十年真题_综合题_全国理科高考数学
真题
2008--22．（12分）
（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；
（Ⅲ）设1(1)b a ∈，
，整数11ln a b k a b
-≥．证明：1k a b +>．
2009--22．（12分）
设函数3
2
()33f x x b x c x =++有两个极值点[][]12211,2.x x x ∈-∈，，0，且 （Ⅰ）求b 、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b ，c ）和区域；
(Ⅱ)证明：1102
-2≤f (x )≤-
2010--22 (12分)
已知数列{}n a 中，1111,n n
a a c a +==-
.
（Ⅰ）设51,2
2
n n c b a =
=
-，求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .
2011--21（12分）
已知函数
ln ()1
a x
b f x x x
=
++，曲线
()
y f x =在点
(1,(1)f
处的切线方程为
230
x y +-=。
（Ⅰ）求a 、b 的值； （Ⅱ）如果当0
x
>，且1x ≠时，ln ()1
x k f x x x
>
+
-，求k 的取值范围。
2012--21（12分）
已知函数()f x 满足1
2
1()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+
；
（1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若2
1()2
f x x a x b ≥++，求(1)a b +的最大值。
2013--22 (12分)
已知函数f (x )＝1ln (1+)1x x x x λ(+)-
+.
(1)若x ≥0时，f (x )≤0，求λ的最小值； (2)设数列{a n }的通项111=1+2
3
n a n
+
+
+，证明：a 2n －a n ＋
14n
＞ln 2.
2014--21. (12分)
设函数1
(0ln x x
b e
f x a e x x
-=+
，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+.
(Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.
2015--21.( 12分)
已知函数
()()x
x g ax x
x f ln ,4
13
-=+
+=
(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()
x f y
= 的切线；
(Ⅱ)用m in {},m n 表示n m ,中的最小值，设函数
}{()m in (),()
(0)
h x f x g x x
=
> ，讨论()x h 零
点的个数
2016--21（12分）
已知函数2
()(2)(1)x
f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围；
(II)设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.
2017--21．（12分）
已知函数2()(2)x
x
f x a e
a e x =+--．
（1）讨论()
f x 的单调性；
（2）若
()
f x 有两个零点，求a 的取值范围．
答案
2008--22
（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-，()()()'ln ,0,1'ln 0f x x x f x x =-∈=->当时， 故函数()f x 在区间(0,1)上是增函数；
（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i ）当n=1时，101a <<，11ln 0a a <，
211111()ln a f a a a a a ==->
由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立； （ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101
k k a a a +<<<≤
那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1
101
k k a a a +<<<≤得
1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==，
121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立；
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立. （Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得
k
k k k a a b a b a ln 1--=-+11
ln k
i i i a b a a ==--∑
1， 若存在某i k ≤满足i
a b
≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥
2， 若对任意i k ≤都有b a i >，则k
k k k a a b a b a ln 1--=-+ 11
ln k
i i i a b a a ==--
∑
11
ln k
i i a b a b ==--
∑
11
()ln k
i i a b a b ==--∑b ka b a ln 1
1--> b ka b a ln 11--≥)(1
1b a b a --->0=，即1k a b +>成立.
