第3章 离散傅里叶变换(DFT)(2016)
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第三章-离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
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• 序列x(n)的N点DFT是 x(n)的Z变换在单位圆上的N点等 间隔采样；
• X(k)为x(n)的傅立叶变换 X (e j ) 在区间 [0, 2 ]上的N
点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。
j ImZ
2 3
4
5 6
1 2
N
k=0 ReZ
7 (N-1)
DFT与z变换
X(ejω)
)
N M
xN (n) x((n))N X (k ) X ((k ))N
有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列 ~x(n) 的DFS系数 X~(k ) 的主值序列
返回
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DFS与FT之间的关系:
M 1
X (k) DFS[xN (n)] x(n)WNkn n0
x(n)
IDFT[ X (k)]N
1 N
N 1
X (k)WNk n ,
k 0
n 0, 1,
, N 1
长度为 N的离 散序列
返回回Biblioteka 本节例3.1： x(n) R8(n)，分别计算x(n)的8点、16点DFT。 解: x(n)的8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
k 0,1, , N 1
n0
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比较前面三式，得到
X (k) X (z) j2k ，k=0, 1, 2, …, N-1 ze N
X (k) X (ej ) 2k ，k=0, 1, 2, …, N-1 N
结论： (1)序列的N点DFT是序列傅里叶变换在频率区间[0，2] 上的N点等间隔采样，采样间隔为2 /N。 (2)序列的N点DFT是序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔 采样，频率采样间隔为2 /N。
• 序列x(n)的N点DFT是 x(n)的Z变换在单位圆上的N点等 间隔采样；
• X(k)为x(n)的傅立叶变换 X (e j ) 在区间 [0, 2 ]上的N
点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。
j ImZ
2 3
4
5 6
1 2
N
k=0 ReZ
7 (N-1)
DFT与z变换
X(ejω)
)
N M
xN (n) x((n))N X (k ) X ((k ))N
有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列 ~x(n) 的DFS系数 X~(k ) 的主值序列
返回
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DFS与FT之间的关系:
M 1
X (k) DFS[xN (n)] x(n)WNkn n0
x(n)
IDFT[ X (k)]N
1 N
N 1
X (k)WNk n ,
k 0
n 0, 1,
, N 1
长度为 N的离 散序列
返回回Biblioteka 本节例3.1： x(n) R8(n)，分别计算x(n)的8点、16点DFT。 解: x(n)的8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
k 0,1, , N 1
n0
返回
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比较前面三式，得到
X (k) X (z) j2k ，k=0, 1, 2, …, N-1 ze N
X (k) X (ej ) 2k ，k=0, 1, 2, …, N-1 N
结论： (1)序列的N点DFT是序列傅里叶变换在频率区间[0，2] 上的N点等间隔采样，采样间隔为2 /N。 (2)序列的N点DFT是序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔 采样，频率采样间隔为2 /N。
第三章_DFT定义及性质2016S
j j j 2 k N
e j e
j
N
2 j
N
2 j
X (k )
N 1 k 0
e
j j
N
2 N j
k
N
2
e
e
N
2
j
k
N
2
X ( )
( 1)k e e
j
1 2 k j 2 N
e 2 N k ( 1) sin( ) 2 1 2 k sin( ( )) 2 N
1 ( N 1) WN
( N 1) ( N 1) WN
( N 1) 0 WN ( N 1)1 WN
T X Wx W x 则： 1 1 * 1 x W X W X N N
10
频域内插公式：由频域取样 DFT X(k) 表示 DTFT X(ejw)
1 X (e ) N
j
1 zN X (k ) k 1 1 WN z k 0
N 1 N 1 k 0
z e j
1 N 1 N 1 N
X (k )
N 1 k 0
1 e j N 1 e e e
