三角恒等变换知识点和例题

三角恒等变换基本解题方法

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=

()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2

1cos2sin 2

2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα

αα

αβααβααβααααα

=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-m m

如（1）下列各式中，值为12

的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ

- C 、22251225tan .tan .-o o D

（2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的

A 、充要条件

B 、充分不必要条件

C 、必要不充分条件

D 、既不充分也不必要条件

（3）已知35

sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4

）11080sin sin -o o

的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a

，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______

2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与

角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，

22αβαβ++=⋅，()()

222αββααβ+=---等），

如（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____

（2）已知02πβαπ<<

<<，且129cos()βα-=-，223

sin()αβ-=，求cos()αβ+的值

(2)三角函数名互化(切化弦)，

如（1）求值sin 50(1)+o o

（2）已知

sin cos 21,tan()1cos 23

αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值

(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m 。

如（1）已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____

(2)设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =

____三角形

(4)三角函数次数的降升(降幂公式：2

1cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2

αα-=与 升幂公式 21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。

如(1)若32(,)αππ∈为_____

（2）函数25f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。

如（1）化简：4221

2cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+

-+

(6)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+

tan sin 42

ππ===L 等）， 如已知tan 2α=，求22sin sin cos 3cos αααα+-

(7)正余弦—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”

， 如（1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __

（2）若1(0,),sin cos 2

απαα∈+=，求tan α的值。

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、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=

+(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b a

θ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。 如（1

）若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________.

（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tanx 的值是______

（3）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ=

4、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三

角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。

如（1）若,(0,)αβπ∈，且tan α、tan β是方程2

560x x -+=的两根，则求αβ+的值______

（2）ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______

（3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值

课后练习题

1：(1)已知α∈(

2π,π)，sin α=53,则tan(4

πα+)等于（ ） A.71 B.7 C.－ 71 D.－7

(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）

A.－

21 B.21 C.－23 D.23

3：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2

π， 求cos （α+β）.