十年真题_综合题_全国理科高考数学

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十年高考理科数学真题专题六数列十八数列的综合应用及答案(优质)

专题六数列第十八讲数列的综合应用2019年1.（2019浙江10）设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ,则 A ．当b =12时，a 10＞10 B ．当b =14时，a 10＞10C ．当b =-2时，a 10＞10D ．当b =-4时，a 10＞102.（2019浙江20）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N L 3.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．4.（2019北京理20）已知数列{}n a ，从中选取第 1i 项、第2i 项、…、第m i 项()12m i i i <<⋯<，若12mi i i a a a <<<L ，则称新数列12mi i i a a a ⋅⋅⋅L 为{}n a 的长度为m 的递增子列。

规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列。

（Ⅰ）写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为P 的递增子列的末项的最小值为o m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为on a ，若p <q ，求证：o o m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s -1，且长度为s 末项为2s -1的递增子列恰有12s -个（s =1,2,…），求数列{}n a 的通项公式.2010-2018年一、选择题1．（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．1102．（2016年全国Ⅲ）定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数．若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个3．(2015湖北)设12,,,n a a a ∈R L ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a L 成等比数列；q ：222121()n a a a -+++⨯L 22222312231()()n n n a a a a a a a a a -+++=+++L L ，则A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4．（2014新课标2）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n项和n S =A ．()1n n +B ．()1n n -C ．()12n n + D ．()12n n -5．（2014浙江）设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99i ia =， 0,1,2,,99i =⋅⋅⋅，记10|()()|k k k I f a f a =-+21|()()|k k f a f a -+⋅⋅⋅+ 9998|()()|k k f a f a -，.3,2,1=k 则A ．321I I I <<B ． 312I I I <<C ． 231I I I <<D ． 123I I I << 二、填空题6．(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为．7．（2015陕西）中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为．8．（2014新课标2）数列{}n a 满足111n na a +=-，2a =2，则1a =_________． 9．（2013重庆）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则8_____S =．10．（2011江苏）设7211a a a ≤≤≤≤Λ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．11．（2011浙江）若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =_______________．三、解答题12．(2018江苏)设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．(1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；(2)若*110,,(1a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．13．（2017天津）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．14．（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．证明：当n ∈*N 时（Ⅰ）10n n x x +<<；（Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤；（Ⅲ）121122n n n x --≤≤．15．（2016年四川高考）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q >0，*n N ∈ .（I ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求n a 的通项公式；(Ⅱ)设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>．16．（2015湖北）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 17．（2015陕西）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．（Ⅰ）证明：函数()()2n n F x f x =-在1(,1)2内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．18．（2015重庆）在数列{}n a 中，13a =，2110n n n n a a a a λμ++++=()n N +∈．（Ⅰ）若0,2λμ==-，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若0001(,2)k N k k λ+=∈≥，1μ=-，证明：010011223121k a k k ++<<+++．19．(2014山东）已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）令n b =,4)1(11+--n n n a a n求数列}{n b 的前n 项和n T ． 20．（2014浙江）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221Λ．若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +== （Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设()*∈-=N n b a c nn n 11．记数列{}n c 的前n 项和为n S ．（ⅰ）求n S ；（ⅱ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥． 21．（2014湖南）已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈（Ⅰ）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值；（Ⅱ）若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式． 22．（2014四川）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上（*n N ∈）．（Ⅰ）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}nna b 的前n 项和n T ． 23．(2014江苏)设数列}{n a 的前n 项和为n S ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”．（Ⅰ）若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *)，证明: }{n a 是“H 数列”；（Ⅱ）设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d ．若}{n a 是“H 数列”，求d 的值；（Ⅲ）证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立．24．（2013安徽）设数列{}n a 满足12a =，248a a +=，且对任意*n N ∈，函数1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅⋅，满足'()02f π=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若122nn n a b a =+（），求数列{}n b 的前n 项和n S ． 25．（2013广东）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441n n S a n +=--，*n N ∈，且2514,,a a a 构成等比数列．（Ⅰ）证明：2a =（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<L ． 26．（2013湖北）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．27．（2013江苏）设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和．记2nn nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数.（Ⅰ）若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈；（Ⅱ）若{}n b 是等差数列，证明：0c =．28． (2012山东)已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且1052a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m项和m S ．29．（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元．（Ⅰ）用d 表示12,a a ，并写出1n a +与n a 的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示）．30．（2012浙江）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =22n n +，n ∈N ﹡，数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈．（Ⅰ）求,n n a b ；（Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．31．（2012山东）在等差数列{}n a 中，84543=++a a a ，973a =（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意的*N m ∈，将数列{}n a 中落入区间()29,9m m 内的项的个数为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ．32．（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a n *+=∈N ．（Ⅰ）设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）设1nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 33．（2011天津）已知数列{}{}n n a b 与满足11(2)1nn n n n b a b a +++=-+，1*13(1),,22n n b n N a -+-=∈=且．（Ⅰ）求23,a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N +-=-∈，证明{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设n S 为{}n a 的前n 项和，证明*21212122121().3n n n n S S S S n n N a a a a --++++≤-∈L 34．（2011天津）已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，*n ∈N ，且122,4a a ==．（Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nk k kS n N a =<∈∑． 35．（2010新课标）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令n n b na =，求数列的前n 项和n S ．36．（2010湖南）给出下面的数表序列：124 4 8表1 表2 表3 ∙∙∙1 1 3 1 3 5其中表n （n =1,2,3 L ）有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，L 2n -1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n （n ≥3）（不要求证明）；（Ⅱ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12L ，记此数列为{}n b 求和：32412231n n n bb b b bb b b b ++++L *()n N ∈ ．专题六数列第十八讲数列的综合应用答案部分 2019年1.解析：对于B ，令2104x λ-+=，得12λ=，取112a =，所以211,,1022n a a ==<L ，所以当14b =时，1010a <，故B 错误；对于C ，令220x λ--=，得2λ=或1λ=-，取12a =，所以22,,210n a a ==<L ，所以当2b =-时，1010a <，故C 错误；对于D ，令240x λ--=，得λ=取112a +=212a +=，…，1102n a +=<，所以当4b =-时，1010a <，故D 错误；对于A ，221122a a =+…，223113224a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭…，242431911714216216a a a ⎛⎫=++++=> ⎪⎝⎭…，10n n a a +->，{}n a 递增，当4n …时，11132122n n n n a a a a +=+>+=，所以5465109323232a a a a a a ⎧>⎪⎪⎪>⎪⎨⎪⎪⎪>⎪⎩M，所以610432a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以107291064a >>故A 正确．故选A ． 2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ．由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-．所以2*,n b n n n =+∈N ．（2）*n c n ===∈N ．我们用数学归纳法证明．①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；②假设()*n k k =∈N时不等式成立，即12h c c c +++<L ．那么，当1n k =+时，121k kc c c c+++++<<L<==即当1n k=+时不等式也成立．根据（1）和（2），不等式12nc c c+++<L对任意*n∈N成立．3.解析（1）设等比数列{a n}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.由245321440a a aa a a=⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a qa q a q a⎧=⎨-+=⎩，解得112aq=⎧⎨=⎩．因此数列{}n a为“M—数列”.（2）①因为1122n n nS b b+=-，所以0nb≠．由1111,b S b==，得212211b=-，则22b=.由1122n n nS b b+=-，得112()n nnn nb bSb b++=-，当2n≥时，由1n n nb S S-=-，得()()111122n n n nnn n n nb b b bbb b b b+-+-=---，整理得112n n nb b b+-+=．所以数列{b n}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n}的通项公式为b n=n()*n∈N.②由①知，b k=k，*k∈N.因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.因为c k≤b k≤c k+1，所以1k kq k q-≤≤，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有ln lnln1k kqk k≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=．令()0f 'x =，得x =e.列表如下：x (1,e)e (e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取33q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．3.解析：（I ）1，3，5，6.（答案不唯一）.（II ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为110,...,,q r r n a a a -.由p q <，10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a .又12,,...,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0,p m r a a ≤所以00m n a a <.（III ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m -1之前（m 为正整数）.假设2m 排在2m -1之后，设121,,...,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m -1的递增子列，则121,,...,,2 1.2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m+1末项为2m 的递增子列，与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小正偶数为2m.因为2k 排在2k -1之前() 1,2,1k m =⋯- ,所以2k 和2k -1不可能在{}n a 的同一个子列中. 又{}n a 中不超过 21m +的数为1，2，…..， 21m -， 21m +，所以{}n a 的长度为 1m +末项为 21m +的递增子列个数至多为12222112 2m m -⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=<，与已知矛盾.最后证明 2m 排在 23m -之后（ 2m ≥为整数）.假设存在 2m （ 2m ≥），使得 2m 排在 23m -之前，则{}n a 的长度为 1m +末项为 21m +的递增子列个数小于 2m ，与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2,1,4,3,,23,2,21,m m m ⋅⋅⋅--⋅⋅⋅. 