线性方程组的迭代求解java

线性方程组的迭代求解

摘要

迭代法是一种逐次逼近方法，在使用迭代法解方程组时，其系数矩阵在计算过程中始终不变。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行。迭代法具有循环的计算方法，方法简单，适宜解大型稀疏矩阵方程组

本文总结了解线性方程组的三个迭代法，Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR 迭代法，并且介绍了软件JA V A在这方面的应用。

关键词： Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；SOR迭代法；计算

SOLUTION OF LINEAR EQUATIONS OF ITERATION WITH

THE EXPERIMENTAL

ABSTRACT

Iteration is a kind of method to solve questions by step-by-step approximation. When we are getting the solution of linear equations by using iteration, the coefficient matrix is always staying the same in computation process. Computer could operate fastly so that it is suitable for operating again and again. Iteration is easy to operate to solve the large matrix equations by using a calculate method called circulation.

This summary understanding of linear equations three kind of iteration, Jacobi iteration, Gauss-Seidel iteration, successive over relaxation method ,and introduce modern software JA V A in this respect.

Key words:Jacobi iteration; Gauss-Seidel iteration; Successive Over Relaxation method ;

calculating

目录

1迭代法概述 (1)

1.1迭代法定义 (1)

1.2迭代法基本原理 (1)

2迭代法解线性方程组 (1)

2.1雅克比（Jacobi）迭代法 (1)

2.2 高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法 (4)

2.3超松弛（SOR）迭代法 (7)

3 总结 (9)

参考文献 (10)

附录 (11)

1 迭代法概述

迭代法也称辗转法，是一种逐次逼近方法，在使用迭代法解方程组时，其系数矩阵在计算过程中始终不变。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

迭代法具有循环的计算方法，方法简单，适宜解大型稀疏矩阵方程组，在用计算机

计算时只需存储A 的非零元素（或可按一定公式形成系数，这样A 就不需要存储） [1]

。

1.1 迭代法定义

（1）对于给定的方程组x Bx f =+，用式子

(1)(0)(2)(1)

(1)()k k x Bx f

x Bx f

x

Bx f +⎧=+⎪=+⎪⎨

⎪⎪=+⎩ （1-1） 逐步代入求近似解的方法称为迭代法（或称为一阶定常迭代法，这里与B 和k 无关） （2）如果()lim k x x →∞

存在（记作x *），称此迭代法收敛，显然x *就是方程组的解，否则

称此迭代法发散。

1.2 迭代法基本定理

设有方程组x Bx f =+，对于任意初始向量(0)x 及任意f,解此方程组的迭代法（即

(1)()k k x Bx f +=+）收敛的充要条件是()1B ρ<.

2 迭代法解线性方程组

2.1 雅克比（Jacobi ）迭代法 2.1.1 Jacobi 迭代法的定义

设有方程组

n

1

ij j

i j a x

b ==∑ （1,2,

,i n =）,

记作 Ax b = （2-1

） A 为非奇异阵且a 0(1,2,

,)ij i n ≠=。将A 分裂为A D L U =--,其中

1112

nn a a D a ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥

⎢

⎥=⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎣

⎦，2131

3212

,1

00

0n n n n a a a L a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

， 12

13123

21,000

0n n n n a a a a a U a -⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢

⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

。 将式（2-1）第i(1,2,

,i n =)个方程用ij a 去除再移项，得到等价方程组

1

1

()n

i ij j j ij j i

x b a x a =≠=-∑ （1,2,

,i n =）, （2-2）

简单记作 0x B x f =+ ，其中110()B I D A D L U --=-=+, 1f D b -= 对方程组（2-2）应用迭代法，得到（2-1）的迭代公式

(0)(0)(0)(0)

12(1)()1(,,,)1()T

n n

k k i i ij j

j ij j i x x x x x b a x a +=≠⎧=⎪⎪⎨=-⎪⎪⎩

∑ （2-3）

其中(0)(0)(0)

(0)12(,,,)T

n x x x x =为第k 次迭代向量，设()k x 已经算出，由式（2-3）可计算

下一次迭代向量(1)(0,1,2,

;1,2,,)k x k i n +==。