从 Z 变换的角度看：
DFT结果包含了 z 平面上 N 个离散点处的 Z 变换结 果，这 N 个离散点均匀地 分布在单位圆上，由此也
e
j 2 k N
Im
Z平面
2 k N
e
j
2 N
2 N
Re
称DFT为单位圆上的取样
Z 变换。
Z 1
14
3.3.2 DFT 与 Z 变换的关系：频域内插
e j e
j
N
2 j
N
2 j
X (k )
N 1 k 0
e
j j
N
2 N j
k
N
2
e
e
N
2
j
k
N
2
X ( )
( 1)k e e
j
1 2 k j 2 N
e 2 N k ( 1) sin( ) 2 1 2 k sin( ( )) 2 N
1 ( N 1) WN
( N 1) ( N 1) WN
( N 1) 0 WN ( N 1)1 WN
T X Wx W x 则： 1 1 * 1 x W X W X N N
10
频域内插公式：由频域取样 DFT X(k) 表示 DTFT X(ejw)
1 X (e ) N
j
1 zN X (k ) k 1 1 WN z k 0
N 1 N 1 k 0
z e j
1 N 1 N 1 N
X (k )
N 1 k 0
1 e j N 1 e e e
从 Z 变换的角度看：
DFT结果包含了 z 平面上 N 个离散点处的 Z 变换结 果，这 N 个离散点均匀地 分布在单位圆上，由此也
e
j 2 k N
Im
Z平面
2 k N
e
j
2 N
2 N
Re
称DFT为单位圆上的取样
Z 变换。
Z 1
14
3.3.2 DFT 与 Z 变换的关系：频域内插
《离散傅里叶变换-第三章》
( ∑ X ()W ( k ∑ XX kk ) = ∑ xxnnW ) ==∑ eex ( n= W )e
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
26
【例3.2.1】计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与
x(n)的4点和8
h(n) h(0), h(1), h(2), h(3) 1, 2,3, 4
解 h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为 x(n) x(0), x(1), x(2), x(3) 1,1,1,1
yc
(1)
2
1
0
0
0
0
4
3 1
3
yc yc yc
(2)
(3)
(4)
3 4 0
2 3 4
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
0 0 0
4 1 6
0 0
1
0
10 9
yc (0) 1 4 3 2 1 10
yc
(1)
2
1
4
3 1 10
yc yc
(2)
(3)
3 4
2 3
1 2
4 1
1
1
10 10
h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为
yc (0) 1 0 0 0 0 4 3 2 1 1
yc (5) 0 0 4 3 2 1 0 0 0 7
yc
(6)
0
0
0
4
3
2
1
0 0
4
yc (7) 0 0 0 0 4 3 2 1 0 0
h(n)和x(n)及其4点和8点循
【例3.2.1】计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与
x(n)的4点和8
h(n) h(0), h(1), h(2), h(3) 1, 2,3, 4
解 h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为 x(n) x(0), x(1), x(2), x(3) 1,1,1,1
yc
(1)
2
1
0
0
0
0
4
3 1
3
yc yc yc
(2)
(3)
(4)
3 4 0
2 3 4
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
0 0 0
4 1 6
0 0
1
0
10 9
yc (0) 1 4 3 2 1 10
yc
(1)
2
1
4
3 1 10
yc yc
(2)
(3)
3 4
2 3
1 2
4 1
1
1
10 10
h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为
yc (0) 1 0 0 0 0 4 3 2 1 1
yc (5) 0 0 4 3 2 1 0 0 0 7
yc
(6)
0
0
0
4
3
2
1
0 0
4
yc (7) 0 0 0 0 4 3 2 1 0 0
h(n)和x(n)及其4点和8点循
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
X(k)与x(n)均为有限长序列,但由于WknN 的周期性,X(k)隐含周 期性， 且周期均为N。 对任意整数m， 总有
k ( WN WNk mN ) , k, m, N
N 1 n 0
均为整数
( 所以,X(k)满足 X (k mN ) x(n )WNk mN ) n kn x(n )WN X (k ) n 0 N 1
k 1 X 1 x n e
n 0
2 1n 4
x n e
n 0
3
x n ( j ) n 2 2 j
n 0
3
k 2
X 2 x n e
n 0 3
3
j
2 2n 4 2 3n 4
x n e j n x n (1) n 2
DFT后的X(k)具周期性，周期为N
x(n)满足
