上海中学2021届第一学期高三综合数学试卷13 PDF版
上海市浦东新区2022届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含答案
上海市浦东新区2021-2022学年第一学期高三数学期中质量检测试卷 (满分: 150分答题时间:120分钟)一、填空题（本大题共有12道小题，请把正确答案直接填写在答题纸规定的地方，其中1--6每小题4分，7—12每小题5分，共54分）.1．幂函数经过点22,2⎛⎫⎪ ⎪⎝，则此幂函数的解析式为.2.若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .3. 设()1f x -为函数()21x f x x =+的反函数，则()12f -=_____.4.不等式102xx ->+的解集是.5．在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作__________个三角形（用数字作答）．6．已知球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为32π，则线段AB 的长度为________.7．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ⋅的最大值是．8．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．3.09．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x =．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别 ．11．已知命题2430m m α-+≤：，命题2680m m β-+<：.若αβ、中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．12．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，△MB 1P 的顶点P 在棱CC 1与棱C 1D 1上运动.有以下四个命题： ①平面MB 1P ⊥ND 1；②平面MB 1P ⊥平面ND 1A 1；③△MB 1P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值； ④△MB 1P 在侧面D 1C 1CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。
专题07 数列(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)
2021届高考数学一轮复习 专题07 数列一、填空题1．（2020·上海高三其他）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++= ________．【答案】24 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则，∴148a d +=． ∴．故答案为24．2．（2020·上海高三其他）设无穷等比数列n a 的公比为q ，首项10a >，则公比q 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 因为21231lim()211n n a a qa a a a q q→∞•+++==>--，又10a >且01q <<， 解得2,13q ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 3．（2017·上海闵行高三一模）已知数列的前n 项和为，则此数列的通项公式为___________． 【答案】 【解析】当1n =时,11211a S ==-=,当2n ≥时,()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a .故答案为:12n na .4．（2020·宝山上海交大附中高三其他）若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x 项的系数，则 ． 【答案】8 【解析】 由题意，，∴88n =-，∴23232228lim()lim(8)8n n n n a a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=．5．（2020·上海高三其他）已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________. 【答案】(－3，＋∞) 【解析】因为数列{a n }是单调递增数列， 所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)．6．（2020·上海嘉定高三二模）设各项均为正数的等比数列的前n 项和为，则6S =______． 【答案】63. 【解析】 由，得()661126312S -⇒==-．故答案为: 637．（2020·上海普陀高三二模）设n S 是等差数列的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=nn S n ______.【答案】12-【解析】∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d dS n a n ∴=+-（其中d 是公差），，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-． 即 21(1)n S n a n =-++，．故答案为：12-8．（2020·上海高三其他）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012n na n S -=-，则1a =___ 【答案】1- 【解析】由011101011(2)1021212n n n n n na a a S n n S nn S -=-=++=---，令1n =，得11(2)10a a ++=，解得11a =-。
上海中学2025届高三压轴卷数学试卷含解析
上海中学2025届高三压轴卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．B ．4C ．2D ．-2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．363．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -=D ．22125x y -=4．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2CD5．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．256．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．87．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||PM 的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1639．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．10810．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1B ．1或12C ．32D ．32±12．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．413．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.15．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为_______．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．若0x >时，()2f x x '<，则不等式2(2)(1)321f x f x x x -->+-的解集是___________．三、解答题：共70分。
2021-2022学年上海第三女中学高三(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年上海第三女中学高三（上）期中数学试卷一、填空题1．已知z∈C，且满足＝i，求z＝．2．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b＝．3．已知函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2x，则f（﹣1）＝．4．已知球的表面积为16π，则该球的体积为．5．在（x+）6的二项展开式中，常数项是.（结果用数值表示）6．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球．这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是．7．已知向量，，若向量∥，则实数m ＝．8．数列{a n}前n项和S n＝n2+n+1，则a n＝．9．若无穷等比数列{a n}满足：a2a3＝a4，a5＝，（n∈N*），则数列{a2n﹣1}的所有项的和为．10．已知函数f（x）＝满足对任意的x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是．11．已知函数f（x）＝（x2+8x+15）（ax2+bx+c）（a，b，c∈R）是偶函数，若方程ax2+bx+c ＝1在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围是．12．正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为．二、选择题13．已知x∈R，则“x≠1”是“x2﹣4x+3≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则（）A．b＝2，c＝3B．b＝2，c＝﹣1C．b＝﹣2，c＝﹣1D．b＝﹣2，c＝315．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，a n+1＝2S n，则下列关于{a n}的论断中正确的是（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．可能是等差数列，但不会是等比数列D．可能是等比数列，但不会是等差数列16．若不等式（|x﹣a|﹣b）sin（πx+）≤0对x∈[﹣1，1]恒成立，则a+b的值等于（）A．B．C．1D．2三、解答题17．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝4，点M是棱C1D1上的动点．（1）求三棱锥D﹣A1B1M的体积；（2）当点M是棱C1D1上的中点时，求直线AB与平面DA1M所成的角（结果用反三角函数值表示）．18．已知函数f（x）＝．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝，a＝4，b+c ＝5，求△ABC的面积．19．定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f （x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）＝ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）＝﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）＝2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n+2n﹣1，T n是数列{b n}的前n项和，求T n；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，a n}，n∈N*，集合A中的元素个数记为d（A），定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A的个数记为d（A+A），当时，称集合A具有性质Γ．（1）设集合M＝{1，x，y}具有性质Γ，判断集合M中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；（2）设正数列{d n}的前n项和为S n，满足，其中，数列{d n}中的前2020项：d1，d2，d3，…，d2020组成的集合{d1，d2，d3，…，d2020}记作D，将集合D+D 中的所有元素t1，t2，t3，…，t k（k∈N*）从小到大排序，即t1，t2，t3，…，t k满足t1＜t2＜t3＜…＜t k，求t2020；（3）已知集合C＝{c1，c2，…，c n}，其中数列{c n}是等比数列，c n＞0，且公比是有理数，判断集合C是否具有性质Γ，说明理由．