回溯PPT课件
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算法分析与设计回溯法ppt课件
问题求解的方法
硬性处理法
– 列出所有候选解，逐个检查是否为所需要的解 – 理论上，候选解数量有限，并且通过检查所有或部分
候选解能够得到所需解时，上述方法可行
– 实际中则很少使用，因为候选解的数量通常都非常大 （比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的 计算机也只能解决规模较小的问题。
回溯或分枝限界法
这种以深度优先方式搜索问题的解的方法称为 回溯法
回溯法思想
第一步：为问题定义一个状态空间(state space)。这 个空间必须至少包含问题的一个解
第二步：组织状态空间以便它能被容易地搜索。典型 的组织方法是图或树
第三步：按深度优先的方法从开始结点进行搜索
– 开始结点是一个活结点（也是 E-结点：expansion node） – 如果能从当前的E-结点移动到一个新结点，那么这个新结点将
权衡：限界函数生成结点数和限界函数 本身所需的计算时间
效率分析
效率分析中应考虑的因素
– （1）—（3）与实例无关 – （4）与实例相关
有可能只生成O(n)个结点，有可能生成 几乎全部结点
最坏情况时间
– O(p(n)2n)，p(n)为n的多项式 – O(q(n)n!)，q(n)为n的多项式
Monte Carlo效率估计（1）
解空间
隐式约束描述了xi必须彼此相关的情况， 如0/1背包问题中的背包重量M
回溯法求解的经典问题（1） 8-皇后问题
在一个8*8棋盘上放置8个皇后，且使得每两个 之间都不能互相“攻击”，也就是使得每两个 都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。
8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) ， 其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
回溯法求解的经典问题（2） 子集和数问题
回溯法_ppt课件
//h(i)表示在当前扩展节点处x[t]的第i个可选值
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
第四节事后回溯设计ppt课件
概述
• 事后回溯设计是指所研究的对象是已发生 过的事件，而且在研究过程中，研究者不 需要选择与分配被试。
• 在研究过程中，研究者不需要设计实验处 理或操纵自变量，只需通过观察存在的条 件或事实，将这种已自然发生的处理或自 变量与某种结果或因变量联系起来加以分 析，以便从中发现某种可能的简单关系。
设计模式
两类事后回溯设计
• （1）相关研究设计 • （2）准则组设计
（1）相关研究设计
• 相关研究设计是在一个被试组内收集两个集 合的数据，其中一个数据集合是观察到的结 果，另一个则是被追溯的数据集合，研究的 目的是确定这两个数据集合之间的关系(正 相关、负相关和无关)。
• 相关研究设计模式
（1）相关研究设计
均为等级影响！
• 皮尔逊简单积差相关: 用来度量定距型变量间的线 性相关系数。如：收入储蓄、身高体重、工龄和 收入等变量之间的线性相关关系。
• 斯皮尔曼等级相关：用于度量定序变量间的线性 相关关系。如：军队较远的军衔与职称、产品质 量的等级和返修次数等变量之间的线性关系。
评价
• 优点：可提供各个变量或现象之间相关的 程度和方向；可以在相关研究的基础上， 进一步设计严格的实验方案来讨论变量间 的因果关系。
• 缺点：不能操纵相关的实验过程，只能对 特定被试的特征既反映效果进行事后分析 ，只能得出相关关系不能得出因果关系。
• 编制心理测验时，相关研究不可缺少。
（2）准则组设计
相关研究与准则组研究
• 相关研究与准则组研究是事后回溯设计的两种主 要形式，这两种研究是相辅相成的。
• 相关研究的主要用途是辨认两个变量或两种现象 之间是否存在一定的关系及存在什么形式的关系；
• 准则组研究的主要用途则是通过准则组与非准则 组的对比，研究存在一定关系的两变量之间具有 什么样的状态特征。
• 事后回溯设计是指所研究的对象是已发生 过的事件，而且在研究过程中，研究者不 需要选择与分配被试。
• 在研究过程中，研究者不需要设计实验处 理或操纵自变量，只需通过观察存在的条 件或事实，将这种已自然发生的处理或自 变量与某种结果或因变量联系起来加以分 析，以便从中发现某种可能的简单关系。
设计模式
两类事后回溯设计
• （1）相关研究设计 • （2）准则组设计
（1）相关研究设计
• 相关研究设计是在一个被试组内收集两个集 合的数据，其中一个数据集合是观察到的结 果，另一个则是被追溯的数据集合，研究的 目的是确定这两个数据集合之间的关系(正 相关、负相关和无关)。
• 相关研究设计模式
（1）相关研究设计
均为等级影响！
• 皮尔逊简单积差相关: 用来度量定距型变量间的线 性相关系数。如：收入储蓄、身高体重、工龄和 收入等变量之间的线性相关关系。
• 斯皮尔曼等级相关：用于度量定序变量间的线性 相关关系。如：军队较远的军衔与职称、产品质 量的等级和返修次数等变量之间的线性关系。
评价
• 优点：可提供各个变量或现象之间相关的 程度和方向；可以在相关研究的基础上， 进一步设计严格的实验方案来讨论变量间 的因果关系。
• 缺点：不能操纵相关的实验过程，只能对 特定被试的特征既反映效果进行事后分析 ，只能得出相关关系不能得出因果关系。
• 编制心理测验时，相关研究不可缺少。
（2）准则组设计
相关研究与准则组研究
• 相关研究与准则组研究是事后回溯设计的两种主 要形式，这两种研究是相辅相成的。
• 相关研究的主要用途是辨认两个变量或两种现象 之间是否存在一定的关系及存在什么形式的关系；
• 准则组研究的主要用途则是通过准则组与非准则 组的对比，研究存在一定关系的两变量之间具有 什么样的状态特征。
第5章回溯法PPT课件
二、回溯的一般描述
一旦某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及 x1，x2，…，xj 的一个约束，就可以肯定，以（x1， x2，…，xj）为前缀的任何n元组
（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P 的解。
