金太阳2017届大联考文理科数学试题pdf版
2017年5月2017届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(参考答案及评分标准)
12017年第三次全国大联考【新课标III 卷】理科数学·参考答案13．3 14．590490 15．12 16．2sin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭17．【解析】（Ⅰ）由cos cos 2a B b A +=，根据余弦定理，得222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，整理，得2c =．………………2分由()cos 1cos cA b C =-，根据正弦定理，得()sin cos sin 1cos C A B C =-，即sin sin cos sin cos B C A B C =+，又sin B ＝()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，………4分sin cos sin cos B C A C =，故cos 0C =或sin sin A B =．………………5分当cos 0C =时，2C π=，故ABC △为直角三角形； 当sin sin A B =时，A B =，故ABC △为等腰三角形．………………7分（Ⅱ）因为13sin cos 226x x x x x ⎫π⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以6C π=．………………8分 由（Ⅰ）知2c =，A B =，则a b =，………………9分 所以由余弦定理，得22242cos 6a a a π=+-，解得28a =+，………………10分 所以ABC ∆的面积21sin 226S a π==………………12分18．【解析】（Ⅰ）由题意，得参加跑步类的有778042013⨯=人，………………1分 所以420180240m =-=，78042018012060n =---=．………………3分 根据分层抽样法知，抽取的13人中参加200米的学生人数有180133780⨯=人．………………5分2（Ⅱ）由题意，得抽取的13人中参加400米的学生人数有240134780⨯=，参加跳绳的学生人数有3人，所以X 的所有可能取值为1、2、3、4，………………6分()134347C C 41C 35P X ===，()224347C C 182C 35P X ===，()314347C C 123C 35P X ===，()4447C 14C 35P X ===，………………9分所以离散型随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 4P435 1835 1235 135所以41812116()1234353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分 19．【解析】（Ⅰ）如图，连接AC 交BD 于点M ，连接MH ．∵AFBG DE ，BG DE =，AF ⊥平面ABCD ，∴四边形BDEG 为矩形，………………1分又∵H 为EG 中点，∴MHBGAF ，MH BG =，………………2分又∵AF ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥BD ．………………3分 在正方形ABCD 中，BD AC ⊥，且ACMH M =，∴BD ⊥平面CMH ，………………4分又CH ⊂平面CMH ，∴BD CH ⊥．………………5分（Ⅱ）由题意，以D 为坐标原点，以,,DA DC DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设1AB AF BG DE ====，………………6分则()0,0,1E ，()1,0,1F ，()1,1,1G ，()0,1,0C ，()1,0,0EF =，()0,1,1EC =-，()1,1,0EG =． …………………………………………………………………7分 设()1111,,x y z =n 为平面FCE 的一个法向量，则由110EF EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得11100x y z =⎧⎨-=⎩，取11y =，得()10,1,1=n ．………………9分3设()2222,,x y z =n 为平面GCE 的一个法向量，则由2200EG EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得222200x y y z +=⎧⎨-=⎩，取21y =，得()21,1,1=-n ，………………11分∴1212126cos ,||||323⋅===⋅⨯n n n n n n ， ∴二面角F CE G --的余弦值为6．………………12分20．【解析】（Ⅰ）由题意，得63c a = ①，且12||2F F c =，21||b PF a=，则212146||||2b F F PF c a ⋅=⋅= ②．………………2分由①②联立，并结合222a b c =+，解得26a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=．………………4分 （Ⅱ）当直线m 与x 轴不垂直时，设直线m 的方程为()()20y k x k =-≠，代入椭圆C 的方程22162x y +=，得()222213121260k x k x k +-+-=．………………5分 设()11,A x y 、()22,B x y ，所以21221213k x x k+=+，212212613k x x k -=+．………………6分 根据题意，假设在x 轴上存在一个定点()0,0M x ，使得MA MB ⋅的值为定值， 则()()()()101202102012,,MA MB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+()()()()()()222002222120120231210612413x x k x k x x k x x x k x k-++-=+-++++=+．…………7分要使上式为定值，即与k 无关，则()220003121036x x x -+=-，解得073x =，4此时，20569MA MB x ⋅=-=-，………………8分 所以在x 轴上存在定点7,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使得MA MB ⋅为定值，且073x =，定值为59-．……………9分当直线m 与x 轴垂直时，将2x =代入椭圆方程可求得出,A B 的坐标，不妨设,2,A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，则161,,,33MA MB ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭∴115()()339MA MB ⋅=-⨯--=-．…………11分 综上可知，在x 轴上存在定点7,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使得MA MB ⋅为定值，且073x =，定值为59-．……12分21．【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()1+∞－，，()()()()2331212111x a af x x x x +-'=+++－＝，………………2分 当0a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在()1+∞－，上单调递增；……………3分 当0a >时，若1x ≥，则()0f x '≥，函数()f x 在1,)+∞上单调递增；若11x -<<，则()0f x '<，函数()f x 在(1)-上单调递减．……………4分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1+∞－，上单调递增；当0a >时，函数()f x 在区间()1-上单调递减，在)1,+∞上单调递增．………………5分（Ⅱ）22()323()3g x x x x x '=-=-，1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可见，当2,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥，()g x 在2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≤，()g x 在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，………………7分而()1224327g g ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭，所以，()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，………………8分 依题意，只需当12,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()11134x f x ++≥恒成立， 即()()1111x f x +≥，即()()1ln 111a x x x +++≥+在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，5亦即()()()211ln 1a x x x ≥+-++在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立．………………9分 令()()()2()11ln 1h x x x x =+-++2,13x ⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()()()21ln 1h x x x x '=--++，………9分显然(0)0h '=， 当2,03x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时， 0x ->，()()21ln 10x x ++<，()0h x '>，即()h x 在2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增；………………10分当(]0,1x ∈时，0x -<，()()21ln 10x x ++>，()0h x '<，即()h x 在区间(]0,1上单调递减； 所以，当0x =时，函数()h x 取得最大值(0)1h =，………………112分 故1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．………………12分请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y -+=，斜率为1， 所以直线l '的斜率为1-．………………1分因为圆C 的极坐标方程可化为24cos 2sin 0m ρρθρθ--+=，所以将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上述方程得圆C 的直角坐标方程为22420x y x y m +--+=，则配方，得()()22215x y m -+-=-，其圆心为()2,1C ，半径为)5m <．………………3分由题意，知直线l '经过圆心()2,1C ，所以直线l '的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，所以由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l '的极坐标方程为()cos sin 3ρθθ+=．………………5分（Ⅱ）因为||AB =C 到直线l)5m =<．)5m =<，解得1m =．………………7分 （Ⅲ）当所求切线的斜率存在时，设切线方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=．2=，解得512k=，所以所求切线的方程为512280x y-+=；当所求切线的斜率不存在时，切线方程为4x=．………………9分综上，所求切线的方程为4x=或512280x y-+=．………………10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（Ⅰ）设()222f x x x=+--，则()4,13,124,2x xf x x xx x--<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，………………1分当1x<-时，由42x-->，得6x<-，6x<-∴；………………2分当12x-≤<时，由32x>，得23x>，223x<<∴；………………3分当2x≥时，由42x+>，得2x>-，2x≥∴．………………4分综上所述，集合M为2|63x x x⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1t=，则()()()1111a b c t---==．因为1,1,1a b c>>>，所以10,10,10a b c->->->，………………6分则()110a a=-+≥>，（当且仅当2a=时等号成立）……………7分()110b b=-+≥>，（当且仅当2b=时等号成立）………………8分()110c c=-+≥>，（当且仅当2c=时等号成立）………………9分则8abc≥≥（当且仅当2a b c===时等号成立），即8abc≥．………………10分67。
2017年5月2017届高三第三次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数卷(参考答案)
