常微分方程 3.2-解的延拓
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第3章_第2节_解的延拓定理(解的整体存在唯一性定理)
max ( x 2 y 2 ) 8
( x , y )D2
( x , y )D2
f ( x, y)
a b 2，
b 2 1 h2 min{ a, } min{ 2, } . M2 8 4
当 f ( x , y) x 2 y 2 , ( x , y) D2时，
( x0 , y0 )
o
x0 h x0 x h =x 0 1
G x
的唯一解： y ( x ) ①
x I [ x1 h1 , x1 h1 ]
令 h min{2h, h1 }
(确保： x1 h x0 h )
y
Q ( x1 , y1 )
( x0 h) h x0 h h 2h 由解的唯一性，知
( G为G的边界，为欧氏距离). 对 有类似的结论.
例3 在区域 G {( x, y)
y 2}内, 讨论方程
dy y 2 分别通过点(1,1), ( 3, 1)的解的 dx 最大存在区间.
解 f ( x , y ) y 2 , f y ( x , y) 2 y 均在G内连续
∴ 所给方程过点 (1,1) 的解的最大
( 3 , 1 )
x
例4
设 f ( x , y ) 在R 2内满足： (1) 连续； ( 2) 有界； ( 3) f y ( x , y )连续，
dy 证明： 方程 f ( x , y )的任一解 y ( x ) dx 的最大存在区间是 ( , ).
证 设初值问题(1)的积分曲线 L : y ( x ), x I [ x0 h, x0 h] y 则 L G. 令 x1 x0 h, y1 ( x1 )
常微分方程解的延伸定理的特殊形式
第 ２ 期 周 羚 君 :常 微 分 方 程 解 的 延 伸 定 理 的 特 殊 形 式
１０１
例 常微分方程y′(x)＝x２ ＋y２ 的任何一条积分曲线的最大存在区间都是有限区间． 对 这 种 在 全 平 面 连 续 的 函 数 f(x,y),如 果 已 知 某 一 积 分 曲 线 的 最 大 存 在 区 间 为 有 限 区 间 ,该 解 在 最大存在区间的端点处渐近性质如何,几本经典的教科书中都没有给 出 具 体 结 论．事 实 上,不 难 得 到 这
用两种方法证明这一定理．
证法１ 如果y(x)在α 或β 处的极限存在,且为 (c,d)中的某值,则显然该解可在该点继续延拓,
因此 (α,β)不可能为最大存在区间,故只需证明y(x)在α 和β 处极限的存在性．
为此,使用反证 法,设 极 限 limy(x)不 存 在,于 是 存 在 单 调 递 增 趋 于β 的 序 列 {xn} 与 {x′n} ,使 得 x→β－
f(x,y)关于自变量x 的连续区间小,一个极端的例子 是 取 f(x,y)在 矩 形 区 域(－１,１)×(－１,１)恒 等
于
２,在
矩
形
外
无
定
义
,如
此
过
原
点
的
积
分
曲
线
的
最
大
存
在
区
间
显
然
为
æ
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１ ２
,１ ２
ö
÷
ø
．对
初
学
者
来
说
,比
较
难以想到的例子是,即使f(x,y)是定义在全平面的解析函数,积分曲线的最大 存 在 区 间 也 有 可 能 为 有
常微分方程第三章基本定理
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线性化定理
总结词
线性化定理是将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，从而可以利用线性方程的解法来求解。
详细描述
线性化定理提供了一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法。通过适当的变换，可以将非线性问题 转化为线性问题，从而可以利用线性方程的解法来求解。这个定理在解决复杂的非线性问题时非常有用，因为它 简化了问题的求解过程。
02
CATALOGUE
常微分方程的稳定性
稳定性定义
稳定性的定义
01
如果一个常微分方程的解在初始条件的小扰动下变化不大，那
么这个解就是稳定的。
稳定性的分类
02
根据稳定性的不同表现，可以分为渐近稳定、指数稳定、一致
稳定等。
稳定性判别方法
03
可以通过观察法、线性化法、比较法等方法来判断常微分方程
的解是否稳定。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是常微分方程数值解法中一种更精确的 方法，它通过多步线性近似来逼近微分方程的解。
详细描述
龙格-库塔方法的基本思想是利用已知的初值和微分方 程，通过多步线性插值来逼近微分方程的解。具体来 说，龙格-库塔方法通过递推公式来计算微分方程的近 似解，公式如下：(y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) + frac{h^2}{2} f(t_{n-1}, y_{n-1}) - frac{h^2}{2} f(t_{n-2}, y_{n-2})) 其中 (h) 是步长，(t_n) 和 (y_n) 是已知的初值，(f) 是微分方程的右端函数。