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的 上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
实例—n皇后问题
在一个n×n的棋盘上放置n个国际象棋中 的皇后，要求所有的皇后之间都不形成攻 击。请你给出所有可能的排布方案数。
n
4
5
6
7
8
总数
2
10
4
40
92
n皇后问题
对于n皇后问题而言，我们很难找出很合适的方法 来快速的得到解，因此，我们只能采取最基本的枚 举法来求解。
但我们知道，在n×n的棋盘上放置n个棋子的所有
回溯算法（一）
什么是回溯
入口回溯
▪迷宫游戏
回溯
➢什么是回溯法
回溯
▪回溯法是一个既带
有系统性又带有跳跃
性的的搜索算法
回溯
▪回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题 出口 的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。
回溯(Trackback)是什么？
为什么回溯？
怎样回溯？
What
Why
How
一、回溯的概念
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E 中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全 部约束，显然，其计算量是相当大的。
五大常用算法ppt课件
桥了。
A B→ 2 A←1
AC → 5 A←1
AD → 8
一共就是2+1+5+1+8=17分钟。
Your company slogan
贪心算法
但其实有更快的办法： AB→2 A←1 CD→8 B←2 AB→2
一共是2+1+8+2+2=15分钟。这个办法的聪明之处在于让两个走得最慢的人同时过桥， 这样花去的时间只是走得最慢的那个人花的时间，而走得次慢的那位就不用另花时间过 桥了。可以把所有可能的方案都列举一遍，就会发现这是最快的方案了。
Your company slogan
贪心算法
2015年周得水等人提出一种基于Dijkstra的贪心算法来实现模糊连接度的快速计算。 基于模糊连接度的图像分割过程如下： （1）由用户在图像中选取种子点； （2）计算图像中各点相对于种子点的模糊连接度，同时得到各点到种子点的最优路径； （3）对得到的最优路径进行各点相对于种子点的属性相似度计算，同时得到图像中各点新 的隶属度； （4）用户通过选取阈值来分割图像。
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P)) 3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
4. for i←1 to k 5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi 6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题
后将各子问题的解合并得到原问题的解。(分治与递归)
适用情况： 1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决; 2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质; 3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； 4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
最大团问题-回溯法ppt课件
G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
下图G中，子集{1，2}是G的大小为2的完全子图。这
个完全子图不是团，因为它被G的更大的完全子图{1，2，
5}包含。{1，2，5}是G的最大团。{1，4，5}和{2，3，5}
也是G的最大团。
1
2
3
4
5
01
问题描述
4
03 算法设计
无向图G的最大团问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。因此可 以用子集树表示问题的解空间。设当前扩展节点Z位于解空间树的第i层。在 进入左子树前，必须确认从顶点i到已入选的顶点集中每一个顶点都有边相连。 在进入右子树之前，必须确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右 子树中找到更大的团。
8
07 改进
•选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用。 例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上 相当于给回溯法加入了启发性。 •定义Si={vi,vi+1,...,vn}，依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从 而得到一个更精确的上界函数，若cn+Si<=max则剪枝。同时注意 到：从Si+1到Si，如果找到一个更大的团，那么vi必然属于找到 的团，此时有Si=Si+1+1，否则Si=Si+1。因此只要max的值被更 新过，就可以确定已经找到最大值，不必再往下搜索了。
1
i=3 cn=2 bestn=0 2
i=4 tn=3
1
i=2 cn=0 bestn=3
2
2
i=3 cn=1 bestn=3
3
4
4
3
3
i=5 cn=2 bestn=0
4
4
下图G中，子集{1，2}是G的大小为2的完全子图。这
个完全子图不是团，因为它被G的更大的完全子图{1，2，
5}包含。{1，2，5}是G的最大团。{1，4，5}和{2，3，5}
也是G的最大团。
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01
问题描述
4
03 算法设计
无向图G的最大团问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。因此可 以用子集树表示问题的解空间。设当前扩展节点Z位于解空间树的第i层。在 进入左子树前，必须确认从顶点i到已入选的顶点集中每一个顶点都有边相连。 在进入右子树之前，必须确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右 子树中找到更大的团。