2017年第三次全国大联考【新课标Ⅰ卷】理科数学·参考答案1 2 3 4 5 6 C D A B C C 7 8 9 10 11 12 BCAＡAB13. 1 14. 8 15. 22 16.②③17.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d (0d ≠)，由2930,,a a a 成等比数列可知()()()2111298a a d a d d +=++,又15a =，解得2d =,∴23n a n =+.………………4分（2）由()111n n n a n b b *+-=∈N ，得()11112,n n n a n n b b *---=≥∈N ， 当2n ≥时，11221111111111n n n n n b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()121111126322n n a a a n n n n b --=++++=-++=+，………………………8分 对113b =上式也成立，∴()()12n n n n b *=+∈N ，∴()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴()()21111111311351232422212412n n n T n n n n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.………12分 18. 【解析】（1）因为ABC △是等边三角形，M 为AB 的中点，所以CM AB ⊥.又因为DB ⊥平面ABC , DB CM ∴⊥，可得CM ⊥平面ABDE ，因为EM ⊂平面ABDE ，所以CM EM ⊥；（4分） （2）如图，以点M 为坐标原点，,MC MB 所在直线分别为,x y 轴，过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.因为DB ⊥平面ABC ，所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成的角.（6分） 由题意得tan 2BDDMB MB∠==，即2BD =，故()0,1,0B ，)3,0,0C ，()()0,1,2,0,1,1D E -，于是()3,1,0BC =-， ()0,0,2BD =， ()3,1,1CE =--， ()3,1,2CD =-，设平面BCD 与平面CDE的法向量分别为()111,,x y z =m ，()222,,x y z =n，则由00BC BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩m m 得1113020x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令11x =，得13y =，所以()1,3,0=m .同理求得3231,,33⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭n ， （10分） 所以cos ,0⋅==m nm n m n，则二面角B CD E --的大小为90︒.（12分） 51015zxyACDE MB(3,3x-2yx+2y=0x+y-4=0y x19.【解析】（1）由已知可得，40岁以下的有3100605⨯=人，使用微信支付的有260403⨯=人，40岁以上使用微信支付的有140104⨯=人．所以22⨯列联表为：40岁以下40岁以上合计 使用微信支付 40 10 50 未使用微信支付 20 30 50 合计6040100由列联表中的数据计算可得2K 的观测值为()21004030201050604050503k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于5010.8283>，所以有的把握认为“使用微信支付与年龄有关”． .．．．．5分（2）采用分层抽样的方法从100名顾客中抽取10人，则从“40岁以下”的人中抽取6人，从“40岁以上”的人中抽取4人，X 的所有可能取值为0,1,2，又()24210C 20C 15P X ===， ()1164210C C 81C 15P X ===， ()26210C 12C 3P X ===，故分布列如下：X 0 1 2P215 815 13数学期望2816()012151535E X =⨯+⨯+⨯=. .．．．．12分 20.【解析】（1）由120MF MF ⋅=，得12MFMF ⊥，即12MF MF ⊥，由勾股定理，得22212(2)20MF MF c +==，且128MF MF ⋅=，解得124,2MF MF ==，根据椭圆的定义，可得1226MF MF a +==，即3a =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的方程为22194x y +=．．．．．．4分（2）由（1）得()13,0A -，()23,0A ，设()00,P x y ，则直线1PA 的方程为()0033y y x x =++，它与直线352x =的交点的坐标为003535,3232y E x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，直线2PA 的方程为()0033y y x x =--，它与直线352x =的交点的坐标为003535,3232y F x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，再设以EF 为直径的圆交x 轴于点(),0Q m ，则QE QF ⊥，从而1QE QF k k ⋅=-，即000035353332321353522y y x x m m⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⋅=---，即2202093549y m x ⎫=-⎪⎪-⎝⎭，解得3512m =±.故以EF 为直径的圆交x 轴于定点，该定点的坐标为351,02⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或351,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ．．．．．．．．．．12分 21.【解析】（1）令()()cos e xg x f x kx x =-- sin e x x kx =-，要使()e cos x f x kx x≥+恒成立，只需当2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()min0g x ≥，()()sin s e co x g x x x k =+-'，令()()sin c e os xh x x x =+，则()2cos 0e x h x x '=≥对2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，()h x ∴在2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数，则()2πe 1,h x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．．．．．．．．．．2分①当1k ≤时， ()0g x '≥恒成立， ()g x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，()()min 00g x g ∴==，1k ∴≤满足题意；②当2π1e k <<时， ()0g x '=在2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有实根0x , ()h x 在2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数，则当[)00,x x ∈时，()0g x '<，()()000g x g ∴<=不符合题意；③当π2e k ≥时， ()0g x '≤恒成立， ()g x 在2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，()()00g x g ∴<=不符合题意，1k ∴≤，即(],1k ∈-∞. ．．．．．．．．．．5分 （2）()f x =()sin co e s x x x +，()e '2cos x f x x ∴=，设切点坐标为()()0000,sin cos ex x x x +，则切线斜率为()0002cos 'e x f x x =，从而切线方程为()000sin cos e x y x x -+()0002cos e x x x x =-，()0000001sin cos 2co 2πe s e x x x x x x -⎛⎫∴-+=- ⎪⎝⎭，即00tan 22πx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1tan y x =， 222πy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这两个函数的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标关于π2x =对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于π2x =成对出现，又在20152017,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内共有1008对，每对和为π，∴数列{}n x 的所有项之和为1008π. ．．．．．12分 22.【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22124x y +=，直线l 的普通方程为33x y +=.……5分（2）点()03P ，在直线l 33x y +=上，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得221323422t t ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 251240t t ∴+-=，设两根为1t ，2t ，12125t t +=-，124·05t t ∴=-<，故1t 与2t 异号，2121212414()45PA PB t t t t t t ∴+=-=+-=，121245PA PB t t t t ⋅=⋅=-⋅=， 1114·PA PB PA PB PA PB+∴+==.………………10分23.【解析】（1）不等式()0f x x +>可化为21x x x -+>+，当1x <-时， ()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时， ()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时， 21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()0f x x +>的解集为{|31x x -<<或3}x >.……………5分（2）由不等式()22f x a a ≤-可得2212x x a a ≤--+-，21213x x x x -+≤----=，∴223a a -≥，即2230a a --≥，解得1a ≤-或3a ≥，故实数a 的取值范围是1a ≤-或3a ≥.…10分。
2017年3月2017届高三第二次全国大联考(新课标Ⅰ卷)文数卷(原卷版)
2017年第二次全国大联考【新课标Ⅰ卷】文科数学一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合 题目要求的）．1．已知R 是实数集，集合{}2|60A x x x =--≤，1|04x B x x -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则()A B =R（ ）A ．()1,4B ．[]0,2C ．()1,3D ．[]1,32．已知i 是虚数单位，若3i 3iz -=-+，则复数2017z =（ ）A ．1-B ．1C ．13i 2-+ D ．13i 2-- 3．某老师为了分析在一次考试中所教甲、乙两个班的数学成绩，分别从甲、乙两个班中随机抽取了10个学生的成绩，成绩的茎叶图如下：6894677912322 775311 30 178910乙班甲班根据茎叶图，则甲、乙两班被抽取学生成绩的平均值分别为（ ） A ．85,88 B ．86,89C ．88,89D ．88,884．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()10081010,a a 在直线20x y +-=上，则2017S =（ ） A ．4034 B ．2017 C ．1008D ．10105．在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若3sin 2sin A B =，43b c =，则cos B = （ ） A ．15B ．34C ．315D ．11166．已知命题p ：“2a =”是“函数()21f x x ax =++在区间[)1,-+∞上为增函数”的充要条件”；命题q ：“已知函数()ln 38f x x x =+-的零点[]0,x a b ∈，且()1,b a a b +-=∈N ，则5a b +=.”则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．q ⌝D ．()p q ∧⌝ 7．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，该几何体的表面积是()211225cm ++，则图中x 的值为（ ）86422俯视图侧视图正视图x 1111A ．3cmB ．1cmC ．2cmD ．5cm 28．下列程序框图中，输出的A 的值是（ ）A ．12013B ．12015C ．12017D ．120199．已知函数()1y f x =+ 的图象关于y 轴对称，若函数()f x 的零点有2017个，这些零点在数轴上从左到右依次为122017,,,x x x ，则122017x x x +++=（ ）A ．0B ．4034C ．2017D ．2017210．