经验证，数列2,1,4,3,,23,2,21,m m m ⋅⋅⋅--⋅⋅⋅符合条件，所以1,1.n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数.2010-2018年1．A 【解析】对数列进行分组如图k321∙∙∙，222121，2k 22，21，20，20，20，20则该数列前k 组的项数和为(1)1232k k k ++++⋅⋅⋅+= 由题意可知100N >，即(1)1002k k +>，解得14k ≥，n ∈*N 即N 出现在第13组之后．又第k 组的和为122112kk -=-- 前k 组的和为1(12)(122)k +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+12(21)(21)(21)k =-+-+⋅⋅⋅+- 12(222)k k =++⋅⋅⋅+-122k k +=--，设满足条件的的N 在第1k +(k ∈*N ,13k ≥)组，且第N 项为第1k +的第m ()m ∈*N 个数，第1k +组的前m 项和为211222m -+++⋅⋅⋅+21m =-，要使该数列的前N 项和为2的整数幂，即21m -与2k --互为相反数，即212mk -=+，所以23mk =-，由14k ≥，所以2314m-≥，则5m ≥，此时52329k =-= 对应满足的最小条件为29(291)54402N +=+=，故选A ． 2．C 【解析】由题意可得10a =，81a =，2a ，3a ，…，7a 中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有1a ，2a ，…，k a 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111, 00011011, 00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．3．A 【解析】对命题p ：12,,,n a a a L 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ；对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立；②当0≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a L 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.4．A 【解析】2a ，4a ，8a 成等比数列，∴2428a a a =⋅，即2111(6)(2)(14)a a a +=++，解得12a =，所以(1)n S n n =+．5．B 【解析】∵21)(x x f =在[0,1]上单调递增，可得1110()()0f a f a ->，1211()()0f a f a ->，…，199198()()0f a f a ->，∴111101211199198|()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+-1110121119919819910()()+()()()()=()()f a f a f a f a f a f a f a f a --+⋅⋅⋅+--=299-0=199（） ∵),(2)(22x x x f -=在490]99[，上单调递增，在50[,1]99单调递减 ∴2120()()0f a f a ->，…，249248()()0f a f a ->，250249()()0f a f a -=，251250()()0f a f a -<，…，299298()()0f a f a -<∴221202221299298|()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+- =24920299250()()[()()]f a f a f a f a ---=250202992()()()f a f a f a --=505098004(1)199999801⨯⨯-=< ∵|2sin |31)(3x x f π=在24[0,]99，5074[,]9999上单调递增，在2549[,]9999，75[,1]99上单调递减，可得33253493742492()2()2(=(2sin sin )39999I f a f a f a ππ=-+-）252(2sin sin )1312123ππ>-==> 因此312I I I <<．6．27【解析】所有的正奇数和2n (*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a中，52前面有16个正奇数，即5212a =，6382a =．当1n =时，1211224S a =<=，不符合题意；当2n =时，2331236S a =<=，不符合题意；当3n =时，3461248S a =<=，不符合题意；当4n =时，45101260S a =<=，不符合题意；……；当26n =时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62= 503<2712516a =，不符合题意；当27n =时，52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484 +62=546>2812a =540，符合题意．故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27．7．5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5．8．12【解析】将82a =代入111n n a a +=-，可求得712a =；再将712a =代入111n na a +=-，可求得61a =-；再将61a =-代入111n na a +=-得52a =；由此可知数列{}n a 是一个周期数列，且周期为3，所以1712a a ==． 9．64【解析】由11a =且125,,a a a 成等比数列，得2111(4)()a a d a d +=+，解得2d =，故81878642S a d ⨯=+=． 102a t =，则23112t q t q t q ++≤≤≤≤≤≤，由于1t ≥，所以max{q t ≥，故q．11．4【解析】由题意得1122(4)()(1)(14)()3322(4)()(1)(14)()33k k k k k k k k k k k k -+⎧+>--+⎪⎪⎨⎪+>+++⎪⎩，得22(1)1010k k ⎧-<⎨>⎩，因此*k N ∈，所以4k =．12．【解析】(1)由条件知：(1)n a n d =-,12n n b -=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1|(1)2|1n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,]32．(2)由条件知：1(1)n a b n d =+-,11n n b b q -=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤(n =2，3，···，m +1)成立，即1111|(1)|n b n d b q b -+--≤(n =2，3，···，m +1)，即当2,3,,1n m =+L 时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+L 均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+L ）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当0x >时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()(0)1f x f <=．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．13．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=.又因为0q >，解得2q =.所以，2nn b =.由3412b a a =-，可得138d a -= ①. 由114=11S b ，可得1516a d += ②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =.（Ⅱ）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 14．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >当1n =时，110x => 假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0n x >()n ∈*N所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>因此10n n x x +<<()n ∈*N（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤ （Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤所以112n n x -≥得由1122n n n n x x x x ++-≥得 111112()022n n x x +-->≥ 所以12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥ 故212n n x -≤综上，1211(N )22n n n x n *--∈≤≤ ．15．【解析】（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+两式相减得到21,1n n a qa n ++=?.又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q+q -=，由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.所以双曲线2221ny x a -=的离心率n e =由53q =解得43q =. 因为2(1)2(1)1+k k q q -->1*k q k -?N （）. 于是11211+1n n n q e e e q q q --++鬃?>+鬃?=-，故1231433n nn e e e --++鬃?>. 16．【解析】（Ⅰ）由题意有，1110451002a d a d +=⎧⎨=⎩ ，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩．解得112a d =⎧⎨=⎩ 或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279)929()9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩．（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++L ， ① 2345113579212222222n n n T -=++++++L . ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-L ，故n T 12362n n -+=-． 17．【解析】（Ⅰ）2()()212,nn n F x f x x x x =-=+++-L 则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-L 所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x ．又1()120n n F x x nx-'=++>L ，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1(,1)2内有且仅有一个零点n x ．因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n n x x +--=-，故111=+22n n n x x +.（Ⅱ）解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->L当1x =时, ()()n n f x g x = 当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-L若01x <<,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-L()()11110.22n n n n n n x x --++=-=若1x >,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-L()()11110.22n n n n n n x x --++=-=所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <．综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <．解法二由题设，()()211()1,(),0.2nnn nn x f x x x x g x x ++=+++=>L当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <．当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立．假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <．那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx +++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=.又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k k k h x kx k x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)kk k k h x k x k k xk k x --'=+-+=+-．所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减；当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增．所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>．故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立．所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <．解法三:由已知，记等差数列为{}k a ，等比数列为{}k b ，1,2,...,1k n =+．则111a b ==，11nn n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =．当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=--，而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥．若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<，当1x >,11n k x-+>,()0km x '>，从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=，所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <18．【解析】（Ⅰ）由21=0=22()n n n a a a n N λμ++-=∈，，有．若存在某个0,n N +∈使得0,no a =则由上述递推公式易得10,no a -=重复上述过程可得10a =，此与13a =矛盾，所以对任意,0n n N a +∈≠．从而12(),n n a a n N ++=∈即{}n a 是一个公比2q =的等比数列．故11132n n n a a q --==⋅．（Ⅱ）由01,1k λμ==-，数列{}n a 的递推关系式变为211010n n n n a a a a k +++-=，变形为2101()().n n n a a a n N k +++=∈由上式及130a =>，归纳可得12130n n a a a a +=>>⋅⋅⋅>>>⋅⋅⋅>．因为22220010001111111n nn n n n n a a k k a a k k a a a k k +-+===-?+++，所以对01,2,,n k =⋅⋅⋅求和得01010121()()k k k a a a a a a ++=+-+⋅⋅⋅+-010000102011111 =()111k a k k k k a k a k a -⋅+⋅++⋅⋅⋅++++0000011111>2+( )231313131k k k k k k ⋅++⋅⋅⋅+=+++++1444442444443．另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>⋅⋅⋅>>>，得00110000102011111()111k k a a k k k k a k a k a +=-⋅+⋅++⋅⋅⋅++++0000011111<2+()221212121k k k k k k ⋅++⋅⋅⋅+=+++++1444442444443．综上，0100112+23121k a k k +<<+++．19．【解析】（Ⅰ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===4122421,,S S S S S S =∴成等比Θ解得12,11-=∴=n a a n （Ⅱ）)121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n ，当n 为偶数时11111(1)()()33557n T =+-+++-L L1111()()23212121n n n n ++-+---+ 1221211+=+-=∴n nn T n 11111(1)()()33557n n T =+-+++--L L 当为奇数时， 1111()()23212121n n n n +++---+12221211++=++=∴n n n T n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,122． 20．【解析】（Ⅰ）由题意，()()*∈=N n a a a nb n 221Λ，326b b-=，知3238b b a -==，又由12a =，得公比2q =（2q =-舍去），所以数列{}n a 的通项公式为2()n n a n N *=∈，所以()()1121232n n n n n a a a a ++==L ，故数列{}n b 的通项公式为，()1()n b n n n N *=+∈；（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知，11111()21n n n n c n N a b n n *⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭，所以11()12n n S n N n *=-∈+；（ii ）因为12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n nn n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=>，得()()51551122n n n ++≤<，所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意n N *∈恒有4n S S ≥，故4k =．21．【解析】（I ）因为{}n a 是递增数列，所以11nn n n n a a a a p ++-=-=．而11a =，因此又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而230p p -=，解得1,03p p == 当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾。

十年真题(2010-近年)高考数学真题分类汇编专题01集合理(含解析)(最新整理)