参考答案一、填空题1．已知z∈C，且满足＝i，求z＝5﹣i．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．故答案为：5﹣i．2．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b＝2．【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可．解：由题意知是方程组的解，即，则a+b＝1+1＝2，故答案为：2．3．已知函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2x，则f（﹣1）＝．【分析】根据函数与反函数点关于y＝x对称，代入求出．解：把y＝﹣1代入反函数f﹣1（x）＝log2x＝﹣1，故x＝，故答案为：．4．已知球的表面积为16π，则该球的体积为．【分析】通过球的表面积求出球的半径，然后求出球的体积解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：＝．故答案为：．5．在（x+）6的二项展开式中，常数项是60.（结果用数值表示）【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得常数项的值．解：∵（x+）6的二项展开式的通项公式为T r+1＝•2r•x6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得展开式的常数项等于×4＝60，故答案为：60．6．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球．这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是．【分析】设事件A表示“任意抽取2个球，所抽的球都是红色球”，则事件A包含的基本事件个数为，而基本事件的总数为，代入古典概型的概率公式即可．解：依题意，设事件A表示“任意抽取2个球，所抽的球都是红色球”，则事件A包含的基本事件个数为＝6，而基本事件的总数为＝15，所以P（A）＝＝，故答案为：．7．已知向量，，若向量∥，则实数m＝．【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出m的值．解：向量，，则﹣2＝（1﹣2m，8），又∥，则﹣3（1﹣2m）﹣8m＝0，解得m＝﹣．故答案为：﹣．8．数列{a n}前n项和S n＝n2+n+1，则a n＝．【分析】利用当n＝1时，a1＝S1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1即可得出．解：当n＝1时，a1＝S1＝1+1+1＝3．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]＝2n．∴a n＝．故答案为：．9．若无穷等比数列{a n}满足：a2a3＝a4，a5＝，（n∈N*），则数列{a2n﹣1}的所有项的和为．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，结合题意可得，解可得a1与q的值，进而可得数列{a2n﹣1}的首项为a1＝1，其公比为q2＝，由等比数列前n项和公式分析可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a2a3＝a4，a5＝，则有，解可得a1＝1，q＝，则数列{a2n﹣1}的首项为a1＝1，其公比为q2＝，则数列{a2n﹣1}的所有项的和S＝＝；故答案为：．10．已知函数f（x）＝满足对任意的x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是（0，]．【分析】由已知可得：函数f（x）＝在R上为减函数，进而，解得a的取值范围．解：对任意的x1≠x2，都有＜0成立，则函数f（x）＝在R上为减函数，∴，解得a∈（0，]，故答案为：（0，]11．已知函数f（x）＝（x2+8x+15）（ax2+bx+c）（a，b，c∈R）是偶函数，若方程ax2+bx+c ＝1在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围是．【分析】由f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，可知，3，5是ax2+bx+c＝0的两个根，根据方程的根与系数关系可求得a，b，c的关系，然后结合二次函数的性质可求a的范围．解：∵f（x）＝（x2+8x+15）（ax2+bx+c）是偶函数，图象关于y轴对称，令x2+8x+15＝0可得，x＝﹣3或x＝﹣5，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是ax2+bx+c＝0的两个根，，∴，由ax2+bx+c＝1可得，ax2﹣8ax+15a＝1，∵x∈[1，2]时，x2﹣8x+15∈[3，8]，∴a＝故答案为：．12．正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为﹣7．【分析】建立坐标系，根据，求出P点坐标，设出M，N坐标分别为（a，﹣2），（﹣a，2），将转化为关于a，λ的函数，即可得到其最小值．解：如图，以O为坐标原点，以过O且平行于AB的直线为x轴，以过O且垂直于AB 的直线为y轴建立坐标系，则B（2，﹣2），C（2，2），∴2＝+（1﹣λ）＝λ（2，﹣2）+（1﹣λ）（2，2）＝（2，2﹣4λ），∴＝（1，1﹣2λ）即P点坐标为（1，1﹣2λ），设M（a，﹣2），则N（﹣a，2），﹣2≤a≤2，∴＝（a﹣1，2λ﹣3），＝（﹣a﹣1，2λ+1）∴＝（a﹣1）（﹣a﹣1）+（2λ﹣3）（2λ+1）＝1﹣a2+4λ2﹣4λ﹣3，当a＝±2且λ＝﹣＝时，有最小值﹣7．故答案为：﹣7．二、选择题13．已知x∈R，则“x≠1”是“x2﹣4x+3≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：由x2﹣4x+3≠0得（x﹣1）（x﹣3）≠0，得x≠1且x≠3，即“x≠1”是“x2﹣4x+3≠0”的必要不充分条件，故选：B．14．若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则（）A．b＝2，c＝3B．b＝2，c＝﹣1C．b＝﹣2，c＝﹣1D．b＝﹣2，c＝3【分析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．解：∵1﹣i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，∴1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，∴，解得b＝﹣2，c＝3．故选：D．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，a n+1＝2S n，则下列关于{a n}的论断中正确的是（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．可能是等差数列，但不会是等比数列D．可能是等比数列，但不会是等差数列【分析】由题设条件可得S n+1＝3S n，分类讨论即可得出结论．解：由a n+1＝2S n，得S n+1﹣S n＝2S n，即S n+1＝3S n，当S1＝0时，数列{a n}为等差数列；当S1≠0时，数列{S n}为以S1为首项，3为公比的等比数列，∴，则a n＝2S1•3n﹣2（n≥2），综上，数列{a n}可能是等差数列，但不会是等比数列．故选：C．16．若不等式（|x﹣a|﹣b）sin（πx+）≤0对x∈[﹣1，1]恒成立，则a+b的值等于（）A．B．C．1D．2【分析】设f（x）＝|x﹣a|﹣b，得出f（x）的符号变化情况，根据f（x）的单调性和对称性即可得出a，b的值．解：当﹣1≤x≤﹣或≤x≤1时，sin（πx+）≤0，当﹣≤x≤时，sin（πx+）≥0，∴当﹣1≤x≤﹣或≤x≤1时，|x﹣a|﹣b≥0，当﹣≤x≤时，|x﹣a|﹣b≤0，设f（x）＝|x﹣a|﹣b，则f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，且f（x）的图象关于直线x＝a对称，∴f（﹣）＝f（）＝0，∴2a＝﹣+＝，即a＝，又f（）＝|﹣|﹣b＝0，故b＝．∴a+b＝．故选：B．三、解答题17．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝4，点M是棱C1D1上的动点．（1）求三棱锥D﹣A1B1M的体积；（2）当点M是棱C1D1上的中点时，求直线AB与平面DA1M所成的角（结果用反三角函数值表示）．【分析】（1）三棱锥D﹣A1B1M的体积为＝，由此能求出结果．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面DA1M所成的角．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝4，点M是棱C1D1上的动点∴三棱锥D﹣A1B1M的体积为：＝＝＝．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），B（4，2，0），D（0，0，0），A1（4，0，4），M（0，1，4），＝（0，2，0），＝（4，0，4），＝（0，1，4），设平面DA1M的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，4，﹣1），设直线AB与平面DA1M所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，∴直线AB与平面DA1M所成的角为arcsin．18．已知函数f（x）＝．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝，a＝4，b+c ＝5，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用行列式的计算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）＝sin（2x+）+，结合范围2x+∈[，]，利用正弦函数的性质即可得解值域．（2）由已知可求sin（A+）＝，结合范围A+∈（，），可得A＝，由余弦定理解得：bc＝3，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分，第1小题满分为6分，第2小题满分为8分）解：（1）∵f（x）＝＝cos2x+sin x cos x＝sin（2x+）+，∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，可得：f（x）＝sin（2x+）+∈[0，1+]．（2）∵f（）＝sin（A+）+＝，可得：sin（A+）＝，∵A∈（0，π），A+∈（，），可得：A+＝，解得：A＝．∵a＝4，b+c＝5，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝25﹣3bc，解得：bc＝3，∴S△ABC＝bc sin A＝3×＝．19．定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f （x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）＝ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）＝﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）＝2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【分析】（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（﹣x）＝﹣f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案．解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）＝﹣f（x）有解．当f（x）＝ax2+2x﹣4a（a∈R）时，方程f（﹣x）＝﹣f（x）即2a（x2﹣4）＝0，有解x＝±2，所以f（x）为“局部奇函数”．（2）当f（x）＝2x+m时，f（﹣x）＝﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m＝0，因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m＝0在[﹣1，1]上有解．