设函数()()1232e 2log 1 2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，，，则()()2f f 的值为a ，如图，若三棱锥P ABC -的最长的棱PA a =，且PB BA ⊥，PC AC ⊥，则此三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．163π B ．43πC ．πD ．3π11．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，A B 、分别为双曲线的左、右是开始1,1A i ==结束A输出1i i =+21A A A =+1009i <否顶点，过2F 作直线x c =，在直线x c =上存在点(,)M c m ，使得60AMB ∠=，则双曲线C 的离心率e 的最大值为（ ） A ．3B ．2C．3D．320181612yxO M(c,m)BA12．若存在0x >，使得不等式2ln ex x ax >成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．2,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．(),e 1-∞- D ．()2,e 1-∞-第II 卷本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．设m ∈R ，向量(2,1)m =+a ，(1,2)m =-b ，且⊥a b ，则m ＝ .14．已知函数()sin cos f x x x =+，当[0,]x ∈π时，()2f x ≥的概率为 . 15．已知O 是坐标原点，点(2,1)A ，若点(,)B x y 为平面区域32404020x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩上一个动点，则OA OB ⋅的取值范围是 .16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知20152017151515(1)2016(1)2010a a a -++-=，20152017212121(1)2016(1)2022a a a -++-=，则35S = .三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）定义22⨯矩阵12142334a a a a a a a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭．已知函数()2cos πcos sin 2x x f x a xx ⎛⎫- ⎪=+⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为3．（I ）求()f x 的单调增区间和a 的值； （II ）把函数()y f x =的图象向右平移4π个单位得到函数()y g x =的图象，求()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域． 18．（本小题满分12分）四棱锥A BCDE -中，EB DC ∥，且EB ⊥平面ABC ，1EB =，2DC BC AB AC ==== ，F 是棱AD 的中点.8642FEDCBA（Ⅰ）证明：EF ⊥ 平面ACD ； （Ⅱ）求四棱锥A BCDE -的体积.19．（本小题满分12分）“中国人均读书4.3本（包括络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家。
2017年5月2017届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)文数卷(解析版)
2017年第三次全国大联考【新课标III 卷】文科数学·全解全析一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1．若集合{}2,1,0,1,2M =--，21{|1,}2N y y x x ==-+∈R ，则M N =（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}2,1,0--C ．{}1,2D ．{}2 1．A 【命题意图】本题考查集合的运算、二次函数值域，意在考查运算求解能力．【解析】因为{}2,1,0,1,2M =--，{}|1N y y =≤，则{}2,1,0,1MN =--，故选A ． 2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足41i 1z=-+，则共轭复数z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．D 【命题意图】本题考查复数的运算、共轭复数与模的计算，意在考查运算求解能力． 【解析】由41i 1z =-+，得()()()41i 41112i 1i 1i 1i z +=-=-=+--+，则12i z =-，在复平面上对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限，故选D ．3．在长为4的线段PQ 上随机取一点R （R 不取端点值），以PR 的长为边长的正方形的面积大于9的概率为（ ）A ．12B ．14C ．716D ．9163．B 【命题意图】本题考查几何概型，意在考查运算求解能力． 【解析】由题意，知29PR >，即34PR <<，则所求概率为43144-=，故选B ． 4．已知函数()1e 2x x f x -=+，且()2e 1f x -≤+，则实数x 的取值范围是（ ）A ．()(),33,-∞+∞B ．(],3-∞C ．()3,+∞D ．(),-∞+∞4．B 【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，意在考查运算求解能力、等价变换的能力．【解析】由函数解析式易知()f x 在R 上为增函数，且()1e 1f =+，所以原不等式等价于()()21f x f -≤，所以21x -≤，解得3x ≤，故选B ．5．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，,A B 为抛物线上两个不同的点，满足||||8AF BF +=，且线段AB 的中点坐标为()3,4，则p =（ ）A ．12 B ．2 C ．4 D ．8 5．B 【命题意图】本题主要考查抛物线的几何性质，意在考查运算求解能力．【解析】由题意知236A B x x +=⨯=，根据抛物线的定义及||||8AF BF +=知822A B p p x x +++=，即68p +=，解得2p =，故选B ． 6．若变量,x y 满足约束条件2204x y x y x -≥-⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩，且331z x y m =-++-的最大值为1，则m =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．36．A 【命题意图】本题主要考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力．【解析】作出约束条件2204x y x y x -≥-⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩所对应的可行域（如图中阴影部分）．变形目标函数可得直线331y x z m =+-+， 当直线经过点()4,1A --时，z 取得最大值，即()341311m -⨯--+-=，解得3m =-，故选A ．7．执行下列程序框图，如果输出的i 值为2，那么输入的x 的取值范围是（ ）A ．4x <B ．24x <<C ．24x ≤<D ．416x ≤<7．C 【命题意图】本题主要考查程序框图，意在考查辨识框图的能力、运算求解能力．【解析】执行下列程序：20,log i x x ==→()221,log log i x x ==→()()2222,log log log i x x ==,则由()()()22222log log log 0log log 0x x ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，解得24x ≤<，故选C ．8．如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线与粗虚线画出的是正方体中挖去了两个半圆锥得到的一个几开始x 输入0i =2log x x =0?x <1i i =+i 输出结束何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．8045+πB ．()84451+-πC ．()80451+-π D ．8445+π 8．C 【命题意图】本题主要考查三视图与正方体、圆锥的表面积，意在考查空间想象能力、转换能力、运算求解能力．【解析】根据三视图还原出来的几何体如下图所示，其表面积221164224422S ⎛⎫=⨯-⨯π⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭＋22242π⨯⨯+＝()80451+-π，故选C ．9．函数()223e x y x x =+的图象大致是（ ）9．A 【命题意图】本题考查函数图象、导数与极值的关系，意在考查识图能力．【解析】由()f x 的解析式知只有两个零点32x =-与0x =，排除B ；又()()2273e x f x x x '=++，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选A ．10．已知过半径为2的球的球心的大圆面α内有一个内接正ABC △，点P 是过AB 且与平面α垂直的球的截面圆上任意一点，则点P 到平面ABC 的最大距离为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．23 10．B 【命题意图】本题主要考查球的性质、面面垂直的应用，意在考查空间想象能力、运算求解能力．【解析】如图所示，由题意，知平面PAB ⊥平面ABC ，所以点P 在平面ABC 上的射影D 落在AB 上，所以PD ⊥平面ABC ，所以当D 为AB 的中点时，点P 到平面ABC 的距离最大，即为PD ．因为ABC △是正三角形，则31CD OD ==，，223PD OP OD =-=，故选B ．1123的双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若线段OF 的垂直平分线与双曲线一条渐近线的交点到另一条渐近线的距离为c λ（c 为半焦距，0λ>），则实数λ的值是（ ）A ．12B ．13C ．2D ．3 11．A 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力及方程思想的应用．【解析】由题意，得()0F c ，，不妨设线段OF 的垂直平分线2c x =与渐近线b y x a =的交点为,22c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此它到另一条渐近线b y x a =-，即0bx ay +=的距离为2222bc bc b c a b λ+==+．又由23c a =与222c a b =+可得12b c =，所以12λ=，故选A ． 12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，()*4n p a n n =∈N ，若*n ∀∈N ，*m ∃∈N ，使得22816n m pS a p n =+成立，且满足条件的所有正整数p 从小到大构成数列{}n b ，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =（ ）A ．()161n n +B ．()41n n +C ．14n n+ D ．()161n n + 12．A 【命题意图】本题考查数列通项与前n 项和，意在考查运算求解能力、裂项法的应用．【解析】因为4n p a n =，所以()18n p S n n =+，代入22816n m pS p n a -=，得()22811684p p p n n p n m ⋅+-=⋅⋅，整理，得4p m n =．由于*m ∈N ，*n ∈N ，*p ∈N ，则必有4p k =()*k ∈N ，于是4n b n =，所以()111111161161n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则n T ＝()1111111111162231161161n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在菱形ABCD 中，()2,3AC =-，()1,2BD x =-，则x =____________．13．4【命题意图】本题主要考查平面向量的垂直的条件，意在考查运算求解能力与转化能力．【解析】由菱形的性质知AC BD ⊥，则 ()()21320AC BD x ⋅=-+-⨯=，解得4x =．14．已知()()()13log 3x a a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩（1,*a a ≠∈N ），若()()2418f f +=，则a =____________． 14．4【命题意图】本题主要考查分段函数的求值，意在考查运算求解能力．【解析】由题意，得21log 418a a ++=，即2log 417a a +=．因为1,*a a ≠∈N ，所以217a <，则24a ≤≤，分别验证2,3,4a =知，只有4a =满足条件，故4a =．15．《孙子算经》是中国古代重要的数学专著，其中记载了一道有趣的数学问题：“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色．”问这个数学问题中动物有＿＿＿＿＿只．（数字作答）15．590490【命题意图】本题考查数学文化、等比数列，意在考查运算求解能力、审读能力．