模态分析的理论基础2013.2.5
模态分析理论
模态分析理论Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。
首先建立结构的物理参数模型，即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题，求得特征对（特征值和特征矢量），进而得到模态参数模型，即系统的模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态刚度等参数。
特征根问题以图3所示的三自由度无阻尼系统为例，设123m =m =m =m ，123k =k =k =k ，图三自由度系统其齐次运动方程为：mz̈+kz =0（8）其中m ，k 分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵，123m 00m 00m=0m 0=0m 000m 00m ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，11212221k -k 0k -k 0k=-k k +k -k =-k 2k -k 0-k k 0-k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则运动方程展开式为：¨11¨22¨33z m 00k k 0z 00m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（9） 定义主振型由于是无阻尼系统，因此系统守恒，系统存在振动主振型。
主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相（相差0o ）就是反相位（相差180o ），即同时达到平衡位置和最大位置。
主振型定义如下：()i i j ωt+i i sin ωt+=Im(e )φφi mi mi z =z z （10）其中z i 为第i 阶频率下，各自有度的位移矢量，z mi 为第i 个特征矢量，表示第i 阶固有频率下的振型，i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值，i φ为初始相位。
对于三自由度系统，在第i 阶频率下，等式可以写成1m1i 2m2i i i 3m3i z z z =z sin(ωt+)z z φ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（11）mki z 表示第k 个自由度在第i 阶模态下的模态矩阵。
模态分析的基础理论
模态分析的基础理论模态分析是一种研究系统中不同模式的分布、生成和演化规律的方法。
在这个理论中，模态是指系统中不同状态或形式的存在形式，例如质量分数、温度、湿度等。
模态分析的基础理论包括概率论、统计学和模态分析技术等。
概率论是模态分析的基础之一、它研究随机事件的发生概率和规律。
在模态分析中，我们可以利用概率论来描述不同模态出现的概率分布，并通过分析系统中的模式，得出不同模态的生成规律。
通过概率论的方法，我们可以预测不同模态的变化趋势，从而指导系统的优化设计和运行管理。
统计学也是模态分析的基础理论之一、统计学研究如何收集、处理、分析和解释数据，通过对大量数据的统计分析，揭示数据背后的规律和趋势。
模态分析中，统计学的方法可以用于分析模态数据的分布情况，寻找模态之间的相关性和影响因素，并建立相应的模型来预测和优化系统的运行情况。
在模态分析技术方面，主要包括聚类分析、主成分分析和模态分析方法等。
聚类分析是一种将相似的对象分组的方法，通过对模态数据进行聚类分析，我们可以将相似的模态归为一类，从而描述系统中的不同模态分布情况。
主成分分析是一种降维技术，它可以将高维的模态数据降低到低维，并保留大部分信息。
这可以帮助我们更好地理解系统模态之间的关系和重要性。
模态分析方法包括有限元模态分析、频响函数法和模态参数识别等。
通过这些方法，我们可以对系统的模态进行分析，包括振型、频率和阻尼等，并找出模态的摄动源和分布规律。
模态分析的基础理论对于理解和优化系统具有重要意义。
通过对模态的分析和研究，我们可以了解系统的特性和不同模态之间的关系，从而指导系统的设计和运行。
同时，模态分析也可以帮助我们发现和解决系统中存在的问题，提高系统的稳定性和可靠性。
因此，深入理解和应用模态分析的基础理论对于各个领域的研究和实践具有重要价值。
[讲解]模态分析基础知识
![[讲解]模态分析基础知识](https://img.taocdn.com/s3/m/726a74fde109581b6bd97f19227916888486b914.png)
模态分析基础知识模态分析技术从20世纪60年代后期发展至今已趋成熟，它和有限元分析技术一起成为结构动力学的两大支柱。
模态分析作为一种“逆问题”分析方法，是建立在实验基础上的，采用实验与理论相结合的方法来处理工程中的振动问题。
模态分析的经典定义：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。
坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。
模态分析有什么用处？模态分析所的最终目标在是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。