存在唯一性定理表明，对于任意给定的初值问题，存在一个唯一的解，该解在某个区间内存在并连续 。这个定理是常微分方程理论的基础，为后续定理的证明提供了重要的依据。
解常微分方程的三步Runge-Kutta方法
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指导教学 位 论 文
1
绪论
常微分方程作为微分方程的基本类型之一，广泛出现于物理、工程、生物、医 学、经济学、金融学、控制理论及计算机辅助设计等许多科学与工程领域，是生产 力和科学发展的的得力助手和工具。自然界和工程技术中的很多现象，其数学表述 归结为常微分方程定解问题。很多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近 似求解。因此，常微分方程的数值解法是偏微分方程数值分析的基础内容。由于生 产和技术需要的推动，经过长时间的发展，特别是电子计算机诞生以来的大发展， 常微分方程定解问题的数值解法是比较成熟的，理论是比较完善的，数值分析工作 者构造了许多有实用价值的方法。本文主要讨论初值问题的数值方法。
y ( x) = y0 + ∫ f (τ , y (τ ))dτ .
x0
x
于是
y ( x + h) = y ( x) + ∫
x+h x
f (τ , y (τ ))dτ .
根据上式及积分中值定理
1
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
∫
可得
x n +1
第二章基本定理第二讲解的延拓
第⼆章基本定理第⼆讲解的延拓第⼆讲解的延拓（3学时）教学⽬的：讨论解的延拓定理。
教学要求：理解解的延拓定理，并⽤解的延拓定理研究⽅程的解教学重点：解的延拓定理条件及其证明教学难点：应⽤解的延拓定理讨论解的存在区间。
教学⽅法：讲练结合教学法、启发式相结合教学法。
教学⼿段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
教学过程：解的存在唯⼀性定理的优点是:在相当⼴泛的条件下,给定⽅程:),(y x f dxdy =有满⾜初值条件00)(y x y =的唯⼀解存在,但也有缺点,即它是局部的,它只能肯定这种解在0x x =附近的⼀个区间),min(,||0mb a h h x x =≤-上存在,有时所得的区间很⼩,因⽽相应的微分曲线也只是很短的⼀段,如初值问题 22(3.1)(0)0dy x y dx y ?=+ =?当定义域为R:11≤≤-x 时,解存在的唯⼀区间.21}21,1min{||==≤h x 当定义域为R:21≤≤-x 时,解的顾在唯⼀区间.41}41,1min{||==≤h x 这样随着),(y x f 的定义域的增⼤,解存在的唯⼀区间反⽽缩⼩,这显然是我们不想看到的,⽽且实际要求解存在下载向尽量⼤,这就促使我们引进解的延拓概念.扩⼤解存在不在此区间.1．局部利普希茨(Lipschitz )条件. 若函数),(y x f 在区域G 内连续且对G 内的每⼀点P,有以P 为中⼼完全含于G 内的闭矩形Rp 存在,在Rp 上),(y x f 在G 内关于y 满⾜Lipschitz 条件,(对不同的点,域Rp 的⼤⼩和常数L 尽可能不同),则称 ),(y x f 在G 内对y 满⾜局部Lipschitz 条件.2. 解的延拓定理. 如果⽅程(3.1)在奇函数),(y x f 在有界区域G 中连续,且在G 内关于y 满⾜局部Lipschitz 条件,那么⽅程(3.1)的通解过G 内任何⼀点(00,y x )的解)(x e y =可以延拓.直到点))(,,(x x ?任意接近G 的边界.以向X 增⼤的⼀⽅延拓来说,如果)(x y ?=它的延拓到区间m x x ≤≤0时.则当m x →时,))`(,(x x ?趋于区间G 的边界.上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯⼀性定理.应该注意到，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很⼩”的.通常⽅程(2.1)的右端函数f (x ,y )存在区域D 可能是很⼤的，这样，我们⾃然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩⼤.2.3.1 延展解、不可延展解的定义定义2.1 设1()y x ?=是初值问题（2，2）在区间 1I R ?上的⼀个解，如果（2.2）有⼀个在区间 2I R ?上的解 2()y x ?=，且满⾜(1) 12,I I ?(2)当 1x I ∈时， 12()(),x x ??≡则称解 1()y x ?=，1x I ∈是可延展的，并称 2()x ?是 1()x ?在2I 上的⼀个延展解. 否则，如果不存在满⾜上述条件的解 2()x ?，则称 1x I ∈，1()x ?是初值问题(2.2)的⼀个不可延展解(亦称饱和解)。
3.2_解的延拓
f ( x, y ) f ( x, y ) L1 y y
' " ' "
恒成立, 则称f ( x, y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件.
