图1，四边形ABCD 是正方形， 45EBM ADM FDN ABD ∴∠=∠=∠=∠=︒， 45MAN EBM ∠=∠=︒，AMN BME ∠=∠， AMN BME ∴∆∆∽，∴AM MNBM EM=， AMB EMN ∠=∠， AMB NME ∴∆∆∽， 45AEN ABD ∴∠=∠=︒45NAE AEN ∴∠=∠=︒， AEN ∴∆是等腰直角三角形， AN EN ∴=，故①正确；②在ABE ∆和ADF ∆中，90AB AD ABE ADF AE AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， Rt ABE Rt ADF(HL)∴∆≅∆，BE DF ∴=，BC CD =， CE CF ∴=，假设正方形边长为1，设CE x =，则1BE x =-， 如图2，连接AC ，交EF 于H ，AE AF =，CE CF =，AC ∴是EF 的垂直平分线， AC EF ∴⊥，OE OF =， Rt CEF ∆中，12OC EF =， EAF ∆中，22.522.5EAO FAO BAE ∠=∠=︒=∠=︒，OE BE ∴=，AE AE =，Rt ABE Rt AOE(HL)∴∆≅∆， 1AO AB ∴==，AC AO OC ∴+，1∴2x =，∴BE EC ===故②不正确； ③如图3，∴将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABH ∆，则AF AH =，DAF BAH ∠=∠，45EAF DAF BAE HAE ∠=︒=∠+∠=∠， 90ABE ABH ∠=∠=︒，H ∴、B 、E 三点共线，在AEF ∆和AEH ∆中， AE AE FAE HAE AF AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEF AEH SAS ∴∆≅∆，EF EH BE BH BE DF ∴==+=+，故③正确；④ADN ∆中，45FND ADN NAD ∠=∠+∠>︒， 45FDN ∠=︒， DF FN ∴>，故存在点E 、F ，使得NF DF >， 故④不正确； 故选：B ．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卡上） 13．（4分）计算：11()|1|3π--+-= π ．【考点】6F ：负整数指数幂；2C ：实数的运算【分析】直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式341π=-++-π=．故答案为：π．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 14．（4分）已知1x ，2x 是方程230x x --=的两根，则1211x x += 13- ． 【考点】AB ：根与系数的关系【分析】利用根与系数的关系可得出121x x +=，123x x =-，将其代入12121211x x x x x x ++=中即可得出结论．【解答】解：1x ，2x 是方程230x x --=的两根， 121x x ∴+=，123x x =-，∴121212111133x x x x x x ++===--． 故答案为：13-．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于ca”是解题的关键．15．（4分）用一块圆心角为120︒的扇形铁皮，围成一个底面直径为10cm 的圆锥形工件的侧面，那么这个圆锥的高是 ． 【考点】MP ：圆锥的计算【分析】求得圆锥的母线的长利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为l ，则12010180lππ=， 解得：15l =，∴，故答案为：【点评】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长，难度不大．16．（4分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，BC ，E 为CD 边上一点，将BCE ∆沿BE折叠，使得C 落到矩形内点F 的位置，连接AF ，若1tan 2BAF ∠=，则CE = ．【考点】PB ：翻折变换（折叠问题）；LD ：矩形的判定与性质；7T ：解直角三角形 【分析】已知1tan 2BAF ∠=，可作辅助线构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理可求出FM 、BM ，进而求出FN ，再利用三角形相似和折叠的性质求出EC ．【解答】解：过点F 作//MN AD ，交AB 、CD 分别于点M 、N ，则M N A B ⊥，MN CD ⊥，由折叠得：EC EF =，BC BF =90C BFE ∠=∠=︒， 1sin 2FMBAF AM∠==，设FM x =，则2AM x =，42BM x =-， 在Rt BFM ∆中，由勾股定理得：222(42)x x +-=，解得：11x =，21125x =>舍去， 1FM ∴=，2AM BM ==，1FN ∴=，易证BMF FNE ∆∆∽，∴BF BMEF FN ==，解得：EF EC =．．【点评】考查矩形的性质、直角三角形的边角关系、轴对称的性质以及相似三角形的性质等知识，作合适的辅助线，恰当的利用题目中的已知条件，是解决问题的关键． 17．（4分）定义：[]x 表示不大于x 的最大整数，例如：[2.3]2=，[1]1=． 有以下结论：①[ 1.2]2-=-；②[1][]1a a -=-；③[2][2]1a a <+；④存在唯一非零实数a ，使得22[]a a =． 其中正确的是 ①②③ ．（写出所有正确结论的序号） 【考点】CB ：解一元一次不等式组【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：①[ 1.2]2-=-，故①正确； ②[1][]1a a -=-，故②正确； ③[2][2]1a a <+，故③正确；④当0a =时，22[]0a a ==；当a =22[]2a a ==；原题说法是错误的． 故答案为：①②③．【点评】本题考查新定义，解答本题的关键是明确题目中的新定义，可以判断出各个小题中的结论是否正确．三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18．（6分）先化简，再求值：1(1)(2)a a a-÷+-，其中1a =-． 【考点】6D ：分式的化简求值 【分析】根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：1(1)(2)a a a-÷+- 221(1)a a a a-+=-÷ 2(1)(1)a a a =-- 1a a =-， 当1a =-时，原式11112-==--． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19．（8分）某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题：（1）在此次调查中，该校一共调查了 50 名学生；（2）a = ；b = ；（3）在扇形计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；（4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数．