2016.4.北京西城高三一模_文科数学__真题

北京市西城区2016年高三一模试卷数 学（文科） 2016.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合2{|}4A x x x =≤，集合{1,2,3,4}B =--，则A B = （ ）（A ）{1,2}- （B ）{2,4} （C ）{3,1}-- （D ）{1,2,3,4}-- 2. 设命题p ：0,sin 21x x x ∃>>-，则⌝p 为（ ）（A ）0,sin 21x x x ∀>-≤ （B ）0,sin 21x x x ∃><- （C ）0,sin 21x x x ∀><- （D ）0,sin 21xx x ∃>-≤3. 如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） （A ）()y x f x =+ （B ）()y xf x = （C ）2()y x f x =+ （D ）2()y x f x =4．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示. 若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）（A ）{2} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{2,3}5. 在平面直角坐标系xOy 中，向量OA ＝(-1, 2)，OB＝(2, m ) ， 若O , A , B 三点能构成三角形，则（ ）（A ）4m =- （B ）4m ≠- （C ）1m ≠ （D ）m ∈R6. 执行如图所示的程序框图，若输入的,A S 分别为0, 1，则输出的S =（ ） （A ）4 （B ）16 （C ）27 （D ）367. 设函数12()log f x x x a =+-，则“(1,3)a ∈”是 “函数()f x 在(2,8)上存在零点”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元. 已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误．．的是（ ） （A ）最多可以购买4份一等奖奖品 （B ）最多可以购买16份二等奖奖品 （C ）购买奖品至少要花费100元 （D ）共有20种不同的购买奖品方案甲队 乙队 891 m823第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在复平面内，复数1z 与2z 对应的点关于虚轴对称，且11i z =-+，则12z z =____. 10．在△ABC中，b =3a =，tan C =c =_____. 11．若圆22(2)1x y -+=与双曲线C ：2221(0)x y a a-=>的渐近线相切，则a =_____；双曲线C 的渐近线方程是____.12．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____.13. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元.14. 设函数24,41,()log ,04,x f x x x x ⎧+⎪=⎨⎪<<⎩≥ 则(8)f =____；若()()f a f b c ==，()0f b '<，则,,a b c 的大小关系是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）设函数2π()sin cos sin ()4f x x x x =--.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数π()6f x -在π[0,]2上的最大值与最小值.16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的公差0d <，2610a a +=，2621a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n a n b =，记数列{}n b 前n 项的乘积．．为n T ，求n T 的最大值.侧(左)视图正(主)视图俯视图如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠= ，AC BD ⊥. （Ⅰ）求证：1//B C 平面11ADD A ； （Ⅱ）求证：1AC B D ⊥；（Ⅲ）若12AD AA =，判断直线1B D 与平面1ACD 是否垂直？并说明理由.18．（本小题满分13分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率；（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a b c ，，，且分别在[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中，其中a b c ∈N ，，．当数据a b c ，，的方差2s 最大时，写出a b c ，，的值.（结论不要求证明）（注：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）D 1DA C 1 A 1B 1B C各分数段人数已知椭圆C ：221(0)3x y m m m+=>的长轴长为O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；（Ⅱ） 设动直线l 与y 轴相交于点B ，点(3,0)A 关于直线l 的对称点P 在椭圆C 上，求||OB 的最小值.20．（本小题满分13分）已知函数2()ln 1f x x x ax =+-，且(1)1f '=-. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若对于任意(0,)x ∈+∞，都有1()f x mx --≤，求m 的最小值；（Ⅲ）证明：函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方.北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科）2016.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．2- 10．211.y = 12．23313．1464 14．32b ac >≥注：第11，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为2π()sin cos sin ()4f x x x x =--π1cos(2)12sin 222x x --=-……………… 4分 111πsin 2cos(2)2222x x =-+-111sin 2sin 2222x x =-+1sin 22x =-.……………… 6分所以函数()f x 的最小正周期为π. ……………… 7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得ππ1()sin(2)632f x x -=--.……………… 8分因为π02x ≤≤，所以ππ2π2333x --≤≤，所以πsin(2)13x -≤.所以1π11sin(2)2322x ---≤≤. ……………… 11分且当5π12x =时，π()6f x -取到最大值12；当0x =时，π()6f x -取到最小值12-.……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）（Ⅰ）解：由题意，得1111()(5)10,()(5)21,a d a d a d a d +++=⎧⎨++=⎩……………… 3分解得18,1,a d =⎧⎨=-⎩ 或12,1a d =⎧⎨=⎩（舍）.