模态分析技术的应用可归结为以下几个方面：1) 评价现有结构系统的动态特性；2) 在新产品设计中进行结构动态特性的预估和优化设计；3) 诊断及预报结构系统的故障；4) 控制结构的辐射噪声；5) 识别结构系统的载荷。
模态参数有：模态频率、模态质量、模态向量、模态刚度和模态阻尼等。
什么是实模态和复模态？按照模态参数（主要指模态频率及模态向量）是实数还是复数，模态可以分为实模态和复模态。
对于无阻尼或比例阻尼振动系统，其各点的振动相位差为零或180度，其模态系数是实数，此时为实模态；对于非比例阻尼（或称为非经典阻尼）振动系统，各点除了振幅不同外相位差也不一定为零或180度，这样模态系数就是复数，即形成复模态。
什么是主模态、主空间、主坐标？无阻尼系统的各阶模态称为主模态，各阶模态向量所张成的空间称为主空间，其相应的模态坐标称为主坐标。
什么是模态截断？理想的情况下我们希望得到一个结构的完整的模态集，实际应用中这即不可能也不必要。
实际上并非所有的模态对响应的贡献都是相同的。
对低频响应来说，高阶模态的影响较小。
对实际结构而言，我们感兴趣的往往是它的前几阶或十几阶模态，更高的模态常常被舍弃。
这样尽管会造成一点误差，但频响函数的矩阵阶数会大大减小，使工作量大为减小。
模态分析理论
模态叠加法一.思想要点是在积分运动方程以前，利用系统自由振动的固有振型将方程组转换为n 个相互不耦合的方程，对这种方程可以解析或数值地进行积分。
对于每个方程可以采用各自不同的时间步长，即对于低阶振型可采用较大的时间步长。
当实际分析的时间历程较长，同时又只需要少数较低阶振型的结果时，采用振型叠加法将是十分有利的。
求解步骤：1.求解系统的固有频率和振型2.求解系统的动力响应二.求解固有频率与振型（求解不考虑阻尼影响的振动方程） ..()(){0}M a t Ka t += 解可假设为：0sin ()a t t φω=-φ是n 阶向量，ω是向量φ的振动频率，t 是时间变量，0t 是由初始条件确定的时间常数。
代入振动方程，得到一个广义特征值问题：20K M φωφ-=求解可得n 个特征解221122(,),(,),ωφωφ···2,(,)n n ωφ120ωω≤<<···n ω< 特征向量12,,φφ···,n φ代表系统的n 个固有振型，幅度可按以下要求规定T i i M φφ=1（i=1，2，···，n ），这样规定的固有振型又称正则振型。
将22(,)(,)i i j j ωφωφ代回特征方程，得：2i i i K M φωφ= 2j j j K M φωφ=前式两边前乘以j φT，后式两边前乘以i φT ，得：2j i i j i K M φφωφφTT = 2i j i i jK M φφωφφT T = 由()TTj i j i i j K K K φφφφφφT T==得：22i j i j i j M K ωφφωφφT T =，推出22()0i j j i M ωωφφT-=当i j ωω≠时，有0j i M φφT =这表明固有振型对于矩阵M 是正交的，可表示为：1 ()0 ()i j i j M i j φφT=⎧=⎨≠⎩得：2 ()0 ()i i j i j K i j ωφφT ⎧==⎨≠⎩如果定义123n [ ]φφφφΦ=K21222 0 0 n ωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥Ω=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O则特征解的性质可表示成：M K T T ΦΦ=I ΦΦ=Ω原特征值问题可表示为：K M Φ=ΦΩ三.求解动力响应1.位移基向量的变换引入变换()()1ni i i a t x t x φ==Φ=∑其中()[]12 n x t x x x =L代入运动方程，并两边前乘以T Φ，可得：()()()()()...x t C x t x t Q t R t T T +ΦΦ+Ω=Φ= 初始条件相应地转换成：..0000 x x Ma M a T T =Φ=Φ 阻尼为振型阻尼，则：()()2 i=j 0 i j i i ij C ωξφφT ⎧⎪=⎨≠⎪⎩ 或11222 0 2 0 2n n C ωξωξωξT ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ΦΦ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 其中i ξ（i=1,2,···,n ）是第i 阶振型阻尼比，可得n 个相互不耦合的二阶常微分方程()()()()...22i i i i i i i x t x t x t r t ωξω++= （i=1，2，···，n ）若C 是Rayleigh 阻尼，即C M K αβ=+根据试验或相近似结构的资料已知两个振型的阻尼比i ξ和j ξ，可得22222()()2()()i j j i i j j i j j i i j i ξωξωαωωωωξωξωβωω-=--=-2.求解单自由度系统振动方程在振动分析中常常采用杜哈美（Duhamel ）积分，又称叠加积分，其基本思想是将任意激振力()i r t 分解为一系列微冲量的连续作用，分别求出系统对每个微冲量的响应，然后根据线性系统的叠加原理，将它们叠加起来，得到系统对任意激振的响应。
第1章模态分析理论基础资料.