【解析】由题意，知“堤、木、枝、巢、禽、雏、毛”的数量构成一个首项19a =，公比9q =的等比数列{}n a ，其通项公式为1999n n n a -=⋅=，则动物的数量为()5655699919590490a a +=+=+=（只）．16．已知函数())sin 03f x x ωωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭＞的最小正周期为π，若0,3x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()()21110f x a f x a ---+≤∈⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________．16．1,2⎛+-∞- ⎝⎦【命题意图】本题考查三角函数的性质与值域、不等式恒成立，意在考查运算求解能力、等价转化能力．【解析】由22T ωπ==，得()sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭则当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x ≤≤令()1t f x =-，则1t -≤≤，且210t at -+≤恒成立，整理可得1a t t ≤+，而函数1y t t=+在区间1⎡-⎣上单调递增，所以1y tt =+的最小值为(1+-=，则12a +≤-． 三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2222cos 40a c b bc A c +-+-=，且()cos 1cos c A b C =-．（Ⅰ）求c 的值及判断ABC △的形状； （Ⅱ）若6C π=，求ABC △的面积． 17．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积与三角恒等变换，意在考查运算求解能力、逻辑推理能力，以及方程思想、转化思想的应用．【解析】（Ⅰ）由2222cos 40a c b bc A c +-+-=，根据余弦定理，得 2222222402b c a a c b bc c bc +-+-+⋅-=，整理，得2c =．………………2分 由()cos 1cos c A b C =-，根据正弦定理，得()sin cos sin 1cos C A B C =-，即sin sin cos sin cos B C A B C =+＝()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，……………4分 所以sin cos sin cos B C A C =，故cos 0C =或sin sin A B =．……………5分当cos 0C =时，2C π=，故ABC △为直角三角形； 当sin sin A B =时，A B =，故ABC △为等腰三角形．………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2c =，A B =，则a b =，………………8分因为6C π=，所以由余弦定理，得22242cos 6a a a π=+-，解得28a =+，………………10分所以ABC △的面积21sin 226S a π==………………12分 18．（本小题满分12分）某初级中学根据运动场地的影响，且为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2016冬季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高．学校要求每位学生必须参加，且只能参加其中一项，该校780名学生参加各运动项目人数统计如下表：其中参加跑步类的人数所占频率为13，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．（Ⅰ）求表格中m 和n 的取值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；（Ⅱ）抽取的13名学生中恰好包含X Y ，两名同学，其中X 同学参加的项目是200米，Y 同学参加的项目是跳绳，现从参加200米和跳绳两个项目中随机抽取3人，求这3人中正好有X Y ，两名同学的概率．18．【命题意图】本题考查分层抽样、古典概型，意在考查学生的数据获取与处理能力、逻辑思维能力、运算求解能力．【解析】（Ⅰ）由题意，得参加跑步类的有778042013⨯=人，………………1分 所以420240180m =-=，78042018012060n =---=．………………3分 根据分层抽样法知，抽取的13人中参加200米的学生人数有180133780⨯=人．………………5分 （Ⅱ）选出的13人中参加200米的有3人，分别记为12,,A A X ，参加跳绳的有3人，分别记为12,,B B Y ．………………7分现从这6人中任选3人，有()()()()()()()()121211221211121112,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A X A A B A A B A A Y A X B A X B A X Y A B B ，()()()()()()()()1112212222122122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B Y A B Y A X B A X B A X Y A B B A B Y A B Y ，()()()()121212,,,,,,,,,,,X B B X B Y X B Y B B Y ，共20种，………………10分其中这3人中正好有X Y ，两名同学的情况有4种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为41205=．………………12分 19．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 为正方形，AF ⊥平面ABCD ，AF BG DE ∥∥，且AB AF BG DE ===，H 为EG 中点．（Ⅰ）求证：BD CH ⊥；（Ⅱ）若正方形ABCD 的边长为1，求三棱锥G BCE -的体积．19．【命题意图】本题考查空间直线与平面间平行和垂直的判断与证明、三棱锥的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推证能力、运算求解能力．【解析】（Ⅰ）连接AC 交BD 于点M ，连接MH ．∵AF BG DE ∥∥，BG DE =，∴四边形BDEG 为矩形，………………1分又∵H 为EG 中点，∴MH BG AF ∥∥，MH BG =，………………2分又∵AF ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥BD ．………………3分在正方形ABCD 中，BD AC ⊥，且AC MH M =，∴BD ⊥平面CMH ，………………4分 又CH ⊂平面CMH ，∴BD CH ⊥.………………5分（Ⅱ）连接,BF AG 交于点N ，则∵AB AF BG DE ===，AF BG DE ∥∥，∴四边形ADEF 和四边形ABGF 均为平行四边形， ∴EF AD BC ，∴四边形BCEF 为平行四边形．………………7分又AF ⊥平面ABCD ，∴AF AB ⊥，平面ABGF ⊥平面ABCD ，∴四边形ABGF 为正方形，∴AG BF ⊥．………………8分又∵BC AB ⊥，∴BC ⊥平面ABGF ．∵AG ⊂平面ABGF ，∴BC AG ⊥．………………9分 又∵BC BF B =，∴AG ⊥平面BCEF ，即GN ⊥平面BCEF ．………………10分 根据条件可得1222GN AG ==，1BC EF AB ===，………………11分 ∴1111211222366G BCE G BCEF BCEF V V GN S --==⨯⋅==．………………12分20．（本小题满分12分）已知左、右焦点分别为12F F 、的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一短轴端点为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 与椭圆C 交于,P Q 两个不同的点．当四边形12PF F Q为矩形时，其面积为4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设()3,0A -，问：是否存在过定点()1,0M 的直线n 与椭圆C 交于,M N 两个不同的点，使AMN △?若不存在，说明理由；若存在，求出直线n 的斜率．20．【命题意图】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，意在考查学生的逻辑思维能力、分析能力与运算求解能力，以及方程思想、数形结合思想、分类讨论思想．【解析】（Ⅰ）由题意，得32b = ①，且12||2F Fc =，21||b PF a =，则2121||||24b F F PFc a ⋅=⋅= ②．………………2分 由①②联立，并结合222a b c =+，解得29a =， 所以椭圆C 的方程为224199x y +=．………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知点()3,0A -是椭圆C 的左顶点，当直线n 与x 轴平行时，AMN △不存在，…………………6分，所以设直线n 的方程为1x my =+，并设点11(,)M x y ，22(,)N x y ， 联立2241991x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()224280m y my ++-=， 其判别式()2224324361280m m m ∆=++=+>，…………8分， 所以12224m y y m +=-+，12284y y m =-+， 所以121||||2AMN S AM y y ∆=-==，…………10分 假设存在直线n= 解得24m =或26017m =-（舍去），所以2m =±，……………………11分故存在直线n ：21x y =±+使得AMN S △n 的斜率为12±．…………12分 21．（本小题满分12分）设函数()2ln f x ax x a =--．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对任意()1,x ∈+∞，都有()e 1e x f x x+>，求实数a 的取值范围． 21．【命题意图】本题主要考查导数与单调性和最值的关系、不等式恒成立问题，意在考查运算求解能力、逻辑推理能力、等价转化能力， 以及分类讨论的思想、等价转化思想、构造法的应用．【解析】（Ⅰ）()()212120ax f x ax x x x-'=-=>．………………1分 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞内单调递减；………………2分当0a >时，令()0f x '=，有x =x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．………………4分 综上所述，0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞内单调递减；当0a >时，函数()f x 在⎛⎝内单调递减，在⎫+∞⎪⎭内单调递增．………………5分 （Ⅱ）令1e ()ex g x x =-()()1,x ∈+∞，即e e ()e x x x g x x -=()()1,x ∈+∞． ………………6分 令()e e x h x x =-，则()()e e 01xh x x '=->>，则()h x 在()1,+∞内单调递增， 所以()()10h x h >=，故()0g x >．………………7分当0a ≤，1x >时，()2ln 0f x ax x a =--<， 故当()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立时，必有0a >．………………8分 当102a <<时，1>，由（Ⅰ）知函数()f x 在上单调递减，即x ∈时，()(1)()f x f g x <<，不符合题意，舍去．………………9分 当12a ≥时，令()()()u x f x g x =-，1x >，则 ()2211e 11e 22e e x u x ax ax x x x x x '=-+->-+-＝3222221210ax x x x x x -+-+>>，……10分所以()u x 在1x >时单调递增，所以()()10u x u >=恒成立，即()()f x g x >恒成立，满足题意．………………11分 综上，1[,)2a ∈+∞．………………12分请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为()4cos 2sin m ρρθθ--=-，且直线l 与圆C 相交于不同的,A B 两点．（Ⅰ）求线段AB 垂直平分线l '的极坐标方程；（Ⅱ）若||AB =m 的值．（Ⅲ）若1m =，求过点()4,4N 与圆C 相切的切线方程．22．【命题意图】本题考查直线的极坐标与圆的参数方程、直线与圆的位置关系，意在考查运算求解能力、等价转化能力．【解析】（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y -+=，斜率为1，所以直线l '的斜率为1-．………………1分因为圆C 的极坐标方程可化为24cos 2sin 0m ρρθρθ--+=，所以将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上述方程得圆C 的直角坐标方程为22420x y x y m +--+=，则配方，得()()22215x y m -+-=-，其圆心为()2,1C ，半径为)5m <．………………3分由题意，知直线l '经过圆心()2,1C ，所以直线l '的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，所以由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l '的极坐标方程为()cos sin 3ρθθ+=．