2014年湖北省高考数学试卷(理科)
2014年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数学〔理科〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．〔1〕【2014年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭〔 〕〔A 〕1- 〔B 〕1 〔C 〕i - 〔D 〕i 【答案】A【解析】因为21i 2i11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选A ． 【点评】此题考查复数的运算，容易题．〔2〕【2014年湖北，理2，5分】假设二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =〔 〕〔A 〕2 〔B 〕54 〔C 〕1 〔D 〕24【答案】D【解析】因为()77727722xrrr r r r a C x C a x x ---+⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令723r -+=-，得2r =，22727284C a -⋅⋅=，解得24a =，故选D ．【点评】此题考查二项式定理的通项公式，容易题． 〔3〕【2014年湖北，理3，5分】设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C C ⊆是“A B =∅”的〔 〕〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，假设A C ⊆，则U U C C C A ⊆，U B C C ⊆，可得A B =∅；假设A B =∅，不能推出U B C C ⊆，故选A ．【点评】此题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题． 〔4〕【2014年湖北，理4，5分】根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y得到的回归方程为ˆybx a =+，则〔 〕 〔A 〕0a >，0b > 〔B 〕0a >，0b < 〔C 〕0a <，0b > 〔D 〕0a <，0b < 【答案】B【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b <，0a >，故选B ． 【点评】此题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题． 〔5〕【2014年湖北，理5，5分】在如下图的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为〔 〕〔A 〕①和②〔B 〕③和①〔C 〕④和③〔D 〕④和② 【答案】D【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D ．【点评】此题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题． 〔6〕【2014年湖北，理6，5分】假设函数()f x ，()g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x为区间[]1,1- 上的一组正交函数，给出三组函数：①()1sin 2f x x =，()1cos 2g x x =；②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =,()2g x x =，其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是〔 〕〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕3 【答案】C【解析】对①1111111111sin cos sin cos 02222x x dx x dx x ---⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数；对②()()()11231111111103x x dx x dx x x ---⎛⎫+-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 不为区间[]1,1-上的正交函数；对③134111104x dx x --⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C ．【点评】新定义题型，此题考查微积分基本定理的运用，容易题．〔7〕【2014年湖北，理7，5分】由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为〔 〕〔A 〕18〔B 〕14 〔C 〕34 〔D 〕78【答案】D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2Ω内的概率为：11221172218222P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯，故选D ．【点评】此题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题． 〔8〕【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为〔 〕〔A 〕227 〔B 〕258 〔C 〕15750 〔D 〕355113【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．【点评】此题考查《算数书》中π的近似计算，容易题．〔9〕【2014年湖北，理9，5分】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔 〕〔A 〕433 〔B 〕233〔C 〕3 〔D 〕2【答案】B【解析】设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得122PF PF a +=，1212PF PF a -=，所以11PF a a =+，21PF a a =-，因为1260F PF ∠=︒，由余弦定理得：()()()()22211114c a a a a a a a a =++--+-，所以222143c a a =+，即22221112222142a a a a a c c c c c ⎛⎫-=+≥+ ⎪⎝⎭，22111148e e e ⎛⎫∴+≤- ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为233，故选B ． 【点评】此题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等． 〔10〕【2014年湖北，理10，5分】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，假设R x ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为〔 〕〔A 〕11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 〔B 〕66,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 〔C 〕11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 〔D 〕33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】依题意，当0x ≥时，()2222223220x a x a f x a a x a xx a ⎧->⎪=-<≤⎨⎪-≤≤⎩，作图可知，()f x 的最小值为2a -，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，()f x 的最大值为2a ，因为对任意实数x 都有，()()1f x f x -≤，所以，()22421a a --≤，解得6666a -≤≤，故实数a 的取值范围是66,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ． 【点评】此题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 〔一〕必考题〔11-14题〕〔11〕【2014年湖北，理11，5分】设向量()3,3a =，()1,1b =-，假设()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= ． 【答案】3±【解析】因为()3,3a b λλλ+=+-，()3,3a b λλλ+=++，因为()()a b a b λλ+⊥-，所以()()()()33330λλλλ+-+++=，解得3λ±．【点评】此题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题． 〔12〕【2014年湖北，理12，5分】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 【答案】2【解析】依题意，圆心()0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22a b =，2cos 4522a=︒=，所以221a b ==，故222a b +=． 【点评】此题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，容易题． 〔13〕【2014年湖北，理13，5分】设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a 〔例如815a =，则()158I a =，()851D a =〕．阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = ． 【答案】495【解析】当123a =，则321123198123b =-=≠，当198a =，则981198783198b =-=≠；当783a =，则954459b a =-=，终止循环，故输出495b =．