令t＝2x，t∈[，2]，则﹣2m＝t+设g（t）＝t+，则g'（t）＝1﹣＝，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．所以t∈[，2]时，g（t）∈[2，]．所以﹣2m∈[2，]，即m∈[﹣，﹣1]．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n+2n﹣1，T n是数列{b n}的前n项和，求T n；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．【分析】（1）由S n＝2a n﹣2可得S n+1＝2a n+1﹣2，两式相减并整理得a n+1＝2a n，结合S1＝a1＝2即可得到{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而a n＝2n；（2）由（1）可知b n＝a n+2n﹣1＝2n+2n﹣1，从而利用分组求和法即可求出T n；（3）c n＝＝＝2（﹣），从而即可求得R n＝2（﹣），进一步结合{R n}的单调性即可确定λ的最小值．解：（1）由S n＝2a n﹣2，得S n+1＝2a n+1﹣2，两式相减得S n+1﹣S n＝2a n+1﹣2a n，即a n+1＝2a n，又当n＝1时，S1＝a1＝2a1﹣2，解得a1＝2，所以{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n＝2•2n﹣1＝2n；（2）由（1）可知b n＝a n+2n﹣1＝2n+2n﹣1，所以T n＝21+1+22+3+…+2n+（2n﹣1）＝21+22+…+2n+1+3+…+（2n﹣1）＝+（1+2n﹣1）＝2n+1+n2﹣2；（3）c n＝＝＝2（﹣），所以R n＝2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝2（﹣），由于n∈N*，所以R n＜，所以λ≥，即λ的最小值为．21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，a n}，n∈N*，集合A中的元素个数记为d（A），定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A的个数记为d（A+A），当时，称集合A具有性质Γ．（1）设集合M＝{1，x，y}具有性质Γ，判断集合M中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；（2）设正数列{d n}的前n项和为S n，满足，其中，数列{d n}中的前2020项：d1，d2，d3，…，d2020组成的集合{d1，d2，d3，…，d2020}记作D，将集合D+D 中的所有元素t1，t2，t3，…，t k（k∈N*）从小到大排序，即t1，t2，t3，…，t k满足t1＜t2＜t3＜…＜t k，求t2020；（3）已知集合C＝{c1，c2，…，c n}，其中数列{c n}是等比数列，c n＞0，且公比是有理数，判断集合C是否具有性质Γ，说明理由．【分析】（1）根据集合M＝{1，x，y}具有性质Γ，可以得到d（M+M）以及M+M的元素性质，运用反证法可以判断出集合M中的三个元素不能组成等差数列；（2）根据递推公式求出数列{d n}的通项公式，根据题意写出集合D，根据题目中所给的定义，结合等比数列的性质求出t2020；（3）只要能够证明当n1＜n2≤n3＜n4时，不成立，运用反证法结合整除的知识，就可以判断出集合C具有性质Γ．解：（1）集合M中的三个元素不能组成等差数列，理由如下：因为集合M＝{1，x，y}具有性质Γ，所以，由题中所给的定义可知：M+M中的元素应是：2，x+1，y+1，2x，2y，x+y，这6个元素应该互不相等，假设M中的三个元素能构成等差数列，不妨设1，x，y成等差数列，这时有2x＝1+y，这与集合元素集合中的6个元素互不相等矛盾，其它二种情况也是一样，故M中的三个元素不能能构成等差数列；（2）由，得：（n≥2，n∈N•），以上两式相减得d n+1＝2d n，说明数列从第二项起，数列{d n}等比数列，因为，，所以有，所以，所以，显然n＝1时也满足上式，因此．所以，令d m+d n﹣1＜d n，则，则可得m＜n﹣1，显然1≤m＜n﹣1（m，n∈N•），根据定义在d n之间增加的元素个数为：，这样包括d n在内前面一共有个元素．当n＝63时，包括d63在内前面共有2016个，显然不到第2020个数，所以只有当n＝64时，能找到，因此；（3）集合C具有性质Γ，理由如下：设等比数列{c n}的公比为q，所以通项公式为：，q为有理数，设假设当n1＜n2≤n3＜n4时，成立，则有，故，因为q为有理数，所以设且m，n互质，因此有，则，式子的左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m，n互质，显然不成立，因此C+C集合中的元素个数为：，因此它符合已知所下的定义，因此集合C具有性质Γ．。
2021-2022学年高中数学 1 空间向量与立体几何章末综合测评新人教A版选择性必修第一册
2021-2022学年高中数学1 空间向量与立体几何章末综合测评新人教A版选择性必修第一册年级：姓名：章末综合测评(一) 空间向量与立体几何(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1,5，－1)，则a ·(a ＋3b )＝( ) A ．(0,34,10) B ．(－3,19,7) C ．44D ．23C [a ＋3b ＝(－3,2,5)＋3(1,5，－1)＝(0,17,2)，则a ·(a ＋3b )＝(－3,2,5)·(0,17,2)＝0＋34＋10＝44.]2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2C ．12D ．3B [若l 1⊥l 2，则a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴1×(－2)＋2×3＋(－2m )＝0，解得m ＝2.]3．在空间四边形ABCD 中，若向量AB →＝(－3,5,2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( )A ．(2,3,3)B ．(－2，－3，－3)C ．(5，－2,1)D ．(－5,2，－1)B [取AC 中点M ，连接ME ，MF (图略)，则ME →＝12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，1，MF →＝12CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－12，－2，所以EF →＝MF →－ME →＝(－2，－3，－3)，故选B ．]4．如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若BE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则( )A ．x ＝－12，y ＝12B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝－12，y ＝－12D ．x ＝12，y ＝12A [BE →＝BA →＋AA 1→＋A 1E →＝－AB →＋AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝－AB →＋AA 1→＋12AB →＋12AD →＝－12AB →＋AA 1→＋12AD →，∴x ＝－12，y ＝12.]5．已知A (2，－5,1)，B (2，－4,2)，C (1，－4,1)，则AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．90°B [由题意得AB →＝(0,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12×2＝12，所以AB →与AC →的夹角为60°.] 6．已知二面角αl β的大小为π3，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3B [设m ，n 的方向向量分别为m ，n .由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量．∵|cos〈m ，n 〉|＝cos π3＝12，∴〈m ，n 〉＝π3或2π3.但由于两异面直线所成的角的范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，故异面直线m ，n 所成的角为π3.]7.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，Q 为A 1B 1上任意一点，E ，F 为CD 上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离( )A ．等于55a B ．和EF 的长度有关 C ．等于23a D ．和点Q 的位置有关A [取B 1C 1的中点G ，连接PG ，CG ，DP ，则PG ∥CD ，所以点Q 到平面PEF 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，与EF 的长度无关，B 错．又A 1B 1∥平面PGCD ，所以点A 1到平面PGCD 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，即点Q 到平面PEF 的距离，与点Q 的位置无关，D 错．如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则C (0，a ,0)，D (0,0,0)，A 1(a ,0，a )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ，∴DC →＝(0，a ,0)，DA 1→＝(a ,0，a )，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ， 设n ＝(x ，y ，z )是平面PGCD 的法向量， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DP →＝0，n ·DC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a2x ＋az ＝0，ay ＝0，令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0，所以n ＝(－2,0,1)是平面PGCD 的一个法向量． 设点Q 到平面PEF 的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA 1→·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2a ＋a 5＝5a 5，A 对，C 错．故选A ．]8.如图所示，ABCD A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF .当A 1，E ，F ，C 1四点共面时，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成夹角的余弦值为( )A ．22 B ．12C ．15D ．265B [以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，易知当E (6,3,0)，F (3,6,0)时，A 1，E ，F ，C 1共面，设平面A 1DE 的法向量为n 1＝(a ，b ，c )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧DE →·n 1＝6a ＋3b ＝0，DA 1→·n 1＝6a ＋6c ＝0，可取n 1＝(－1,2,1)，同理可得平面C 1DF 的一个法向量为n 2＝(2，－1,1)， 故平面A 1DE 与平面C 1DF 的夹角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12.故选B ．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中正确的有( ) A ．OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量 B ．OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量C ．OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量 D ．OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量ACD [∵O 为正方体的中心，∴OA →＝－OC 1→，OD →＝－OB 1→，故OA →＋OD →＝－(OB 1→＋OC 1→)，同理可得OB →＋OC →＝－(OA 1→＋OD 1→)，故OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝－(OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→)，∴AC 正确；∵OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，∴OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是两个相等的向量，∴B 不正确；∵OA 1→－OA →＝AA 1→，OC →－OC 1→＝C 1C →＝－AA 1→，∴OA 1→－OA →＝－(OC →－OC 1→)，∴D 正确．]10．在以下选项中，不正确的命题有( ) A ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 B ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λbC ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底ABC [A ．|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 共线，但a 与b 共线时|a |－|b |＝|a ＋b |不一定成立，故不正确；B ．b 需为非零向量，故不正确；C ．因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；D ．由基底的定义知正确．]11．下列说法正确的是( )A ．直线l 的方向向量a ＝(1，－1,2)，直线m 的方向向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，则l与m 垂直B ．直线l 的方向向量a ＝(0,1，－1)，平面α的法向量n ＝(1，－1，－1)，则l ⊥αC ．平面α，β的法向量分别为n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，则α∥βD ．平面α经过三点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，则u ＋t ＝1AD [对于A ，∵a ＝(1，－1,2)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，－12，∴a ·b ＝1×2＋(－1)×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴a ⊥b ，∴直线l 与m 垂直，A 正确．对于B ，∵a ＝(0,1，－1)，n ＝(1，－1，－1)，∴a ·n ＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，∴a ⊥n ，∴l ∥α或l ⊂α，B 错误．对于C ，∵n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，∴n 1与n 2不共线，∴α∥β不成立，C 错误．对于D ，由于A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，则AB →＝(－1,1,1)，BC →＝(－1,1,0)，又向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧－1＋u ＋t ＝0，－1＋u ＝0，则u ＋t ＝1，D 正确．]12．如图(1)是一副直角三角板的示意图．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD ，如图(2)所示，则下列结论中正确的是( )A ．BD →·AC →＝0B ．平面BCD 的法向量与平面ACD 的法向量垂直C ．异面直线BC 与AD 所成的角为60° D ．直线DC 与平面ABC 所成的角为30°AD [以B 为坐标原点，分别以BD →，BC →的方向为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设BD ＝2，则B (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,23，0)，A (0，3，3)，∴BD →＝(2,0,0)，AC →＝(0，3，－3)，BC →＝(0,23，0)，AD →＝(2，－3，－3)，DC →＝(－2,23，0)．∴BD →·AC →＝(2,0,0)·(0，3，－3)＝0，A 正确；易得平面BCD 的一个法向量为n 1＝(0,0，3)，平面ACD 的一个法向量为n 2＝(3，1,1)，n 1·n 2≠0，B 错误；|cos 〈BC →，AD →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·AD →|BC →||AD →|＝|0，23，0·2，－3，－3|23×10＝310≠12，C 错误；易得平面ABC 的一个法向量为BD →＝(2,0,0)，设直线DC 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DC →·BD →|DC →|·|BD →|＝44×2＝12，故D 正确．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC ，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________.⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－3 [∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. ∵BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎨⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.故BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.] 14．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 共面，则λ＝________.657[易知a 与b 不共线，由共面向量定理可知，要使a ，b ，c 共面，则必存在实数x ，y ，使得c ＝x a ＋y b ，即⎩⎨⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177，λ＝657.]15．已知A (0,0，－x )，B (1，2，2)，C (x ，2，2)三点，点M 在平面ABC 内，O 是平面ABC 外一点，且OM →＝xOA →＋2xOB →＋4OC →，则x ＝________，AB →与AC →的夹角为________．(本题第一空2分，第二空3分)－1π3[由A ，B ，C ，M 四点共面可知x ＋2x ＋4＝1，∴x ＝－1. ∴A (0,0,1)，C (－1，2，2)，∴AB →＝(1，2，1)，AC →＝(－1，2，1)， ∴cos〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，即AB →与AC →的夹角为π3.]16．如图，等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D 的余弦值为33，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则EM ，AN 所成角的余弦值为________．16[如图所示，过点C 作CO ⊥平面ABDE ，垂足为O ，取AB 的中点F ，连接CF ，OF ，OA ，OB ，则∠CFO 为二面角C AB D 的平面角，所以cos∠CFO ＝33. 设AB ＝1，则CF ＝32，OF ＝12，OC ＝22，所以O 为正方形ABDE 的中心．如图建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫24，0，24，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，24，24，所以EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24，22，24，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，24，24，所以cos 〈EM →，AN →〉＝EM →·AN →|EM →||AN →|＝16.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值． [解] (1)∵c ∥BC →，∴存在实数m ，使得c ＝mBC →＝m (－2，－1,2)＝(－2m ，－m ,2m )． ∵|c |＝3， ∴－2m2＋－m2＋2m2＝3|m |＝3，∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又∵|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝－12＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝－110＝－1010， 即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (3)∵k a ＋b ＝(k －1，k ,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k ,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52.∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．(1)求证：B 1D ⊥平面ABD ； (2)求证：平面EGF ∥平面ABD ．[解] 如图，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)．(1)设BA ＝a ，则A (a ,0,0)．所以BA →＝(a ,0,0)，BD →＝(0,2,2)，B 1D →＝(0,2，－2)． 所以B 1D →·BA →＝0，B 1D →·BD →＝0＋4－4＝0.所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD ． 又BA ∩BD ＝B ， 所以B 1D ⊥平面ABD ．(2)由题意及(1)，知E (0,0,3)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，4，F (0,1,4)，所以EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，1，EF→＝(0,1,1)．所以B 1D →·EG →＝0＋2－2＝0，B 1D →·EF →＝0＋2－2＝0. 所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF . 又EG ∩EF ＝E ， 所以B 1D ⊥平面EGF . 由(1)，知B 1D ⊥平面ABD ， 故平面EGF ∥平面ABD ．19．(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD 为矩形，四边形ABEF 为直角梯形，FA ⊥AB ，AD ＝AF ＝FE ＝1，AB ＝2，AD ⊥BE .(1)求证：BE ⊥DE ；(2)求点F 到平面CBE 的距离．[解] ∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ⊥AB ， 又AD ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ， ∴AD ⊥平面ABEF ， 又AD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ABEF .∵FA ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴FA ⊥平面ABCD ．