………………5分（Ⅱ）因为||AB =C 到直线l)5m =<．)5m =<，解得1m =．………………7分（Ⅲ）当所求切线的斜率存在时，设切线方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=．2=， 解得512k =，所以所求切线的方程为512280x y -+=； 当所求切线的斜率不存在时，切线方程为4x =．………………9分综上，所求切线的方程为4x =或512280x y -+=．………………10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式2222x x +-->的解集为M ．（Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）已知t 为集合M 中的最小正整数，若1,1,1a b c >>>，且()()()111a b c t ---=，求证：8abc ≥．23．【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，意在考查运算求解能力、逻辑推理能力、分类讨论与等价转化的思想．【解析】（Ⅰ）设()222f x x x =+--，则()4,13,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，………………1分当1x <-时，由42x -->，得6x <-，6x <-∴；………………2分当12x -≤<时，由32x >，得23x >，223x <<∴；………………3分 当2x ≥时，由42x +>，得2x >-，2x ≥∴．………………4分综上所述，集合M 为2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1t =，则()()()1111a b c t ---==．因为1,1,1a b c >>>，所以10,10,10a b c ->->->， ………………6分则()110a a =-+≥>（当且仅当2a =时等号成立），……………7分()110b b =-+≥>（当且仅当2b =时等号成立），………………8分 ()110c c =-+≥>（当且仅当2c =时等号成立），………………9分 则8abc ≥≥（当且仅当2a b c ===时等号成立）， 即8abc ≥．………………10分。
2017年5月2017届高三第三次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数卷(参考答案)
理科数学 第1页（共7页）2017年第三次全国大联考【新课标Ⅰ卷】理科数学·参考答案1 2 3 4 5 6 C D A B C C 7 8 9 10 11 12 BCAＡAB13. 1 14. 8 15. 22 16.②③17.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d (0d ≠)，由2930,,a a a 成等比数列可知()()()2111298a a d a d d +=++,又15a =，解得2d =,∴23n a n =+.………………4分（2）由()111n n n a n b b *+-=∈N ，得()11112,n n n a n n b b *---=≥∈N ， 当2n ≥时，11221111111111n n n n n b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()121111126322n n a a a n n n n b --=++++=-++=+ ，………………………8分 对113b =上式也成立，∴()()12n n n n b *=+∈N ，∴()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴()()21111111311351232422212412n n n T n n n n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ .………12分 18. 【解析】（1）因为ABC △是等边三角形，M 为AB 的中点，所以CM AB ⊥.又因为DB ⊥平面ABC ,DB CM ∴⊥，可得CM ⊥平面ABDE ，因为EM ⊂平面ABDE ，所以CM EM ⊥；（4分）（2）如图，以点M 为坐标原点，,MC MB 所在直线分别为,x y 轴，过M且与直线BD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.因为DB ⊥平面ABC ，所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成的角.（6分） 由题意得tan 2BDDMB MB∠==，即2BD =，故()0,1,0B ，)C ，()()0,1,2,0,1,1DE -，于是 ()0,0,2BD =，设平面BCD 与平面CDE理科数学 第2页（共7页）的法向量分别为()111,,x y z =m ，()222,,x y z =n ，则由00BC BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩m m 得11x =，得13y ，所以()1,3,0=m .同理求得3231,,33⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭n ， （10分） 所以cos ,0⋅==m nm n m n，则二面角B CD E --的大小为90︒.（12分）51015zxyACDE MB(3,3x-2yx+2y=0x+y-4=0y x19.【解析】（1）由已知可得，40岁以下的有3100605⨯=人，使用微信支付的有260403⨯=人，40岁以上使用微信支付的有14010⨯=人．所以22⨯列联表为：40岁以下40岁以上合计 使用微信支付 40 1050 未使用微信支付 20 3050 合计6040100由列联表中的数据计算可得2K 的观测值为()21004030201050604050503k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于5010.8283>，所以有的把握认为“使用微信支付与年龄有关”． .．．．．5分（2）采用分层抽样的方法从100名顾客中抽取10人，则从“40岁以下”的人中抽取6人，从“40岁以上”的人中抽取4人，X 的所有可能取值为0,1,2理科数学 第3页（共7页）20.【解析】（1）由120MF MF ⋅=，得12MF MF ⊥ ，即12MF MF ⊥，由勾股定理，得22212(2)20MF MF c +==，且128MF MF ⋅= ，解得124,2MF MF ==，根据椭圆的定义，可得1226MF MF a +== ，即3a =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的方程为22194x y +=．．．．．．4分（2）由（1）得()13,0A -，()23,0A ，设()00,P x y ，则直线1PA的方程为()0033y y x x =++，它与直线352x =的交点的坐标为003535,3232y E x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，直线2PA 的方程为()0033y y x x =--，它与直线352x =的交点的坐标为003535,3232y F x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，再设以EF 为直径的圆交x 轴于点(),0Q m ，则QE QF ⊥，从而1QE QF k k ⋅=-，即000035353332321353522y y x x m m⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⋅=---，即22020935492y m x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，解得3512m =±.故以EF 为直径的圆交x 轴于定点，该定点的坐标为351,02⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或351,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ．．．．．．．．．．12分 21.【解析】（1）令()()cos e xg x f x kx x =-- sin e x x kx =-，要使()e cos x f x kx x≥+恒成立，只需()min0g x ≥，()()sin s e co x g x x x k =+-'，令()()sin c e os xh x x x =+，则()2cos 0e x h x x '=≥对恒成立，()h x ∴在理科数学 第4页（共7页）．．．．．．．．．．2分①当1k ≤时， ()0g x '≥恒成立， ()g x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，()()min 00g x g ∴==，1k ∴≤满足题意；②当2π1e k <<时， ()0g x '=在2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有实根0x , ()h x 在2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数，则当[)00,x x ∈时，()0g x '<，()()000g x g ∴<=不符合题意；③当π2e k ≥时， ()0g x '≤恒成立， ()g x 在2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，()()00g x g ∴<=不符合题意，1k ∴≤，即(],1k ∈-∞. ．．．．．．．．．．5分（2）()f x = ()sin co e s xx x +，()e '2cos xf x x ∴=，设切点坐标为()()0000,sin cos ex x x x +，则切线斜率为()0002cos 'e x f x x =，从而切线方程为()000sin cos e x y x x -+()0002cos e x x x x =-，()0000001sin cos 2co 2πe s e x x x x x x -⎛⎫∴-+=- ⎪⎝⎭，即00tan 22πx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1tan y x =， 222πy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这两个函数的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标关于π2x =对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于π2x =成对出现，又在20152017,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内共有1008对，每对和为π，∴数列{}n x 的所有项之和为1008π. ．．．．．12分 22.【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22124x y +=，直线l 的普通方程为33x y +=.……5分（2）点()03P ，在直线l 33x y +=上，将直线l的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得251240t t ∴+-=，设两根为1t，2t ，12125t t +=-理科数学 第5页（共7页）故1t 与2t异号，125PA PB t t ∴+=-==，121245PA PB t t t t ⋅=⋅=-⋅=，1114·PA PB PA PB PA PB+∴+==.………………10分 23.【解析】（1）不等式()0f x x +>可化为21x x x -+>+，当1x <-时， ()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时， ()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时， 21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()0f x x +>的解集为{|31x x -<<或3}x >.……………5分（2）由不等式()22f x a a ≤-可得2212x x a a ≤--+-，21213x x x x -+≤----= ，∴223a a -≥，即2230a a --≥，解得1a ≤-或3a ≥，故实数a 的取值范围是1a ≤-或3a ≥.…10分理科数学 第6页（共7页）理科数学 第7页（共7页）。
2017年5月2017届高三第三次全国大联考(新课标Ⅰ卷)文数卷(解析版)