【点评】新定义题型，此题考查程序框图，当型循环结构，容易题． 〔14〕【2014年湖北，理14，5分】设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >,0b >,0a >,0b >，假设经过点()()af a ,()(),b f x ()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为a ,b 关于函数()f x 的平均数，记为[],f M a b ，例如，当()1f x =())0(1>=x x f 时，可得2f a bM c +==，即(),f M a b 为,a b 的算术平均数．〔1〕当()f x =________〔0x >〕时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数； 〔2〕当()f x =________〔0x >〕时，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+； 〔以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可〕【答案】〔1〕x 〔2〕x 〔或填〔1〕1k x 〔2〕2k x ，其中12,k k 为正常数均可〕【解析】设()()0f x x x =>，则经过点(),a a ，(),b b -的直线方程为y a b a x a b a ---=--，令0y =，所以2abc x a b ==+，所以当()()0f x x x =>，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+．【点评】此题考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等．〔一〕选考题〔请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．〕 〔15〕【2014年湖北，理15，5分】〔选修4-1：几何证明选讲〕如图，P 为O 的两条切线，切点分别为,A B ，过PA 的中点Q 作割线交O 于,C D 两点，假设1QC =，3CD =，则PB = _______． 【答案】4【解析】由切割线定理得()21134QA QC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，4PB PA ==． 【点评】此题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．〔16〕【2014年湖北，理16，5分】〔选修4-4：坐标系与参数方程〕已知曲线1C 的参数方程是33x tty ⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()3,1【解析】由33x t t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去t 得()2230,0x y x y =≥≥，由2ρ=得224x y +=，解方程组222243x y x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得1C 与2C 的交点坐标为()3,1．【点评】此题考查参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 〔17〕【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度〔单位：C ︒〕随时间t 〔单位：h 〕的变化近似满足函数关系；()103cossin,[0,24)1212f t t t t ππ=--∈．〔1〕求实验室这一天的最大温差；〔2〕假设要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？解：〔1〕因为31()102(cos sin )102sin()212212123f t t t t ππππ=-+=-+，又024t ≤<，所以7,1sin()131233123t t ππππππ≤+<-≤+≤，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-，于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．〔2〕依题意，当()11f t >时实验室需要降温，由〔1〕得()102sin()123f t t ππ=-+，故有102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<，在10时至18时实验室需要降温． 〔18〕【2014年湖北，理18，12分】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+?假设存在，求n 的最小值；假设不存在，说明理由．解：〔1〕设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项 公式为2n a =或42n a n =-．〔2〕当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-〔舍去〕，此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．〔19〕【2014年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是棱1111,,,AB AD A B A D 的中点，点,P Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且 ()02DP BQ λλ==<<．〔1〕当1λ=时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；〔2〕是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．解：解法一：〔1〕如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D =是正方体，知11//BC AD ，当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD 的中点，所以1//FP AD ，所以1//BC FP ，而FP ⊂平面 EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ．〔2〕如图2，连接BD ，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12EF BD =，又,//DP BQ DP BQ =，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =，在Rt EBQ ∆和Rt FDP ∆中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是21DQ FP λ==+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 是等腰梯形． 分别取,,EF PQ MN 的中点为,,H O G ，连接,OH OG ，则,GO PQ HO PQ ⊥⊥，而GO HO O =， 故GOH ∠是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．假设存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=，连接EM ，FN ，则 由//EF MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形，连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==，在GOH ∆中，22222214,1()22GH OH λλ==+-=+，2222211(2)()(2)22OG λλ=+--=-+，由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得1λ=±，故存在1λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 解法二：以D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -，由已知 得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ，(2,0,2)BC -，(1,0,)FP λ-，(1,1,0)FE ． 〔1〕当1λ=时，(1,0,1)FP =-，因为1(2,0,2)BC =-，所以12BC FP =，即1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ． 〔2〕设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0FE n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得00x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩，于是可取(,,1)n λλ=-，同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m λλ=--，假设存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ⋅=--⋅-=，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得1λ=±．故存在1λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 〔20〕【2014年湖北，理20，12分】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米〕都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． 