注
若f y ( x, y)在G内连续, 则f ( x, y)在G内关于 y满足局部Lipschitz条件.
定理 对定义在平面区域 G上的初值问题
能达到G的边界.
1 方程过 (1,1)的解为 y , 它的左端达到 x 2, 2 x 但右端当x 2 时, y ; 故不能达到 G的边界x 3.
该例题说明, 虽然f ( x, y)在带形区域 2 x 3中 满足定理1的要求, 但方程的解却不能够延拓到整 个区间(2,3)上去.
§3.2 解的延拓
问题提出
dy f ( x, y ) 对于初值问题 , R : x x0 a, y y0 b, dx y ( x0 ) y0
上节解存在唯一性定理 告诉我们 , 在一定条件下 ,
b 这里h min{a, }, M max f ( x, y ) ( x , y )R M 那么在大点的区间上解是什么样的就无从得知了， 因此上节课讲的存在唯一性定理也称局部存在唯一 性定理，确定的解称局部解。
如图, 通过点(ln 2,3)的解向右可延拓到 , 但向左只能延拓到 0,因x 0时, y .
例2 研究定义于带域 2 x 3中的方程
dy y2 dx 通过点 (0,0), (1,1)的解存在区间 .
解
f ( x, y) y 2处处连续,
且在带域中关于 y满足局部Lipschitz条件, 1 , 此外还有解: y 0. 方程通解为 y cx 方程过(0,0)的解为y 0, 积分曲线y 0的两端都
' " ' "
恒成立, 则称f ( x, y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件.
注
若f y ( x, y)在G内连续, 则f ( x, y)在G内关于 y满足局部Lipschitz条件.
定理 对定义在平面区域 G上的初值问题
能达到G的边界.
1 方程过 (1,1)的解为 y , 它的左端达到 x 2, 2 x 但右端当x 2 时, y ; 故不能达到 G的边界x 3.
该例题说明, 虽然f ( x, y)在带形区域 2 x 3中 满足定理1的要求, 但方程的解却不能够延拓到整 个区间(2,3)上去.
§3.2 解的延拓
问题提出
dy f ( x, y ) 对于初值问题 , R : x x0 a, y y0 b, dx y ( x0 ) y0
上节解存在唯一性定理 告诉我们 , 在一定条件下 ,
b 这里h min{a, }, M max f ( x, y ) ( x , y )R M 那么在大点的区间上解是什么样的就无从得知了， 因此上节课讲的存在唯一性定理也称局部存在唯一 性定理，确定的解称局部解。
如图, 通过点(ln 2,3)的解向右可延拓到 , 但向左只能延拓到 0,因x 0时, y .
例2 研究定义于带域 2 x 3中的方程
dy y2 dx 通过点 (0,0), (1,1)的解存在区间 .
