代数系统部分作业 答案
最全线性代数习题及参考答案
第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。
图论及代数系统答案A
计算机04级代数系统及图论试题（A ）答案一、证明：（1） 由表1可得<{e,a},*>的运算表如下：（酌情给1~5分）由表可知，幺元为e ，a 的逆元为a ，显然运算满足封闭性、结合律，故<{e,a},*>是一个群。
（酌情给1~5分）（2） 设{e,a}=M ，则M 的所有左陪集有bM={a,b}，cM={b,c}，dM={c,e} （酌情给1~5分）若<G ,*>是群，则应满足 |M|⎢|G|，但|M|=2，|G|=5，故<G ,*>不是群。
（酌情给1~5分）二、证明：必要性设f 是入射。
因为f(e)=e ’，所以e ∈Ker(f)。
若另有a ∈G ，使得f(a)=e ’，则f(a)=f(e)，由于f 是入射，故必有a=e ，因此Ker(f)={e}。
（酌情给1~5分）充分性设Ker(f)={e}。
对于a,b ∈G 1，如果f(a)=f(b)，则有f(b*a -1)=f(b)∆f(a -1)=f(a)∆f(a -1)= f(a*a -1)=f(e)=e ’,故b*a -1∈Ker(f)，所以b*a -1=e ，因此有（b*a -1）*a=e*a ，即b=a ，所以f 是入射。
（酌情给1~5分） 三、(a)不是格，(b),(c),(d)都是格；（酌情给1~4分）其中(b)是有界格、分配格；(c)是有界格、分配格、有补格；(d)是有界格、有补格。
（酌情给1~6分） 四、证：设a 是L 中的任意一个元素，如果21,a a 都是a 的补元，则有)()()()()()()()(2112212221211211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∧=∧∨∧=∨∧=∧=∧∨∧=∨∧=故有21a a =。
（酌情给1~10分）其它正确的证明方法。
（酌情给1~10分） 五、解：G 与G 的并为完全图K n ，因为n 为奇数，所以K n 中每个顶点的度为n-1，为偶数。
代数系统基础习题及答案
习题71.有理数集Q 和Q 上定义的下列运算*是否构成一个代数系统。
(1)()1*2a b a b =+ (2)()2*a b a b =-(3)2*2a b b =+(4)*10a ba b +=解答：（1）是。
（2）否。
运算不封闭（3）否。
运算不封闭（4）是2.设集合{1,2,3,,10}A = ，判断下面定义的运算关于集合A 是否封闭。
(1)*max{,}x y x y = (2)*min{,}x y x y = (3)*gcd{,}x y x y =，即x y ，的最大公约数(4)*{,}x y lcm x y = ，即x y ，的最小公倍数解答：(1)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为10，零元为1。
(2)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为1，零元为10。
(3)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元不存在，零元为1。
(4)不封闭。
3.设{1,2,3,4,6,12}A =，A 上的运算*定义为:*=a b a b - （1）写出二元运算*的运算表。
（2）A 和*能构成代数系统吗？为什么？解答：（1）运算表如下*12346121012351121012410321013943210286543206121110986（2）不能。
0,5,8,9,10,11不是A 中的元素，运算不封闭。
4.考虑有理数集Q ，设*是如下定义的Q 上的运算：*a b a b ab=+-(1)求3*4,2*(-5)和7*1/2。
(2)*在Q 上可结合吗？*在Q 上可交换吗？(3)求Q 上关于运算*的单位元。
(4)集合Q 上所有元素都有逆元吗？若有逆元，请求出。
解答：(1)3434125*=+-=-，2(5)25107*-=-+=，71271721*=+-=。
(2)()()a b c a b ab c a b c ab ac bc abc**=+-*=++---+()()a b c a b c bc a b c ab ac bc abc **=*+-=++---+即()()a b c a b c **=**。
离散数学——代数结构_作业部分答案
第四章代数结构（作业）作业：P86：4、7、94、（1）若a和b是整数，则a+b+ab也是整数，故a*b也是整数，所以运算*是封闭的。
（2）任选整数集合中的三个元素x,y和z。
则有：(x*y)*z = (x+y+xy)*z= (x+y+xy)+z+(x+y+xy)×z= x+y+z+xy+xz+yz+xyzx*(y*z) = x*(y+z+yz)= x+(y+z+yz)+x×(y+z+yz)= x+y+z+yz+xy+xz+xyz= (x*y)*z因此，*运算满足结合律。