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07 改进
•选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用。 例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上 相当于给回溯法加入了启发性。 •定义Si={vi,vi+1,...,vn}，依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从 而得到一个更精确的上界函数，若cn+Si<=max则剪枝。同时注意 到：从Si+1到Si，如果找到一个更大的团，那么vi必然属于找到 的团，此时有Si=Si+1+1，否则Si=Si+1。因此只要max的值被更 新过，就可以确定已经找到最大值，不必再往下搜索了。
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i=3 cn=2 bestn=0 2
i=4 tn=3
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i=2 cn=0 bestn=3
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i=3 cn=1 bestn=3
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i=5 cn=2 bestn=0
4
4
回溯法ppt课件
分析：
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包
如：
当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
第5章 回溯法
学习要点
5.1 回溯法概述 5.2 回溯法的典型示例 5.3 回溯法的效率分析 本章小结
1
5.1 回溯法概述
5.1.1 问题的解空间 问题的解空间 两类典型的解空间
5.1.2 回溯法的基本思想 回溯法的基本思想 算法的框架 例：排列与组合 小结
15
排列树
分析
求赋权图G的具有最小权的Hamilton圈1
1解空间30：
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
3
4
20
4
34
23
2
当起点1固定时，上图有3!个周游路线（排列问题）
16
回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或 达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不 通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加 xi+2 ；
若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去 掉xi , 回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包
如：
当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
第5章 回溯法
学习要点
5.1 回溯法概述 5.2 回溯法的典型示例 5.3 回溯法的效率分析 本章小结
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5.1 回溯法概述
5.1.1 问题的解空间 问题的解空间 两类典型的解空间
5.1.2 回溯法的基本思想 回溯法的基本思想 算法的框架 例：排列与组合 小结
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排列树
分析
求赋权图G的具有最小权的Hamilton圈1
1解空间30：
2
2 34
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5 10
3 42 4 2 3
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4
34
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当起点1固定时，上图有3!个周游路线（排列问题）
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回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或 达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不 通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加 xi+2 ；
若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去 掉xi , 回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
回溯法 ppt课件
回溯法举例：
[旅行商问题] 在这个问题中 ，给出一个n 顶点网络（有向 或无向） ，要求找出一个包含所有n 个顶点的具有最小耗 费的环路 。任何一个包含网络中所有n 个顶点的环路被称 作一个旅行（t o u r ）。在旅行商问题中 ，要设法找到一 条最小耗费的旅行。 [分析]图给出了一个四顶点网络 。在这个网络中 ，一些旅
Bound(t) : 返回的值为true时 ， 在当前扩展节点处 x[1： t]的取值为时 目标函数越界 ， 还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索 。否则 ， 当前扩展节点处 x[1： t]的取值是目标函数越界 ，可剪去相应的子树
for循环作用： 搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。
si+1均不满足约束条件,则去掉xi , 回溯到(x 1 , x 2 , … xi-1), 添加尚 未考虑过的xi , 如此反复进行,直到(x1 , x2 , … xk) k n满足所有的 约束条件或证明无解.