∴FA ⊥AD ． (1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则B (0,2,0)，C (1,2,0)，D (1,0,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)， ∴BE →＝(0，－1,1)，DE →＝(－1,1,1)， ∴BE →·DE →＝0×(－1)＋(－1)×1＋1×1＝0， ∴BE →⊥DE →，∴BE ⊥DE .(2)由(1)得BC →＝(1,0,0)，BE →＝(0，－1,1)，FE →＝(0,1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面CBE 的法向量，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，－y ＋z ＝0，令y ＝1，得z ＝1，∴n ＝(0,1,1)是平面CBE 的一个法向量． 设点F 到平面CBE 的距离为d ， 则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪FE →·n |n |＝12＝22.∴点F 到平面CBE 的距离为22. 20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，AC ⊥AB ，AC ＝AB ＝4，AA 1＝6，点E ，F 分别为CA 1，AB 的中点．(1)证明：EF ∥平面BCC 1B 1；(2)求B 1F 与平面AEF 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图，连接EC 1，BC 1，因为三棱柱A 1B 1C 1ABC 为直三棱柱，所以E 为AC 1的中点．又因为F 为AB 的中点，所以EF ∥BC 1.又EF ⊄平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以EF ∥平面BCC 1B 1.(2)以A 1为原点，A 1C 1，A 1B 1，A 1A 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A 1xyz ，则A (0,0,6)，B 1(0,4,0)，E (2,0,3)，F (0,2,6)， 所以B 1F →＝(0，－2,6)，AE →＝(2,0，－3)，AF →＝(0,2,0)， 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝2x －3z ＝0，n ·AF →＝2y ＝0，令x ＝3，得n ＝(3,0,2)，记B 1F 与平面AEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈B 1F →，n 〉|＝|B 1F →·n ||B 1F →|·|n |＝313065.21．(本小题满分12分)如图所示的几何体中，BE ⊥BC ，EA ⊥AC ，BC ＝2，AC ＝22，∠ACB ＝45°，AD ∥BC ，BC ＝2AD ．(1)求证：AE ⊥平面ABCD ；(2)若∠ABE ＝60°，点F 在EC 上，且满足EF ＝2FC ，求平面FAD 与平面ADC 的夹角的余弦值．[解] (1)证明：在△ABC 中，BC ＝2，AC ＝22，∠ACB ＝45°，由余弦定理可得AB 2＝BC 2＋AC 2－2×BC ×AC ×cos 45°＝4，所以AB ＝2(负值舍去)，因为AC 2＝AB 2＋BC 2，所以△ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ． 又BE ⊥BC ，AB ∩BE ＝B ， 所以BC ⊥平面ABE .因为AE ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AE ， 因为EA ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ， 所以AE ⊥平面ABCD ．(2)由题易得EB ＝2AB ＝4，由(1)知，BC ⊥平面ABE ，所以平面BEC ⊥平面ABE ，如图，以B 为原点，过点B 且垂直于平面BEC 的直线为z 轴，BE ，BC 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Bxyz ，则C (0,2,0)，E (4,0,0)，A (1,0，3)，D (1,1，3)，因为EF ＝2FC ，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，0，易知AD →＝(0,1,0)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，－3，设平面FAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n ＝0，AF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，13x ＋43y －3z ＝0，令z ＝3，则x ＝9，所以n ＝(9,0，3)．由(1)知EA ⊥平面ABCD ，所以EA →＝(－3,0，3)为平面ABCD 的一个法向量． 设平面FAD 与平面ADC 的夹角为α， 则cos α＝|EA →·n ||EA →|·|n |＝2423×221＝277，所以平面FAD 与平面ADC 的夹角的余弦值为277.22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP ⊥平面ABCD ，F 为棱PD 的中点．(1)在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥平面PCE ？并说明理由；(2)当二面角D FC B 的余弦值为14时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．[解] (1)在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥平面PCE ，且E 为棱AB 的中点． 理由如下：如图，取PC 的中点Q ，连接EQ ，FQ ， 由题意得，FQ ∥DC 且FQ ＝12CD ，因为AE ∥CD 且AE ＝12CD ，所以AE ∥FQ 且AE ＝FQ .所以四边形AEQF 为平行四边形． 所以AF ∥EQ .又EQ ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以AF ∥平面PCE .(2)连接BD ，DE .由题意知△ABD 为正三角形，所以ED ⊥AB ，即ED ⊥CD ， 又∠ADP ＝90°，所以PD ⊥AD ，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD ＝AD ，所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设FD ＝a ，则由题意知F (0,0，a )，C (0,2,0)，B (3，1,0)，则FC →＝(0,2，－a )，CB →＝(3，－1,0)， 设平面FBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·FC →＝2y －az ＝0，m ·CB →＝3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，z ＝23a，所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，3，23a ，易知平面DFC 的一个法向量n ＝(1,0,0)， 因为二面角D FC B 的余弦值为14，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m ||n |＝14，即14＋12a2＝14，解得a ＝1(负值舍去)． 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以∠PBD 为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 由题意知在Rt△PBD 中，tan∠PBD ＝PD BD ＝2FDBD＝1，所以∠PBD ＝45°，所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为45°.。
2021-2022学年上海市黄浦区格致中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
2021-2022学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷一.填空题1．若集合A ＝{﹣1，0，1}，则在A 的所有子集中，含有元素0的集合共有个．2．设A 、B 是两个非空的有限集合，全集U ＝A ∪B ，且U 中含有m 个元素，若∪中含有n 个元素，则A ∩B 中所含有元素的个数为．3．设a 是实数，集合M ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，N ＝{y |ay +2＝0}，若N ⊆M ，则a 的取值集合是．4．不等式＞1的解集为．5．计算（lg 50）2+lg 2×lg 502+（lg 2）2＝．6．设a 2x ＝2，a ＞0，则＝．7．若关于x 的方程x 2+2（m ﹣1）x +4m 2＝0有两个实数根，且这两根互为倒数，则m ＝．8．对任意实数x ，不等式|x +1|+|x ﹣a |≥﹣a +1恒成立，则实数a 的取值范围是．9．已知幂函数y ＝f （x ）＝x α在[0，+∞）上是严格增函数，该幂函数的图像关于y 轴对称，且满足f （）＞，请写出一个满足条件的α的值．10．定义：min {x ，y }为实数x ，y 中较小的数．已知，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是．11．若集合A ＝{x |x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0，x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是．12．集合M ＝{6666，﹣11135，2333，10，99111，﹣1，﹣198，1000，0，π}有10个元素，设M 的所有非空子集为M i （i ＝1，2，…，1023），每一个M i 中所有元素乘积为m i （i ＝1，2，…，1023），则m 1+m 2+m 3+…+m 1023＝．二.选择题13．若集合M ＝{a ，b ，c }中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形14．俗话说“便宜没好货”，这句话的意思是，“不便宜”是“好货”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要15．已知使不等式x 2+（a +1）x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x ﹣1≤0，则实数a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数y ＝[x ]（x ∈R ）称为高斯函数，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2，则点集P ＝{（x ，y）|[x]2+[y]2＝1}所表示的平面区域的面积是（）A．1B．πC．4D．π+1三、解答题17．（10分）已知关于x的不等式＜0的解集为S．（1）当m＝9时，求集合S；（2）若5∈S且7∉S，求实数m的取值范围．18．（10分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．19．（10分）设y＝f（x）＝3ax2+2bx+c，若a+b+c＝0，f（0）f（1）＞0．（1）求证：方程f（x）＝0有实根；（2）求的取值范围；（3）设f（x）与x轴交于A、B两点，求线段AB长度的取值范围．20．（10分）（1）证明：设a1、a2都大于0，且a1+a2＝4，a1•a2＜2，则a1、a2中至少有一个小于1；（2）请作一猜想，将上述命题推广到n个数；（3）请证明（2）中你得到的结论．2021-2022学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一.填空题1．【解答】解：由题意得，在集合A的子集中，含有元素0的有{0}，{0，﹣1}，{0，1}，{0，﹣1，1}，共4个．故答案为：4．2．【解答】解：因为全集U＝A∪B，且U中含有m个元素，若∪中含有n个元素，因为，所以A∩B中所含有元素的个数为m﹣n．故答案为：m﹣n．3．【解答】解：由题意解得M＝{﹣3，2}，∵N⊆M，①a＝0时，N＝∅，符合题意；②a≠0时，N＝{﹣}，∴﹣＝﹣3或2，解得a＝或﹣1，∴A＝{0，﹣1，}，∴A的取值集合为{0，﹣1，}．故答案为：{0，﹣1，}．4．