……………… 5分所以1(1)9n a a n d n =+-=-． ……………… 7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得92nn b -=.所以12122222n n a a a a a a n T +++=⨯⨯⨯= .所以只需求出12n n S a a a =+++ 的最大值. ……………… 9分 由（Ⅰ），得2121(1)17(1)222n n n n n S a a a na n -=+++=+⨯-=-+ . 因为2117289()228n S n =--+， ……………… 11分所以当8n =，或9n =时，n S 取到最大值8936S S ==.所以n T 的最大值为36892T T ==. ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为//AD BC ，BC ⊄平面11ADD A ，AD ⊂平面11ADD A ， 所以//BC 平面11ADD A . ………… 2分因为11//CC DD ，1CC ⊄平面11ADD A ，1DD ⊂平面11ADD A ， 所以1//CC 平面11ADD A . 又因为1BC CC C = ，所以平面11//BCC B 平面11ADD A . ………… 3分 又因为1B C ⊂平面11BCC B ，所以1//B C 平面11ADD A . ……………… 4分 （Ⅱ）证明：因为1BB ⊥底面ABCD , AC ⊂底面ABCD ，所以1BB AC ⊥. ……………… 5分 又因为AC BD ⊥,1BB BD B = , 所以AC ⊥平面1BB D .……………… 7分D 1D AC 1 A 1 B 1B C又因为1B D ⊂底面1BB D ，所以1AC B D ⊥. ……………… 9分 （Ⅲ）结论：直线1B D 与平面1ACD 不垂直. ……………… 10分 证明：假设1B D ⊥平面1ACD ，由1AD ⊂平面1ACD ，得11B D AD ⊥. ……………… 11分 由棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥底面ABCD ，90BAD ∠= 可得111A B AA ⊥，1111A B A D ⊥，又因为1111AA A D A = ， 所以11A B ⊥平面11AA D D ，所以111A B AD ⊥. ……………… 12分 又因为1111A B B D B = ， 所以1AD ⊥平面11A B D ，所以11AD A D ⊥. ……………… 13分 这与四边形11AA D D 为矩形，且1=2AD AA 矛盾，故直线1B D 与平面1ACD 不垂直. ……………… 14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，………………2分 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有30100075040⨯=人. ……4分 （Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件M ， ………………5分 记体育成绩在[60,70)的数据为1A ，2A ， 体育成绩在[80,90)的数据为1B ，2B ，3B ， 则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种， 它们是：12(,)A A ，11(,)A B ， 12(,)A B ，13(,)A B ， 21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B .而事件M 的结果有7种，它们是：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ， 21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ， ………………7分因此事件M 的概率7()10P M =. ………………9分 （Ⅲ）解： a ，b ，c 的值分别是为70，80，100. ………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为椭圆C ：2213x y m m+=，所以23a m=，2b m=， ………………1分故2a ==2m =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=. ………………3分因为2c ，所以离心率c e a == ………………5分 （Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠，则线段AP 的中点D 的坐标为003(,)22x y +， 且直线AP 的斜率003AP y k x =-， ………………7分 由点(3,0)A 关于直线l 的对称点为P ，得直线l AP ⊥， 故直线l 的斜率为0031AP x k y --=，且过点D ， 所以直线l 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=-， ………………9分 令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-， 由2200162x y +=，得220063x y =-，化简，得20023(0,)2y B y --. ………………11分 所以20023||||2y OB y --= 003||2||y y =+≥= ………………13分 当且仅当003||2||y y =，即0[y =时等号成立. 所以||OB……………… 14分 20．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：对()f x 求导，得()1ln 2f x x ax'=++， …………………1分所以(1)121f a '=+=-，解得1a =-，所以2()ln 1f x x x x =--. …………………3分 （Ⅱ）解：由1()f x mx --≤，得20ln x x x mx --≤， 因为(0,)x ∈+∞，所以对于任意(0,)x ∈+∞，都有ln m x x -≤. …………………4分设()ln g x x x =-，则 1()1g x x'=-. 令 ()0g x '=，解得1x =. …………………5分当x 变化时，()g x 与()g x '的变化情况如下表：所以当1x =时，max ()(1)1g x g ==-. …………………7分 因为对于任意(0,)x ∈+∞，都有()m g x ≤成立， 所以 1m -≥.所以m 的最小值为1-. …………………8分（Ⅲ）证明：“函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方”等价于“2()e 210x f x x x x -+++<”， 即要证ln e 20x x x x x -+<， 所以只要证ln e 2x x <-.由（Ⅱ），得1()ln g x x x -=-≤，即1ln x x -≤（当且仅当1x =时等号成立）.所以只要证明当(0,)x ∈+∞时，1e 2x x -<-即可. …………………10分 设()(e 2)(1)e 1x x h x x x =---=--， 所以()e 1x h x '=-， 令()0h x '=，解得0x =.由()0h x '>，得0x >，所以()h x 在(0,)+∞上为增函数. 所以()(0)0h x h >=，即1e 2x x -<-.所以ln e 2x x <-.故函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方. …………………13分。