解
f ( x, y) y 2处处连续,
且在带域中关于 y满足局部Lipschitz条件, 1 , 此外还有解: y 0. 方程通解为 y cx 方程过(0,0)的解为y 0, 积分曲线y 0的两端都
3.2 解的延拓定理
§ 3.2 Extension Theorem
向右可以延拓到
但向左方只能延拓到 0, 因为当 x 0 时, y (无界) 这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况。 y
1
ln2
x
-1
-3
(ln2,-3)
§ 3.2 Extension Theorem
例2
讨论方程
dy 1 ln x 满足条件 y(1) 0 dx
x0 x1
§ 3.2 Extension Theorem
二、 解的延拓定理及其推论 1 解的延拓定理 如果方程(3.1)右端的函数 f ( x, y) 在有界区域 G 中连续，且在 G 内满足局部利普希兹条件，那么 方程(3.1)通过G 内任何一点 ( x0 , y0 )的解 y (x) 可以延拓。 直到点 ( x, ( x)) 任意接近区域G 的边界。 以向 x 增大的一方的延拓来说，如果
2
x(t ) tan(x(0)t c) arctan x x(0)t
x(0) 0
x(t ) tan(x(0)t )
y(1) 1 and y (1) 1 的解的存在区间。
(1,2), (0,3)
dy p( x) y Q( x) 2 设线性方程 dx
当 P(x),Q(x) 在区间 (,) 上连续，则由任一初值
( x0 , y0 )
x0 (,) 所确定的解在整个区间
(,) 上都存在。
§ 3.2 Extension Theorem
2 解的延拓
设 y ( x) x [a, b] 是
dy ( f ( x, y).........3.1.1) dx ( x0 ) y 0 .......... 3.1.2) ...(
解的延拓,饱和解
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P’2
R1
定理3.3（解的延拓定理）如果f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并 满足局部李氏条件，则过D内任意点的饱和解存在，令饱和解为 (x) x a 0或x b 0 时，点 ( x, ( x)) 无限接近于D的边界。 注. 饱和区间可以是有界区域，也可以是无界区域。 如果D是无界区域，在延拓定理的条件下 (x) 向x 增大的方向 的延拓有两种可能： （1）可以延拓到区间 [ x0, ) （2）只能延拓到区间 [ x0, d ] ，其中d 是有限数，
（1）经过(0, 0) 的饱和解和饱和区间。 （2）经过 （ln2, -3）的饱和解和饱和区间。
解: (1)定义域为全平面，关于y的偏导数连续，因此经过(0,0) 的 x 解 1 e 存在且唯一。 y x
1 e 解的存在区间为（-∞，+∞）
饱和区间为（-∞，+∞）
（2）经过 （ln2, -3）的解为
1 ( x) 2 ( x)Βιβλιοθήκη 2 ( x)是解
1 ( x) 一个延拓。
P2 P1(x0,y0)
R2
今后设f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并满足局部李氏条件。
R’2 如果f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并满足局部李氏条件，则过 D内任意点的唯一解必可延拓至 D 的边界，这种延拓到了“尽头 ”的解称为饱和解，饱和解对应的区间称为饱和区间。饱和区间 是开集
向左可以无限延拓，因此饱和区间为 当 x0 时向左只能延拓到 x 向右可以无限延拓，因此饱和区间为
当y0=0时：唯一解为y=0,它是饱和解，饱和区间为 (,)
(, )
x
( ,)
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P’2
R1
定理3.3（解的延拓定理）如果f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并 满足局部李氏条件，则过D内任意点的饱和解存在，令饱和解为 (x) x a 0或x b 0 时，点 ( x, ( x)) 无限接近于D的边界。 注. 饱和区间可以是有界区域，也可以是无界区域。 如果D是无界区域，在延拓定理的条件下 (x) 向x 增大的方向 的延拓有两种可能： （1）可以延拓到区间 [ x0, ) （2）只能延拓到区间 [ x0, d ] ，其中d 是有限数，
（1）经过(0, 0) 的饱和解和饱和区间。 （2）经过 （ln2, -3）的饱和解和饱和区间。
解: (1)定义域为全平面，关于y的偏导数连续，因此经过(0,0) 的 x 解 1 e 存在且唯一。 y x
1 e 解的存在区间为（-∞，+∞）
饱和区间为（-∞，+∞）
（2）经过 （ln2, -3）的解为
1 ( x) 2 ( x)Βιβλιοθήκη 2 ( x)是解
1 ( x) 一个延拓。
P2 P1(x0,y0)
R2
今后设f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并满足局部李氏条件。
R’2 如果f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并满足局部李氏条件，则过 D内任意点的唯一解必可延拓至 D 的边界，这种延拓到了“尽头 ”的解称为饱和解，饱和解对应的区间称为饱和区间。饱和区间 是开集
向左可以无限延拓，因此饱和区间为 当 x0 时向左只能延拓到 x 向右可以无限延拓，因此饱和区间为
当y0=0时：唯一解为y=0,它是饱和解，饱和区间为 (,)
(, )
x
( ,)
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b 这里 h min( a, ), M Max f ( x, y ) ( x , y )R M
根据经验, 如果f ( x, y)的定义域R越大, 解的存在唯一 区间也应越大 ,但根据定理的结论 , 可能出现这种情况 ,
即随着f ( x, y)的定义域的增大 , 解的存在唯一区间反而 缩小, 这显然是我们不想看到 的.