【解答】解：∵不等式＞1，∴|2x﹣3|＜1且2x﹣3≠0，∴﹣1＜2x﹣3＜1且x≠，∴1＜x＜2且x≠，∴不等式解集为{x|1＜x＜2且x≠}．故答案为：{x|1＜x＜2且x≠}．5．【解答】解：（lg50）2+lg2×lg502+（lg2）2＝lg250+2lg2×lg50+lg22＝（lg50+lg2）2＝（lg100）2＝22＝4，故答案为：4．6．【解答】解：a2x＝2，a＞0，则a x＝，原式＝＝a2x﹣1+a﹣2x＝2﹣1+＝，故答案为：．7．【解答】解：设x1，x2是方程x2+2（m﹣1）x+4m2＝0有两个实数根，则x1x2＝4m2＝1，解得m＝或m＝﹣，又当m＝时，Δ＝[2（m﹣1）2﹣16m2]＜0，舍去m＝，当m＝﹣时，Δ＝[2（m﹣1）2﹣16m2]＞0．故答案为：﹣．8．【解答】解：由绝对值三角不等式可得|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣（x﹣a）|＝|a+1|，因为对任意实数x，不等式|x+1|+|x﹣a|≥﹣a+1恒成立，所以|a+1||≥﹣a+1，当a＞﹣1时，a+1≥﹣a+1，解得a≥0；当a≤﹣1时，﹣a﹣1≥﹣a+1，即﹣1≥1，不等式不成立，综上，实数a的取值范围是a≥0．故答案为：a≥0．9．【解答】解：∵幂函数y＝f（x）＝xα在[0，+∞）上是严格增函数，∴α＞0，∵该幂函数的图像关于y轴对称，∴α可以为偶数或分子为偶数，∵f（）＞，∴0＜α＜1，故满足条件的α的值可以为，故答案为：．10．【解答】解：∵a，b均为正实数，＝≤，∴当a≥，即a≥时，≤，即≤，∴h＝min{a，}＝≤；当0＜a＜时，h＝min{a，}＜；综上所述，h的最大值为．故答案为：．11．【解答】解：∵x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0且a＞0，∴x2﹣2x+2＜a（x+1），令f（x）＝x2﹣2x+2；g（x）＝a（x+1），∴A＝{x|f（x）＜g（x），x∈Z}，∴y＝f（x）是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；而y＝g（x）一次函数，图象是过一定点（﹣1，0）的动直线．又∵x∈Z，a＞0．数形结合，可得：．故答案为：（，]12．【解答】解：∵M的所有非空子集为M i（i＝1，2，…，1023），这1023个子集分成以下几种情况：①含0的子集有512个，这些子集均满足m i＝0；②不含0，含﹣1且还含有其它元素的子集有255个，③不含0，不含﹣1但含有其它元素的子集有255个，④只含﹣1的子集一个{﹣1}，满足m i＝﹣1；其中②③中的集合是一一对应的，且满足m i对应成相反数，故m1+m2+m3+…+m1023＝512×0+255×0﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1二.选择题13．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；故选：D．14．【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．15．【解答】解：解不等式3x﹣1≤0，得x≤，解集为（﹣∞，]．由不等式x2+（a+1）x+a≤0，得（x+1）（x+a）≤0，因为使不等式x2+（a+1）x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x﹣1≤0，若a＝1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为{﹣1}，满足{﹣1}⊆（﹣∞，]，符合题意．若a＜1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为[﹣1，﹣a]，则[﹣1，﹣a]⊆（﹣∞，]，所以﹣a≤，解得﹣≤a＜1．若a＞1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为[﹣a，﹣1]，则[﹣a，﹣1]⊆（﹣∞，]，所以a＞1．综上知，实数a的取值范围是[﹣，+∞）．故选：B．16．【解答】解：由题意可得或或或，画出可行域，如图所示，∴点集P＝{（x，y）|[x]2+[y]2＝1}所表示的平面区域的面积是4，故选：C．三、解答题17．【解答】解：（1）当m＝9时，＝，转化为（x+3）（x﹣）（x﹣3）＜0，解得x＜﹣3或，故不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（，3），（2）若5∈S且7∉S，则，解得1≤m＜或25＜m≤49．18．【解答】解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得：…依题意，知x≥0，y≥0，z≥0，且x、y、z均为整数，∴解得：≤x≤，∴x可取4、5、6…（6分）∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x＝4时，y＝7，z＝1；当x＝5时，y＝4，z＝3；当x＝6时，y＝1，z＝5．…（10分）（2）∵W＝（1500+500）x+（700+500）y+500z＝﹣600x+19300当x＝4时，W最大，W最大值＝﹣60×4+19300＝16900（元）．…（14分）19．【解答】证明：（1）∵f（0）f（1）＞0，∴c（3a+2b+c）＞0，，则c＝﹣a﹣b，（﹣a﹣b）（2a+b）＞0，2a2+3ab+b2＜0，，＝12a2+12ab+4b2＝＝，∴所给方程有实根，解：（2）由2a2+3ab+b2＜0知a2≠0，变形为，解得，∴∈（﹣2，﹣1）．解：（3）∵＝＝∵，结合二次函数的性质，∴，∴|x1﹣x2|∈[，）．20．【解答】解：（1）反证法：假设a1，a2均大于或等于1，设a1＝b1+1，a2＝b2+1，∴b1与b2均等于或大于0，由a1•a2＜2，a1+a3＝4，∴b1•b2≥0，∴（b1+1）（b2+1）＜2，b1+1+b2+1＝4，∴b1b2+b1+b2+1＝b1b2+3＜2，∴b1b2＜﹣1，即b1b2＜0与假设矛盾，故原命题成立；（2）猜想：a1•a2•…•a n＜n，a1，a2，…，a n都大于0，且a1+a2+…+a n＝2n，则a1，a2，…，a n中至少有一个小于1，（3）反证法：设a1＝b1+1，a2＝b2+1，．…，a n＝b n+1，b1，b2，…，b n均大于或等于0，∴a1，a2，…，a n均大于或等于1（b1•b2•…•b n≥0），∴（b1+1）+（b2+1）+…+（b n+1）＝2n，∴b1+b2+…+b n＝n，∴a1•a2•…•a n＝（b1+1）（b2+1）……（b n+1）＜n，又∵b1•b2•……•b n+b1+b2+…+b n≤（b1+1）（b2+1）…（b n+1）＜n，∴b1b2…b n＜0与假设矛盾，故原命题成立．。
专题16 复数(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)
2021届高考数学一轮复习 专题16复数一、填空题1．（2020·上海松江·期末）已知复数z 满足，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________. 【答案】1 【解析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位）， 设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθθ-=+-，当且仅当时取等号．故答案为：1．2．（2020·上海高三其他）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________ 【答案】1- 【解析】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1- 【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力. 3．（2020·上海普陀·高三一模）设i 是虚数单位，若11z ai i=++是实数，则实数a = 【答案】12【解析】依题意，由于z 为实数，故110,22a a -==.4．（2020·上海市建平中学高三月考）已知x C ∈，且，则_____． 【答案】4或-1【解析】由()()54321110x x x x x x -=-++++=,得1x =,或43210x x x x ++++=,进而得到答案．∵x C ∈，且()()54321110x x x x x x -=-++++=,故1x =,或43210x x x x ++++=， 当1x =时,,当43210x x x x ++++=时， ， 故，或-1故答案为：4或-1．5．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32- 【解析】设z a bi =+，（且），将原方程变为，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；设z a bi =+，（且） 则原方程变为所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，此时1x =-，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，b =所以14z =-±综上满足条件的所以复数的和为 故答案为：32-6．（2019·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______． 【答案】-3 【解析】试题分析：由题意得：32436iz i i+=+=-+，其虚部为-3 7．（2019·上海市建平中学高三月考）已知复数z 满足(1i)1i z +=-，则Re()z =________ 【答案】0 【解析】因为，所以()Re 0z =. 故答案为0.8．（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________【解析】由题意2z i =-+，∴。
江西省上高二中2021届高三上学期第三次月考数学(理)试题 Word版含答案
上高二中2021届高三数学（理科）第三次月考试卷1．已知全集U =R ，集合{}220M x N x x =∈-≤，{}21xA y y ==+，则()U M C A ⋂=（ ）A ．{}1B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{}01x x ≤≤2. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.若c>b>a>0，则( ) A. log a c>log b c lnc －c a >b －cbD. a b b c >a c b b 4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是( )A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半5．已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<6.已知()31ln1x f x x ++=--，则函数()f x 的图象大致为 ( ) A. B.C. D.7.下列命题中正确的共有（ ）个①. (0,),23x xx ∃∈+∞> ②. 23(0,1),log log x x x ∃∈<③. 131(0,),()log 2x x x ∀∈+∞> ④.1311(0,),()log 32x xx ∀∈< A ．1B. 2C. 38.已知定义域为R 的函数f （x ）满足f （-x ）= -f （x+4），当x>2时，f （x ）单调递增，如果x 1+x 2<4且（x 1-2）（x 2-2）<0，则f （x 1）+f （x 2）的值（ ）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负9.已知x ，y ∈R ，且满足020(0)2y ax y ax a x -≥⎧⎪-≤>⎨⎪≤⎩，若由不等式组确定的可行域的面积为1，则目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为( ) A.32B.2C.3 10.已知函数f(x)＝1＋log a (x －2)(a>0，a ≠1)的图象经过定点A(m ，n)，若正数x ，y 满足1m nx y+=，则2xx y y++的最小值是( ) B.10 C.5＋11.已知函数y ＝f(x)在R 上可导且f(0)＝2，其导函数f'(x)满足()()2f x f x x '-->0，对于函数g(x)＝()xf x e ，下列结论错误．．的是( ) A.函数g(x)在(2，＋∞)上为单调递增函数 是函数g(x)的极小值点 ≤0时，不等式f(x)≤2e x 恒成立 D.函数g(x)至多有两个零点12．若关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈, 71828.2=e 为自然对数的底数,则3122312x x x x x x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．eB ．2eC ．()42m m +D ．()41m m +13．已知2'()2(2)f x x xf =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 .14．奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()a f a +=___________.15．设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是_______.16.已知实数x ，y 满足y ≥2x>0，则92y xx x y++的最小值为 。