分析（I ）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。
大部分考生有思路并能够得分。
()2
363f x x b x c '=++由题意知方程()0f x '=有两个根12x x 、
1[10],
x ∈-且，
2[1,2].x ∈则有()10f '-≥，
()00f '≤，()()1020f f ''≤≥，故有
右图中阴影部分即是满足这些条件的点(),b c 的区域。
(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标()3
2
222233f x x b x cx =++中的b ，（如果消 c 会较繁琐）再利用2x 的范围，并借助（I ）中的约束条件得[2,0]c ∈-进而求解，有较强的技巧性。
解： 由题意有()2
2223630f x x b x c '=++=．．．．．．．．．．．．①
又()32
222233f x x b x cx =++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
消去b 可得()3
2221322
c f x x x =-
+
．
又2[1,2]x ∈，且[2,0]c ∈- 2110()2
f x ∴-≤≤-
【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查. （Ⅰ）12512222n n n
n
a a a a +--=
--=
，
112142,422
2
2
n n n n n n a b b a a a ++=
=
+=+---即
11112214(),1,13
3
2
n n b b a b a ++=+
==
=--又故
所以2{}3
n b +
是首项为13
-，公比为4的等比数列，
1
214
33
n n b -+
=-? 1
124
3
3
n n b -=-
?-
（Ⅱ）12211,1, 2.a a c a a c ==->>由得
用数学归纳法证明：当2c >时1n n a a +<. （ⅰ）当1n =时，211
1a c a a =-
>，命题成立；
（ⅱ）设当n=k 时，1k k a a +<，则当n=k+1时，
211
11k k k k
a c c a a a +++=-
>-
=
故由（ⅰ）（ⅱ）知，当c>2时1n n a a +<
当c>2
时，令2
c a +
=
，由111n n n
n
a a c a a ++
<+
=得n a a <
当102,33
n c a a <≤<≤时
当103
c >
时，3a >，且1n a a ≤<
于是111()()3
n n n n a a a a a a a a
+-=
-≤
-
11(1)3
n n
a a a +-≤
-
当31lo g 3
a n a ->-时，113,3n n a a a a ++-<->
因此103
c >
不符合要求
所以c 的取值范围是10(2,
]3
2011--21
（Ⅰ）
2
2
1(
ln )
'()(1)
x x b x
f x x x
α+-=
-
+
由于直线230x y +-=的斜率为1
2-，且过点(1,1)，故(1)1,1
'(1),2
f f =??
?=-??即
1,
1
,22
b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 11
x x x
+
+，所以
2
2
ln 1(1)(1)
()(
)(2ln )
1
1x k k x f x x x x
x
x
---+=
+
--。
考虑函数()
2ln h x x =+
2
(1)(1)
k x x
--(0)
x >，则2
2
(1)(1)2'()
k x x
h x x
-++=
。
(i)设0
k ≤，由2
2
2
(1)(1)
'()
k x x h x x
+--=
知，当1x ≠时，'()0h x <。而(1)
h =，
故
当(0,1)x ∈时，()
h x >，可得
2
1()0
1h x x
>-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得2
11x
- h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1
ln -x x +
x
k ）>0，即f （x ）>
1
ln -x x +
x
k .
（ii ）设0 k -11 ）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故h ’ （x ）>0, 而h （1）=0，故当x ∈（1， k -11）时，h （x ）>0，可得 2 11x -h （x ）<0,与题设 矛盾。 （iii ）设k ≥1.此时h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得 2 11x - h （x ）<0,与题设矛盾。 综合得，k 的取值范围为（-∞，0] 2012--21 【解析】（1）1 21 1()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+ ?=-+ 令1x =得：(0)1f = 1 21 1()(1)(0)(1)1(1)2 x f x f e x x f f e f e --'''=-+ ?==?= 得：2 1()()()12 x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+ ()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为2 1()2 x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）2 1()()(1)02 x f x x a x b h x e a x b ≥ ++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾 ②当10a +>时，()0ln (1),()0ln (1)h x x a h x x a ''>?>+ 2 (1)(1)(1)ln (1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令2 2()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=- ()00()0F x x F x x ''>?<< 当x =m a x ()2 e F x = 当1,a b == (1)a b +的最大值为2 e 2013--22 (1)解：由已知f (0)＝0，f ′(x )＝ 2 2 121x x x λλ(-)-(+) ，f ′(0)＝0. 若12λ<，则当0＜x ＜2(1－2λ)时，f ′(x )＞0，所以f (x )＞0. 若12 λ≥ ，则当x ＞0时，f ′(x )＜0，所以当x ＞0时，f (x )＜0. 综上，λ的最小值是12 . (2)证明：令12 λ=.由(1)知，当x ＞0时，f (x )＜0， 即 2ln (1)22x x x x (+)>++． 取1x k = ，则 211>ln 21k k k k k ++(+) . 于是21 2111 422(1)n n n k n a a n k k -=??-+ = +??+??∑ ＝21 21 211ln 21n n k n k n k k k k k --==++> (+) ∑ ∑ ＝ln 2n －ln n ＝ln 2. 所以21ln 24n n a a n -+>. 2014—21 【测量目标】考查导数的应用 【考查方式】给出函数及切线方程求参数a ,b;完成证明 【试题解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，-1 -1 2 ()ln x x x x a b b f x a e x e e e x x x '=+ - + ，由题意可得f (1)＝2，()1f '＝e ，故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝ -1 2ln x x e x e x + ， 从而f (x )>1等价于-2ln .x x x x e e >- 设函数g (x )＝x ln x ，则()g x '＝1＋ln x ，所以当x ∈ 10,e ?? ???