（3）假设e为（Z,*）的幺元，则有：任选整数集中的一个元素x，都有0*x = 0+x+0×x=x且x*0 = x+0+x×0=x故0是(Z,*)的幺元。
7、N+上的所有元素都是（N+ ,*）等幂元；（N+ ,*）无幺元；（N+ ,*）的零元为1。
9、（A,*）中的等幂元：a、b、c、d；（A,*）中的幺元：b；（A,*）中的零元：c；a-1 = d，b-1 = b，c-1 不存在，d-1 = a，作业：P87：12、13、1812、（A，*）到（N4,⊕4）的同构映射f为：f(a)=0, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=3;或者：f(a)=0, f(b)=3, f(c)=2, f(d)=1;13、同构映射f为：f(0)=∅, f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={a,b};或者：f(0)=∅, f(1)={b}, f(2)={a}, f(3)={a,b};18、任选a ∈N +,b ∈N +, 只需证明f(a+b)=f(a)+f(b)由f 的定义可知：f(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)，故f 是（N +,+）到(E +,+)的同态映射。
作业：P96：3，P97：73、(1)显然，*运算对Z 是封闭的。
(2) (a*b)*c = (3(a+b+2)+ab)*c= 3((3(a+b+2)+ab)+c+2)+(3(a+b+2)+ab)×c = 3(3a+3b+c+ab+8+ac+bc+2c)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abca*(b*c) = a*(3(b+c+2)+bc)= 3(a+(3(b+c+2)+bc)+2)+a(3(b+c+2)+bc) = 3(a+3b+3c+bc+8+ab+ac+2a)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc= (a*b)*c故*运算满足结合律。
离散数学章节练习4
离散数学章节练习4K E Y(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除离散数学 章节练习 4范围：代数系统一、单项选择题 1. <G,*>是群，则对* ( A ) A 、有单位元，可结合 B 、满足结合律、交换律 C 、有单位元、可交换 D 、有逆元、可交换2. 设N 和Z 分别表示自然数和整数集合，则对减法运算封闭的是 ( B )A 、NB 、{x ÷2|x ∈Z}C 、{x|x ∈N 且x 是素数}D 、{2x+1| x ∈Z }3. 设Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是群的代数系统的有 ( B ) A.〈Z ，+，÷〉 B.〈Z ，÷〉 C.〈Z ，－，÷〉 D.〈P(A)，⋂〉 4. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B ) A 、半群，但不是独异点； B 、只是独异点，但不是群； C 、群； D 、环，但不是群。
5. 设f 是由群<G,☆>到群<G ',*>的同态映射，则ker (f)是 ( B ) A 、G '的子群 B 、G 的子群 C 、包含G ' D 、包含G 6. 在整数集Z 上,下列哪种运算不是封闭的 ( C ) A + B - C ÷ D X 7. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B )A 、半群，但不是独异点；B 、只是独异点，但不是群；C 、群；D 、环，但不是群。
8. 设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 是（ A ）。
A ．群； B ．环； C ．半群 Ｄ.都不是 9. 设︒是集合S 上的二元运算，如果集合S 中的某元素eL,对∀x ∈S 都有 eL ︒x=x ,则称eL 为 ( C ) A 、右单位元 B 、右零元 C 、左单位元 D 、左零元 10. <Z,+> 整数集上的加法系统中0是 ( A ) A 单位元 B 逆元 C 零元 D 陪集 11. 若V=<S,︒>是半群，则它具有下列那些性质 ( A ) A 、封闭性、结合性 B 、封闭性、交换性 C 、有单位元 D 、有零元 二、判断题 1．若半群<S,*>含有零元，则称为独异点。
第8章习题答案
习题81.设S＝{a，b}，试问S上总共可定义多少个二元运算？解由于S是n元集，则S×S应有n2个元素，S上的一个二元运算就是S×S到S的函数，这样的函数有个2n n，因此S＝{a，b}上的二元运算有222＝16个。
2.分别给出满足下列条件的代数系统。
(1)有幺元。
(2)有零元。
(3)同时有幺元和零元(代数系统元素个数大于1)。
(4)有幺元，但无零元。
(5)有零元，但无幺元。
(6)运算不可交换。
(7)运算不可结合。
(8)有左零元，无右零元。
(9)有右幺元，无左幺元。
(10)有幺元，每个元素有逆元。