2.阻尼对频率或周期的影响；
3.阻尼对振幅的影响；
xn xn1
exp( 2
/d )
1.2 单自由度系统自由振动——有阻尼
1,2 2 1
2. 临界阻尼系统(critically-damped system)
1
1 2
过程的轨迹，该轨迹近似为一个圆。（Nyquist图）
2
2
[H
R
()]2
H
I
()
1
4 k
1
4 k
1.4 多自由度系统振动方程
M x(t) C x(t) K x(t) f (t)
m11 m12 M m21 m22
mn1 mn2
m1n
m2
n
mnn
c11 c12 c1n
C c21
c22
c2
n
cn1 cn2
cnn
k11 k12 k1n
K k21
k22
k2n
kn1 kn2
knn
1.5 多自由度无阻尼系统——自K x(t) 0 特解 x(t) Xe jt
(K 2M)X 0
该方程有非零解的 充要条件是其系数 矩阵行列式为零
1.5 多自由度无阻尼系统——自由振动
➢ 振型分析：Mx(t) K x(t) 0
x(t) Xe jt
(K 2M)X 0
(K 0i2M)Xi 0
1.特征向量，或振型， 一般用φi来表示；
2.对n自由度系统，n个 振型；
模态矩阵
1 2
11 21
n
12
22
n1
n
第3章 实验模态分析的基本理论
实验模态分析第三章：实验模态分析的基本理论振动系统的特性可以用模态来描述:固有频率、固有振型(主振型)、模态质量、模态刚度和模态阻尼等。
建立用模态参数表示的振动系统的运动方程并确定其模态参数的过程使称为模态分析。
—种理解可以认为，振动系统的物理模型、物理参数和以物理参数表示的运动方程都是已知的，引入模态参数、建立模态方程的目的是为了简化计算，解除方程耦合，缩减自由度。
另一种理解可以认为，通过对实际结构的振动测试，识别振动系统的模态参数，从而建立起系统的以模态参数表示的运动方程，供各种工程计算应用。
试验模态分析指的是后一种过程,即通过振动测试(称模态试验),识别模态参数,建立以模态参数表示的运动方程这样一个过程。
1 多自由度系统振动基础回顾&&&++=M x C x K x f t []{}[]{}[]{}{()} 2实模态理论一个n 自由度线性定常振动系统，其运动方程可以如下表示:现对两端作付氏变换得:[]{}[]{}[]{}{()}M x C xK x f t ++=&&&2([][][]){()}{()}M j C K X F ωωωω−++=式中和分别是x(t)和F(t)的付氏变换,并有()X ω()F ω()()j t X x t e dt ωω+∞−−∞=∫()()j t F f t e dtωω+∞−−∞=∫(){()}{()}Z X F ωωω=111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ωωωωωωωωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 1()[()]{()}{()}{()}X Z F H F ωωωωω−==2[][][]K M j C ωω=−+阻抗矩阵中各元素值无法在实际振动测试中获得，因为人们不可能在实际结构上固定其它坐标，令其不动，仪留下J坐标，待其作出响应；也不可能仅使某个坐标运动，在其余坐标上测量力。
_模态分析理论基础
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
Iration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结 构设计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实
际结构的误差,而且受到边界条件很难准 确确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构，以 动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静力 设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也可 从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
•解的形式（s为复数）及拉氏 变换： x Xest (ms2 cs k ) x(s) f (s)
IVE
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模态分析理论基础
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结
构设计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实
际结构的误差,而且受到边界条件很难准
确确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，
有限元简化模型和计算的误差较大。通过对结构进行实验模态分 析，可以正确确定其动态特性，并利用动态实验结果修改有限元 模型，从而保证了在结构响应、寿命预计、可靠性分析、振动与 噪声控制分析与预估以及优化设计时获得有效而正确的结果。