时，()g x ' <0；当x ∈1,e ??+∞ ???时，()g x ' >0.故g (x )在10,e ?? ?? ?上单调递减，在1,e ??+∞ ???上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g 1e ?? ??? ＝－1e .设函数h (x )＝2x x e e -- ，则()e (1)x h x x '－＝－，所以当x ∈(0，1)时，()0h x '>；当x ∈(1，＋∞)时， ()0h x '<.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的 最大值为h (1)＝－ 1e . 因为m in m a x 1()(1)()g x g h h x e ?? === ??? ，所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1. 【难易程度】较难题 2015--21 解： （I ）设曲线y=f(x)与x 轴相切于点 000300 200 (,0)()0,()01043013,24 x f x f x x a x x a a ==?? ++=???? ??+=??=- 则即解得x 因此，当3x y ()4 a f x =- =时，轴为曲线的切线 （II ）当 {}x (1,)()10,(),()()0,h ()(1,)g x n x f x g x g x x ∈+∞=-<≤<+∞时，从而h (x )=m i n 故在无零点 {}55x 1(1)0,(1)m in (1),(1)(1)0,x 4 4 a f a h f g g =≥-=+ ≥==== 当时，若则故 1 是 {}5()a ,(1),(1)(1)0,1(4 h x f g f x h x <- =<=的零点；若则f (1)<0,h (1)=m i n 故不是的零点x (0,1)g ()10.f x n x ∈=->当时，所以只需考虑(x )在（0,1）的零点个数 2 i a a f '≤≥（）若-3或0,则（x ）=3x +a 在（1,0）无零点，故f (x )在（0,1）单调 15f (0),(1),f a f 4 4 f a = + ≤≥所以当a -3时，(x )在（0,1）有一个零点；当0时(x )在（1,0）没有零 点 ()30,f ()0ii a x -<<若则在（单调递减，在（单调递增，故在（0,1）中 ()f x f x = = 当，取得最小值，最小值为 30.0,()4 3f a f ()(0,1)4 31530,3,(0),(1)4 4 4 4 f a f x x f a f f a a >- <<<-<<-==+<<- ①若即在（0,1）无零点；②若=0,即=-则在有唯一零点 ③若即由于 5()f ()(0,1). 4f x x ≤时，在（0,1）有两个零点；当-3 综上，当 3535a a <- ()a a h ()4 44 4 h x x >-=-=- 或时，有一个零点；当或时，有两个零点 53h (). 4 4 a x - <<- 当时，有三个零点 2016--21 （I ）' ()(2)2(1)(1)(2)x x x f x e x e a x x e a =+-+-=-+ ①当0a =时，()(2)x f x x e =-，此时函数()f x 只有一个零点，不符合题意舍去； ②当0a >时，由' ()01f x x >?>，由' ()01f x x m in ()(1)0f x f e ∴==-<，又(2)0f a =>，所以函数()f x 在(1,)+∞上只有一个零点， 当x →-∞时，0x e →，此时，() f x →+∞，所以函数()f x 在(,1)-∞上只有一个零点 此时函数()f x 有两个零点. ③当02 e a -<<时，0l n (2)a <-<，由 ' ()01l n (2) f x x x a > ?>< -或，由' ()0l n (2)1 f x a x < ?-<< 所以()f x 在(,ln (2))a -∞-和(1,)+∞上递增，在(ln (2),1)a -上递减， ()(1)0 f x f e ∴==-<极小值， 2 ()(ln(2))(ln(2)2)(2)(ln(2)1)0f x f a a a a a =-=---+--<极大值 此时函数()f x 至多一个零点，不符合题意，舍去； ④当2 e a =-时，'()(2)2(1)(1)()0x x x f x e x e a x x e e =+-+-=--≥恒成立，此时函数 ()f x 至多一个零点，不符合题意，舍去 ⑤当2 e a <- 时，l n (2a ->，由 ' ( )01l n (2) f x x x a >?<>-或， 由' ( )01l n ( 2) f x x a - 所以()f x 在(,1)-∞和(ln (2),)a -+∞上递增，()f x 在(1,ln (2))a -上递减， ()(1)0f x f e ∴==-<极大值，因为 () f x 在(1,ln (2))a -上递减，所以 ( )=(l n (f x f a -<极小值 此时函数()f x 至多一个零点，不符合题意，舍去. 综上可知(0,)a ∈+∞. (II)由(I)若x 1，x 2是()f x 的两个零点，则0a >，不妨令12x x <，则121x x << 要证122x x +<，只要证122x x <-，21x >，221x ∴-<，当0a >时，()f x 在(,1)-∞上递减， 且1()0f x =，(1)0f <所以，只要证2(2)0f x -<， 2 22 222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，又2 2 222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-= 2 2 2222(2)(2)x x f x x e x e -∴-=--- 令2(2),(1)x x y x e x e x -=---> 22'22(2)(1) x x x x x x e e y e x e e x e x e ---=-+---=-， . 221,10,x x x e e >∴-><，' 0y ∴< 2(2)x x y x e x e -∴=---在(1,)+∞上递减，当1x =时，0y = 1,0x y ><，即2(2)0f x -<成立， 122x x ∴+<成立. 【试题评析】本题以导数为背景，综合考察函数的零点、单调性、极值最值等知识点和分类讨论、数形结合等数学思想方法，是具有鲜明特色的全国卷压轴题，重点知识重点考察，不回避热点，第二问需要构造函数结合第一问结论加以解决，属于必考题型，难度较大. 2017--21 （1）由于() ()2e 2e x x f x a a x =+-- 故 ()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+ ①当0 a ≤时，e 10 x a -<，2e 10 x +>．从而()0 f x '<恒成立． ()f x 在R 上单调递减 ② 当0 a >时，令 ()0 f x '=，从而e 10 x a -=，得ln x a =-． 综上，当0 a ≤() f x R 当0 a >时， () f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增 （2）由（1）知， 当0a ≤时，() f x 在R 上单调减，故() f x 在R 上至多一个零点，不满足条件． 当0 a >时， ()m in 1ln 1ln f f a a a =-=- +． 