专题01集合1．【2019年新课标1理科01】已知集合M＝｛x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N ＝（）A．{x｜﹣4＜x＜3} B．{x｜﹣4＜x＜﹣2} C．{x｜﹣2＜x＜2｝D．｛x|2＜x＜3}【解答】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2｝，N＝｛x|x2﹣x﹣6＜0}＝｛x｜﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．2．【2018年新课标1理科02】已知集合A＝｛x｜x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（) A．｛x｜﹣1＜x＜2} B．｛x|﹣1≤x≤2｝C．{x｜x＜﹣1｝∪｛x|x＞2}D．｛x｜x≤﹣1}∪{x｜x≥2｝【解答】解：集合A＝{x｜x2﹣x﹣2＞0｝，可得A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，则:∁R A＝｛x｜﹣1≤x≤2}．故选：B．3．【2017年新课标1理科01】已知集合A＝{x｜x＜1},B＝{x|3x＜1｝，则( ）A．A∩B＝{x|x＜0｝B．A∪B＝R C．A∪B＝｛x|x＞1} D．A∩B＝∅【解答】解:∵集合A＝｛x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝｛x|x＜0｝,∴A∩B＝{x｜x＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝｛x|x＜1},故B和C都错误．4．【2016年新课标1理科01】设集合A＝{x｜x2﹣4x+3＜0｝，B＝{x|2x﹣3＞0｝，则A∩B ＝（）A．（﹣3,）B．（﹣3，）C．（1，）D．（,3）【解答】解:∵集合A＝｛x|x2﹣4x+3＜0｝＝（1，3），B＝｛x｜2x﹣3＞0}＝(，+∞），∴A∩B＝（，3)，故选：D．5．【2014年新课标1理科01】已知集合A＝｛x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x｜﹣2≤x＜2}，则A ∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．［﹣1,2) D．[﹣2，﹣1］【解答】解：由A中不等式变形得:（x﹣3)(x+1）≥0,解得：x≥3或x≤﹣1，即A＝(﹣∞，﹣1]∪［3,+∞），∵B＝[﹣2，2），∴A∩B＝［﹣2,﹣1]．故选：D．6．【2013年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0｝,B＝{x|x｝,则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A＝｛x|x2﹣2x＞0｝＝{x|x＞2或x＜0｝，∴A∩B＝｛x|2＜x或x＜0},A∪B＝R，7．【2012年新课标1理科01】已知集合A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛（x，y）｜x∈A，y∈A,x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（)A．3 B．6 C．8 D．10【解答】解：由题意，x＝5时，y＝1,2，3,4，x＝4时，y＝1，2,3，x＝3时，y＝1，2，x＝2时,y＝1综上知，B中的元素个数为10个故选:D．8．【2010年新课标1理科01】已知集合A＝｛x∈R｜｜x｜≤2｝}，，则A ∩B＝（）A．（0，2) B．［0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：A＝｛x∈R||x｜≤2，}＝{x∈R｜﹣2≤x≤2｝，故A∩B＝｛0，1,2}．应选D．本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.1．若集合{}5|2A x x =-<<，{}|||3B x x =<,则A B =（） A ．{}|32x x -<< B ．{}|52x x -<< C ．{}|33x x -<< D ．{}|53x x -<<【答案】A 【解析】解:{}{}333||B x x x x =<=-<<，则{}|32A B x x ⋂=-<<，故选：A ．2．已知集合2{|560}A x x x =-+≤,{|15}B x Z x =∈<<，则A B =（ ) A ．[2,3] B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤,{}23A x x ∴=≤≤，又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=,故本题选C.3．已知集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，{}2|450B x x x =∈--≤R ，则A B =（）A ．{3,2,1,0}---B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}3,2--D ．{}3,2,1,0,1,2,3---【答案】B【解析】因为{}2|450B x x x =∈--≤R {|15}x x =-≤≤，{3,2,1,0,1,2,3}A =---∴{}1,0,1,2,3A B ⋂=-．故选B ． 4．已知全集U =R，集合{}|24,{|(1)(3)0}xA xB x x x =>=--<，则()U A B =（）A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(1,3)D ．(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >, (1)(3)0x x --<可得13x <<，所以集合(2,),(1,3)A B =+∞=,(,2]U A =-∞,所以()U A B =(]1,2,故选B 。

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题07 数列(新课标Ⅰ卷)(原卷版)

专题07数列历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科09】记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n n2﹣2n2．【2018年新课标1理科04】记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．123．【2017年新课标1理科04】记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．84．【2017年新课标1理科12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下的两项是20，21，再接下的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．1105．【2016年新课标1理科03】已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）A．100 B．99 C．98 D．976．【2013年新课标1理科07】设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣2，S m＝0，S m+1＝3，则m＝（）A．3 B．4 C．5 D．67．【2013年新课标1理科12】设△A n B n∁n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n∁n的面积为S n，n＝1，2，3…若b1＞c1，b1+c1＝2a1，a n+1＝a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列8．【2012年新课标1理科05】已知{a n}为等比数列，a4+a7＝2，a5a6＝﹣8，则a1+a10＝（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣79．【2019年新课标1理科14】记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1，a42＝a6，则S5＝．10．【2018年新课标1理科14】记S n为数列{a n}的前n项和．若S n＝2a n+1，则S6＝．11．【2016年新课标1理科15】设等比数列{a n}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则a1a2…a n的最大值为64．12．【2013年新课标1理科14】若数列{a n}的前n项和为S n a n，则数列{a n}的通项公式是a n＝．13．【2012年新课标1理科16】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为．14．【2015年新课标1理科17】S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n＝4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n，求数列{b n}的前n项和．15．【2014年新课标1理科17】已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n+1＝λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n＝λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．16．【2011年新课标1理科17】等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．17．【2010年新课标1理科17】设数列满足a1＝2，a n+1﹣a n＝3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n项和，等比数列及其前n项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n项和，等比数列及其前n项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1．等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（） A ．1-B ．0C ．2D ．32．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰“我羊食半马、“马主曰“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．253B ．503C ．507D ．10073．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为（）A ．41B ．45C ．369D ．3214．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()nn S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（） A ．290B ．920C ．511D ．10115．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,L L ，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N*≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（） A ．672B ．673C ．1346D ．20196．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若2610a a a ⋅⋅=16117b b b π++=，则21039tan1b b a a +-⋅的值是（）A ．1BC． D．7．已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a a n n n N n++++=+∈L ，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n n N T n nλ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（） A ．1[,)4+∞B ．1(,)4+∞ C ．3[,)8+∞ D ．3(,)8+∞8．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足()()1111n n f a f n N a *+⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，且()10a f =，则下列结论成立的是（） A ．()()20162018f a f a > B ．()()20172020f a f a > C ．()()20182019f a f a > D ．()()20162019f a f a >9．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 10．已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a，使得1a =，则91m n+的最小值为__________． 11．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos2x x +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22()n n S a n n N *=+∈，则n a =_____．13．等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11222n n a a a n -++⋯+=，则5S =____．16．已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==，则数列(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为___________.17．定义：从数列{}n a 中抽取(,3)m m N m ∈≥项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比），则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列. （1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为()n a n a a Q +=+∈，证明：{}n a 存在等比子数列. 18．在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3122331313131n n n b b b ba =++++++++L ，求数列{}nb 的通项公式；（3）令()*4n nn a b c n N =∈，数列{}n c 的前n 项和为n T . 19．已知等差数列{}n a 满足32421,7a a a =-=，等比数列{}n b 满足()35242b b b b +=+，且()2*22n n b b n =∈N .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n c 满足()*1212n n nc c c S n b b b ++⋯+=∈N ，求{}n c 的前n 项和为n T .20．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且432S =，13221S =．（1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N+-=∈且13b =，求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 21．设{}n a 是单调递增的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知313S =，且13a +，23a ，35a +构成等差数列．（1）求n a 及n S ；（2）是否存在常数λ．使得数列{}n S λ+是等比数列?若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 22．对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-L L ，1,2,3,k =L ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中{}12max ,,,k a a a L ，{}12min ,,,k a a a L 分别表示12,,,k a a a L 中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”. （1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和；（2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；（3）若121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=L L 且11a =，22a =，求所有满足该条件的{}n a .。

(完整)十年真题_解析几何_全国高考理科数学.doc

十年真题 _解析几何 _全国高考理科数学真题2008-21 ．（12 分）双曲线的中心为原点O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1uuur uuur uuur uuur uuur的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、、成等差数列，且 BF 与 FA 同向．AB OB（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为4 ，求双曲线的方程．2009-21 ．（12 分）如图，已知抛物线 E : y 2x 与圆 M : ( x 4)2y 2 r 2 (r ＞ 0）相交于 A 、B 、C 、D 四个点。

（I ）求 r 的取值范围：(II)当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线A 、B 、C 、D 的交点 p 的坐标。

2010-21 (12分 )已知抛物线 C : y 24x 的焦点为 F ，过点 K ( 1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D .（Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上；uuur uuur8（Ⅱ）设 FAgFBBDK 的内切圆 M 的方程 .，求91 / 132011-20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB//OA ， MA?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。

（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。

2012-20 （12 分）设抛物线 C : x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l ， AC ，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点；（1）若BFD90 0 ， ABD 的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A, B, F 三点在同一直线m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m, n 距离的比值。