•传递函数和频率响应函数
H(s)m2s(11jg)k
H()m21(1jg)k
（1＋jg）k — 复刚度
–用实部和虚部表示
H ()1 k (1 1 2 )22 g2j(1 2)g 2g2
与粘性阻尼系统相比频响函数形式相同 g和2 相互置换即可得各自表达式
位移、速度和加速度传递函数
Hd (s)
e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构，以 动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静力 设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也可 从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
x(s) f (s)
Hv(s)
v(s) f (s)
Ha(s)
a(s) f (s)
• 位移、速度和加速度频率响应函数
()
x() f ()
Hv()
v() f ()
• 三者之间的关系
Ha()
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（1）
式中,m为质量；c为粘性阻尼系数；k为刚度
mx cx kx 0
其解的形式为
（2）
x Xest
对（1）式两边进行拉普拉斯变换，并假设初始值为0，则 可以得到：
(ms cs k ) x(s) f (s)
2
（3）
对于自由振动而言： 由上式可以解得s的两个根为：
（4）
（5）
T 对上式左边乘以 s
( K r2 M )r 0
同理对于第s阶模态 将上式转置并右乘 r
位移阻抗矩阵的逆矩阵为传递函数矩阵： 对于线性时不变系统，其极点在复平面的左半平面， 将s换成jw，便得到傅氏域中的频响函数矩阵：
Z () ( K 2 M jC) H () ( K 2 M jC)1
（6） （7）
Z (s)1 H (s) (s2 M sC K )1
2
以上分析可以引申到多自由系统，对于N自由度的约束系统则有N 个共振频率，有（N-1）个反共振频率。
对于原点频响函数而言，各阶共振、反共振交替出现，即在每一 个共振之后一定出现反共振。然而对于跨点频响函数而言，则无此规 律，一般讲，两个距离远的跨点出现反共振的机会比较近跨点的少。
多自由度系统的振动与模态参数
二自由度系统振动：
多自由度系统振动：
按振动系统所受的激励类型分类 自由振动——系统受初始干扰或原有的外激励取消后 产生的振动；
强迫振动——系统在外激励力作用下产生的振动；
自激振动——系统在输入和输出之间具有反馈特性
并有能源补充而产生的振动。
按系统的响应（振动规律）分类 简谐振动—能用一项时间的正弦或余弦函数表示系统响应的 振动； 周期振动—能用时间的周期函数表示系统响应的振动； 瞬态振动—只能用时间的非周期衰减函数表示系统响应的振
我们以N个自由度的比例阻尼系统作为对象加以讨论，其结 果可以很方便的推广到其他阻尼系统。 如右图所示为一个多自由度的线性定常系统，其运动 微分方程为：
MX CX KX F
（1）
式中M、C、K分别为系统的质量、阻尼及刚 度矩阵，均为（N*N）阶矩阵。X、F分别为 系统的位移相应向量及激励力向量
Mx(t ) Cx(t ) Kx(t ) f (t ) x(0) x0 , x(0) x0
（1）
x1 (t ) x (t ) x2 (t )
f1 (t ) f (t ) f ( t ) 2
对于二自由度无阻尼振动系统而言：
对于（1）式两边进行傅里叶变换，得到 （2） 其阻抗矩阵为
1 r 2 N r
由各阶模态模态向量组成的矩阵称为模态矩阵，记为：
（9）
[12
比高阶模态有较大的加权系数。
N ]
（10）
为第r阶模态坐标，可理解为各阶模态对响应的贡献量，一般低阶模态
由(2)、(10)可得 X ( ) Q
下面讨论频响函数的幅频特性,取原点频响函数
H12 ( ) H 22 ( )
1 k1 k2 1 （1）当 0 时，H11 ( ) 可以看到 0 ，以零阶等效刚度线 ke 0 k1k2 ke 0 作为起始渐近线
（2）当 R1时， H11 ( ) ，系统进入共振状态，响应频率称为第一阶共振频 率，在共振频率处，满足以下关系式
(k1 k2 )- 2 m2 k1 2 k1 k1 m1 H ( ) (k1 k2 - 2 m2 )(k1 2 m1 )-k12
可见频响函数矩阵为2*2阶矩阵，可以写成
H11 ( ) H ( ) H 21 ( )
(s 2 M sC K ) X (s) F (s)
（2）
F ( s)
X ( s)
x (t )e st dt f (t )e st dt
（3） （4）
(2)式亦可写成:
Z ( s) X ( s) F ( s)
Z (s) (s 2 M sC K )
系统的物理坐标 描述的运动方程
对于多自由度线性微分方程求解难度较大。所以能否将 上述耦合方程变成非耦合的、独立的微分方程组，就是模态 分析的所要解决的根本问题。 模态分析的方法是以无阻尼系统的各阶振型所对应的模 态坐标来代替物理坐标，使坐标耦合的微分方程组解耦为各 个坐标独立的微分方程组，从而求出系统的各阶模态参数。 将(1)式两边进行拉式变换，可得:
3、已知系统与响应，求输入