E= { (x1 , x2 , … xn), xi si , si为有限集 }称为问题的解空间.
5. 1 回溯法基本思想
穷举法技术建议我们先生成所有的候选解 ， 然后找出那个 具有需要特性的元素
1 、 回溯法主要思想是每次只构造解的一个分量 ，然后按照 鲜明的方法来评估这个部分构造解 。如果一个部分构造解可以进一 步构造而不会违反问题的约束 ， 我们就接受对下一个分量所作的第 一个合法选择 。如果无法对下一个分量进行合法的选择 ， 就不对剩 下的任何分量再做任何选择了 。在这种情况下 ，该算法进行回溯 ， 把部分构造解的最后一个分量替换为它的下一个选择。
算法模式 Procedure BACKTRACK (n)； {k := l；
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第 5 章 回溯
➢教学要求
➢ 了解回溯算法的概念与回溯设计要领 ➢ 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、
数码串珠以及情侣拍照等典型案例
➢本章重点
➢ 理解回溯法 “向前走，碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法（Backtracking method）有“通用解题法”之 美称，是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
void iterativeBacktrack () {
int t=1; while (t>0) {
if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} }
宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结 点之前，它一直是扩展结点
回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状 态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处 死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题 的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法8
子集树与排列树
从解的角度理解，回溯法将问题的候选解按某种顺序进行枚举和 检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解。 在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回 溯。若当前候选解除了不满足问题规模要求外，满足所有其他要 求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选 解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一 个解。
如何在4×4的方格棋盘上放置4个皇后，使它们互不攻击:
4皇后搜索过程
4皇后问题（First Checking)
8皇后问题（）
皇后数与解的个数
皇后数 解个数 11 20 30 42 5 10 64 7 40 8 92 9 352 10 724 11 2680 12 14200
3. 回溯剖析与描述
（1） 回溯求解的问题P： 对于已知的由n元组(x1,x2,…,xn)组成的一个状态空
间E={(x1,x2,…,xn)|xi∈si,i=1,2,…,n}，给定关于n元 组中的约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元 组。 对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j 元组(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及x1,x2,…,xj的一个约 束，就可以肯定，以(x1,x2,…,xj)为前缀的任何n元组 (x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)都不会是问题P的解，因而就 不必去搜索它们，省略了对部分元素(xj+1,…,xn)的操作 与测试。
(2) 回溯法是一种试探求解的方法：通过对问题的归纳分 析，找出求解问题的一个线索，沿着这一线索往前试 探，若试探成功，即得到解；若试探失败，就逐步往 回退，换其他路线再往前试探。
(3) 回溯法可以形象地概括为“向前走，碰壁回头”，若 再往前走不可能得到解，就回溯，退一步另找线路， 这样可省去大量的无效操作，提高搜索效率。
void backtrack (int t) {
if (t>n) output(x); else
for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); }
}
迭代回溯
采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个非递 归迭代过程。
if(i<n && g) {i++;a[i]=<取值点>;continue;}
while(a[i]=<回溯点> &&a&& i==1) break; // 退出循环，结束
else a[i]=a[i]+1;
}
递归回溯
回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下 用递归方法实现回溯法。
2. 回溯实现
回溯法的试探搜索，是一种组织得井井有条的、能避免一些不必 要搜索的枚举式搜索。回溯法在问题的解空间树中，从根结点出 发搜索解空间树，搜索至解空间树的任意一点，先判断该结点是 否包含问题的解；如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树 的搜索，逐层向其父结点回溯；否则，进入该子树，继续搜索。
else t--; } }
生成问题状态的基本方法
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点
活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点 称做活结点
死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点
深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一 旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在 完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R 重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在 ）
遍历子集树需O(2n)计算时间
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) backtrack(t+1); }
遍历排列树需要O(n!)计算时间
void backtrack (int t)
{
if (t>n) output(x);
else
for (int i=t;i<=n;i++) {
swap(x[t], x[i]);
if (legal(t)) backtrack(t+1);
swap(x[t], x[i]);
9
}
4. 4皇后问题的回溯举例
4皇后问题回溯描述
（2） 回溯描述