x(n+mN)=x(n)
IDFT后的x(n)具周期性,周期为N
主值区间和主值序列
任何周期为N的周期序列 ~(n) 可以看作长度为N的有限 x
x 长序列x(n)的周期延拓序列, x(n)是 ~(n) 的一个周期。 ~(n) 中n=0到N－1的第一个周期为 ~(n) 的主值区间。 x x x 主值区间上的序列为 ~(n)的主值序列；
x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，
((n))N表示n对N求余，
如果 则 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， M为整数， ((n))N=n1
－－此运算符表示n被N除，商为M，余数为n1。
(n1) 是((n))N 的解,或称作取余数,或称作n对N取模值, 或 简称为取模值,n模N。
数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件
2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2
第三章_DFS定义2016S
解法一：数值解
N 1
7
X%(k) x%(n)WNnk x%(n)W8nk
n0
n0
3
W8nk n0
j 2 k
j 2 2k
j 2 3k
1e 8 e 8 e 8
X%(0) 4 X%(1) 1 j 2 1 X%(2) 0 X%(3) 1 j 2 1
X%(4) 0 X%(5) 1 j 2 1 X%(6) 0 X%(7) 1 j 2 1
X%(k )
随 k 周期变化， 仅有 0，1，…，
N-1 个独立值
n0
所以
仅有 0，1，…，N-1 个独立值
X%(k ) 也仅有 0，1，…，N-1 个独立值,也是周期 为 N的序列
15
3.2.1 DFS 定义：正变换
j 2
WN e N
集合
{W
nk N
,
k
0,1, ...,
N
1}为一完备的离散正交系，即
N k0
变量m替换为n，得 IDFS：
x%(n)
1 N
N
1
X%(k
)e
j(
2
N
)
kn
k0
1 N
N 1
X%(k )WN kn
k0
18
3.2.1 DFS 变换对
DFS 变换对：时域周期序列与频域周期序列
间的关系
X%(k ) x%(n) 1
N
N 1
x%(n)W
kn N
n0
N 1
X%(k
)W
3. 取样间隔（映射）周期（ 2 ）
间隔
如果同时对频域和时域取样，其结果是时域和频 域的波形都变成离散、周期性的波形
信号与系统复习资料第3章离散傅立叶变换(DFT)
1 2
1 e 12
j 2 ( k 11)
1 e 12
B
Ak
6, 6,
1k 21 k 6 101
…11…22…rr…
10 0
11 0
B 0, 0其 0它 的…k… x(n) Xc(oks)6 n 6 0 ……
0 0
6 6, k 112r 6X~(k) 6, k 1112r
NT
T0
1 f0
T0 2 f0
N
1
fs
时域离散化==>频域周期化
时域周期化==>频域离散化
N NΩ0
NT0 fs s T f0 0
-7-
§3.3 离散傅里叶级数DFS
( Discrete Fourier Series )
连续周期信号:
~xa(t) ~xa(t kT0) 基频：0 2/T0
x2 m … 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 … 10
x2 1m … 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 … 8 x2 2m … 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 … 6 x2 3m … 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 … 10
n 0
n 0
x ( n ) I D F S [ X ( k ) ] N 1 N k 0 1 X ( k ) e j2 N n k N 1 N k 0 1 X ( k ) W N n k
其中：
WN
j 2
e N
-9-
X k 与 z 变 换 的 关 系 ：
x (n ) x (n )R N (n )
x(n) x(nrN)
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x(1) h(0)
x(2)
h(1)
x(3) h(2)
x(0) h(L 1)
【例3.2.1】 计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的 4点和8
h(n) h(0), h(1), h(2), h(3) 1, 2,3, 4 x(n) x(0), x(1), x(2), x(3) 1,1,1,1
n0
N 1
x(n)WNkn X (k)
n0
2. x(n+mN)=x(n) (m为整数)
证：
x(n+mN)=
1 N
N 1
X (k )N 1
X (k)WNkn
k 0
x(n)
例: x(n)=(-0.9)n -5≤n≤5,绘图探讨其周期性。 取：N=100 k= -200~200(-2N~2N)
二、 循环移位性质 1. 序列的循环移位 设x(n) 长度为N， 则x(n)的循环移位 y(n)=x((n+m))NRN(n)
(3.2.2)
1)x(n)周期延拓 2)移位 3)取主值序列
2. 时域循环移位定理 设x(n) 长度为N，y(n)=x((n+m))NRN(n)
