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Bezier曲线的生成算法参考代码

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三次Bezier曲线原理及实现代码

三次Bezier曲线原理及实现代码

Bezier曲线原理及实现代码（c++）一、原理：贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。

贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。

这条线由下式给出：且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t) 追踪：。

TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。

曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。

一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。

P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：。

现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。

一般化P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即。

例如：。

如上公式可如下递归表达：用表示由点P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。

则用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语，有即多项式又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义00 = 1。

点P i称作贝塞尔曲线的控制点。

多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0并以P n终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。

贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P 0 至P 1 的 B(t ) 所描述的曲线。

例如当 t=0.25 时，B(t ) 即一条由点 P 0 至 P 1 路径的四分之一处。

就像由 0 至 1 的连续 t ，B(t ) 描述一条由 P 0 至 P 1 的直线。

Bezier曲线原理及实现代码（c++）

Bezier曲线原理及实现代码（c++）

Bezier曲线原理及实现代码（c++）Bezier曲线原理及实现代码（c++）2009-06-30 18:50:09| 分类： |字号⼀、原理：贝塞尔曲线于，由⼯程师（Pierre Bézier）所⼴泛发表，他运⽤贝塞尔曲线来为的主体进⾏设计。

贝塞尔曲线最初由于运⽤开发，以的⽅法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线给定点 P0、P1，线性贝塞尔曲线只是⼀条两点之间的。

这条线由下式给出：且其等同于。

⼆次⽅贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2的函数 B(t) 追踪：。

字型就运⽤了以组成的⼆次贝塞尔曲线。

P0、P1、P2、P3四个点在平⾯或在三维空间中定义了三次⽅贝塞尔曲线。

曲线起始于 P0⾛向 P1，并从 P2的⽅向来到 P3。

⼀般不会经过 P1或 P2；这两个点只是在那⾥提供⽅向资讯。

P0和 P1之间的间距，决定了曲线在转⽽趋进 P3之前，⾛向 P2⽅向的“长度有多长”。

形式为：。

现代的成象系统，如、和，运⽤了以组成的三次贝塞尔曲线，⽤来描绘曲线轮廓。

P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即。

例如：。

如上公式可如下递归表达：⽤表⽰由点 P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。

则⽤平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。

⼀些关于参数曲线的术语，有即多项式，定义 00 = 1。

点 P i称作贝塞尔曲线的控制点。

以带有的贝塞尔点连接⽽成，起始于 P0并以 P n终⽌，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。

贝塞尔多边形的（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由 P0⾄P1的 B(t) 所描述的曲线。