对于一般含参量m,n的搜索问题,输入正整数n,m,(n≥m)
i=1;a[i]=<元素初值>;
while (1)
{for(g=1,k=i-1;k>=1;k--)
if( <约束条件1> ) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回
if(g && <约束条件2>) printf(a[1：m]); // 输出解
➢教学要求
➢ 了解回溯算法的概念与回溯设计要领 ➢ 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、
数码串珠以及情侣拍照等典型案例
➢本章重点
➢ 理解回溯法 “向前走，碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法（Backtracking method）有“通用解题法”之 美称，是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
void iterativeBacktrack () {
int t=1; while (t>0) {
if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} }
宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结 点之前，它一直是扩展结点
回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状 态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处 死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题 的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法8
子集树与排列树
从解的角度理解，回溯法将问题的候选解按某种顺序进行枚举和 检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解。 在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回 溯。若当前候选解除了不满足问题规模要求外，满足所有其他要 求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选 解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一 个解。
如何在4×4的方格棋盘上放置4个皇后，使它们互不攻击:
4皇后搜索过程
4皇后问题（First Checking)
8皇后问题（）
皇后数与解的个数
皇后数 解个数 11 20 30 42 5 10 64 7 40 8 92 9 352 10 724 11 2680 12 14200
3. 回溯剖析与描述
（1） 回溯求解的问题P： 对于已知的由n元组(x1,x2,…,xn)组成的一个状态空
间E={(x1,x2,…,xn)|xi∈si,i=1,2,…,n}，给定关于n元 组中的约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元 组。 对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j 元组(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及x1,x2,…,xj的一个约 束，就可以肯定，以(x1,x2,…,xj)为前缀的任何n元组 (x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)都不会是问题P的解，因而就 不必去搜索它们，省略了对部分元素(xj+1,…,xn)的操作 与测试。
(2) 回溯法是一种试探求解的方法：通过对问题的归纳分 析，找出求解问题的一个线索，沿着这一线索往前试 探，若试探成功，即得到解；若试探失败，就逐步往 回退，换其他路线再往前试探。
(3) 回溯法可以形象地概括为“向前走，碰壁回头”，若 再往前走不可能得到解，就回溯，退一步另找线路， 这样可省去大量的无效操作，提高搜索效率。
void backtrack (int t) {
if (t>n) output(x); else
for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); }
}
迭代回溯
采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个非递 归迭代过程。
if(i<n && g) {i++;a[i]=<取值点>;continue;}
while(a[i]=<回溯点> &&a&& i==1) break; // 退出循环，结束
else a[i]=a[i]+1;
}
递归回溯
回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下 用递归方法实现回溯法。
2. 回溯实现
回溯法的试探搜索，是一种组织得井井有条的、能避免一些不必 要搜索的枚举式搜索。回溯法在问题的解空间树中，从根结点出 发搜索解空间树，搜索至解空间树的任意一点，先判断该结点是 否包含问题的解；如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树 的搜索，逐层向其父结点回溯；否则，进入该子树，继续搜索。
else t--; } }
生成问题状态的基本方法
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点
活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点 称做活结点
死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点
深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一 旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在 完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R 重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在 ）
遍历子集树需O(2n)计算时间
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) backtrack(t+1); }
遍历排列树需要O(n!)计算时间
void backtrack (int t)
{
if (t>n) output(x);
else
for (int i=t;i<=n;i++) {
swap(x[t], x[i]);
if (legal(t)) backtrack(t+1);
swap(x[t], x[i]);
9
}
4. 4皇后问题的回溯举例
4皇后问题回溯描述
（2） 回溯描述
对于一般含参量m,n的搜索问题,输入正整数n,m,(n≥m)
i=1;a[i]=<元素初值>;
while (1)
{for(g=1,k=i-1;k>=1;k--)
if( <约束条件1> ) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回
if(g && <约束条件2>) printf(a[1：m]); // 输出解