〔1〕求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；〔2〕水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；假设某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；假设某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机多少台？解：〔1〕依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==，35(120)0.150p P X =>==由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010p C p C p p =-+-=+⨯⨯=．〔2〕记水电站年总利润为Y 〔单位：万元〕〔1〕安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,()500015000Y E Y ==⨯=．〔2〕安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下：所以，()E Y =〔3〕安装3台发电机的情形：当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时 500028009200Y =⨯-=，因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；当120X >时，三台发电机运行，5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y PX p ==>==， 由此得所以，()34000.292000.7150000.18620E Y =⨯+⨯+⨯=综上，欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机2台．〔21〕【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．〔1〕求轨迹为C 的方程；〔2〕设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围．解：〔1〕设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x =+，化简整理得22(||)y x x =+，故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．〔2〕在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++= ①〔1〕当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =，故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4〔2〕当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+- ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ 〔ⅰ〕假设000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．〔ⅱ〕假设000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C只有一个公共点，与2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．〔ⅲ〕假设000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合〔1〕〔2〕可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．〔22〕【2014年湖北，理22，14分】π为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．〔1〕求函数xxx f ln )(=的单调区间； 〔2〕求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数与最小数；〔3〕将33,3,,,3,eee e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：〔1〕函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x-'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函 数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．〔2〕因为3e π<<，所以ln 33ln ,ln ln 3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==， x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π与3π之中，最小数在3e 与3e 之中．由3e π<<及〔1〕的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<． 由ln ln33ππ<，得3ln ln 3ππ<，所以33ππ>；由ln 3ln 3e e<，得3ln 3ln e e <，所以33e e >． 综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e．〔3〕由〔2〕知，3333,3e e e e πππ<<<<，又由〔2〕知，ln ln ee ππ<，得e e ππ<故只需比较3e 与e π和e π 与 3π的大小，由〔1〕知，当0x e <<时，1()()f x f e e <=，即ln 1x x e<，在上式中，令2e x π=，又2e e π<，则2ln e e ππ<，从而2ln e ππ-<，即得ln 2eππ>- ①由①得， 2.72ln (2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.02433.1e e e ππ>->⨯->⨯-=>，即ln 3e π>，亦即3ln ln e e π>，所以3e e π<，又由①得，33ln 66ee πππ>->->，即3ln ππ>，所以3e ππ<．综上可得，3333e e e e ππππ<<<<<，即6个数从小到大的顺序为333,,,,,3e e e e ππππ．。
2014年全国高考统一招生【湖北卷】【理科】数学试卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(i i（ ）A.1-B. 1C. i -D. i2. 若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ）A.2B. 54C. 1D. 423. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则（ ）1.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）1.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和②6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin )(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ）A.0B.1C.2D.37.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.878.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258 C.15750 D.3551139.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）C.3D.2。
2014年湖北省高考数学理科试题及解析(全部题目)
2014年湖北省高考数学理科试题及解析1. i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解析】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2.若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝ A. 2 B.34 C.1 D.42【解题提示】 考查二项式定理的通项公式 【解析】选C . 因为1r T += r r r r rrrx a C xa x C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得a ＝1. 3.设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得,U A C B C ⊆⊆”是“∅=B A ”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解析】选C . 依题意，若C A ⊆，则UUC A ⊆，当UB C ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不妨另C A = ，显然满足,UA CBC ⊆⊆，故满足条件的集合C 是存在的.4.得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【解题提示】 考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b 与a 的符号问题【解析】选B .画出散点图如图所示，y 的值大致随x 的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b ，0>a5..在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】 考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图 【解析】选D . 在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D . 