例如当t=0.25时，B(t) 即⼀条由点 P0⾄ P1路径的四分之⼀处。

就像由0 ⾄ 1 的连续t，B(t) 描述⼀条由 P0⾄ P1的直线。

为建构⼆次贝塞尔曲线，可以中介点 Q0和 Q1作为由 0 ⾄ 1 的t：由 P0⾄ P1的连续点 Q0，描述⼀条线性贝塞尔曲线。

绘制Bezier曲线编程及说明

绘制Bezier曲线编程及说明

绘制Bezier曲线编程及说明整体方案：（1）单击鼠标左键绘制控制点（不超过10个顶点），并自动连接为控制多边形。

（2）单击鼠标右键确定绘制Bezier曲线完毕。

（3）绘制时鼠标显示坐标。

（4）点击控制点可以改变Bezier曲线形状。

（5）可以使用鼠标或者键盘输入坐标绘制Bezier曲线。

关键技术：最小二乘法，曲线拟合，MFC框架编程Bezier曲线编程算法：// JjbView.cpp : implementation of the CJjbView class//#include "stdafx.h"#include "Jjb.h"#include "JjbDoc.h"#include "JjbView.h"#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CJjbViewIMPLEMENT_DYNCREATE(CJjbView, CView)BEGIN_MESSAGE_MAP(CJjbView, CView)//{{AFX_MSG_MAP(CJjbView)ON_COMMAND(ID_BEZIER, OnBezier)ON_WM_LBUTTONDOWN()ON_WM_LBUTTONUP()ON_WM_MOUSEMOVE()ON_WM_RBUTTONDOWN()//}}AFX_MSG_MAP// Standard printing commandsON_COMMAND(ID_FILE_PRINT, CView::OnFilePrint)ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_DIRECT, CView::OnFilePrint)ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_PREVIEW, CView::OnFilePrintPreview) END_MESSAGE_MAP()/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CJjbView construction/destructiondouble J(int n,int i);double C(int n,int i);double N(double u,int n);int JieCheng(int n);//构造函数CJjbView::CJjbView(){// TODO: add construction code herem_bIsChoosed=false;m_bStopDraw=false;m_bMakeSure=false;m_eChooseType=Bezier;while (m_vInputPoint.size()!=0){m_vInputPoint.pop_back();}while (m_vControlPoint.size()!=0){m_vControlPoint.pop_back();}while (m_vXiShu.size()!=0){m_vXiShu.pop_back();}}//析构函数CJjbView::~CJjbView(){while (m_vInputPoint.size()!=0){m_vInputPoint.pop_back();}while (m_vControlPoint.size()!=0){m_vControlPoint.pop_back();}while (m_vXiShu.size()!=0){m_vXiShu.pop_back();}}BOOL CJjbView::PreCreateWindow(CREATESTRUCT& cs) //定义窗口{// TODO: Modify the Window class or styles here by modifying// the CREATESTRUCT csreturn CView::PreCreateWindow(cs);}/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CJjbView drawing// 刷新时绘图void CJjbView::OnDraw(CDC* pDC){CJjbDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_V ALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data hereGetClientRect(&rect);if (m_eMouseStatus==MouseMove&&m_bStopDraw==false){m_vInputPoint.push_back(m_cMovePoint);}CString str;CClientDC d(this);int i;if(m_bIsChoosed==true){if (m_bStopDraw==false){str.Format(" X=%d,y=%d ]",m_cMovePoint.x,m_cMovePoint.y);d.TextOut(m_cMovePoint.x+10,m_cMovePoint.y+10,str);}switch(m_eChooseType)//菜单选择{case Bezier: //选择后的窗口状态str.Format("Bezier曲线，点击右键表示确定，移动节点改变形状。

Bezier曲线的算法实现

Bezier曲线的算法实现
}
(ⅲ)在OnDraw(CDC* pDC)函数中添加如下代码：
int i,j,k,n=3; //n=3表示三次Bezier曲线
double curx,cury,t,b;
double dt=0.01;
int array[4][2]={{30,100},{100,30},{50,150},{200,40}};
实验六：Bezier曲线的算法实现
（1）算法描述
根据Q(t)=∑Pi•Bi,n(t) =∑Pi•C in ti(1-t)n-i
并且C in =C(n,k)= C(n,k-1)
在主程序中提供特征多边形的各个顶点坐标放入controls[]数组中，ncontrols为顶点的个数，m为曲线上取的样点数，比如m=100表示取100个样点。计算出曲线上的各个样点坐标放入curve[]数组中，这样可以通过相邻点连线绘出生成的Bezier曲线。
图1 Bezier曲线程序结果
这时Bezier曲线的通用程序设计。通过这个程序，我们绘出二次、三次甚至高次Bezier曲线。
（3）思考下面情况的程序实现:
取样点数改变，例如：改为50或者80或者120等；
a=a*i;
for (j=1;j<=n-m;j++) //求(n-m)!和C mn
a=a/j;
return a;
}
else
return 1;
}
（ⅱ）伯恩斯坦多项式Bm,n(t)的函数实现
Bm,n(t)= C mn tm(1-t)n-m
Double Bernstein(int m,int n,double t)
for (i=0;i<=n;i++)
pDC->LineTo(array[i][0],array[i][1]);

用四个顶点的函数表示bezier曲线代码

用四个顶点的函数表示bezier曲线代码

用四个顶点的函数表示bezier曲线代码Bezier曲线是一种广泛应用于计算机图形学中的数学曲线，由法国工程师和数学家Pierre Bezier于20世纪50年代发明。

它是一种参数曲线，通过数学公式描述曲线的控制点和曲线的形状。

在这篇文章中，我们将阐述如何用四个顶点的函数表示Bezier曲线代码。

第一步：定义控制点Bezier曲线使用控制点来确定曲线的形状。

曲线上的每个点都由相邻控制点之间的插值计算得出。

因此，我们需要声明四个控制点用于计算曲线。

这个过程可以用以下代码实现：```const p0 = {x: 0, y: 0};const p1 = {x: 50, y: 200};const p2 = {x: 150, y: -200};const p3 = {x: 200, y: 0};```这里我们定义了四个控制点，它们分别是 (0,0), (50,200), (150,-200)和 (200,0)。