令()() 11ln 0g a a a a =- +>，则()2 11'0 g a a a = + >．从而()g a 在()0+ ∞ ，上单调增，而 ()10 g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当1a >时()0g a = 若1a >，则()m in 11ln 0 f a g a a =- +=>，故() f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满 足条件． 若1a =，则mi n 11ln 0f a a =- +=，故() f x =仅有一个实根ln 0 x a =-=，不满足条件． 若0 1a <<，则m in 11ln 0 f a a =- +<，注意到ln 0 a ->．()()02210 f a a a =+-=-<． 故()f x 在() 0ln a - ，上有一个实根，而又3 1ln 1ln ln a a a ?? ->=- ??? ． 且 3 3ln 1ln 133ln (1)e e 2ln 1a a f a a a a ?? ?? -- ? ? ? ? ?? ??????-=?+--- ? ? ? ??? ???? ()3333132ln 11ln 10a a a a a a ???????? =-?-+---=---> ? ? ? ????????? ． 故()f x 在3 ln ln 1a a ?? ??-- ? ???? ? ，上有一个实根． 又()f x 在()ln a -∞-，上单调减，在()ln a -+ ∞ ，单调增，故()f x 在R 上至多两个实 根． 又()f x 在() 0ln a -，及3 ln ln 1a a ?? ??-- ? ???? ? ，上均至少有一个实数根，故()f x 在R 上恰有 两个实根． 综上，01a <<． 绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入 高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值. 6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值 2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2016?新课标Ⅰ）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3） 2．（5分）（2016?新课标Ⅰ）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（） A．1 B．C．D．2 3．（5分）（2016?新课标Ⅰ）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97 4．（5分）（2016?新课标Ⅰ）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（） 《 A．B．C．D． 5．（5分）（2016?新课标Ⅰ）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距 离为4，则n的取值范围是（） A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，） 6．（5分）（2016?新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（） A．17πB．18πC．20πD．28π 7．（5分）（2016?新课标Ⅰ）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（） A．B．C． D． 8．（5分）（2016?新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（） A．a c＜b c B．ab c＜ba c : C．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c 9．（5分）（2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（） A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 10．（5分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（） 2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 平面向量专题 （附详细答案解析） 一、选择题。 1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a ，b 满足 a =2 b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角 为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 【答案】B ． 【解析】因为()-⊥a b b ， 所以()22cos ,0-??-=?<>-=a b b =a b b a b a b b ， 所以2 2 cos ,2<>===?b b a b a b b 又因为0,]π[<>∈，a b ，所以π,3<>= a b ．故选B ． 2.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |= A B ．2 C ． D ．50 【答案】A ． 【解析】因为(2,3)=a ，(3,2)=b ，所以-(1,1)=-a b ， 所以-==a b A. 3.（2018全国卷Ⅰ）在?ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344 AB AC + 【答案】A. 【解析】法一、通解 如图所示， CB AD DB ED EB 2121+= += ()()AC AB AC AB -++?=212121 3144 =-AB AC ．故选A ． C B 法二、优解 111()222=-=- =-?+EB AB AE AB AD AB AB AC 3144 =-AB AC ．故选A ． 4.（2018全国卷Ⅱ）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】B. 【解析】2 (2)22(1)3?-=-?=--=a a b a a b ，故选B ． 5.（2018天津）在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =， 120MON ∠=，2BM MA =， 2C N N A =，则· BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0 【答案】C. 【解析】由2BM MA =，可知||2||BM MA =，∴||3|| BA MA =． 由2CN NA =，可知||2||CN NA =，∴||3|| CA NA =，故||||3||||BA CA MA NA ==， 连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =， ∴33()BC MN ON OM ==-， ∴2 3()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ?=-?=?- 23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-．故选C ． 6.（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2 430-?+= b e b ，则||-a b 的最小值是 A 1 B 1 C ．2 D ．2 【答案】A. 