【考点】5V：用样本估计总体；VA：统计表；VB：扇形统计图【分析】（1）从表格和统计图中可以得到喜欢“小品”的人数为12人，占调查人数的24%，可求出调查人数，（2）舞蹈占50人的16%可以求出a的值，进而从总人数中减去其他组的人数得到b的值，（3）先计算“歌曲”所占的百分比，用360︒去乘即可，（4）样本估计总体，用样本喜欢“相声”的百分比估计总体的百分比，进而求出人数．【解答】解：（1）1224%50÷=人故答案为50．（2）5016%8a=⨯=人，5015812105b=----=人，故答案为：8，5．（3）15 36010850︒⨯=︒答：“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为108︒；（4）10 120024050⨯=人答：该校1200名学生中最喜爱“相声”的学生大约有240人．【点评】考查扇形统计图、频数统计表的制作方法，明确统计图表中的各个数据之间的关系是解决问题的关键．20．（9分）公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124︒，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42︒时，恰好能够照到石桌的中央E处(A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1)m（参考数据：sin620.88︒≈，tan420.90)︒≈【考点】9T ：解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】连接BC 、AE ，交于点O ，则A E B C ⊥．解R t O B D ∆，求出1.82tan 0.90OE OB OBE =≈=∠．解Rt OAB ∆中，即可求出sin OB AB OAB=∠． 【解答】解：如图，连接BC 、AE ，交于点O ，则AE BC ⊥．由题意，可知 2.40.6 1.8OE =-=，42OBE ∠=︒，1622BAO BAC ∠=∠=︒． 在Rt OBD ∆中，tan OE OBE OB ∠=， 1.82tan 0.90OE OB OBE ∴=≈=∠． 在Rt OAB ∆中，sin OB OAB AB ∠=， 2 2.3()sin 0.88OB AB m OAB ∴=≈≈∠． 答：圆锥形顶盖母线AB 的长度约为2.3米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，锐角三角函数定义，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．（9分）如图，已知等边ABC ∆，CD AB ⊥于D ，AF AC ⊥，E 为线段CD 上一点，且CE AF =，连接BE ，BF ，EG BF ⊥于G ，连接DG ．（1）求证：BE BF =；（2）试说明DG 与AF 的位置关系和数量关系．【考点】KK ：等边三角形的性质；KD ：全等三角形的判定与性质【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB AC BC ==，60BAC ACB ABC ∠=∠=∠=︒，BD AD =，30BCD ∠=︒，由“SAS ”可证ABF CBE ∆≅∆，可得BF BE =；（2）通过证明BEF ∆是等边三角形，可得BG GF =，由三角形中位线定理可得2AF GD =，//AF DG ．【解答】证明：（1）ABC ∆是等边三角形AB AC BC ∴==，60BAC ACB ABC ∠=∠=∠=︒CD AB ⊥，AC BC =BD AD ∴=，30BCD ∠=︒，AF AC ⊥90FAC ∴∠=︒30FAB FAC BAC ∴∠=∠-∠=︒FAB ECB ∴∠=∠，且AB BC =，AF CE =()ABF CBE SAS ∴∆≅∆BF BE ∴=（2）2AF GD =，//AF DG理由如下：连接EF ，ABF CBE ∆≅∆ABF CBE ∴∠=∠，60ABE EBC ∠+∠=︒60ABE ABF ∴∠+∠=︒，且BE BF =BEF ∴∆是等边三角形，且GE BF ⊥BG FG ∴=，且BD AD =2AF GD ∴=，//AF DG【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键．22．（10分）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？【考点】CE ：一元一次不等式组的应用；9A ：二元一次方程组的应用【分析】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x 万元，改造1个乙种型号大棚需要y 万元，根据“改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设改造m 个甲种型号大棚，则改造(8)m -个乙种型号大棚，根据改造时间不超过35天且改造费用不超过128万元，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为整数即可得出各改造方案，再利用总价=单价⨯数量分别求出三种方案所需改造费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设改造1个甲种型号大棚需要x 万元，改造1个乙种型号大棚需要y 万元，依题意，得：26248x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得：1218x y =⎧⎨=⎩． 答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元．（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造(8)m-个乙种型号大棚，依题意，得：53(8)35 1218(8)128m mm m+-⎧⎨+-⎩……，解得：811 32m剟．m为整数，3m∴=，4，5，∴共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚．方案1所需费用123185126⨯+⨯=（万元）；方案2所需费用124184120⨯+⨯=（万元）；方案3所需费用125183114⨯+⨯=（万元）．114120126<<，∴方案3改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．23．（10分）如图，已知AB是O的直径，CB AB⊥，D为圆上一点，且//AD OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．（1）求证：CD为O的切线；（2）若CD，求CMMA的值．【考点】ME：切线的判定与性质；5M：圆周角定理；9S：相似三角形的判定与性质【分析】（1）连接OD，设OC交BD于K．想办法证明()ODC OBC SSS∆≅∆即可解决问题．（2）由CD，可以假设AD a=，CD=，设KC b=．由C D K C O D∆∆∽，推出。