第二步：计算Bezier曲线点的函数在本例中，我们将使用一个叫做“de Casteljau算法”的方法来计算Bezier曲线上的点。

de Casteljau算法是一种递归算法，它通过计算控制点之间的插值来生成Bezier曲线。

以下是一个用于计算Bezier曲线点的函数：```function getPointOnCurve(t) {const x = (1-t)*(1-t)*(1-t)*p0.x + 3*(1-t)*(1-t)*t*p1.x + 3*(1-t)*t*t*p2.x + t*t*t*p3.x;const y = (1-t)*(1-t)*(1-t)*p0.y + 3*(1-t)*(1-t)*t*p1.y + 3*(1-t)*t*t*p2.y + t*t*t*p3.y;return {x, y};}```上述代码会根据t值计算Bezier曲线上的一个点。

t值的范围是从0到1，它表示曲线上的位置。

C语言代码,Bezier三次曲线

C语言代码,Bezier三次曲线
y=(int)(yt);
lineto(x,y);
}
}
void main()
{
static double p[4][2]={50,400,140,20,400,40,635,420};
const NO=3;
int i;
int driver=DETECT,mode;
initgraph(&driver,&mode,"C://tools/tc2.0");//初始化图形系统
Bezier三次曲线实验报告
一：实验目的
用C语言实现Bezier三次曲线原理的划线
二：实验环境
VC6.0
三：实验人数
一人
四：实验内容
Bezier曲线生成的原理和步骤都在程序上给了注释
五：实验步骤
#include <stdio.h>
#include <graphiห้องสมุดไป่ตู้s.h>
#include <conio.h>
//该方法为Bezier三阶的曲线原理
void bezier_3(int color, double p[4][2])
{
double t,t1,t2,xt,yt;
int rate=200,x,y;
setcolor(color);
moveto(p[0][0],p[0][1]);
for (t=0;t<=1;t+=1.0/rate)
bezier_3(LIGHTRED,p);//调用函数，并传递实参颜色、坐标
getch();
closegraph();
}
六：实验问题及解决
用到了很多C语言库自带的函数，通过，进行了学习；如果大家在编译的时候没有#include <graphics.h>请大家安装一个文件

bezier曲线表达式

bezier曲线表达式

bezier曲线表达式
贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种常用的数学曲线，用于计算机图形学和动画制作等领域。

贝塞尔曲线可以使用参数形式表示，也可以使用矢量表示。

贝塞尔曲线的矢量表示形式是：P(t) = ∑_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) * P_i其中，P(t)表示曲线上的点，B_{i,n}(t)是贝塞尔基函数，P_i 是控制点。

n表示控制点的个数，t是一个参数，取值范围是[0,1]。

对于2次贝塞尔曲线，其基函数为：B_{0,2}(t) = 1-t^2, B_{1,2}(t) = 2t*(1-t), B_{2,2}(t) = t^2在参数t=0时，曲线起点为P_0；在参数t=1时，曲线终点为P_2。

对于3次贝塞尔曲线，其基函数为：B_{0,3}(t) = 1-t^3, B_{1,3}(t) = 3t*(1-t)^2, B_{2,3}(t) = 3t^2*(1-t), B_{3,3}(t) = t^3在参数t=0时，曲线起点为P_0；在参数t=1时，曲线终点为P_3。

对于更高次的贝塞尔曲线，其基函数可以递推得到。

此外，贝塞尔曲线的参数形式表示为：C(t) = ∑_{i=0}^{n} C_i * t^i其中，C_i是控制点，t是一个参数，取值范围是[0,1]。

该公式可用于绘制贝塞尔曲线。

Bezier曲线的算法实现

Bezier曲线的算法实现

实验（六） Bezier 曲线的算法实现一、实验目的根据曲线和曲面的基础知识和常用曲线的数学基础，对其算法进行程序设计，验证算法的正确性，并通过程序结果加深对常用曲线数学模型的理解。

二、实验任务（2学时）Bezier 曲线的算法实现；三、实验内容和实验步骤Bezier 曲线的算法实现（1）算法描述根据 Q(t)=∑P i•Bi,n(t) =∑P i•C i n t i (1-t)n-i并且 C i n =C(n,k)= C(n,k-1)（2）程序实现步骤：（工程名:BezierCurve ）（ⅰ）C m n 的函数实现，定义成成员函数，命名为Multiply_n 。