6.若函数f(x)，()g x 满足11()g()d 0f x x x -=⎰，则称f(x)，()g x 为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin,()cos 22f x x g x x ==；②()1,g()1f x x x x =+=-；③2(),g()f x x x x ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】 考查微积分基本定理的运用【解析】选C . 对①，1111111111(sin cos )(sin )cos |02222x x dx x dx x ---⋅==-=⎰⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数；对②，1123111114 (1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f、)(x g不为区间]1,1[-上的正交函数；对③，1341111()|04x dx x--==⎰，则)(x f、)(x g为区间]1,1[-上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤2xyyx确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21yxyx，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（）A.81B.41C.43D.87【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解析】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDF CEFBDFS SPS⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。
2014年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A.1- B. 1 C. i - D. i 2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D.42 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 根据如下样本数据x 3 4 56 78y4.02.55.0-0.50.2-0.3-得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5. 在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6. 若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.37. 由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A.81 B.41 C. 43 D.87 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一。
2014年高考真题——理科数学(湖北卷)解析版(选择、填
2014年湖北卷理科A 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. i 为虚数单位，211i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭( ) A ．-1 B ．1 C ．-i D ．i【解析】()()2221121121i i i i i i ---⎛⎫===- ⎪+⎝⎭+. 【答案】A .2. 若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =( )A ．2 B．C ．1 D．4【解析】72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项是()777217722k k k k k kk k a T C x a C x x ---+⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令7-2k =-3得：k =5 ∴31x的系数是2527284a C ⋅⋅=，即a 5=1，∴a =1. 【答案】C .3. 设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð” 是“A ∩B =∅” 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð，则A ∩B =∅，否则有x ∈A ∩B ， 由A ⊆C ，得x ∈C ，由B ⊆U C ð，得x ∈U C ð，即x C ∉，矛盾；若A ∩B =∅，则取C =A ，有A ⊆C ，B ⊆U C ð，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð” 是“A ∩B =∅” 的充要条件。
【答案】C .4． 根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为y ^=bx+a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 【解析】画出散点图知a >0，b <0 【答案】B .5． 在如图所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为( ) A ．①和② B ．③和① C ．④和③ D ．④和②【解析】设A (0，0，2)，B (2，2，0)，C (1，2，1)，D (2，2，2)， 作出四面体ABCD ，四面体ABCD 的府视图是⊿OBC 1，即图② 正视图是Rt ⊿AEF 和AG ，即图④.【答案】D .6． 若函数f (x )，g (x )满足()()110f x g x dx -=⎰，则称f (x )，g (x )为区间[-1，1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①f (x )=sin 12x ，g (x )=cos 12x ；②f (x )=x +1，g (x )=x -1；③f (x )=x ，g (x )=x 2. 其中为区间[-1，1]的正交函数的组数是( )A .0B .1C .2D .3【解析】对于①，()()()11111111022f xg x dx sin xdx cos x ---==-=⎰⎰；对于②，()()()11123111141033f x g x dx x dx x x ---⎛⎫=-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰；对于③，113411104x dx x--==⎰； 【答案】C .7． 由不等式0020x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩≤≥≤确定的平面区域记为Ω1，不等式12x y x y +⎧⎨+-⎩≤≥，确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A ．18B ．14C ．34D ．78【解析】如右图，区域Ω1为⊿AOC 及其内部，面积为12×2×2=2；区域Ω2为直线x +y =1与直线x +y =-2之间的部分，Ω1与Ω2的公共部分是四边形AOBD ，面积为2-12×1×12=74，故所求概率为p =78.【答案】D .8． 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275V L h ≈. 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A ．227 B ．258 C ．15750 D ．355113【解析】∵2221133212L V r h h L hππππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴由2275V L h ≈得： 22217512L h L h π≈，即258π≈. 【答案】B .9． 已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )ABC ．3D ．2【解析】设椭圆和双曲线的方程分别为2222111x y a b +=、2222221x y a b -=，|PF 1|=m ，|PF 2|=n .则m +n =2a 1，|m -n |=2a 2，在中由余弦定理，(2c )2=m 2+n 2-2mncos 60°=m 2+n 2-mn∴4c 2=(m +n )2-3mn =2143a mn -，且4c 2=(m -n )2+mn =224a mn +，消去m 、n 得：2221234a a c +=，即2212134e e +=由柯西不等式得：22222121211111613e e e e ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦≤ 可计算得当e 1=3e 2=3时，等号成立。
2014年高考数学湖北卷(理工类) 试题及详细答案解析
3
曲线 C2 的极坐标方程为ρ=2, 可得方程 x2+y2=4,②
由①②联立解得
x
3 ，故 C1 与 C2 交点的直角坐标为
3,1 .
y 1
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 11 分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t (单位:h)的变化近似满足函
D(a)=851).阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,
任意输入一个 a , 输出的结果 b=
.
【答案】495
【解析】不妨取 a=815,则 I(a)=158,D(a)=851,b=693;
则取 a=693,则 I(a)=369,D(a)=963,b=594;
则取 a=594,则 I(a)=459,D(a)=954,b=495;
对于③,
1 x x2dx
1
1 1
x3dx
1 4
x4
1 1
0
，故③为一组正交函数,故选
C.