2021-2022学年上海中学高一(上)期中数学试卷
2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）不等式（a 2+1）x ＜3的解为 ___ ．2.（填空题，3分）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数 ___ ．3.（填空题，3分）设正实数x ，y 满足xy=20，则x+4y 的最小值为 ___ ．4.（填空题，3分）给定正实数a ，b ，化简代数式 √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1=___ ． 5.（填空题，3分）已知实数a ，b 满足log 2a=log 5b= √2 ，则lg （ (ab )√2 ）=___ ． 6.（填空题，3分）设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}．若A∩B=A ．则m 的取值范围是 ___ ．7.（填空题，3分）已知集合A={（x ，y ）x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}，则A 的真子集共有 ___ 个．8.（填空题，3分）设集合A=N ，B={x| x+2x−3 ＞0，x∈R}，则A∩∁R B=___ ．9.（填空题，3分）若不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），则不等式-7x 2+bx+a ＞0的解集为 ___ ．10.（填空题，3分）设x ＞1，若log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0，则log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）=___ ．11.（填空题，3分）已知a 、b 、c 均为正实数，则 ab+bca 2+b 2+c 2 的最大值为___ ．12.（填空题，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有 ___ 个数在十进制下的最高位为1． 13.（单选题，4分）设a ，b ，c ，d 为实数，下列说法正确的是（ ） A.若a ＞b ，则a 2＞b 2B.若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则 ac ＞ bd C.若 √a ＞b ，则a ＞b 2 D.若a ＞b ＞0，则a 2＞ab ＞b 214.（单选题，4分）已知实数a ，b ，则“ a+ba−b ＞0”是“|a|＞|b|”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要15.（单选题，4分）设a=log35，b=log57，则log1549=（）45A. 2b−1−2a1+aB. 2b−2−a1+aC. 2ab−1−2a1+aD. 2ab−2−a1+a16.（单选题，4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，则a2+b2+c2的最大值为（）A.3B.9C.18D.2717.（问答题，6分）若实数x，y满足集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等，求x，y 的值．18.（问答题，8分）解下列不等式：（1）x2-5x+7＜|2x-5|；（2）√x−1 +2x＜5．19.（问答题，10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．20.（问答题，10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（k为常（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式x=3- km+1数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k的值，并将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？21.（问答题，14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）=0的解集为A，方程g（f（x））=0的解集为B，若满足A=B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）不等式（a2+1）x＜3的解为 ___ ．）【正确答案】：[1]（-∞，3a2+1【解析】：根据a²+1＞0，结合不等式性质即可求解．【解答】：解：因为a²+1＞0，，所以该不等式解为x＜3a2+1）．故答案为：（-∞，3a2+1【点评】：本题考查不等式的求解，属于基础题．2.（填空题，3分）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数 ___ ．【正确答案】：[1]{x|x=10n-1，（n∈N*）}【解析】：十进制下个位为9的正整数为10n-1，（n∈N*），用描述法写入集合即可．【解答】：解：十进制下个位为9的正整数为10n-1，（n∈N*），用描述法表示为{x|x=10n-1，（n∈N*）}，故答案为：{x|x=10n-1，（n∈N*）}．【点评】：本题考查了进位制以及集合的表示方法，属于基础题．3.（填空题，3分）设正实数x，y满足xy=20，则x+4y的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]8 √5【解析】：由基本不等式，即可得解．【解答】：解：因为x＞0，y＞0，所以x+4y≥2 √x•4y =2 √4×20 =8 √5，当且仅当x=4y，即x=4 √5，y= √5时，等号成立，所以x+4y的最小值为8 √5．故答案为：8 √5 ．【点评】：本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 4.（填空题，3分）给定正实数a ，b ，化简代数式 √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1=___ ．【正确答案】：[1] √ab【解析】：由 √1a 3= a −13 ， (ab )56 = a 56 • b 56 ， √b 3 ）-1= b −13 代入化简即可．【解答】：解： √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1= a −13 • a 56 • b 56b −13= √a • √b = √ab ， 故答案为： √ab ．【点评】：本题考查了有理数指数幂的化简，属于基础题．5.（填空题，3分）已知实数a ，b 满足log 2a=log 5b= √2 ，则lg （ (ab )√2 ）=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：先把已知的对数式化为指数式，求出a ，b 的值，再利用对数的运算性质求解．【解答】：解：∵log 2a=log 5b= √2 ， ∴a=2 √2 ，b= 5√2 ，∴（ab ） √2 =（2 √2 •5√2 ） √2 =102， ∴lg （ (ab )√2 ）=lg102=2， 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题． 6.（填空题，3分）设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}．若A∩B=A ．则m 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][4，+∞）【解析】：推导出A⊆B ，列出方程组，能求出m 的取值范围．【解答】：解：集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}，A∩B=A ， ∴A⊆B ，∴ {2−m ≤2m −12−m ≤−22m −1≥5 ， 解得m≥4．∴m 的取值范围是[4，+∞）． 故答案为：[4，+∞）．【点评】：本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，3分）已知集合A={（x ，y ）x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}，则A 的真子集共有 ___ 个．【正确答案】：[1]7【解析】：采用列举法，列举出A 中的元素，再计算真子集个数．【解答】：解：∵A={（x ，y ）|x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}． ∴A={（1，7），（5，5），（7，1）}共3个元素． ∴A 的真子集有23-1=7个． 故答案为：7．【点评】：用列举法写出A 的所有元素是解答本题的关键．属于易做题． 8.（填空题，3分）设集合A=N ，B={x| x+2x−3 ＞0，x∈R}，则A∩∁R B=___ ． 【正确答案】：[1]{0，1，2，3}【解析】：先解一元二次不等式求出集合B ，再根据集合的基本运算即可求解．【解答】：解：∵B={x| x+2x−3＞0，x∈R}={x|（x+2）（x-3）＞0}={x|x ＞3或x ＜-2}，∴∁R B={x|-2≤x≤3}， ∵A=N ，∴A∩（∁R B ）={0，1，2，3}， 故答案为：{0，1，2，3}．【点评】：本题考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．9.（填空题，3分）若不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），则不等式-7x 2+bx+a ＞0的解集为 ___ ． 【正确答案】：[1]（ 17， 12）【解析】：设y=ax 2+bx-7，ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），得到开口向下，2和7为函数与x 轴交点的横坐标，利用根与系数的关系表示出a 与b 的关系，化简不等式-7x 2+bx+a ＞0即可求得答案．【解答】：解：因为不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞）， 所以 { a ＜0−ba =2+7−7a=2×7 ，解得 {a =−12b =92 ，则不等式-7x 2+bx+a ＞0即为14x²-9x+1＜0， 解得 17＜x ＜12 ，故-7x 2+bx+a ＞0的解集为（ 17 ， 12 ）． 故答案为：（ 17 ， 12 ）．【点评】：此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于基础题．10.（填空题，3分）设x ＞1，若log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0，则log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）=___ ． 【正确答案】：[1]- 14【解析】：利用对数的运算性质求解．【解答】：解：∵log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0， ∴ log 2(12log 2x) + 12log 2(14log 2x) + 14 log 2（log 2x ）=0，∴ log 2[12log 2x•(14log 2x)12•(log 2x )14] =0，∴ 12log 2x • 12(log 2x )12 • (log 2x )14 =1，∴ log 2x •(log 2x )12•(log 2x )14 =4，∵log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）= log 2[14log 2x•(12log 2x)14•(log 2x )12] =log2(12)14 = log22−14 =- 14，故答案为：- 14．