十年高考(2012-2021)高考数学真题详解集合篇

T 专题01 集合【2021 年】1．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2},N={3,4}，则U(M ⋃N ) =（）A．{5} B．{1, 2} C．{3, 4} D．{1, 2,3, 4}【答案】A 由题意可得：M N ={1, 2,3, 4}，则U (M U N )={5}.故选：A.2．（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）已知集合S={s s=2n+1,n∈Z}，T={t t=4n+1,n∈Z}，则S （）A．∅B．S C．T D．Z【答案】C【分析】任取t ∈T ，则t = 4n +1 = 2⋅(2n)+1，其中n ∈Z ，所以，t ∈S ，故T ⊆S ，因此，S I T =T .故选：C.3．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）设集合M={1,3,5,7,9},N={x2x>7}，则M I N =（）A．{7,9} B．{5, 7,9} C．{3,5, 7,9} D．{1,3,5, 7,9}【答案】B【分析】N =⎛7, +∞⎫，故M ⋂N ={5, 7,9}，2 ⎪⎝⎭故选：B.（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）设集合M ={x 0 <x < 4}, N =⎧ 1x ≤ 5⎫，则M I N =（）⎬A．⎧x 0 <x ≤1 ⎫⎭B．⎧x1≤x < 4⎫⎨3⎬⎨3⎬⎩⎭C．{x 4 ≤x < 5}⎩⎭D．{x 0 <x ≤ 5}【答案】B【分析】因为 M ={x | 0 <x < 4}, N ={x | 1≤x ≤ 5} ，所以 M ⋂N =⎧x|1≤x < 4⎫, 3⎨3⎬⎩⎭故选：B.5．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）设集合A={x-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则AIB =（）A．{2} B．{2,3} C．{3, 4} D．{2,3, 4}【答案】B【分析】由题设有A ⋂B ={2,3}，故选：B .【2012 年——2020 年】1．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5}，则A IB =（）A．{-4,1} B．{1,5}C．{3,5} D．{1,3}【答案】D【分析】由x2 -3x - 4 < 0 解得-1 <x < 4 ，所以A ={x | -1 <x < 4}，又因为B ={-4,1,3,5}，所以A I B ={1,3}，故选：D.2．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【分析】求解二次不等式x2 - 4 ≤ 0 可得：A ={x | -2 ≤x ≤ 2}，求解一次不等式2x + a ≤ 0 可得： B = ⎧x | x ≤ -a ⎫ . ⎨ 2 ⎬ ⎩⎭由于 A ⋂ B ={x | -2 ≤ x ≤1} ，故： - a= 1，解得： a = -2 . 2故选：B.3．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知集合 A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则 A ∩B =（）A ． ∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}【答案】D因为 A = {x x < 3, x ∈ Z} = {-2, -1, 0,1, 2} ，B = {x x > 1, x ∈ Z} = {x x > 1或 x < -1, x ∈ Z }，所以 AI B ={2, -2}.故选：D.4．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则 = （）A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【分析】由题意可得： A ⋃ B ={-1, 0,1, 2}，则U ( A U B ) ={-2,3} .故选：A.5．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知集合A = {1，2，3，5，7，11} ，B = {x | 3 < x < 15} ，则 A ∩B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由题意， A⋂ B = {5,7,11}，故 A IB 中元素的个数为 3.故选：B6．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知集合 A ={(x , y ) | x , y ∈ N * , y ≥ x }，U ( A ⋃ B )⎩ B = {(x , y ) | x + y = 8}，则 A I B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【分析】由题意， A I B 中的元素满足⎧y ≥ x，且 x , y ∈ N * ，由 x + y = 8 ≥ 2x ，得 x ≤ 4 ，⎨x + y = 8所以满足 x + y = 8 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4) ，故 A I B 中元素的个数为 4.故选：C.7．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知集合U = {1, 2,3, 4,5, 6, 7}，A ={2,3, 4,5}，B ={2,3, 6, 7} ，则 B I C U AA ．{1, 6}B ．{1, 7}C ．{6, 7}D ．{1, 6, 7}【答案】C【分析】由已知得C U A = {1, 6, 7}，所以 B ⋂ C U A = {6, 7}，故选 C ． 8．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知集合M = {x -4 < x < 2}，N = {x x 2 - x - 6 < 0} ，则 M ⋂ N =A ．{x -4 < x <3}B ．{x -4 < x <-2}C ．{x -2 < x < 2}D ．{x 2 < x <3}【答案】C【分析】【详解】由题意得， M = {x -4 < x < 2}, N = {x -2 < x < 3} ，则M ⋂ N = {x -2 < x < 2}．故选 C ．9．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知集合 A ={x | x > -1}，B ={x | x < 2}，则 A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2) C ．(–1，2) D ． ∅【答案】C【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得．【详解】R A =由题知，A I B = (-1, 2) ，故选C．10．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)【答案】A【分析】由题意得， A ={x x2或x3}, B ={x x < 1}，则A ⋂B ={x x < 1}．故选A．11．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知集合A={-1,0,1,2}，B={x x2 ≤1}，则A I B =A．{-1, 0,1} B．{0,1} C．{-1,1} D．{0,1, 2}【答案】A【分析】Q x2 ≤ 1,∴-1 ≤x ≤ 1，∴B ={x -1 ≤x ≤1}，则A I B ={-1, 0,1}，故选A．12．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知集合A={0，2}，B={-2，-1，0，1，2}，则A I B=A．{0，2} B．{1，2} C．{0} D．{-2，-1，0，1，2}【答案】A【分析】详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得A B ={0, 2}，故选A.13．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知集合A={x x2 -x-2>0}，则A．{x -1 <x < 2} C．{x |x <-1}⋃{x x 2} B．{x -1 ≤x ≤ 2} D．{x | x ≤-1}⋃{x | x ≥ 2}【答案】B【详解】：解不等式x2 -x - 2 > 0 得x <-1或x > 2 ，所以A ={x | x <-1或x > 2}，所以可以求得C R A ={x | -1≤x ≤ 2}，故选B.14．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则 A I B =A．{3} B．{5} C．{3, 5} D．{1, 2,3, 4,5,7}【答案】C【详解】详解：Q A ={1,3,5,7}, B ={2,3, 4,5},∴A⋂B ={3,5},故选C15．（2018 年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，则A I B=A．{0} B．{1} C．{1, 2} D．{0,1, 2}【答案】C【分析】：由集合 A 得x ≥1,所以A ⋂B ={1, 2}故答案选C.16．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知集合A={(x，y)x2 +y2 ≤3，x∈Z，y∈Z}，则A 中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【分析】Q x2 +y2 ≤ 3∴x2≤3,Q x∈Z∴x=-1,0,1当x =-1时，y=-1,0,1；当x=0时，y=-1,0,1；当x = 1 时，y =-1,0,1；所以共有9 个，故选：A.17．（2018 年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A I B=A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}【答案】C【解析】详解：由集合A 得x ≥1,所以A ⋂B ={1, 2}故答案选 C.（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1 卷））已知集合A= {x|x<2}，B= {x|3-2x>0}，则A ．A IB = ⎧x |x < 3 ⎫B ．A I B =∅⎨ 2 ⎬⎩ ⎭ C ．A U B = ⎧x |x < 3 ⎫D ．A U B=R⎨ 2 ⎬⎩⎭ 【答案】A【详解】由3 - 2x > 0 得 x < 3 ，所以 A I 2 B ={x | x < 2}I {x | x < 3} ={x | x < 3}，选 A ．2 219．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 1 卷））已知集合A ={x |x <1}，B ={x | 3x < 1}，则A. A IB ={x | x < 0}B. A U B = RC. A U B ={x | x >1}D. A I B =∅【答案】A【解析】∵集合 B ={x | 3x< 1}∴ B = {x x < 0}∵集合 A ={x | x <1}∴ A ⋂ B = {x x < 0} ， A ⋃ B ={x | x <1} 故选A20．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标 2 卷））设集合A ={1, 2,3},B ={2,3, 4}，则 A U B = A ．{1，2，3, 4} B ．{1，2，3} C ．{2，3，4} D ．{1，3，4}【答案】A【详解】由题意 A ⋃ B = {1,2,3,4}，故选 A.21．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 2 卷））设集合 A = {1, 2, 4}， B ={x x 2 - 4x + m = 0}．若 A ⋂ B = {1}，则 B =( )A ．{1, -3}B ．{1, 0}C ．{1, 3}D ．{1, 5}【答案】C【详解】∵ 集合 A = {1，2，4}， B = {x | x 2 - 4x + m = 0}， A IB = {1}∴ x = 1 是方程 x 2 - 4x + m = 0 的解，即1- 4 + m = 0 ∴ m = 3∴B = {x | x 2- 4x + m = 0} = {x | x 2- 4x + 3 = 0}= {1，3}，故选 C2 2 2 2 3, ) 22．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷））已知集合 A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则 A I B 中元素的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】由题意可得 A IB ={2, 4}，故 A IB 中元素的个数为 2，所以选 B. 23．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A = {(x , y ) x 2 + y 2= 1}， B = {(x , y ) y = x } ，则 A IB 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合 A 表示以(0, 0)为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合 B 表示直线 y = x 上所有的点组成的集合，又圆x 2 + y 2 = 1 与直线 y = x⎛ ⎫ ⎛ 相交于两点, ， - , - ⎫ ，则 A I B 中有 2 个元素.故选 B. 2 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭24．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设集合 A = {1,3,5, 7} ， B ={x | 2 ≤ x ≤ 5}，则 A ⋂ B =A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}【答案】B【解析】试题分析：集合与集合的公共元素有3，5，故，故选B.25．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设集合 A ={x | x 2 - 4x + 3 < 0}，B ={x | 2x -3 > 0}，则 A I B =A ． (-3, - 3) 2B ． (- 32 3． (1, )2 3 ． ( , 3)2【答案】D【详解】：集合A = {x | ( x -1)( x - 3) < 0}= {x |1 < x < 3}，集合，所以C DA BA ⋂B =⎧x |3<x <⎫,故选D.⎨2 3⎬⎩⎭．2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2 卷）已知集合A={1,2,3},B ={x | x2 < 9}，则A⋂B =A．{-2, -1,0,1, 2,3} B．{-2, -1,0,1, 2}C．{1,2,3} D．{1, 2}【答案】D【解析】试题分析：由x2< 9 得-3<x<3，所以B={x|-3<x<3}，因为A={1,2,3}，所以A⋂B={1,2}，故选D.27．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A={1,2,3}，B ={x | (x +1)(x - 2) < 0, x ∈Z}，则 A⋃B =A．{1}B．{1，2} C．{0，1，2，3}D．{-1，0，1，2，3}【答案】C【详解】试题分析：集合B ={x | -1 <x < 2, x ∈Z} ={0,1}，而A ={1, 2,3}，所以A⋃B ={0,1, 2,3}，故选C.（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷））设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}，则=A．{4,8}B．{0，2,6}C．{0，2，6,10}D．{0，2，4，6，8,10}【答案】C【详解】试题分析：由补集的概念，得A B ={0, 2, 6,10}，故选C．29．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3））设集合S ={x|(x - 2)(x -3) ≥ 0},T ={x|x > 0} ，则S ⋂T=A．[2,3] B．（−∞,2] ⋃[3,+ ∞）C．[3,+ ∞）D．（0,2] ⋃[3,+ ∞）【答案】D【详解】：由(x - 2)(x -3) ≥ 0 解得x ≥ 3 或x ≤ 2 ，所以S ={x | x ≤ 2或x ≥ 3}，所以S ⋂T ={x | 0 <x ≤ 2或x ≥ 3}，故选D．30．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知集合A ={x | x = 3n + 2, n ∈N},B ={6,8,10,12,14}，则集合A⋂B 中的元素个数为A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【详解】由已知得 A⋂B中的元素均为偶数，∴n应为取偶数，故 A⋂B ={8,14}，故选D.31．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））已知集合A ={x | -1 <x < 2},B ={x | 0 <x < 3}, 则A U B =（）A．(-1,3) B．(-1, 0) C．(0, 2) D．(2,3)【答案】A【详解】因为A ={x | -1<x < 2}, B ={x | 0 <x < 3},所以A U B={x | -1 <x < 3}. 故选A. 32．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B ={x | (x -1)(x +2) <0},则A I B =（）A．{-1, 0} B．{0,1} C．{-1, 0,1} D．{0,1, 2}【答案】A【详解】已知得B={x|-2<x<1}，因为A=｛-2，-1,0，1,2｝，所以A⋂B={-1,0}，故选A．33．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知集合M ={x | -1<x < 3}, N ={x | -2 <x <1}，则 M ⋂N =A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：根据集合的运算法则可得：M ⋂N ={x | -1 <x < 1}，即选B．34．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ卷））已知集合，则A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：由已知得，A ={x | x ≤-1或x ≥ 3}，故A⋂B ={x | -2 ≤x ≤-1}，选A．35．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设集合A ={-2, 0, 2},B ={x | x2 -x - 2 = 0} ,则 A⋂B =A．∅B． C．{0}【答案】B【详解】：由已知得，B={2，-1}，故A⋂B={2}，选B．D．{-2}36．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1 卷））已知集合A=｛1，2，3，4｝，B ={x | x =n2 , n ∈A} ，则A∩B=A．｛1,4｝B．｛2，3｝C．{9，16} D．｛1,2}【答案】A【分析】依题意，，故A⋂B ={1, 4}.37．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1 卷）已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|—5 ＜x＜5 }，则()．A．A∩B＝B．A∪B＝R C．B ⊆A D．A ⊆B【答案】B【详解】依题意 A ={x | x 0或x2}，又因为B＝{x|－5 ＜x＜5 }，由数轴可知A∪B＝R，故选B.38．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N=A．｛-2，-1，0,1｝B．｛-3，-2，-1，0｝C．{-2，-1，0} D．{-3，-2，-1 }【答案】C【详解】因为集合M=，所以M∩N=｛0，-1，-2｝，故选C.39．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2} C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}【答案】A【详解】：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，∵N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故选A40．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则A． B．C．A=B D．A∩B=Æ【答案】B【详解】集合，又，所以B 是A 的真子集，选B.41．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知集合A={1,2,3,4,5}, B ={(x, y) x ∈A, y ∈A, x -y ∈A},则B 中所含元素的个数为A．3 B．6 C．8 D．10【答案】D【详解】列举法得出集合B={(2,1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，共含10 个元素．故答案选D .。