【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA =a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ， 由2430-?+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=， 所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆． N M O C B A 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3!11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（全国II 卷） 一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．1212i i +=-（）（A ）4355i --（B ）4355i -+（C ）3455i --（D ）3455 i -+ 2．已知集合(){}22,|3,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（） （A ）9 （B ）8 （C ）5（D ）4 3．函数()2x x e e f x x --=的图像大致为（） 4．已知向量,a b 满足||1a =，1a b ?=-，则() 2a a b ?-=（） （A ）4（B ）3（C ）2（D ）0 5．双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程为（） （A ）2y x =±（B ）3y x =±（C ）22y x =±（D ）32 y x =± 6．在ABC ?中，5cos 25 C =，1BC =，5AC =，则AB =（） （A ）42（B ）30（C ）29（ D ）25 7．为计算11111123499100 S =-+-++-，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（） （A ）1i i =+ （B ）2i i =+ （C ）3i i =+ （D ）4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+。在不超过 30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）（A ）112（B ）114 （C ）115（D ）118 一．选填题（每题5分） 1. （2017年，第6题）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） 2. （2017年，第16题）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 3. （2016年，第7题）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 3 28π ，则它的表面积是 （ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 4.（2016年，第11题）平面过正文体ABCD —A1B1C1D1的顶点A,，，则m ，n 所成角的正弦值为 （ ） （A ）（B ）（C ）（D ） 5.（2015年，第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 斛 斛 斛 斛 6.（2015年，第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r = （A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 7.（2014年，第8题）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题03函数 1.(2019?天津?理T8)已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1, x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立, 则a 的取值范围为( ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 【答案】C 【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2 -2a 2 +2a ≥0.a 2 -2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-a x = x -a x >0 此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a ≤1. (2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立. 此时f'(x)= x -a x ,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增. 需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e,可知11. 若关于x 的方程f(x)=-1 4x+a(a ∈R)恰有两个互异的实 数解,则a 的取值范围为( ) A.54,9 4 B. 54,94 C. 54,9 4 ∪{1} D.54, 94 ∪{1} 【答案】D 【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=5 4. 当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=9 4. 故当54≤a≤9 4时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x 0)=-1x 0 2=-1 4,x 0=2. 此时切点为2,1 2,此时a=1.故选D. 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A. {|0}A B x x =< B. A B =R C. {|1}A B x x => D. A B =? 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. 14 B. π8 C. 12 D. π4 3.设有下面四个命题 1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A.13,p p B.14,p p C.23,p p D.24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 8.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别 填入 2007-2017高考全国卷线性归划问题总结 2011年： （13）若变量,x y 满足约束条件329,69, x y x y ≤+≤?? ≤-≤?则2z x y =+的最小值为 . 2012年： (14) 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥??-≥-??+≤? ；则2z x y =-的取值范围为_________. 2013年： 9．已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥??+≤??≥-? ，若2z x y =+的最小值为1，则a = （A ）14 （B ） 12 （C ）1 （D ）2 2014年： 9.不等式组124 x y x y +≥??-≤?的解集记为D .