2022年全国高考数学(新高考1卷)真题及答案解析

(1)若C=2π，求B;3(2)求a2+b2的最小值．c219.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2√2．(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A−BD−C的正弦值．20.一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：对于选项 B : 因为直线 BC 1⊥ 平面 CDA 1B 1 ，且 CA 1⊂ 平面 CDA 1B 1 ，所以直线 BC 1⊥CA 1 ，故 B 正确 ;对于选项 C : 连接 A 1C 1 与 B 1D 1 交于点 O 1 ，则 ∠O 1BC 1 即为直线 BC 1 与平面 BB 1D 1D 所成的角， sin∠O 1BC 1=O 1C 1BC 1=12，所以 ∠O 1BC 1=30∘ ，故 C 错误 ; 对于选项 D : 直线 BC 1 与平面 ABCD 所成的角即为 ∠C 1BC =45∘ ，所以 D 正确．10.【答案】AC【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题． 【解答】解： f(x)=x 3−x +1⇒f′(x)=3x 2−1 ，令 f′(x)=0 得： x =±√33 ，f′(x)>0⇒x <−√33或 x >√33； f′(x)<0⇒−√33<x <√33， 所以 f(x) 在 (−∞,−√33) 上单调递增，在 (−√33,√33) 上单调递减，在 (√33,+∞) 上单调递增，所以 f(x) 有两个极值点 (x =−√33为极大值点， x =√33为极小值点 ) ，故 A 正确;又 f(−√33)=−√39−(−√33)+1=1+2√39>0 ， f(√33)=√39−√33+1=1−2√39>0 ，所以 f(x) 仅有 1 个零点 ( 如图所示 ) ，故 B 错 ;又 f(−x)=−x 3+x +1⇒f(−x)+f(x)=2 ，所以 f(x) 关于 (0,1) 对称，故 C 正确 ;对于 D 选项，设切点 P(x 0,y 0) ，在 P 处的切线为 y −(x 03−x 0+1)=(3x 02−1)(x −x 0) ，即 y =(3x 02−1)x −2x 03+1 ，若 y =2x 是其切线，则 {3x 02−1=2−2x 03+1=0，方程组无解，所以 D 错． 11.【答案】BCD【解析】 【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系，属较难题． 【解答】解：点 A(1,1) 在抛物线 C:x 2=2py(p >0) 上，即 1=2p ⇒C:x 2=y ，所以准线为 y =−14 ，所以 A 错 ;直线 AB:y =2x −1 代入 x 2=y 得： x 2−2x +1=0⇒(x −1)2=0⇒x =0 ，所以 AB 与 C 相切，故 B 正确．由题知直线 PQ 的斜率一定存在，则可设直线 PQ:y =kx −1 ， P(x 1,y 1) ， Q(x 2,y 2) ，则 {y =kx −1y =x 2⇒x 2−kx +1=0 ， Δ=k 2−4>0⇒k <−2 或 k >2 ，此时 {x 1+x 2=k x 1x 2=1,{y 1+y 2=x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=k 2−2y 1y 2=x 12x 22=1, |OP|⋅|OQ|=√(x 12+y 12)(x 22+y 22)=√(y 1+y 12)(y 2+y 22)=√(y 1y 2)2+(y 1y 2)(y 1+y 2)+y 1y 2=√2+(k 2−2)=√k 2>2=|OA |2 ，故 C 正确 ; |BP|⋅|BQ|=√1+k 2|x 1−0|√1+k 2|x 2−0|=(1+k 2)|x 1x 2|=(1+k 2)>5=|BA|2 ，故 D 正确．12.【答案】BC【解析】 【分析】本题主要考查导函数与原函数的关系，函数的对称性及奇偶性，属于难题． 【解答】解：由f(32−2x)为偶函数可知f(x)关于直线x =32对称， 由g(2+x)为偶函数可知g(x)关于直线x =2对称，结合g(x)=f′(x)，根据g(x)关于直线x =2对称可知f(x)关于点(2,t)对称， 根据f(x)关于直线x =32对称可知：g(x)关于点(32,0)对称，综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有f(0)=f(2)=t ，所以A 不正确;f(−1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(−1)=f(4)，所以C 正确． g(−12)=g(32)=0，g(−1)=g(1)，所以B 正确;又g(1)+g(2)=0，所以g(−1)+g(2)=0，所以D 不正确．13.【答案】−28【解析】 【分析】本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题． 【解答】解：因为 (x +y)8 展开式的通项 T r+1=C 8r x 8−r y r，令 r =5 ，则 x 3y 5 的系数为 C 85=56 ；令 r =6 ，则 x 2y 6 的系数为 C 86=28 ， 所以 x 2y 6 的系数为 −56+28=−28 ．14.【答案】x +1=0 7x −24y −25=0 3x +4y −5=0(填一条即可)【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、 点到直线的距离 等知识，属较难题． 