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．11.（填空题，3分）已知a、b、c均为正实数，则ab+bca2+b2+c2的最大值为___ ．【正确答案】：[1] √22【解析】：根据基本不等式的性质，利用a2+ 12 b2≥ √2 ab，12b2+c2≥ √2 bc，即可求出ab+bca2+b2+c2的最大值．【解答】：解：a、b、c均为正实数，则a2+ 12 b2≥ √2 ab，12b2+c2≥ √2 bc，∴ ab+bc a2+b2+c2 = ab+bc(a2+12b2)+(12b2+c2)≤√2(ab+bc)= √22，当且仅当a=c= √22b 时，等号成立，∴ ab+bc a2+b2+c2的最大值为√22．故答案为：√22【点评】：本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是中档题．12.（填空题，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有 ___ 个数在十进制下的最高位为1．【正确答案】：[1]1859【解析】：由2m的最高位为1，得到2m x（210）n的最高位也为1，构成以指数幂为10的周期性，得到前三个数最高位数字为l的数为20，24，27，结合周期性，即可求解．【解答】：解：若2m的最高位为1，由210=1024，其中210的最高位为1，可得2m×（210）n 的最高位也为1，所以构成以指数幂为10的周期性，其中前三个数最高位数字为1的数为20，24，27，即每个周期内有3个最高位为1的数字，又由26190=20×210×619，26194=24×210×619的最高位为1，所以在集合A={1，2，4…，26194}中最高位为1的共有619×3+2=1859个．故答案为：1859．【点评】：本题考查了进位制，周期性，属于中档题．13.（单选题，4分）设a，b，c，d为实数，下列说法正确的是（）A.若a＞b，则a2＞b2B.若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac ＞bdC.若√a＞b，则a＞b2D.若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2【正确答案】：D【解析】：根据已知条件，结合特殊值法和作差法，即可求解．【解答】：解：对于A，令a=1，b=-1，满足a＞b，但a2=b2，故A错误，对于B，令a=2，b=1，c=2，d=1，满足a＞b＞0，c＞d＞0，但ac =bd，故B错误，对于C，令a=1，b=-1，满足√a＞b，但a=b2，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴a-b＞0，a2＞b2，∴a2-ab=a（a-b）＞0，ab-b2=b（a-b）＞0，∴a2＞ab＞b2，故D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查了作差法，以及特殊值法，属于基础题．14.（单选题，4分）已知实数a，b，则“ a+ba−b＞0”是“|a|＞|b|”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【正确答案】：C【解析】：由分式不等式转化为整式不等式，结合平方差公式和绝对值不等式，由充分必要条件的定义可得结论．【解答】：解：已知实数a，b，不等式a+ba−b＞0等价为（a+b）（a-b）＞0，即为a2-b2＞0，即a2＞b2，即为|a|＞|b|，所以“ a+ba−b＞0”是“|a|＞|b|”的充要条件．故选：C．【点评】：本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．15.（单选题，4分）设a=log35，b=log57，则log154945=（）A. 2b−1−2a1+aB. 2b−2−a1+aC. 2ab−1−2a1+aD. 2ab−2−a1+a【正确答案】：D【解析】：利用对数的运算性质和换底公式求解．【解答】：解：∵a=log35，b=log57，∴ab=log37，∴ log154945=log1549-log1545=2log157-log155-2log153= 2log715 - 1log515- 2log315= 2log73+log75 - 11+log53- 21+log35= 21ab +1b- 11+1a- 21+a= 2ab1+a - a1+a- 21+a= 2ab−a−21+a，故选：D．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质和换底公式的应用，是基础题．16.（单选题，4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，则a2+b2+c2的最大值为（）A.3B.9C.18D.27【正确答案】：C【解析】：利用绝对值的性质可知|a|≤3，|b|≤3，|c|≤3，然后取a ，b ，c=±3，不合题意，再取a=3，b=-3，c=0，符合题意，即可得解．【解答】：解：∵6=|a|+|b|+|c|+|a+b+c|≥|（a+b+c ）-a-b+c|=2|c|，∴|c|≤3，同理可得|a|≤3，|b|≤3，若a ，b ，c=±3，显然不可能；若a=3，b=-3，c=0，此时符合题意，则a 2+b 2+c 2=18．故选：C ．【点评】：本题考查代数式最值的求解，考查绝对值的性质及意义，考查运算求解能力，属于中档题．17.（问答题，6分）若实数x ，y 满足集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等，求x ，y 的值．【正确答案】：【解析】：由集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等知，xy=1，此时，{0，1，x}={0，|x|，y}，由此能够求出x ，y 的值．【解答】：解：由集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等知，lg （xy ）=0，即xy=1，此时，{0，1，x}={0，|x|，y}．所以 {x =|x |xy =1y =1或 {x =y xy =1|x |=1 ， 解得x=y=1或x=y=-1．当x=y=1时，A=B={0，1，1}，与集合元素互异性矛盾，应舍去；当x=y=-1时，A=B={-1，0，1}，故x=y=-1．【点评】：本题考查集合相等的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意集合中元素互异性的合理运用．18.（问答题，8分）解下列不等式：（1）x2-5x+7＜|2x-5|；（2）√x−1 +2x＜5．【正确答案】：【解析】：（1）结合不等式的特征，利用函数的对称性去掉绝对值符号求解不等式即可；（2）将不等式进行变形，然后结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得不等式的解集．时，不等式即：x2-5x+7＜2x-5，【解答】：解：（1）当x≥52整理可得x2-7x+12＜0，解得3＜x＜4，令f（x）=x2-5x+7，g（x）=2x-5对称，注意到函数f（x），g（x）均关于直线x=52时不等式的解集为1＜x＜2，由函数的对称性可得当x＜52综上可得，不等式的解集为（1，2）⋃（3，4）．（2）不等式即√x−1＜−2x+5，不等式有解时，x≥1，注意到函数f(x)=√x−1单调递增，函数g（x）=-2x+5单调递减，且f（2）=g（2）=1，结合函数的定义域可得不等式√x−1＜−2x+5的解集为{x|1≤x＜2}．【点评】：本题主要考查含有绝对值不等式的解法，对称性的应用，函数单调性的应用等知识，属于中等题．19.（问答题，10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知得4-xy=2x+y ，然后结合基本不等式即可求解；（2）由已知先用y 表示x ，然后代入后结合基本不等式可求．【解答】：解：（1）因为xy+2x+y=4，所以4-xy=2x+y ≥2√2xy ，当且仅当2x=y 时取等号，解得 √xy ≤√6−√2 ，故xy 的最大值8-4 √3 ，此时x= √3−1 ，y=2 √3 -2；（2）因为xy+2x+y=4，所以x= 4−y y+2 =-1+ 6y+2 ，所以x+y=-1+ 6y+2 +y=-3+ 6y+2+y+2 ≥−3+2√(y +2)•6y+2 =-3+2 √6 ， 当且仅当y+2= 6y+2 ，即y= √6 -2，x= √6 -1时取等号，x+y 的最小值-3+2 √6 ．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行合理的配凑基本不等式的应用条件．20.（问答题，10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m≥0）满足关系式x=3- k m+1 （k 为常数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k 的值，并将该产品的年利润y （万元）表示为年促销费用m （万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？【正确答案】：【解析】：（1）当m=0时，x=1，求出k的值，从而得到x，然后利用每件产品的销售价格元，列出y的函数关系式即可；为1.5× 8+16xx（2）利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】：解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1，则1=3-k，解得k=2，，所以x=3- 2m+1元，因为每件产品的销售价格为1.5× 8+16xx]-（8+16x+m）∴利润函数y=x[1.5× 8+16xx）-m=4+8x-m=4+8（3- 2m+1+（m+1）]+29（m≥0）．=-[ 16m+1+（m+1）]+29（m≥0），（2）因为利润函数y=-[ 16m+1+（m+1）≥2 √16 =8，所以，当m≥0时，16m+1=m+1，即m=3（万元）时，y max=21（万元）．∴y≤-8+29=21，当且仅当16m+1所以，该厂家促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．【点评】：本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）=0的解集为A，方程g（f（x））=0的解集为B，若满足A=B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．【正确答案】：【解析】：（1）根据新定义检验即可；（2）利用新定义计算求解可得d的值；（3）设t=−cm x2+cx，由新定义得关于t的方程t2−cmt+c=0无实根，记ℎ(t)=t2−cmt+c，由二次函数性质求得t的范围，由h（t）min＞0可得c的范围．【解答】：解：（1）若f（x），g（x）是否为一对“太极函救”，由f（x）=x+1=0，得x=-1，所以g（f（-1））=g（0）=1，x=-1不是g（f（x））的零点，所以f（x），g（x）不是一对太极函救；（2）设r为方程的一个根，即f（r）=0，由题设g（f（r））=0，所以g（0）=g（f（r））=d=0；（3）因为d=0，由a=1，f（m）=0得b=−cm，所以f(x)=bx2+cx=−cm x2+cx，g(f(x))=f(x)[f2(x)−cmf(x)+c]，由f（x）=0得x=0或m，易得g（f（x））=0，据题意，g（f（x））的零点均为f（x）的零点，故f2(x)−cmf(x)+c=0无实数根，设t=−cm x2+cx，则t2−cmt+c=0无实根，记ℎ(t)=t2−cmt+c，c＞0时，t=−cm (x−m2)2+mc4≤mc4，ℎ(t)=t2−cmt+c=(t−c2m)2+c−c24m2，mc 4≤c2m，即0＜m≤√2时，ℎ(t)min=ℎ(mc4)=m2c216−c24+c＞0，解得0＜c＜164−m2，mc 4＞c2m，即m＞√2时，ℎ(t)min=ℎ(c2m)=c−c24m2＞0，0＜c＜4m2，综上，m∈(0，√2]时，c∈(0，164−m2)，m∈(√2，+∞)时，c∈（0，4m2）．【点评】：本题主要考查新定义的理解与应用，函数的最值的求解，分类讨论的数学思想，二次函数的最值等知识，属于中等题．。
2020-2021学年上海市交通大附属中学高一上学期期中考试数学试卷(含详解)
上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。