C mn = =int Multiply_n(int m,int n){int i,j,a; if (m!=0) {a=1;for (i=m+1;i<=n;i++) //求（m+1）(m+2)…(n-1).na=a*i;for (j=1;j<=n-m;j++) //求(n-m)!和C m na=a/j; return a; } elsereturn 1;n! m!(n-m)! (n-m)! （m+1）(m+2)…(n-1).nni=0ni=0nn-k+1}（ⅱ）伯恩斯坦多项式Bm,n(t)的函数实现Bm,n (t)= C mnt m(1-t)n-mdouble Bernstein(int m,int n,double t){int i,j;double sum;sum=Multiply_n(m,n); //求C mnfor (i=1;i<=m;i++)sum=sum*t; // C mnt mfor (j=1;j<=n-m;j++)sum=sum*(1-t); // C mnt m(1-t)n-mreturn sum;}(ⅲ) 在OnDraw(CDC* pDC)函数中添加如下代码：int i,j,k,n=4; //n=4 表示四次Bezier曲线double curx,cury,t,b;double dt=0.01;intarray[6][2]={{50,50},{50,150},{100,130},{150,150},{200,140}, {250,350}};CPen PenRed(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));//定义红色笔CPen PenBlue(PS_SOLID,1,RGB(0,0,255));//定义蓝色笔 //首先绘出特征多边形pDC->SelectObject(&PenBlue);pDC->MoveTo(array[0][0],array[0][1]);for (i=0;i<=n;i++)pDC->LineTo(array[i][0],array[i][1]);//绘制Bezier曲线pDC->MoveTo(array[0][0],array[0][1]); //回到起点pDC->SelectObject(&PenRed);t=0.0;for (i=0;i<=(int)1/dt;i++){curx=0; cury=0;for(j=0;j<=n;j++){b=Bernstein(j,n,t);curx=curx+array[j][0]*b;cury=cury+array[j][1]*b;}pDC->LineTo(curx,cury);t=t+dt;}（3）编译、运行后查看结果，如图1所示。

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1、利用Bezier曲线的生成算法实现二次Bezier曲线的生成（算法的详细原理见教材）。
void CBezie
// TODO: Add your command handler code here
CDC*pDC=GetDC();//得到绘图类指针
RedrawWindow();//重绘窗口
实现Bezier曲线的生成算法
实验步骤
（一）生成绘图应用程序的框架（如下图）
具体实现见第一次实验，过程不再详细说明。
（二）在应用程序中增加菜单
完成相关菜单的设计，具体的效果如下图所示，并设置好相关菜单消息的映射，具体的实现在前面的实验中介绍过，再此不在详细说明。
（三）在绘图函数中添加代码
通过以上步骤，得到了与菜单对应的消息映射，就可以在函数中添加代码绘制图形了。
float x0=50,y0=50,x1=150,y1=150,x2=300,y2=130,x3=350,y3=50;
float i,x,y,dt,t,n=30.0;
dt=1/n;
for(i=0;i<=n;i++)
{
t=i*dt;
x=x0*(1-t)*(1-t)*(1-t)+x1*3*t*(1-t)*(1-t)+x2*3*t*t*(1-t)+x3*t*t*t;
{
// TODO: Add your command handler code here
CDC*pDC=GetDC();//得到绘图类指针
RedrawWindow();//重绘窗口
CPen redpen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//创建画实线、线宽为2的红色画笔
CPen *old=pDC->SelectObject(&redpen);
CPen bluepen(PS_SOLID,2,RGB(0,0,255));//创建画实线、线宽为2的蓝色画笔
CPen *old=pDC->SelectObject(&bluepen);
float x0=100,y0=100,x1=200,y1=50,x2=150,y2=250;
float i,x,y,dt,t,n=30.0;
pDC->LineTo(x3,y3);
pDC->SelectObject(old);
ReleaseDC(pDC);
}
由以上代码绘出的图形如下：
y=y0*(1-t)*(1-t)*(1-t)+y1*3*t*(1-t)*(1-t)+y2*3*t*t*(1-t)+y3*t*t*t;
if(i==0)pDC->MoveTo(x,y);
pDC->LineTo(x,y);
}
pDC->MoveTo(x0,y0);
pDC->LineTo(x1,y1);
pDC->LineTo(x2,y2);
dt=1/n;
for(i=0;i<=n;i++)
{
t=i*dt;
x=x0*(1-t)*(1-t)+x1*2*t*(1-t)+x2*t*t;
y=y0*(1-t)*(1-t)+y1*2*t*(1-t)+y2*t*t;
if(i==0)pDC->MoveTo(x,y);
pDC->LineTo(x,y);
}
pDC->MoveTo(x0,y0);
pDC->LineTo(x1,y1);
pDC->LineTo(x2,y2);
pDC->SelectObject(old);
ReleaseDC(pDC);
}
由以上代码绘出的图形如下：
2、利用Bezier曲线的生成算法实现二次Bezier曲线的生成（算法的详细原理见教材）。。
void CBezierView::OnBezier3()
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