2017年第三次全国大联考【新课标Ⅰ卷】文科数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合 题目要求的）．1．已知R 是实数集，集合2{|20}A x x x =--≤，21|06x B x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()A B =R（ ）A ．()1,6B ．[]1,2-C ．1,62⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦【命题意图】本题考查一元二次不等式、分式不等式的解法，集合的补集与交集运算等基础知识，意在考查基本运算能力. 【答案】D【解析】220x x --≤，即(1)(2)0x x +-≤，得12x -≤≤，故{}|12x x A =-≤≤；21|0{|66x B x x x x -⎧⎫=≥=>⎨⎬-⎩⎭或1}2x ≤，所以1|62B x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭R，则()1|22A B x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭R，故选D.2．已知复数z 满足52i 25iz +=-（i 是虚数单位），则2017z =（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -【命题意图】本题考查复数的运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】C【解析】因为()2i 25i 52i 5i 2i i 25i 25i 25iz -+-+====---，所以2017201745041i i i z ⨯+===.故选C. 3．若直线20x y +-=与直线0x y -=的交点P 在角α的终边上,则tan α的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．12D 5 【命题意图】本题考查直线的交点,三角函数的定义等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】A【解析】解方程组200x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()1,1P ,由正切函数的定义可知1tan 11y x α===.故选A.4．在一次赠书活动中,将2本不同的小说与2本不同的诗集赠给2名学生，每名学生2本书，则每人分别得到1本小说与1本诗集的概率为（ ） A ．15 B ．13 C ．25 D ．23【命题意图】本题考查古典概型等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】D【解析】将2本不同的小说记为,A B ，2本不同的诗集记为,a b ，每名学生2本书，则其中一名学生得到书的可能为:,,,,,AB Aa Ab Ba Bb ab ,共6种，该学生得到1本小说与1本诗集的可能为:,,,Aa Ab Ba Bb ,共4种，则每人分别得到1本小说与1本诗集的概率为4263P ==. 5．已知圆224690x y x y +--+=与直线3y kx =+相交于,A B 两点，若23AB ≥，则k 的取值范围是（ ）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查学生的分析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力． 【答案】B【解析】作出图象如下图所示，由图可知，圆与y 轴相切与点A ，直线3y kx =+恰好也过A ，当23,||3,||1AB QA CQ ===时，所以13tan 33k CAQ =∠==，根据对称性,若23AB ≥，则33,33k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.161820222426BCx-2y=0M (-2C (4,A (2,2x-y 6x+6x-2=0BQAOy x6(-86．定义：“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等.在数学中也有这样一类数字有这样的特征，称为回文数.设n 是一任意自然数.若将n 的各位数字反向排列所得自然数1n 与n 相等，则称n 为一回文数.例如，若1234321n =，则称n 为一回文数；但若1234567n =，则n 不是回文数.则下列数中不是回文数的是（ ） A ．18716⨯B ．2111C ．4542⨯D ．230421⨯【命题意图】本题考查新定义，数学文化等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力． 【答案】C【解析】因为187162992⨯=，符合定义，所以是回文数；因为211112321=，符合定义，所以是回文数； 因为23042148384⨯=，符合定义，所以是回文数；因为45421890⨯=，不符合定义，所以不是回文数.故选C.7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若46,a a 是方程2180x x p -+=的两根，那么9S =（ ）A ．9B ．81C ．5D ．45【命题意图】本题考查等差数列的性质，一元二次方程根与系数的关系，等差数列求和等基础知识，意在考查基本运算能力和分析求解能力． 【答案】Ｂ【解析】根据46,a a 是方程2180x x p -+=的两根，得4618a a +=，由等差数列的性质可知59,a =所以9599981S a ==⨯=.故选Ｂ.8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是1025+x 的值为（ ）x 22俯视图侧视图正视图A 322 D 5【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的表面积等基础知识，意在考查学生的空间想象能力和基本运算能力． 【答案】D【解析】由三视图作出几何体的直观图,如图,,ABE ADE △△是全等的直角三角形，==90AEB AED ∠∠，122ABE ADE S S x x ==⨯⨯=△△，,ABC ADC △△是全等的直角三角形, ==90ABC ADC ∠∠，2==4,2AB AD x BC +=,故2212442ABC ADC S S x x ==⨯⨯+=+△△,底面四边形的面积为224⨯=，故几何体的表面积为224441025x x x x ++++++=+,解得5x =，选D.EDCBA9. 运行如下程序框图，分别输入1,5t =，则输出S 的和为（ ）A ．10B ．5C ．0D ．5-【命题意图】本题考查程序框图中的顺序结构、条件结构，考查赋值语句、分段函数求值等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力． 【答案】A【解析】当1t =时，输出5S =；当5t =时，输出5S =，所以输出S 的和为5510+=.故选A.10．若)(x f 是偶函数，且在[)+∞,0上函数3,14()93,14xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≥⎪⎩，则32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭与2522f a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的大小关系是（ ）A ．235222f f a a ⎛⎫⎛⎫->++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．235222f f a a ⎛⎫⎛⎫-<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．235222f f a a ⎛⎫⎛⎫-≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．235222f f a a ⎛⎫⎛⎫-≤++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【命题意图】本题考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，意在考查转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力以及运算求解能力． 【答案】C【解析】在[)+∞,0上函数3,14()93,14xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≥⎪⎩，因为函数34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[)0,1上是单调递减函数，函数934y x =-在[)1,+∞上是单调递减函数，且139344⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故函数()f x 在[)+∞,0上是单调递减函数，又因为函数)(x f 是偶函数，所以函数()f x 在(],0-∞上是单调递增函数.因为()2253321222a a a ++=++≥- ，所以235222f f a a ⎛⎫⎛⎫-≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.11．如图，在四边形ABCD 中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，6DA DC ==.现沿对角线AC 折起，使得平面DAC ⊥平面ABC ，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的体积是（ ） A ．92π B ．823π C ．272π D ．12π 2018161412CBDCBDCADBACB【命题意图】本题主要考查球的体积公式，组合体等基础知识，意在考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．【答案】A【解析】∵2AB BC ==，90ABC ∠=︒，∴ABC △的外接圆半径为122AC =.由题意知6DA DC ==，平面DAC ⊥平面ABC ，如图，取AC 的中点E ，连结DE ，则DE ⊥平面ABC ，球心O 在DE 上.在Rt DEA △中，222DE DA AE =-=，∴球心O 到平面ABC 的距离为2R -（R 为外接球的半径），由勾股定理可得()()22222R R =-+，∴32R =，故所求球的体积为349ππ32R =．故选A.2018161412E EEBCBDCADBEC12．若存在(]1,1x ∈-，使得不等式2e xax a -<成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【命题意图】本题考查函数的最值，利用导数研究函数的单调性，不等式存在性问题等基础知识，意在考查转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力以及运算求解能力． 【答案】B【解析】由2e xax a -<得，2e (1)xa x <+，由(]1,1x ∈-得10x +>，2e 1x a x ∴>+，设2e ()1xg x x =+，若存在实数(]1,1x ∈-,使得2e x ax a -<成立, 则a >min ().g x 22e (21)()(1)xx g x x +'=+，由()0,g x '=得12x =-,∴当112x -<<-时, ()0,g x '<当112x -<≤时, ()0,g x '>则()g x 在1(1,)2--上是减函数,在1(,1]2-上是增函数，min 12()()2e g x g ∴=-=，a ∴的取值范围是2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选B ． 第Ⅱ卷本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．在矩形ABCD 中,对角线,AC BD 相交于点O ，E 为BO 的中点，若AE AB AD λμ=+（,λμ为实数），则λμ= .50484644424038OOOOEADCBx【命题意图】本题主要考查平面向量的线性运算等基础知识，意在考查基本运算能力． 【答案】316【解析】()()11131[]22244AE AB AO AB AB AD AB AD AB AD λμ=+=++=+=+,所以313,,4416λμλμ===. 14．为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数()()23cos sin 2344f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象 .【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数图象的变换等基础知识，意在考查数形结合思想，分析问题、解决问题的能力和基本运算能力． 【答案】向右平移3π个单位长度 【解析】由()()23cos sin 2344f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3sin 2sin 22x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin 23cos2=+x x 2sin 23x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,把函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度得到函数2sin 22sin 2333y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象.故填向右平移3π个单位长度. 15．已知实数,x y 满足线性约束条件20626x x y x y -≥+≤-≤⎧⎪⎨⎪⎩，若2x y m -≥恒成立，则实数m 的取值范围是 .【命题意图】本题考查线性规划的应用，不等式恒成立等基础知识，意在考查数形结合思想，分析问题、解决问题的能力和基本运算能力． 【答案】(],6-∞-【解析】作出线性约束条件20626xx yx y-≥+≤-≤⎧⎪⎨⎪⎩表示的可行域，如图中阴影部分所示.设2z x y=-，当直线1122y x z=-经过图中的()2,4A时，z最小，所以z的最小值为2246-⨯=-，所以实数m的取值范围是(],6-∞-.16．过点()(),00M m m>作直线l，与抛物线24y x=有两交点A B,，若0FA FB⋅<，则m的取值范围是 .【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，向量的数量积等基础知识，意在考查学生的分析问题、解决问题的能力，转化能力，基本运算能力及推理能力．