【解答】解：方法 1: 显然直线的斜率不为 0 ，不妨设直线方程为 x +by +c =0 ，于是|c|√1+b2=1 ， |3+4b+c|√1+b 2=4 ．故 c 2=1+b 2 ① ， |3+4b +c|=|4c|. 于是 3+4b +c =4c 或 3+4b +c =−4c ，再结合 ① 解得 {b =0c =1 或 {b =−247c =−257或 {b =43c =−53，所以直线方程有三条，分别为 x +1=0 ， 7x −24y −25=0 ， 3x +4y −5=0 ． ( 填一条即可 )方法 2: 设圆 x 2+y 2=1 的圆心 O(0,0) ，半径为 r 1=1 ，圆 (x −3)2+(y −4)2=16 的圆心 C(3,4) ，半径 r 2=4 ，则 |OC|=5=r 1+r 2 ，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 x +1=0 符合题意；又由方程 (x −3)2+(y −4)2=16 和 x 2+y 2=1 相减可得方程 3x +4y −5=0 ，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线 OC 的方程为 4x −3y =0 ，直线 OC 与直线 x +1=0 的交点为 (−1,−43) ，设过该点的直线为 y +43=k(x +1)，则|k−43|√k2+1=1，解得k=724，从而该切线的方程为7x−24y−25=0.(填一条即可) 15.【答案】(−∞,−4)∪(0,+∞)【解析】【分析】本题主要考查过曲线外一点的切线问题，属于中档题．【解答】解：y′=(x+a+1)e x，设切点为(x0,y0)，故y0x0=(x0+a+1)e x0，即(x0+a)e x0x0=(x0+a+1)e x0.由题意可得，方程x+a=x(x+a+1)在(−∞,0)∪(0,+∞)上有两个不相等的实数根.化简得，x2+ax−a=0，△=a2+4a>0，解得a<−4或a>0，显然此时0不是根，故满足题意．16.【答案】13【解析】【分析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题．【解答】解：由椭圆离心率为12，可得a=2c，则b=√a2−c2=√3c，则C：x24c2+y23c2=1，A(0,√3c)，F1(−c,0)，F2(c,0)，易得l AF2：y=−√3x+√3c，l ED：y=√33(x+c)，可解得AF2与DE的交点M(c2,√3c2)，故直线DE垂直平分AF2，即EA=EF2，DA=DF2，又{x24c2+y23c2=1y=√33(x+c)⇒13x2+8cx−32c2=0⇒{x D+x E=−8c13x D x E=−32c213题，属于中档题．19.【答案】解：(1)设A 到平面A 1BC 的距离为d ，因为直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为4，即可得S △ABC ·AA 1=4， 故V A 1−ABC =13S △ABC ·AA 1=43，又V A 1−ABC =V A−A 1BC =13S △A 1BC ·d =13×2√2×d =43， 解得d =√2，所以A 到平面A 1BC 的距离为√2；(2)连接AB 1，因为直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=AB ， 故AA 1B 1B 为正方形，即AB 1⊥A 1B ，又平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，平面A 1BC ∩平面ABB 1A 1=A 1B ，AB 1⊂平面ABB 1A 1， 故AB 1⊥平面A 1BC ，所以AB 1⊥BC ，又因为AA 1⊥BC ，AB 1,AA 1⊂平面ABB 1A 1，且AB 1∩AB 1=A ， 故BC ⊥平面ABB 1A 1，则BC ⊥AB ， 所以BB 1,AB,BC 三条直线两两垂直， 故如图可以以B 为原点建立空间直角坐标系，设AA 1=AB =a ，BC =b ，则A 1B =√2a ，由条件可得{12a ×b ×a =412×√2a ×b =2√2，解得{a =2b =2, 则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，A 1(0,2,2)，A 1C 的中点D(1,1,1)， 所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0) 设平面ABD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， {n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2y =0x +y +z =0，取n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，同理，因为F(x0)=G(e x0)=G(x4)，又因为G(x)在(1,+∞)上单调递增，x0>0即e x0>1，x1>1，所以x4=e x0，又因为e x0−2x0+lnx0=0，所以x1+x4=e x0+lnx0=2x0，即直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【解析】本题主要考查了利用导数研究函数单调性、最值，函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于难题．。