( x), x0 h0 x x0 h0 定义函数 ( x) , ( x), x0 h0 x x1 h1
*
那么, y ( x)为方程(3.1)满足(2)(或(3)),在[ x0 h0 , x1 h1 ]
*
上有定义的唯一解 . 这样我们已把方程 (3.1)满足(2)的解
注 如果函数f ( x, y )在整个xy
平面上有定义 , 连续和有界, 同时存在关于 y的一阶连续 偏导数, 则方程(3.1)的解可 以延拓到区间 (,).
dy y 1 通过点(ln 2,3)的解存在区间 . dx 2
2
1 ce x y , x 1 ce 故通过点 (ln 2,3)的解为 1 ex y , x 1 e 这个解的存在区间为 (0,),
如图, 通过点(ln 2,3)的解向右可延拓到 , 但向左只能延拓到 0,因x 0时, y .
能达到G的边界.
1 方程过 (1,1)的解为 y , 它的左端达到 x 2, 2 x 但右端当x 2 时, y ; 故不能达到 G的边界x 3.
该例题说明, 虽然f ( x, y)在带形区域 2 x 3中 满足定理1的要求, 但方程的解都不能够延拓到整 个区间(2,3)上去.
dy x2 y2 , 例如 初值问题 dx y (0) 0 当取定义域为 R : 1 x 1,1 y 1时, 1 1 解的存在唯一区间 x h min{1, } . 2 2 当取定义域为 R : 2 x 2,2 y 2时, 2 1 解的存在唯一区间 x h min{2, } . 8 4
R1 G, 则初值问题
dy f ( x, y ) , (3) dx y ( x1 ) y1 存在唯一解y ( x), 解的存在唯一区间为 x x1 h1 0
因 ( x1 ) ( x1 ),由唯一性定理 , 在两区间的重叠部分 应有 ( x) ( x), 即当x1 h1 x x1时 ( x) ( x),
则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解. 推论2
设y ( x)为初值问题
dy f ( x, y ) , 其中( x0 , y0 ) G. dx y ( x0 ) y0
一个饱和解 , 则该饱和解的饱和区间 I一定是开区间 .
证明 若饱和区间 I不是开区间 ,
设I ( , ], 则( , ( )) G
f ( x, y ) f ( x, y ) L1 y y
' " ' "
恒成立, 则称f ( x, y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件.
注 若f ( x, y )及f y ( x, y )在G内连续, 则f ( x, y )在G内关于
y满足局部Lipschitz条件.
3 解的延拓定理 定理 如果方程(3.1)右侧函数f ( x, y )在有界区域G
(1) ( 2 , 2 ) (1 , 1 )但( 2 , 2 ) (1 , 1 ), (2) 当x (1 , 1 )时, ( x) ( x);
则称解y ( x), x (1 , 1 )是可延拓的 , 并且称解 y ( x)是解y ( x)在( 2 , 2 )的一个延拓 .
这样解y ( x)还可以向右延拓 ,
从而它是非饱和解 , 矛盾 对I [ , )时,同样讨论
即x (或 )时, ( x, ( x)) G.
推论3 如果G是无界区域 , 在上面延拓定理条件下 ,
方程(3.1)的通过点( x0 , y0 )的解y ( x)可以延拓,以 向x增大(减少)一方的延拓来说 , 有下面的两种情况
若不存在满足上述条件 的解y ( x),则称解y
( x), x (1 , 1 )为方程的一个不可延拓 解, 或饱和解 .