【答案】(322,322-+【解析】设直线l的方程为x ty m=+，l与曲线C的交点为()()1122,,,A x yB x y，∴22112211,44x y x y==. 将l的方程代入抛物线方程，化简得2440y ty m--=，判别式()21212160,4,4t m y y t y y m∆=+>+==-.()()11221,,1,FA x y FB x y=-=-，∴()1212121FA FB x x x x y y⋅=-+++()()222121212111164y y y y y y=+-++()()22121212121121164y y y y y y y y⎡⎤=+-+-+⎣⎦.又FA FB⋅<，∴226140m m t-+-<恒成立，∴22614m m t-+<恒成立.240t≥，∴只需2610m m-+<即可，解得322322m-<<+∴所求m的取值范围为(322,322-+.三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知,,a b c分别是ABC△的三个内角,,A B C的三条对边，且()sin sin sin c C a A b a B -=-．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求cos cos A B +的最大值．【命题意图】本题考查正弦定理，余弦定理，三角恒等变换等基础知识，意在考查学生的转化与化归能力、综合分析问题与解决问题的能力以及运算求解能力．【解析】（Ⅰ）因为()sin sin sin c C a A b a B -=-，由正弦定理得222c a b ab -=-，即222ab a b c =+-，所以2221cos 22a b c C ab +-==．又因为()0,πC ∈，所以π3C =．……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知π3C =，又πA B C ++=，所以2π3B A =-且2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故2πcos cos cos cos 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭2π2πcos cos cos sin sin 33A A A =++13πcos sin 226A A A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以ππ5π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当ππ62A +=即π3A =时， cos cos A B +取得最大值，为1．……12分 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，122PA AB AD ===，22PB =，PA AD ⊥，底面ABCD 为平行四边形，60ADC ∠=︒，E 为PD 的中点. （Ⅰ）求证：AB PC ⊥； （Ⅱ）求多面体PABCE 的体积.4681012PCDEAB3xx+y【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面、直线与直线垂直的判定，及锥体的体积公式等基础知识，意在考查学生的空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想． 【解析】（I ）因为2PA AB ==，22PB =，所以222PA AB PB +=，所以AB PA ⊥，由题意知60ABC ADC ∠=∠=︒，1122AB AD BC ==，在ABC △中，由余弦定理有：222AC AB BC =+ 2cos60AB BC -⋅⋅︒ 12=，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥，又因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥. ．．5分 （Ⅱ）由题意知PA AD ⊥，由（I ）知AB PA ⊥，所以PA ⊥平面ABCD ，由已知得122PA AB AD ===，所以2PA AB ==， 4AD =,因为E 为PD 的中点，所以E 点到平面ADC 的距离为112PA =，所以多面体PABCE 的体积为11124sin 60224sin 60123332P ABCD E ADC V V ---=⨯⨯⨯︒⨯-⨯⨯⨯⨯︒⨯=. ．．．．12分19．（本小题满分12分）近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计，其中40岁以下占35，采用微信支付的占23，40岁以上采用微信支付的占14. （Ⅰ）请完成下面22⨯列联表：40岁以下40岁以上合计 使用微信支付 未使用微信支付 合计并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”？（Ⅱ）若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，从“40岁以上”的人中抽取1人，了解使用微信支付的情况，问至少有一人使用微信支付的概率为多少？参考公式: 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.参考数据：()20P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.0010k 2.706 3.841 6.635 10.828【命题意图】本题主要考查22⨯列联表、独立性检验、独立事件的概率等基础知识，意在考查学生的审读能力、获取信息的能力及分类讨论的思想． 【解析】(Ⅰ)由已知可得，40岁以下的有3100605⨯=人，使用微信支付的有260403⨯=人，40岁以上使用微信支付有140104⨯=人．所以22⨯列联表为：40岁以下40岁以上合计 使用微信支付 40 10 50 未使用微信支付 20 30 50 合计6040100由列联表中的数据计算可得2K 的观测值为()21004030201050604050503k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于5010.8283>，所以有的把握认为“使用微信支付与年龄有关”． .．．．．5分(Ⅱ) 若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，这两人使用微信支付分别记为,A B ，则()()23P A P B ==，从“40岁以上”的人中抽取1人，这个人使用微信支付记为C ，则()14P C =，显然,,A B C 相互独立，则至少有一人使用微信支付的概率为()113111133412P ABC -=-⨯⨯= .故至少有一人使用微信支付的概率为1112 . .．．．．12分20．（本小题满分12分）已知圆A ：222150x y x ++-=，过点(1,0)B 作直线l （与x 轴不重合）交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． (Ⅰ) 求点E 的轨迹方程；(Ⅱ)动点M 在曲线E 上，动点N 在直线:23l y =上，若OM ON ⊥，求证：原点O 到直线MN 的距离是定值．【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离等基础知识，意在考查学生的转化与化归能力，综合分析问题、解决问题的能力，推理能力和运算能力．【解析】（Ⅰ）因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=．又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，从而||4AD =，所以||||4EA EB +=，由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆的定义可得点E 的轨迹方程为22143x y +=．……………………5分 （Ⅱ）①若直线ON 的斜率不存在，23ON =， 2OM =， 4MN =， 原点O 到直线MN 的距离·3OM ON d MN==．②若直线ON 的斜率存在，设直线OM 的方程为y kx =，代入22143x y +=，得221234x k =+， 2221234k y k =+，直线ON 的方程为1y x k=-，代入23y =，得()23,23N k -．由题意知222MN ON OM =+ ()()222323k=-+()()222221214813434k k kk+++=++．设原点O 到直线MN 的距离为d ，由题意知··MN d OM ON =⇒ 2222·3OM ON d MN==，则3d =．综上所述，原点O 到直线MN的距离为定值3．……………………12分21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax a x =--.（Ⅰ）试讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若()e 10e xf x x+->在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围. 【命题意图】本题考查不等式恒成立问题、利用导数研究函数的单调性等基础知识，意在考查学生的综合分析问题、解决问题的能力，运算求解的能力以及逻辑思维能力，并考查转化与化归思想．【解析】（Ⅰ）由()2ln f x ax a x =--，得21212)(0)(ax ax x x f xx -=-=>'，当0a ≤时， 0()f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，由0()f x '=，解得2x a =，所以10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 0()f x '<， ()f x 单调递减，1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， 0()f x '>， ()f x 单调递增.综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ……4分. （Ⅱ）21ln e 0e x ax a x x --+->在()1,+∞上恒成立等价于()2e 1e1ln x a x x x ->--在()1,+∞上恒成立，设()e e e 1e ex x xx k x x x =-=-，记()1e e xk x x =-，则()1e e x k x ='-，当1x >时，()10k x '>，()1k x 在()1,+∞上单调递增，()()1110k x k >=，即()0k x >，若0a ≤，由于1x >，故()21ln 0a x x --<，故()e 10e xf x x+->在()1,+∞上恒成立时，必有0a >. ……6分. 当0a >时，①若112a >，则102a <<，由（Ⅰ）知11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()f x 单调递减； 1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，因此()1102f f a ⎛⎫<=⎪⎝⎭，而102k a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即存在112x a =>，使()e 10e x f x x +-<，故当102a <<时， ()e 10e x f x x +->不恒成立. ……9分. ②若112a≤，即12a ≥，设()()21e 1ln e x s x a x x x =---+，()211e2e x s x ax x x '=-+-，由于2ax x≥且1()e e 0xk x x =->，即e 1e x x <，故e 1e xx->-，因此()()2322222111121210x x x xx s x x x x x xxx--+-+'>-+-=>=> ，故()s x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10s x s >=，即12a ≥时，()e 10e x f x x +->在()1,+∞上恒成立. ……11分.综上，1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时， ()e 10e x f x x+->在()1,+∞上恒成立. ……12分. 请考生在第22,23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分．22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，点()03P ，，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241cos ρθ=+．直线l 的参数方程为12(332x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)． （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点分别为,A B ，求11PA PB+的值． 【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，涉及极坐标方程与平面直角坐标方程的互化等基础知识，意在考查转化与化归能力、基本运算能力，方程思想与数形结合思想.【解析】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为22124x y +=，直线l 的普通方程为33x y +=.…………5分 （Ⅱ）点()03P ，在直线l 33x y +=上，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得221323422t t ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 251240t t ∴+-=，设两根为1t ， 2t ，12125t t +=- ， 124·05t t ∴=-<，故1t 与2t 异号，2121212414()4PA PB t t t t t t ∴+=-=+-=，121245PA PB t t t t ⋅=⋅=-⋅=， 1114·PA PB PA PB PA PB+∴+==.………………10分 23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()21f x x x --=+. （Ⅰ）解不等式()0f x x +>；（Ⅱ）若关于x 的不等式()22f x a a ≤-在R 上的解集为R ，求实数a 的取值范围.【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法，恒成立问题等基础知识，意在考查学生综合分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力、逻辑思维能力，考查化归与转化的数学思想．【解析】（Ⅰ）不等式()0f x x +>可化为21x x x -+>+，当1x <-时， ()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时， ()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时， 21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()0f x x +>的解集为{|31x x -<<或3}x >.……………5分（Ⅱ）由不等式()22f x a a ≤-可得2212x x a a ≤--+-，21213x x x x -+≤----=，∴223a a -≥，即2230a a --≥，解得1a ≤-或3a ≥，故实数a 的取值范围是1a ≤-或3a ≥.…10分。