十年高考数学试卷试卷答案

第一部分：选择题1. 答案：D解析：本题考查一元二次方程的解法。

通过将方程化简，得到 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)，分解因式得到 \((x - 2)(x - 3) = 0\)，解得 \(x_1 = 2\)，\(x_2 =3\)。

选项D正确。

2. 答案：B解析：本题考查三角函数的性质。

由于 \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\)，因此 \(\sin \theta\) 和 \(\cos \theta\) 均为正数。

选项B正确。

3. 答案：A解析：本题考查数列的通项公式。

根据等差数列的通项公式 \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)，代入 \(a_1 = 1\) 和 \(d = 2\)，得到 \(a_n = 2n - 1\)。

选项A正确。

4. 答案：C解析：本题考查函数的极值。

通过求导数 \(f'(x)\)，得到 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 9\)。

令 \(f'(x) = 0\)，解得 \(x = 1\)。

由于 \(f''(x) = 6x - 6\)，在\(x = 1\) 处 \(f''(1) > 0\)，因此 \(x = 1\) 是函数的极小值点。

选项C正确。

5. 答案：B解析：本题考查几何概型。

根据几何概型的概率公式 \(P = \frac{有利事件的面积}{总面积}\)，代入数据得到 \(P = \frac{4}{9}\)。

选项B正确。

第二部分：填空题6. 答案：\(\frac{1}{3}\)解析：本题考查指数函数的值。

根据指数函数的性质 \(a^0 = 1\) 和 \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)，得到 \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}} =\sqrt{2}\)。

7. 答案：\(-\frac{1}{2}\)解析：本题考查三角函数的值。

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题15 算法(新课标Ⅰ卷)((原卷版)

专题15算法历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 程序框图2019年新课标1理科08单选题2017 程序框图2017年新课标1理科08单选题2016 程序框图2016年新课标1理科09单选题2015 程序框图2015年新课标1理科09单选题2014 程序框图2014年新课标1理科07单选题2013 程序框图2013年新课标1理科05单选题2012 程序框图2012年新课标1理科06单选题2011 程序框图2011年新课标1理科03单选题2010 程序框图2010年新课标1理科07历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科08】如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A B．A＝2 C．A D．A＝12．【2017年新课标1理科08】如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n＝n+1 B．A＞1000和n＝n+2C．A≤1000和n＝n+1 D．A≤1000和n＝n+23．【2016年新课标1理科09】执行下面的程序框图，如果输入的＝0，y＝1，n＝1，则输出，y的值满足（）A．y＝2 B．y＝3 C．y＝4 D．y＝54．【2015年新课标1理科09】执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝（）A．5 B．6 C．7 D．85．【2014年新课标1理科07】执行如图的程序框图，若输入的a，b，分别为1，2，3，则输出的M＝（）A．B．C．D．6．【2013年新课标1理科05】执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]7．【2012年新课标1理科06】如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数8．【2011年新课标1理科03】执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．50409．【2010年新课标1理科07】如果执行如图的框图，输入N＝5，则输出的数等于（）A．B．C．D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：算法的逻辑结构，顺序结构、条件结构、循环结构，程序框图和算法思想，求程序框图中的执行结果和确定控制条件.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：算法的循环结构，程序框图和算法思想.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以算法的循环结构，程序框图和算法思想为重点较佳.最新高考模拟试题1．我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”，其内容为：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢？各穿几何？”如图的程序框图于这个题目，执行该程序框图，若输入=20，则输出的结果为（）A．3B．4C．5D．62．如图所示的程序框图，若=5,则运算多少次停止( )A．2 B．3 C．4 D．53．正整数n 除以m 后的余数为，记为r n MOD m =，如4195MOD =.执行如图的程序框图，则输出的数n 是( )A ．19B ．22C ．27D ．474．执行如图所示的程序框图，输出n 的值为（）A ．6B ．7C ．8D ．95．为了计算11111123420192020S =-+-++-L ，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入（）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+6．如图程序框图的算法思路于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为16，20，则输出的a =（）A ．14B ．4C ．2D ．07．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A．4B．5 C．8D．98．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则a的值是（）A．7B．6C．5D．4 9．执行如图的程序框图，如果输出的S=3，则输入的t=（）A ．1? -B ．3?- C ．1或3 D ．1或3-10．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（）A ．3B ．4C ．5D ．611．《九章算术》中有如下问题“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，主日‘我羊食半马.’马主日‘ 我马食半牛.’今欲衰偿之，问各出几何?”翻译为今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?已知1斗=10升，针对这一问题，设计程序框图如图所示，若输出k 的值为2，则m =（）A ．503B ．507．C ．103D ．100712．在如图所示的计算1592017++++L 程序框图中，判断框内应填入的条件是（）A ．2017?i ≤B ．2017?i <C ．2013?i <D ．2021?i ≤ 13．如图所示的程序框图所实现的功能是（）A ．输入a 的值，计算()2021131a -⨯+ B ．输入a 的值，计算()2020131a -⨯+ C ．输入a 的值，计算()2019131a -⨯+D ．输入a 的值，计算()2018131a -⨯+ 14．执行如图所示的程序框图，如果输入的]2,0[∈x ，那么输出的y 值不可能为A．1 B．0C．1D．215．阅读如图所示的程序框图，则输出的（）A．30B．29C．90D．5416．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．17．执行如图所示的程序框图，则输出的（）A．3B．4C．5D．618．执行下面程序框图，若输入的的值分别为0和44，则输出的值为（）A．4B．7C．10D．1319．执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数值的个数为（）A．1B．2C．3D．420．运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（）A．3B．4C．5D．6。