有下面四个命题： 1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-. 其中真命题是 A .2p ，3P B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3P 2015年： （15）若x ,y 满足约束条件10040x x y x y -≥??-≤??+-≤?，则y x 的最大值为 . 2016年： （16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I) 理科数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B 2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )． A．－4 B． 4 5 - C．4 D． 4 5 3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0)的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A ． 500π3cm 3 B ．866π3 cm 3 C ． 1372π3cm 3 D ．2048π3 cm 3 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． 2010年高考试题数学试题（文史类）-福建卷 第I卷（选择题共60分） 1.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于 A {x | 2＜x≤3} B {x | x≥1} C {x | 2≤x＜3} D {x | x＞2} 2.计算1－2sin222.5°的结果等于 A.1/2 B. /2 C/3 D/2 3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积 ．．．等于 A. B.2 C.2 D.6 4.i是虚数单位，（（1+i）/(1-i)）4等于 A.i B.-i C.1 D.-1 5.若x，y∈R，且，则z=x+2y的最小值等于 A.2 B.3 C.5 D.9 6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数f（x）= 的零点个数为 A.2 B.2 C.1 D.0 8.若向量a=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“| a |=5”的 A.充分而不必要 B.必要而不充分 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 A.91.5和91.5 B.91.5和92 C 91和91.5 D.92和92 10.将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图像向左平移π/2个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能 ．．．等于 A.4 B.6 C.8 D.12 11.若点O和点F分别为椭圆x2/4 +y2/3 =1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 12.设非空集合S=={x | m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m=－1/2 ，则1/4 ≤ l ≤ 1；③l=1/2，则－/2≤m≤0 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡的相应位置. 13.若双曲线x2 / 4－y2 / b2=1 (b＞0) 的渐近线方程为y=±1/2 x ，则b等于. 14.将容量为n的样本中的数据分成6组. 绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频率之和等于27，则n等于. 15. 对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包涵Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）. 16.观察下列等式： ①cos2α=2 cos2α－1； ②cos 4α=8 cos4α－8 cos2α+1； ③cos 6α=32 cos6 α－48 cos4α＋18 cos2α－1； ④cos 8α= 128 cos8α－256cos6 α＋160 cos4α－32 cos2α＋1； 数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________ 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷) 理科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则（ ） A ．0 B ． C ． D ． 2．已知集合，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 此卷 只装 订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和．若，，则（）A．B．C．D．12 5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（） A．B．C．D． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则（） A．B． C．D． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为， 则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（） A．B．C．D．2 8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（） A．B．C．D． 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ， 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题，本题共12小题，每小题 5 份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1i 1. 设z 2i ，则z 1i 1 A.0 B. C.1 D. 2 2 2. 已知集合A x |x2 x 2 0 ，则C R A A. x | 1 x 2 B. x|1x2 C. x|x 1 x|x2 D. x|x 1 x| x 2 3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一杯，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.记S n为等差数列a n 的前n项和，若3S3 S2 S4，a1 2，则a5 A.-12 B.-10 C.10 D.12 5.设函数f x x3 a 1 x2 ax ，若f x 为奇函数，则曲线y f x 在点0,0 处的切 绝密★启用 前 则下面结论中不正确的 是 线方程为 10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆 的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边 AB,AC ， ABC 的三边所围成的区域 记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。 在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分 别记为 p 1, p 2, p 3 ，则 A. y 2x B.y x C.y 2x D. y x 6.