解给出的例子如下所示：(1)、(2)、(10) (3) (4) (5)、3.S＝Q×Q S<a，b b>。
(1)运算*是否满足交换律和结合律？是否满足幂等律？(2)关于运算*是否有幺元和零元？如果有，请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。
解 (1)因为<0，0>*<1，1>＝<0，0>，<1，1>*<0，0>＝<0，1>，则有<0，0>*<1，1>≠<1，1>*<0，0>，所以运算*不满足交换律。
因为(<a，b>*<x，y>)*<u，w>＝<ax，ay＋b>*<u，w>＝<axu，axw＋ay＋b>，<a，b>*(<x，y>*<u，w>)＝<a，b>*<xu，xw＋y>＝<axu，axw＋ay＋b>，所运算*满足结合律。
因为<1，1>*<1，1>＝<1，2>≠<1，1>，所以运算*不满足幂等律。
(2)因为<a，b>*<1，0>＝<a，b>，<1，0>*<a，b>＝<a，b>，所以关于运算*存在幺元<1，0>。
离散习题代数系统部分答案
离散习题代数系统部分答案1(共3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《离散数学》代数系统1.以下集合和运算是否构成代数系统如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.1)P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集.构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。
2)A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b.2.设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.1)列出B的元素.2元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={I A，E A}2)给出代数系统V=<B,∩>的运算表.3)求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.幺元E A、零元I A；只有E A可逆，其逆元为E A.4)说明V是否为半群、独异点和群V是为半群、独异点，不是群4.设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.1)给出关于*运算的一个运算表.其中表中位置可以是a、b、c。
2)*运算是否满足结合律，为什么不满足结合律；a*（b*b）=c ≠（a*b）*b=b5.设<R，*>是一个代数系统。
*是R上的一个二元运算，使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b(·和+为数集上的乘法和加法).证明：:<R，*> 是独异点.6.如果<S,*>是半群，且*是可交换的.证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b.(a*b)*(a*b)= a*(b*a)*b 结合律= a*( a*b)*b 交换律= (a* a)*(b*b)= a*b.7.设<G,·,–1,e>是一个群,则a,b,c∈S。
离散数学第二版答案(6-7章)
离散数学第二版答案(6-7章)LT第六章 代数系统6.1第129页1． 证明：任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的； 任取,,x y z I ∈，(,(,))*(*)*()()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz==+-=++--+-=++---+((,),)(*)*()*()(,(,))g g x y z x y z x y xy zx y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=因此，运算*是可结合的。
该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。
2．证明：任取,,x y N x y ∈≠，由*,*x y x y x y x ==≠知，**y x x y ≠，*运算不是可交换的。
任取,,x y z N ∈，由(*)**x y z x z x ==，*(*)*x y z x y x ==知，(*)**(*)x y z x y z =，*运算是可结合的。
任取x N ∈，*x x x =，可知N 中的所有元素都是等幂的。
*运算有右么元，任取,x y N ∈，*x y x =，知N 中的所有元素都是右么元。
*运算没有左么元。
证明：采用反证法。
假定e 为*运算的左么元，取,b N b e ∈≠，由*的运算公式知*e b e =，由么元的性质知，*e b b =，得e b =，这与b e ≠相矛盾，因此，*运算没有左么元。