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题06 平面向量(新课标Ⅰ卷)(解析版)

专题06平面向量历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 平面向量的数量积2019年新课标1理科07单选题2018 平面向量基本定理2018年新课标1理科06单选题2015 平面向量基本定理2015年新课标1理科07单选题2011 平面向量的定义2011年新课标1理科10填空题2017 向量的模2017年新课标1理科13填空题2016 平面向量的数量积2016年新课标1理科13填空题2014 平面向量的数量积2014年新课标1理科15填空题2013 平面向量的数量积2013年新课标1理科13填空题2012 向量的模2012年新课标1理科13历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科07】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．2．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．3．【2015年新课标1理科07】设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得到如图由；故选：A．4．【2011年新课标1理科10】已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：||＞1⇔θ∈[0，）；P2：||＞1⇔θ∈（，π]；P3：||＞1⇔θ∈[0，）；P4：||＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故P3错误，P4正确．由||＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故P2错误，P1正确．故选：A．5．【2017年新课标1理科13】已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴4•4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形2；在△OAC中，由余弦定理得||2，即|2|＝2．故答案为：2．6．【2016年新课标1理科13】设向量（m，1），（1，2），且||2＝||2+||2，则m＝﹣2．【解答】解：||2＝||2+||2，可得•0．向量（m，1），（1，2），可得m+2＝0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．7．【2014年新课标1理科15】已知A，B，C为圆O上的三点，若（），则与的夹角为．【解答】解：在圆中若（），即2，即的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°8．【2013年新课标1理科13】已知两个单位向量，的夹角为60°，t （1﹣t ）．若•0，则t＝．【解答】解：∵，，∴0，∴t cos60°+1﹣t ＝0，∴10，解得t ＝2．故答案为2．9．【2012年新课标1理科13】已知向量夹角为45°，且，则．【解答】解：∵， 1∴∴|2|解得故答案为：3考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点平面向量的线性运算，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在ABC ∆中，2AB AC AD +=u r ，0AE DE +=u u u r u u u r r ，若EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则（） A ．3y x =B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D 【解析】因为2AB AC AD +=u u u v u u u v u u u v ，所以点D 是BC 的中点，又因为0AE DE +=u u u v u u u v v，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，因此31,344x y x y =-=⇒=-，故本题选D.2．已知非零向量a r ,b r 的夹角为60o,且满足22a b -=r r ,则a b ⋅r r 的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a r ,b r 的夹角为60o,且满足22a b -=r r , 所以2222444a b a b a b -=+-⋅=r r rr r r ，即2244cos 604a b a b +-=or r r r ，即22424a b a b +-=r r r r ，又因为2244a b a b +≥r rr r ，当且仅当2a b =r r 时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=r r rr r r ，即2a b ≤r r ；因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤or r r r r r .即a b ⋅r r 的最大值为1.故选B3．设a r ，b r 均为单位向量，则“a r 与b r夹角为2π3”是“||a b +=r r ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】因为a r ，b r均为单位向量，若a r 与b r夹角为2π3，则222||211211cos 13a b a ba b π+=++⋅=++⨯⨯⨯=r r r r r r ；因此，由“a r 与b r 夹角为2π3”不能推出“||3a b +=r r ”；若||3a b +=r r ，则22||211211cos ,3a b a b a b a b +=++⋅=++⨯⨯⨯=r r r r r r r r，解得1cos ,2a b =v v ，即a r 与b r 夹角为π3，所以，由“||3a b +=r r ”不能推出“a r 与b r 夹角为2π3”因此，“a r 与b r 夹角为2π3”是“||3a b +=r r ”的既不充分也不必要条件.故选D4．在矩形ABCD 中，4AB =uu u r ,2AD =u u u r ．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=u u u u r u u u u r（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，1122MN CN CM CB CD =-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 11112222BC DC AD AB =-+=-+u u u r u u u r u u ur u u u r .∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=u u u r u u u r .故选：C ．5．已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=（）A ．23B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C 【解析】如图：以BC 中点为坐标原点O ，以BC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为2AB =u u u r ，则3AO =u u u r，因为P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r，所以点P 在直线BC ，所以AP uu u r 在AO u u ur 方向上的投影为AO u u u v ，因此2()226AP AB AC AO AP AO ⋅+=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选C6．已知向量(2,1),(,1)a b m ==-r r，且()a a b ⊥-rr r，则m 的值为（） A ．1 B ．3C ．1或3D ．4【答案】B 【解析】因为(2,1),(,1)a b m ==-r r，所以(2,2)a b m -=-rr，因为()a a b ⊥-rr r，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=rr r，解得3m = 所以答案选B.7．已知向量a r 、b r 为单位向量，且a b +r r 在a r 的方向上的投影为312+，则向量a r 与b r 的夹角为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A【解析】设向量a r 与b r的夹角为θ，因为向量a r 、b r为单位向量，且a b +r r 在a r 的方向上的投影为31+，则有3()||1a b a a ⎛⎫+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭r r r r ，变形可得：3112a b +⋅=+rr ，即3cos c 1o 1s a b θθ⋅=⨯⨯==rr ，又由0θπ≤≤，则6πθ=，故选A ．8．在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC ==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=u u u v u u u v（）A ．725B ．14425C ．125D ．1225【答案】B 【解析】如图：由3AB =，4=AD 得：9165BD =+=，125AB AD AE BD ⋅== 又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAE BD ⊥Q 0AE EO ∴⋅=u u u r u u u r又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅==u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r14425AE EC ∴⋅=u u u r u u u r 本题正确选项：B 9．已知直线y=+m 和圆2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若3AO AB 2⋅=u u u r u u u r ，则实数m=（）A ．1± B． C．2±D ．12±【答案】C 【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得22+2m+m 2-1=0， ∵直线y=+m 和圆2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点， ∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得m或m ＜，设A （1，y 1），B （2，y 2），则1+2=-m ，21212m x x -= ， y 1y 2=（1+m ）（2+m ）=12+m （1+2）+m 2，AO u u u r=（-1，-y 1），AB u u u v=（2-1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r +y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=32，解得m=2±．故选：C ．10．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=u u u r u u u r，则λ的值为（）A ．3B ．2C ．23 D ．52【答案】B 【解析】由题意可得：()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r113AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r 22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r ，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-o u u u r u u u r u u u r u u u r，故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B .11．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u ru u u r=，那么EB EC ⋅u u u r u u u r的值为（） A ．83- B ．1-C ．1D ．3【答案】B 【解析】由已知可得：7，又23tan BED 3BD ED ∠===所以221tan 1cos 1tan 7BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EBEC BEC ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选：B ．12．在ABC ∆中，3AC =，向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( ) A ．5 B ．27C 29D ．2【答案】C【解析】∵向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2-， ∴||cos 2AB A =-u u u r．① ∵3ABC S ∆=，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ， ∴||sin 2AB A =u u u r．②由①②得tan 1A =-， ∵A 为ABC ∆的内角，∴34A π=，∴2||3sin4AB π==u u u r ．在ABC ∆中，由余弦定理得2222232cos323(2942BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴BC =故选C ．13．在△ABC 中，,2,BD DC AP PD BP AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rλμ===+，则λμ+= （） A ．1-3B ．13C ．1-2D ．12【答案】A 【解析】因为,2,BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以23BP AP AB AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r因为BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，所以211=,,333λμλμ-=∴+=- 故选：A14．在ABC ∆中，543AB BC BC CA CA AB →→→→→→==g g g ，则sin :sin :sin A B C =（） A ．9:7:8 B ．9:7:8C ．6:8:7D ．6:8:7【答案】B 【解析】设•••543AB BC BC CA CA AB t ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以5,4,3AB BC t BC CA t CA AB t ⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以cos 5,cos 4,cos 3ac B t ab C t bc A t -=-=-=，所以22222222210,8,6c a b t b a c t c b a t +-=-+-=-+-=-，得9,7,8a t b t c t =-=-=- 所以sin :sin :sin ::A B C a b c ==9:7:8故选：B15．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====u u u r u u u r u u u r u u u v 若12,CP CQ ⋅=u u u v u u u v则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π【答案】C 【解析】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C.16．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u r u u u r u u u r ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（） A ．2 B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，，则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．17．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则向量AD =u u u r（）A ．a b +r rB ．12a b +r rC ．12a b +r rD ．23a b +r r【答案】C 【解析】解：设圆的半径为，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===，所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r．故选：C ．18．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=u u u r u u u r ，(1)AE λ=-u u ur ()AC R λ∈u u u r ，若5BE CD ⋅=u u u r u u u r，则λ=（） A ．13- B ．2 C ．95D ．3【答案】D因为90A ∠=︒，则•0AB AC =u u u r u u u r ，所以()()BE CD AE AB AD AC •=-•-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22[(1)]()(1)4(1)34AC AB AB AC AC AB λλλλλλλ=--•-=---=---=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由已知，345λ-=，则3λ=. 选D .19．已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且120AOB ∠=︒，若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+的取值范围为（）A ．[2,2]-B ．C ．D ．[1,2]【答案】D 【解析】解：设半径为1，由已知可设OB 为轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A （12-，2），B （1，0），C （cos θ，sin θ）（其中∠BOC ＝θ203πθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭有OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r （λ，μ∈R ）即：（cos θ，sin θ）＝λ（12-，+μ（1，0）；整理得：12-λ+μ＝cos θλ＝sin θ，解得：λ=，μ＝cos θ，则λ+μ=+cos θ=sin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），其中203πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭；易知λ+μ=+cos θ=sin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），由图像易得其值域为[1，2] 故选：D ．20．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r 在BC uuu r方向上投影的最大值是（）A ．13B ．12C D ．23【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0），由BAC 3π∠=可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为3π，所以圆心角为23π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC 的距离为132tan 3BCπ=3(0,6，半径为22133()()26+=所以点A 的轨迹方程为：22313x y ⎛+= ⎝⎭，则213x ≤ ，则303x -≤< ，由AQ uuu r 在BC u u u r 方向上投影的几何意义可得：AQ uuu r 在BC u u u r方向上投影为|DP|=||，则AQ uuu r在BC u u u r3故选：C ．21．已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为______．【答案】5- 【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -， ∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即22gRr，联立方程224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x +=-，令0y =可得(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-u u u r u u u r，故答案为：-5．22．已知向量(2,1),(,1)a b λ=-=r r ，若||||a b a b +=-r rr r ，则λ=______．【答案】12【解析】解：()()2,1,,1a b λ=-=r Q r()()2,0,2,2a b a b λλ∴+=+-=--r rr r ；a b a b +=-r r r r Q ；2λ∴+=()()22224λλ∴+=-+；解得12λ=．故答案为：12．23．向量()1,2a v=-，()1,0b =-r ，若()()a b a b λ-⊥+r r r r ，则λ=_________.【答案】13【解析】向量()1,2a =-v，()1,0b =-r ，所以()()()2,2,1,2a b a b λλλ-=-+=--r r r r，又因为()()a b a b λ-⊥+r r r r，所以()()0a b a b λ-⋅+=r r r r，即()()21220λλ--⨯-=，解得13λ=，故答案为13. 24．设向量12,e e r r的模分别为1,2，它们的夹角为3π，则向量21e e -r r 与2e r 的夹角为_____．【答案】6π 【解析】()221221242cos33e e e e e e π-⋅=-⋅=-=r r r r r r又21e e -===r r()212212212cos ,e e e e e e e e e -⋅∴<->===-⋅r r r r r r r r r向量21e e -r r 与r2e 的夹角为：6π本题正确结果：6π 25．已知平面向量a r ，m v ，n v ，满足4a =r ，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎨-⋅+=⎩v v v v v v ，则当m n -=u r r _____，则m v 与n v的夹角最大．【解析】设a r，m v ，n v的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，不妨设(4,0)a =r，(,)m x y v=，则222m x y =+u r ，4a m x ⋅=r u r，由210m a m -⋅+=u r r u r可得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=， ∴m v的终点M 在以(2,0) 同理n v的终点N在以(2,0)为半径的圆上．显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m v ，n v的夹角最大．设圆心为A，则3 AM=，∴221OM OA AM=-=，3sin2MOA∠=，∴60MOA∠=︒，设MN与x轴交于点B，由对称性可知MN x⊥轴，且2MN MB=，∴322sin2132MN MB OM MOA==⋅∠=⨯⨯=.故答案为：3．26．如图，已知P是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB上一点，2A BB C=u u u v u u u v，则PC PA⋅u u u r u u u r的最小值为_______．【答案】5﹣13【解析】设圆心为O,AB中点为D,由题得22sin2,36AB ACπ=⋅⋅=∴=.取AC中点M，由题得2PA PC PMPC PA AC⎧+=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u u vu u u v u u u v u u u v,两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r，要使PC PA⋅u u u r u u u r取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.此时DM=221113,()3222DM∴=+=,所以PM 有最小值为2﹣13，代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r 的最小值为5﹣213．故答案为：5﹣21327．如图，在边长为2的正三角形ABC 中，D 、E 分别为边BC 、CA 上的动点，且满足CE mBD =（m 为定常数，且(0,1]m ∈），若AD DE ⋅u u u r u u u r 的最大值为34-，则m =________.【答案】12【解析】以BC 中点为坐标原点O ，OC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系，因为正三角形ABC 边长为2，所以(1,0)B -，(1,0)C ，3)A ，则(2,0)BC =u u u r ，(3)CA =-u u u r ，因为D 为边BC 上的动点，所以设BD tBC =u u u r u u u r ，其中01t ≤≤，则(2,0)BD t =u u u r ，所以(21,0)D t -；又CE mBD tmBC ==，所以(3)CE tmCA tm tm ==-u u u r u u u r ，因此(13)E tm tm -，所以(21,3)AD t =-u u u r ，(223)DE tm t tm =--u u u r，故2(21)(22)32(2)2(3)2AD DE t tm t tm m t m t ⋅=----=-++--u u u r u u u r2223332(2)22(2)222424m m m m t t m t m m m ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦223101(2)2424m m m m t m m --+⎛⎫=-+-+ ⎪++⎝⎭，因为(0,1]m ∈，所以31513,2422434m m m -⎡⎫=-+∈⎪⎢++⎣⎭，又01t ≤≤，所以当且仅当324m t m -=+时，AD DE ⋅u u u r u u u r 取得最大值，即21013244m m m -+=-+，整理得221780m m -+=，解得12m =或8m =（舍）故答案为1228．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，则AB 的长为________.23【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B C C A B A B A B +=+==，所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=，又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v =+，所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即22224232c b a ab c ab =++⋅=，解23c =.即AB 的长为23. 故答案为23 29．如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC的中点．若AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r (,R λμ∈)，则λμ的值为_______．43 【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2，则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝2AD ＝2263，过D 作DF⊥轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF ＝26326223=，所以D （233-23）， AC u u u r ＝（2,2），AD u u u r ＝（233-23，AE u u u r ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以，（2,2）＝λ（233-23）+μ（2,1），所以，23223232λμμ⎧-+=⎪⎪+=，解得：3343λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ43 4330．在平面直角坐标系xOy 中，已知()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，且121212x x y y +=-．若C 为圆上的任意一点，则CA CB u u u r u u u r g 的最大值为______．【答案】32 【解析】因为C 为圆2+y 2＝1上一点，设C （si nθ，cosθ），则 ()()1122sin ,cos ,sin ,cos CA x y CB x y θθθθ=--=--u u u r u u u r ，∵()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，∴222211221,1x y x y +=+=，又121212x x y y +=-， ∴()()2212121212CA CB x x y y x x sin y y cos sin cos θθθθ⋅=+-+-+++u u u r u u u r ()()2212121)2x x y y θϕ=++++ 222211*********)2x y x y x x y y θϕ=-++++++ 1sin()2θϕ=-+，其中1212tan y y x x ϕ+=+， ∵sin()θϕ+∈[﹣1，1]，∴当sin()θϕ+＝1时，CA CB ⋅u u u r u u u r 的最大值为32．故答案为：32．。