2017年5月2017届高三第三次全国大联考(新课标Ⅰ卷)文数卷(参考答案)
2017年第三次全国大联考【新课标Ⅰ卷】文科数学·参考答案1 2 3 4 5 6 D C A D B C 7 8 9 10 11 12 B DACAB13．16 14．向右平移3个单位长度 15． (],6-∞- 16．(322,322-+ 17．【解析】（Ⅰ）因为()sin sin sin c C a A b a B -=-，由正弦定理得222c a b ab -=-，即222ab a b c =+-，所以2221cos 22a b c C ab +-==．又因为()0,πC ∈，所以π3C =．……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知π3C =，又πA B C ++=，所以2π3B A =-且2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故2πcos cos cos cos 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭2π2πcos cos cos sin sin 33A A A =++13πcos sin 26A A A ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以ππ5π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当ππ62A +=即π3A =时， cos cos A B +取得最大值，为1．……12分 18．【解析】（I ）因为2PA AB ==，22PB =，所以222PA AB PB +=，所以AB PA ⊥，由题意知60ABC ADC ∠=∠=︒，1122AB AD BC ==，在ABC △中，由余弦定理有：222AC AB BC =+ 2cos60AB BC -⋅⋅︒ 12=，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥，又因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥. ．．5分 （Ⅱ）由题意知PA AD ⊥，由（I ）知AB PA ⊥，所以PA ⊥平面ABCD ，由已知得122PA AB AD ===，所以2PA AB ==， 4AD =,因为E 为PD 的中点，所以E 点到平面ADC 的距离为112PA =，所以多面体PABCE 的体积为11124sin 60224sin 60123332P ABCD E ADC V V ---=⨯⨯⨯︒⨯-⨯⨯⨯⨯︒⨯=. ．．．．12分19．【解析】(Ⅰ)由已知可得，40岁以下的有3100605⨯=人，使用微信支付的有260403⨯=人，40岁以上使用微信支付有140104⨯=人．所以22⨯列联表为：40岁以下40岁以上合计 使用微信支付 40 10 50 未使用微信支付 20 30 50 合计6040100由列联表中的数据计算可得2K 的观测值为()21004030201050604050503k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于5010.8283>，所以有的把握认为“使用微信支付与年龄有关”． .．．．．5分(Ⅱ) 若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，这两人使用微信支付分别记为,A B ，则()()23P A P B ==，从“40岁以上”的人中抽取1人，这个人使用微信支付记为C ，则()14P C =，显然,,A B C 相互独立，则至少有一人使用微信支付的概率为()113111133412P ABC -=-⨯⨯= .故至少有一人使用微信支付的概率为1112 . .．．．．12分20．【解析】（Ⅰ）因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=．又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，从而||4AD =，所以||||4EA EB +=，由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆的定义可得点E 的轨迹方程为22143x y +=．……………………5分 （Ⅱ）①若直线ON 的斜率不存在，23ON =， 2OM =， 4MN =， 原点O 到直线MN 的距离·3OM ON d MN==．②若直线ON 的斜率存在，设直线OM 的方程为y kx =，代入22143x y +=，得221234x k =+，2221234k y k =+，直线ON 的方程为1y x k=-，代入23y =，得()23,23N k -．由题意知222MN ON OM =+ ()()222323k=-+()()222221214813434k k k k +++=++．设原点O 到直线MN 的距离为d ，由题意知··MN d OM ON =⇒ 2222·3OM ON d MN==，则3d =．综上所述，原点O 到直线MN的距离为定值3．……………………12分21．【解析】（Ⅰ）由()2ln f x ax a x =--，得21212)(0)(ax ax x x f xx -=-=>'，当0a ≤时， 0()f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，由0()f x '=，解得2x a =，所以10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 0()f x '<， ()f x 单调递减，1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， 0()f x '>， ()f x 单调递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ……4分. （Ⅱ）21ln e 0e x ax a x x --+->在()1,+∞上恒成立等价于()2e 1e 1ln xa x x x ->--在()1,+∞上恒成立，设()e e e 1e ex x xx k x x x =-=-，记()1e e xk x x =-，则()1e e x k x ='-，当1x >时，()10k x '>，()1k x 在()1,+∞上单调递增，()()1110k x k >=，即()0k x >，若0a ≤，由于1x >，故()21ln 0a x x --<，故()e 10e xf x x+->在()1,+∞上恒成立时，必有0a >. ……6分. 当0a >时，①若112a >，则102a <<，由（Ⅰ）知11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()f x 单调递减； 1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，因此()1102f f a ⎛⎫<=⎪⎝⎭，而102k a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即存在112x a =>，使()e 10e x f x x +-<，故当102a <<时， ()e 10e x f x x +->不恒成立. ……9分. ②若112a≤，即12a ≥，设()()21e 1ln e x s x a x x x =---+，()211e 2e x s x ax x x '=-+-，由于2ax x≥且1()e e 0xk x x =->，即e 1e x x <，故e 1e xx->-，因此()()2322222111121210x x x x x s x x x x x x x x--+-+'>-+-=>=> ，故()s x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10s x s >=，即12a ≥时，()e 10e x f x x +->在()1,+∞上恒成立. ……11分.综上，1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()e 10e x f x x+->在()1,+∞上恒成立. ……12分. 22.【解析】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为22124x y +=，直线l 的普通方程为33x y +=.………5分（Ⅱ）点()03P ，在直线l 33x y +=上，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得221323422t t ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 251240t t ∴+-=，设两根为1t ， 2t ，12125t t +=- ， 124·05t t ∴=-<，故1t 与2t 异号，2121212414()45PA PB t t t t t t ∴+=-=+-=，121245PA PB t t t t ⋅=⋅=-⋅=， 1114·PA PB PA PB PA PB+∴+==.………………10分 23.【解析】（Ⅰ）不等式()0f x x +>可化为21x x x -+>+，当1x <-时， ()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时， ()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时， 21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()0f x x +>的解集为{|31x x -<<或3}x >.……………5分（Ⅱ）由不等式()22f x a a ≤-可得2212x x a a ≤--+-，21213x x x x -+≤----=∴223a a -≥，即2230a a --≥，解得1a ≤-或3a ≥，故实数a 的取值范围是1a ≤-或3a ≥.…10分。
2017届全国高考大联考信息卷：数学(文)试卷(1)及答案解析
文 数
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知全集 U R ，集合 M x x 1 ， N y y 2x , x R ，则集合 CU ( M N ) 等于 A． , 1 B． 1,2 C． , 1 2, D． 2,
2．若 z 1 i 1 i i ( i 为虚数单位)，则复数 z 的虚部为 A．
2 1 2
B． 2 1
C．1
D．
2 1 2
3．等差数列 {an } 中， a1 a3 a5 39 ， a5 a7 a9 27 ，则数列 {an } 的前 9 项的和 S9 等于 A．66 4．函数 f ( x ) cos(2 x A．向左平移 B．99 C． 144 D．297
的曲线，则 A． 1 r R 3 B． 1 r 3 R C． r 1 R 3 D． 1 r 3 R
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 为 ． 14． 设 m∈R， 过定点 A 的动直线 x＋my＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y－m＋3＝0 交于点 P(x， y)， 则|PA|· |PB| 的最大值是________．
18．(本小题满分 12 分) 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案， 拟确定一个合理的月用水量标准错误！未找到引用源。 （吨） 、一位居民的月用水量不超过错误！未找到引 用源。的部分按平价收费，超出错误！未找到引用源。的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽 样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.