在 ABC 中， AD 为BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB 3 1 1 3 A. AB AC B. AB AC 4 4 4 4 3 1 1 3 C. AB AC D. AB AC 4 4 4 4 7.某圆柱的高为 2，地面周长为 16，其三视图如右图，圆柱表面 上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视 图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到N 的路径中， 最短路径的长度为 A.2 17 B.2 5 C.3 D.2 则 FM FN A.5 B.6 C.7 9.已知函数 f e x ,x 0 x ,g x ln x,x 0 fx 围是 A. 1,0 B. 0, 2 2,0 且斜率为 的直线与 C 交于 M ,N 两点， 3 D.8 x a ，若 g x 存在 2 个零点，则 a 的取值范 C. 1, D. 1, 8.设抛物线 C: y 2 4 x 的焦点为 F ，过点 导数 一．基础题组 1. 【2010新课标，理3】曲线y ＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 【答案】A 2. 【2008全国1，理6】若函数的图像与函数的图像关于直线 对称，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B. 【解析】由. 3. 【2012全国，理21】已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)x ＋ x 2 ． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值． 【解析】(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)＋x . 所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1 ，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x －x ＋ x 2 . 2 x + x (1)y f x = -1y =y x =()f x =21 x e -2x e 21 x e +22 x e +() ()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=?=-==12 12 12 由于f ′(x )＝e x －1＋x ， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x －(a ＋1)x ≥b .① (ⅰ)若a ＋1＜0，则对任意常数b ，当x ＜0，且时，可得e x －(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立． (ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0. 所以f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．② 因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)， 则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))． 所以h (a )在(－1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 故h (a )在处取得最大值． 从而，即(a ＋1)b ≤. 当，时，②式成立， 11 b x a -< +12 12 e 1-12 e 1-12 =e 1a -e ()2h a ≤ e 2 1 2 =e 1a -12 e 2 b = 十年真题 _解析几何 _全国高考理科数学 真题 2008-21 ．（12 分） 双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1 uuur uuur uuur uuur uuur 的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、 、 成等差数列，且 BF 与 FA 同向． AB OB （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程． 2009-21 ．（12 分） 如图，已知抛物线 E : y 2 x 与圆 M : ( x 4)2 y 2 r 2 (r ＞ 0）相交于 A 、B 、C 、D 四个 点。 （I ）求 r 的取值范围： (II)当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 A 、 B 、 C 、 D 的交点 p 的坐标。 2010-21 (12 分 ) 已知抛物线 C : y 2 4x 的焦点为 F ，过点 K ( 1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点， 点 A 关于 x 轴的对称点为 D . （Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上； uuur uuur 8 （Ⅱ）设 FAgFB BDK 的内切圆 M 的方程 . ，求 9 1 / 13 2011-20 （12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满 足 MB//OA ， MA?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。 （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。 2012-20 （12 分） 设抛物线 C : x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准 线为 l ， A C ， 已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点； （1）若 BFD 90 0 ， ABD 的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程； （2）若 A, B, F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点， 求坐标原点到 m, n 距离的比值。 2013-21 (12 分 ) 2 2 已知双曲线 C ： x 2 y 2 =1 (a ＞ 0， b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，离心率为 3，直线 y a b ＝2 与 C 的两个交点间的距离为6 . (1)求 a ， b ； (2)设过 F 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A ， B 两点，且 | AF | ＝| BF | ，证明： | AF | ， 2 1 1 2 | AB| ， | BF 2| 成等比数列． 2014-20 已知点 A(0，－ 2)，椭圆 E ： x 2 2 3 ， F 是椭圆 E 的右焦点， 2 y 2 =1 (a>b>0) 的离心率为 a b 2 直线 AF 的斜率为 2 3 ， O 为坐标原点 . 3 2 / 13全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)
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