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真题2008--22．（12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．2009--22．（12分）设函数32()33f x x bx cx =++有两个极值点[][]12211,2.x x x ∈-∈，，0，且（Ⅰ）求b 、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b ，c ）和区域；(Ⅱ)证明：1102-2≤f(x )≤-2010--22 (12分)已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-. （Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .2011--21（12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围。

2012--21（12分）已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+；（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。

2013--22 (12分)已知函数f (x )＝1ln(1+)1x x x x λ(+)-+.(1)若x ≥0时，f (x )≤0，求λ的最小值； (2)设数列{a n }的通项111=1+23n a n +++，证明：a 2n －a n ＋14n＞ln 2.2014--21. (12分)设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+.(Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >.2015--21.( 12分)已知函数()()x x g ax x x f ln ,413-=++=(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()x f y = 的切线；(Ⅱ)用min {},m n 表示n m ,中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论()x h 零点的个数2016--21（12分）已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围；(II)设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.2017--21．（12分）已知函数2()(2)xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．答案2008--22（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-，()()()'ln ,0,1'ln 0f x x x f x x =-∈=->当时，故函数()f x 在区间(0,1)上是增函数；（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i ）当n=1时，101a <<，11ln 0a a <，211111()ln a f a a a a a ==->由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立；（ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤ 那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1101k k a a a +<<<≤得1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==，121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立；根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立. （Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得kk k k a a b a b a ln 1--=-+11ln ki i i a b a a ==--∑ 1，若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥02，若对任意i k ≤都有b a i >，则kk k k a a b a b a ln 1--=-+ 11ln ki i i a b a a ==--∑11ln ki i a b a b ==--∑11()ln ki i a b a b ==--∑b ka b a ln 11--> b ka b a ln 11--≥)(11b a b a --->0=，即1k a b +>成立.分析（I ）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。

大部分考生有思路并能够得分。

()2363f x x bx c '=++由题意知方程()0f x '=有两个根12x x 、1[10],x ∈-且，2[1,2].x ∈则有()10f '-≥，()00f '≤，()()1020f f ''≤≥，故有右图中阴影部分即是满足这些条件的点(),b c 的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。