则 Y(k)=DFT［y(n)］ =WN-km X(k) 其中X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1。
解 h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为:
yc (0) 1 4 3 2 1 10
处理。方法：在单位圆上均匀取样，将0~2π等分为N点
ωN=2π/N，第k点频率ωk=2πk/N，则 X(k)=X(ejω)| ω=ωNk (k=0,1,2,…,N-1)
一、DFT的定义
N 1
X(k)=DFT[x(n)]= x(n)WNkn n0
其中
k 0,1,..., N1
x(n) --------有限长序列（长度为M)；
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.4 DFT的应用
3.1 离散傅里叶变换的定义
引：DFT---时间、频率都离散化且是有限长序列的傅里叶变换，
可在计算机上实现。
频率离散化：
X(e jω)=FT[x(n)]=
x(n)e jn
n
ω在0~2π内变化，仍是连续的,须经离散化才能在计算机上
X1(k)=DFT［x1(n)］ X2(k)=DFT［x2(n)］ 若
X(k)=X1(k)·X2(k) 则
N 1
x(n)=x1(n) x2(n)= x1(m)x2 ((n m))N RN (n) (n 0,1,..., N1) (3.2.5) m0
其中 “ ”称为循环卷积。
注：两个长度为N的序列循环卷积长度仍为N。
注：ωk=2πk/N
x(n) 幅频 相频
x(n)=IDFT[X(k)]
n ω(π) ω(π) n
3. x(n) 的周期延拓
长度为N的序列x(n)的周期延拓为：
~
x(n) x(n mN ) (3.1.5)
m
~
则 x(n) x(n) RN (n)
(3.1.6)
~
即x(n)为 x(n) 的主值序列。
1
01234567
x2(n) 1
n，m
n 01234567
x2((－ m))NRN(m) 1
m 01234567
x2 (( 1 － m))NRN(m) 1
m 01234567
x2 (( 2 － m))NRN(m) 1
m 01234567
x(n) 4 3 2 1
n 01234567
图3.2.2 循环卷积过程示意图
e8
n0
N 0
j 3k
e8
sin(
2
sin(
k) ,k
k)
0,1, , 7
8
|X(k) | (N=8)
|X(k)| (N=16)
|X(k) |的包络
|X(k)| (N=64)
二、 DFT和Z变换的关系 x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔采样。即
X (k ) X (z) , j2 k ze N
*矩阵法求解循环卷积：
y(n) x(n)
y(0)c x(0)
y(1)c
x(1)
h(n)
y(2)c
＝
x(2)
y(L 1)c x(L 1)
x(L 1) x(0) x(1)
x(L 2)
x(L 2) x(L 1)
x(0)
x(L 3)
注：如果h(n)的长度N<L，则需要在h(n)末尾补L－N
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一、 线性 设x1(n)和x2(n) 长度分别为N1和N2，
y(n)=ax1(n)+bx2(n) (a, b为常数) 取N=max［N1, N2］， 则y(n)的N点DFT为
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1 (3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
3. 频域循环移位定理 X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1
Y(k)=X((k+l))NRN(k) 则 y(n)=IDFT［Y(k)］=WNnlx(n)
3. 循环卷积定理
有限长序列x1(n)和x2(n)， 长度分别为N1和N2， N=max［ N1, N2 ］。 x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：
x(n)=IDFT[X(k)
]=其N1中NkW01 XN
(k
)eW- jNNkn
n-
e
j2 N
0-,1-,.-..-,旋N转1 因子
x(n) DFT X(k) IDFT
例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点DFT 设变换区间N=8， 则
7
X (k)
3
x(n)W8kn
j 2 kn
0 k N-1
X (k ) X (z j ) 2 k , N
0 k N-1
(3.1.3) (3.1.4)
三、 DFT隐含周期性
1.X(k+mN)=X(k) (m为整数)
证：由于 WNk WN(kmN), (kk,,mm,,nN均为整数)
故
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n
N 1
X(k) --------x(n)X的(Nk)点DDFFTT；[x(n)] x(n)WNk n
k 0,1,..
X(kW)的N离=e散-j2π傅/N-里---叶旋x逆转(n变)因换子I为D；FNT-[--X--(-k--)]DFnTN10的Nn变01 X换(区k )W间N(Nk n≥M)n 0,1,...