例如飞机与船舶
二、什么是模态分析
一般地，以振动理论为基础，以模态参数为目标的分析过程。模态分析 是研究系统物理参数模型、模态参数模型及非参数模型的关系，并通过 一定的手段决定这些系统模型的一门学科。
模态分析的经典定义：将线性定常系统的振动微分方程组中的物理
坐标变为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描 述的方程，以便求出系统的模态参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵， 其每列为模态阵型；
上的外力主要靠弹簧力来平衡，系统的总刚度接近于弹簧的静刚度。 当 / 0 1 系统的频响函数幅值达到极大值，其数值取决于阻尼比的 大小，且与其成反比，此时系统处于共振状态，系统的惯性力与弹 簧力相平衡，外界力与阻尼力相平衡；
当 / 0 1 此时系统的外界力由惯性力来平衡；
二自由度系统的振动
x1 x2
m1 x1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) c1 x1 c2 ( x1 x2 ) f1 (t ) m2 x2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2 c3 x2 c2 ( x2 x1 ) f 2 (t )
二自由度系统矩阵和向量表示
ke 0 me1
2 R1
第一阶等效质量
H11 ( ) 0 ，此时频率称为反共振频率，系统处于反共振 （3）当 (k1 k2 ) / m2 时，
状态，质量m1的振幅为零，而m2的振幅不为零，系统的反共振现象为系统的局部现 象，而共振为系统的总体现象，因为系统共振时，系统中个点的振幅均达到极大值。
1 （6） H (s) 2 ms cs k 将上式转化到傅氏域中，即 s j ，得到系统的频率响应
函数：
H ( )
1 2 m jc k
（7）
系统的阻抗有三部分组成：
质量阻抗： 阻尼阻抗： 刚度阻抗：
单自由度系统频响函数的特性曲线：
当
/ 0 1 系统的频响函数幅值接近于弹簧元件的导纳，作用在系统
模态参数识别是试验模态分析的核心，常用的方法是基于最小二乘法等曲 线拟合法，各公司有自己不同的算法，例如：LMS公司的polymax方法，并有 自己的专利。
三、模态分析的理论基础 单自由度系统的振动
根据牛顿第二定律：
mx cx kx f (t )
对于自由振动 f (t ) 0 ，上式可以写成
式中
为无阻尼系统的固有频率
根据系统阻尼比的大小，系统运动分为三种情况：
(1) 1
(2) 1
过阻尼系统，系统不产生振动；
临界阻尼系统，无振动发生；
(3) 1
欠阻尼系统，系统产生振动；
欠阻尼系统是我们主要研究的系统，在机械振动系统中
较为常见
频响函数： （3）式中的 (ms 2 cs k ) 具有刚度特性，称为系统的动刚 度，在物理上它具有阻止系统振动的性质，又称为系统的机 械阻抗，其倒数称为导纳，又称为系统的传递函数，表示成：
模态分析理论基础
陕西重型汽车有限公司 汽车工程研究院试验中心 运伟国
概 要
1 1 添加标题 机械振动的基本概念
2 2
添加标题 模态分析的基本概念 添加标题 模态分析的理论基础
3 3
4 4
模态试验研究
添加标题
一、机械振动的基本概念 振动的概念
1、什么是振动： 物体在一固定位置附近的往复运动，称为机械振动。
物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。
任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变 时,都会发生振动。
广义地，凡是描述物质运动状态的物理量，在某一固定值 附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。
2、振动的分类 按照振动系统的自由度数分类
单自由度系统振动：
在《机械设计基础》书中有 对自由度详细的解释
动；
随机振动—不能用简单函数或函数的组合表达运动规律，而 只能用统计方法表示系统响应的振动。
《随机振动》吴业森
按描述系统的微分方程分类 线性系统——描述系统的微分方程为线性微分方程 非线性系统——描述系统的微分方程为非线性微分方程；
模态分析研究的是： 线性 定常 稳态 振动系统 线性：系统的响应对激励有叠加性，即： f (t )
区别：时间==频率（结构对输入响应的快、满）
一般机械的振动问题
1、已知激励与振动结构，求结构的响应 根据已知的载荷条件，对振动结构进行简化得到可以求解的 数学模型，通过一定的数学方法求解出振动结构上关心点的 位移、应力等。
2、已知激励与响应，求系统的参数 参数识别问题 对于线性定常系统系统而言，激励、系统及输出之间存在确 定的关系反共振时来自 2 ke1 A1me1
第一阶等 效刚度
（4）当 R 2 时 二阶共振频率，满足下式
，此时系统进入第二阶共振状态，相应的频率为第
2 ke1 / me 2
R2
第二阶等效 质量
（5）当 R 2 时 H11 ( ) 下降最后以第二阶等效质量线 1/ me 2 为渐近线并趋于 零。 对于有阻尼的系统， H11 ( ) 的幅频曲线如图中的虚线所示，显然在共振频率处 幅值不为无穷大，其值取决于阻尼的大小。