主要原因是含字母较多，不易找到突破口。

此题主要利用消元的手段，消去目标()32222233f x x bx cx =++中的b ，（如果消 c 会较繁琐）再利用2x 的范围，并借助（I ）中的约束条件得[2,0]c ∈-进而求解，有较强的技巧性。

解：由题意有()22223630f x x bx c '=++=．．．．．．．．．．．．①又()32222233f x x bx cx =++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②消去b 可得()32221322cf x x x =-+．又2[1,2]x ∈，且[2,0]c ∈- 2110()2f x ∴-≤≤-【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查. （Ⅰ）12512222n n n na a a a +--=--=， 112142,42222n n n n n n a b b a a a ++==+=+---即11112214(),1,1332n n b b a b a ++=+===--又故所以2{}3n b +是首项为13-，公比为4的等比数列， 121433n n b -+=-⨯112433n n b -=-⨯-（Ⅱ）12211,1, 2.a a c a a c ==->>由得用数学归纳法证明：当2c >时1n n a a +<. （ⅰ）当1n =时，2111a c a a =->，命题成立；（ⅱ）设当n=k 时，1k k a a +<，则当n=k+1时，21111k k k ka c c a a a +++=->-= 故由（ⅰ）（ⅱ）知，当c>2时1n n a a +<当c>2时，令a =111n n n na a c a a ++<+=得n a a < 当102,33n c a a <≤<≤时当103c >时，3a >，且1n a a ≤< 于是111()()3n n n n a a a a a a a a +-=-≤-11(1)3n na a a +-≤- 当31log 3a n a ->-时，113,3n n a a a a ++-<->因此103c >不符合要求所以c 的取值范围是10(2,]32011--21（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 11x x x++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=。

(i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知，当1x ≠时，'()0h x <。

而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x>-；当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x - h （x ）>0从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k.（ii ）设0<k<1.由于当x ∈（1，k-11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得211x -h （x ）<0,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得211x- h （x ）<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0]2012--21【解析】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f ef x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+令1x =得：(0)1f =1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f ex x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=得：21()()()12x xf x e x xg x f x e x '=-+⇒==-+()10()xg x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔< 得：()f x 的解析式为21()2xf x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=- ()00,()0F x x e F x x e ''>⇔<<<⇔>当x =max ()2e F x =当1,a b ==(1)a b +的最大值为2e2013--22(1)解：由已知f (0)＝0，f ′(x )＝22121x x x λλ(-)-(+)，f ′(0)＝0. 若12λ<，则当0＜x ＜2(1－2λ)时，f ′(x )＞0，所以f (x )＞0. 若12λ≥，则当x ＞0时，f ′(x )＜0，所以当x ＞0时，f (x )＜0.综上，λ的最小值是12.(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x ＞0时，f (x )＜0，即2ln(1)22x x x x(+)>++．取1x k=，则211>ln 21k k k k k ++(+).于是212111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑＝2121211ln 21n n k n k nk k k k k --==++>(+)∑∑＝ln 2n －ln n ＝ln 2. 所以21ln 24n n a a n-+>.2014—21【测量目标】考查导数的应用【考查方式】给出函数及切线方程求参数a ,b;完成证明【试题解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，-1-12()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x'=+-+，由题意可得f (1)＝2，()1f '＝e ，故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝-12ln xx e x e x+，从而f (x )>1等价于-2ln .xx x xe e>-设函数g (x )＝x ln x ，则()g x '＝1＋ln x ，所以当x ∈10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()g x ' <0；当x ∈1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，()g x ' >0.故g (x )在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g 1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－1e .设函数h (x )＝2x xe e--，则()e (1)x h x x '－＝－，所以当x ∈(0，1)时，()0h x '>；当x ∈(1，＋∞)时，()0h x '<.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e. 因为min max 1()(1)()g x g h h x e ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1. 【难易程度】较难题2015--21解：（I ）设曲线y=f(x)与x 轴相切于点000300200(,0)()0,()01043013,24x f x f x x ax x a a ==⎧⎫++=⎪⎪⎨⎬⎪⎪+=⎩⎭=-则即解得x因此，当3x y ()4a f x =-=时，轴为曲线的切线（II ）当{}x (1,)()10,(),()()0,h()(1,)g x nx f x g x g x x ∈+∞=-<≤<+∞时，从而h(x)=min 故在无零点{}55x 1(1)0,(1)min (1),(1)(1)0,x 44a f a h f g g =≥-=+≥====当时，若则故 1是{}5()a ,(1),(1)(1)0,1(4h x f g f x h x<-=<=的零点；若则f(1)<0,h(1)=min 故不是的零点x (0,1)g()10.f x nx ∈=->当时，所以只需考虑(x)在（0,1）的零点个数2i a a f '≤≥（）若-3或0,则（x ）=3x +a 在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调15f (0),(1),f a f 44f a =+≤≥所以当a -3时，(x)在（0,1）有一个零点；当0时(x)在（1,0）没有零点()30,f ()0ii a x -<<若则在（0,1）中()f x f x ==当取得最小值，最小值为30.0,()43f a f ()(0,1)431530,3,(0),(1)4444f a f x x f a f f a a >-<<<-<<-==+<<-①若即在（0,1）无零点；②若即=-则在有唯一零点③若即由于5()f ()(0,1).4f x x ≤时，在（0,1）有两个零点；当-3<a -时，在有一个零点综上，当 3535a a<-()a a h()4444h x x >-=-=-或时，有一个零点；当或时，有两个零点53h().44a x -<<-当时，有三个零点2016--21（I ）'()(2)2(1)(1)(2)x x xf x e x e a x x e a =+-+-=-+①当0a =时，()(2)x f x x e =-，此时函数()f x 只有一个零点，不符合题意舍去；②当0a >时，由'()01f x x >⇒>，由'()01f x x <⇒<，所以()f x 在(,1)-∞上递减，在(1,)+∞上递增， min ()(1)0f x f e ∴==-<，又(2)0f a =>，所以函数()f x 在(1,)+∞上只有一个零点，当x →-∞时，0xe →，此时，()f x →+∞，所以函数()f x 在(,1)-∞上只有一个零点此时函数()f x 有两个零点.③当02e a -<<时，0ln(2)1a <-<，由'()01ln(2)f x x x a >⇒><-或，由'()0ln(2)1f x a x <⇒-<<所以()f x 在(,ln(2))a -∞-和(1,)+∞上递增，在(ln(2),1)a -上递减，()(1)0f x f e ∴==-<极小值，2()(ln(2))(ln(2)2)(2)(ln(2)1)0f x f a a a a a =-=---+--<极大值此时函数()f x 至多一个零点，不符合题意，舍去； ④当2e a =-时，'()(2)2(1)(1)()0x x xf x e x e a x x e e =+-+-=--≥恒成立，此时函数()f x 至多一个零点，不符合题意，舍去⑤当2e a <-时，ln(2)1a ->，由'()01ln(2)f x x x a >⇒<>-或，由'()01ln(2)f x x a <⇒<<-所以()f x 在(,1)-∞和(ln(2),)a -+∞上递增，()f x 在(1,ln(2))a -上递减，()(1)0f x f e ∴==-<极大值，因为()f x 在(1,ln(2))a -上递减，所以()=(ln(2))0f x f a -<极小值此时函数()f x 至多一个零点，不符合题意，舍去.综上可知(0,)a ∈+∞.(II)由(I)若x 1，x 2是()f x 的两个零点，则0a >，不妨令12x x <，则121x x <<要证122x x +<，只要证122x x <-，21x >，221x ∴-<，当0a >时，()f x 在(,1)-∞上递减，且1()0f x =，(1)0f <所以，只要证2(2)0f x -<，222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，又22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=222222(2)(2)x x f x x e x e -∴-=---令2(2),(1)x x y xex e x -=---> 22'22(2)(1)x x x x x x e e y exe e x e x e ---=-+---=-， . 221,10,x x x e e >∴-><，'0y ∴<2(2)x x y xe x e -∴=---在(1,)+∞上递减，当1x =时，0y =1,0x y ><，即2(2)0f x -<成立，122x x ∴+<成立.【试题评析】本题以导数为背景，综合考察函数的零点、单调性、极值最值等知识点和分类讨论、数形结合等数学思想方法，是具有鲜明特色的全国卷压轴题，重点知识重点考察，不回避热点，第二问需要构造函数结合第一问结论加以解决，属于必考题型，难度较大.2017--21（1）由于()()2e 2e x x f x a a x =+--故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+①当0a ≤时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立．()f x 在R 上单调递减②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．综上，当0a ≤时，在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在R 上单调减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件．当0a >时，()min 1ln 1ln f f a a a =-=-+．令()()11ln 0g a a a a =-+>，则()211'0g a a a=+>．从而()g a 在()0+∞，上单调增，而()10g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当1a >时()0g a =若1a >，则()min 11ln 0f a g a a =-+=>，故()0f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满足条件．若1a =，则min 11ln 0f a a=-+=，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件．若01a <<，则min 11ln 0f a a=-+<，注意到ln 0a ->．()()02210f a a a =+-=-<．故()f x 在()0ln a -，上有一个实根，而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫->=- ⎪⎝⎭．且33ln 1ln 133ln(1)e e 2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()3333132ln 11ln 10a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故()f x 在3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有一个实根．又()f x 在()ln a -∞-，上单调减，在()ln a -+∞，单调增，故()f x 在R 上至多两个实根．又()f x 在()0ln a -，及3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上均至少有一个实数根，故()f x 在R 上恰有两个实根．综上，01a <<．。