7.由不等式组
x
y
y
0 0 x
2
0
确定的平面区域记为Ω1,不等式组
x x
y y
1 2
确定的平面区域
记为Ω2,在Ω1 中随机取一点,则该点恰好在Ω2 内的概率为( ).
x t
已知曲线
C1
的参数方程是
y
3t (t 为参数).以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为
3
极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是ρ=2,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为
2014年高考理科数学试题(湖北卷)及参考答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)试题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii A. 1- B. 1 C. i - D. i 2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a A.2 B.54 C. 1 D.42 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.根据如下样本数据A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0）， （1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是A.0B.1C.2D.37.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为 A.81 B.41 C. 43 D.87 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A.227 B.258C.15750D.355113 9.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A.3B.3C.3D.2 10.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(||)|2|3).2f x x a x a a =-+--若,(1)(),x R f x f x ∀∈-≤则实数a 的取值范围为( )A.11[,]66-B.[C. 11[,]33-D.[二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11.设向量)3,3(=，)1,1(-=b ，若)()(b a b a λλ-⊥+，则实数λ= . 12.直线a x y l +=:1和b x y l +=:2将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += .13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如右图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数. （1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） （二）选考题15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤..17、（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：C ︒）随时间t （单位:h ）的变化近似满足函数关系；)24,0[,12sin12cos310)(∈--=t t t t f ππ(1) 求实验室这一天的最大温差；(2) 若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？18（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且321,,a a a 成等比数列. （1） 求数列}{n a 的通项公式.（2） 记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得80060+>n S n ?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . （1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ;（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹为C 的方程(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。
2014高考湖北数学真题（word版）
2014高考湖北数学真题（word版）
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理科)
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 为虚数单位，则 ( )
2.5
0.5
得到的回归方程为 ，则( )
A. B. C. D.
A. B. C. D. 2. 若பைடு நூலகம்项式 的展开式中 的系数是84，则实数 ( )
A.2 B. C. 1 D. 3. 设 为全集， 是集合，则“存在集合 使得 是“ ”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
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均数；
（2）当f（x）= （x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平
均数
； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） 15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切 点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1， CD=3，则PB= ．
的单调区间；
（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；
（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并
证明你的结论．
2014年湖北省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（
）2=（ ）
A． ﹣1
B． 1
C． ﹣i
2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+
）7的展开式中
（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若 存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的 水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年 内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不 足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年 份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年 的年入流量相互独立． （Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率； （Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行 台数受年入流量X限制，并有如下关系：
=bx+a，则（ ） x3 4 5 6 7 8 y4.02.5﹣0.50.5﹣2.0﹣3.0
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
5．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一 个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2， 1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面 体的正视图和俯视图分别为（ ）
，t∈[0，24） （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1， a2，a5成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞
L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似
公式V≈
L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是 它们的一个公共点．且∠F1PF2=
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（ ）
A． 0
B． 1
C． 2
7．（5分）（2014•湖北）由不等式组
D． 3
确定的平面区域记为Ω1，不等式组
确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省 江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载 有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该 术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈
A．
B．
C． 3
D． 2
10．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当 x≥0时，f（x）=
（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取
值范围为（ ）
A． [﹣
B． [﹣
C． [﹣
D． [﹣
，
，
，
，
]
]
]
]
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 11．（5分）（2014•湖北）设向量
60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣
A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中 点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2） （Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
年入流量X
40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120
发电机最多可运行台数1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行， 则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装 发电机多少台？ 21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1， 0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C． （Ⅰ）求轨迹C的方程； （Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有 一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围． 22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底 数． （Ⅰ）求函数f（x）=
16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标
为 ． 17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间 t（单位：h）的变化近似满足函数关系： f（t）=10﹣
D． i
的系数是84，则实数a=（ ）
A． 2
B．
C． 1
D．
3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使
得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的（ ）
A． 充分而不必要的条件
B． 必要而不充分的条件
C． 充要条件
D． 既不充分也不必要条件
4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程
三、解答题 14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞ 0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直 线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为
Mf（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得Mf（a，b）=c=
A． ①和②
B． ③和①
C． ④和③
D． ④和②
6．（5分）（2014•湖北）若函x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函 数，给出三组函数： ①f（x）=sin
x，g（x）=cos
x； ②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；
③f（x）=x，g（x）=x2，
=（3，3），
=（1，﹣1），若（
+λ
）⊥（
﹣λ
），则实数λ= ．
12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C： x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2= ．
13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字 三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从 大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a） =851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 a，输出的结果b= ．