此时把不可延拓解的定 义区间(1 , 1 )称为一个饱和区间 .
2 局部李普希茨(Lipschitz)条件 定义2 若函数f ( x, y )在区域G内连续, 且对G内的每
y ( x), 在定义区间向右延长了 一段. 即方程(3.1)满足(2)的解y * ( x)为解y ( x)在定义
区间 x x0 h0的向右方延拓 ,
即将解延拓到较大区间 x0 h0 x x0 h0 h1上,
同样方法可把解 y ( x)向左方延拓 . 以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一 次地进行下去.直到无法延拓为止. 最后得到一条长长的积分曲线,
中连续, 且在在G内f ( x, y )关于y满足局部Lipschitz条 件.那么方程(3.1)通过G内任一点( x0 , y0 )的解y ( x) 可以延拓, 直到点( x, ( x))任意接近G的边界.
以向x增大的一方来说 , 如果y ( x)只延拓到区 间x0 x m上, 则当x m时, ( x, ( x))趋于区域G的 边界.
一点P, 有以P为中心完全含于 G内的闭矩形RP 存在, 在RP 上f ( x, y )关于y满足Lipschitz条件(对不同的点 , 域RP 大小和常数L可能不同),则称f ( x, y )在G内关 于y满足局部Lipschitz条件.
对定义2也可如下定义
对定义在平面区域 G上函数f ( x, y ), 若对( x1 , y1 ) G, 矩形R1 {( x, y ) | x x1 a1 , y y1 b1} G及常数 L1 (与x1 , y1 , a1 , b1有关), 使对( x, y ' ), ( x, y '' ) R1有
例2 研究定义于带域 2 x 3中的方程
dy y2 dx 通过点 (0,0), (1,1)的解存在区间 .
解
f ( x, y) y 2处处连续,
且在带域中关于 y满足局部Lipschitz条件, 1 , 此外还有解: y 0. 方程通解为 y cx 方程过(0,0)的解为y 0, 积分曲线y 0的两端都
, 初值问题 证明 ( x0 , y0 ) G,由解存在唯一性定理
dy f ( x, y ) , (2) dx y ( x0 ) y0 存在唯一解 y ( x),解的存在唯一区间为 x x0 h0 . 取x1 x0 h0 , y1 ( x1 ),以( x1 , y1 )为心作一小矩形
§3.2 解的延拓
y
y3 y4 y2 y1
O
x1
x2
x3
x4
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 问题提出
dy f ( x, y ) 对于初值问题 , R : x x0 a, y y0 b, dx y ( x0 ) y0
上节解存在唯一性定理 告诉我们 , 在一定条件下 ,
它的解在区间x x0 h上存在唯一 ,
正因为如此，上节中所介绍的存在唯一性定理也叫做 解的局部存在唯一性定理。这种局部性质在实际使用过程 中产生了很大的问题，实践上要求解得存在区间尽量扩大 ，这样就需要讨论解得延拓的问题。（注：这个问题不是 计算上的问题，而是理论上大范围解得存在问题，当今数 学软件可以求大范围的解）。为此给出如下定义：
(1) 解y ( x)可以延拓到区间 [ x0 ,)((, x0 ],
(2) 解y ( x)可以延拓到区间 [ x0 , m)((m, x0 ], 其中m为有限数,当x m时, 或者y (m)无界, 或者( x, ( x)) G
例1 讨论方程
解 该方程右侧函数确定在整个xy平面上且满足解 的存在唯一性定理及解的延拓定理条件.其解为
1 饱和解及饱和区间 定义1 对定义在平面区域 G上的微分方程
dy f ( x, y ), (3.1) dx 设y ( x)为方程(3.1)定义在区间 (1 , 1 )的连续解 ,
若存在方程(3.1)的另一解y ( x),它在区间 ( 2 , 2 )上 有定义, 且满足
即得到(3.1)满足(2)的一个解y ( x).
它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1) 的饱和解.
推论1 对定义在平面区域 G上的初值问题
dy f ( x, y ) , 其中( x0 , y0 ) G. dx y ( x0 ) y0 若f ( x, y)在G内连续且关于 y满足局部Lipschitz条件,