3．解： ① 任取y x I y x ≠∈,,的最小公倍数和y x y x =*的最小公倍数和的最小公倍数和y x x y x y ==*因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=，即二元运算*是可交换的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
代数系统部分作业 (答案)
要求：请用A4纸双面打印作业试题后，手写答题，并写清个人姓名学号等信息
姓名： 班级： 学号： 班级序号：
一. 填空
1. 令4{0,1,2,3}Z =，+4表示模4加法，则在模4加群44,Z <+>中， 2的阶数是 2 ， 3的阶数是 4 。
2. 设A ={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下： *
a b c d a
b
c
d a b c d b c d a c d a b d a b c
那么代数系统,A <*>的幺元是 a ，b 的逆元为 d ,c 的逆元为 c 。
3. 以下两个置换是5S 中的置换，其中
1234524513α⎛⎫= ⎪⎝⎭，1234554231β⎛⎫= ⎪⎝⎭
α表示成不交的轮换之积为α= (124) (35) ，
以不交的轮换之积形式写出αβ = (13452) 。
4. 下列说法错误的是 C E 。
A. 在群中消去率成立；
B. 域一定是整环；
C. ,,Z <+⨯>是域，其中Z 是整数集；
D. 设S ={1,2}，则S 在普通加法和普通乘法运算下都不封闭；
E. 阶数大于1的群中可能存在零元。
5. 设S 是非负整数集，⨯是关于数的普通乘法运算，则 B 。
A ．,S <⨯>是群；
B ．,S <⨯>是有幺元的半群；
C ．,S <⨯>是无幺元的半群；
D ．,S <⨯>不是群，也不是半群。
6. 在S 3中，元素123321a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的阶数是 2 。
二. 证明与解答
1. 设6{0,1,2,3,4,5}Z =，+6为模6加法运算。
证明：6Z 与+6运算构成群。
证明：
(1) 6,a b Z ∀∈,66a b Z +∈,所以运算+6在集合6Z 上是封闭的。
(2) 6,,a b c Z ∀∈,有6666()()a b c a b c ++=++，故运算+6是可结合的。
(3) 6a Z ∀∈, 6600a a a +=+=，故0是幺元。
(4) 0的逆元是0，对于除0外任一元素6a Z ∈,因为66(6)(6)0a a a a +-=-+=，
因此6a -是a 的逆元。
由此可知6Z 与+6运算构成群。
2. （8分）设Z 为整数集合，,V Z =<*>，*是二元运算，定义为对任意的,x y Z ∈，有2x y x y *=+-。
请证明：V 是群。
证明：（1）因为对于Z 中的任意两个元素x 与y ，满足2x y x y Z *=+-∈，即*运算在Z 上封闭；
（2）*运算可结合，对任意x 、y 、z ∈Z
x*(y*z ) = x*(y+z-2) = x+y+z -2-2=x+y+z-4
(x*y )*z = (x+y-2)*z = x+y -2+z -2= x+y+z-4
所以x*(y*z )= (x*y )*z ；
（3）对Z 中的任意元素x ，因为2*x =2+x -2=x ，x*2=x+2-2=x ，所以*运算的幺元是2；
（4）任意x ∈Z ，x *(4-x )= (4-x )*x =2，所以x 的逆元为4-x 。
由上述可知，,V Z =<*>是群。
3. 66,Z <+>是一个群，这里+6是模6加法，6{0,1,2,3,4,5}Z =，试求出66,Z <+>的所有子群及其相应陪集。
解: 取6Z 的子集1{0}S =，2{0,3}S =，3{0,2,4}S =，46{0,1,2,3,4,5}S Z ==
子群有6{0},<+>；6{0,3},<+>；6{0,2,4},<+>；6{0,1,2,3,4,5},<+>
6{0},<+>的陪集：{0}；{1}；{2}；{3}；{4}；{5}
6{0,3},<+>的陪集：{0，3}；{1，4}；{2，5}
6{0,2,4},<+>的陪集：{0，2，4}；{1，3，5}
6{0,1,2,3,4,5},<+>}的陪集：{0，1，2，3，4，5}
4. 设Z 为整数集合，,V Z =<*>，*是二元运算，定义为：x y x y xy *=+-.请证明：V 是含幺半群而不是群。
证明：（1）*运算在Z 上封闭；
（2）*运算可结合，对任意a 、b 、c ∈Z
a*(b*c ) = a*(b+c-bc ) = a+b+c-bc-a (b+c-bc ) = a+b+c-ab-ac-bc+abc
(a*b )*c = (a+b-ab )*c = a+b-ab+c-(a+b-ab )c = a+b+c-ab-ac-bc+abc
所以a*(b*c ) = (a*b )*c ；
（3）*运算的幺元是0；
（4）任意x ∈Z ，x *1=1*x =1，所以1是零元，它没有逆元。
由上述可知，故,V Z =<*>是含幺半群而不是群。