晶体的能带理论
晶体的能带理论
一、能带理论（Energy band theory ）概述
能带理论是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。它首先由 F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出，它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动，即是单电子近似的理论；对于晶体中的价电子而言，等效势场包括原子实的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来交换作用，是一种晶体周期性的势场。
即认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子，并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动的；由此得出，共有化电子的本征态波函数是Bloch函数形式，能量是由准连续能级构成的许多能带。
二、能带的形成
图1
1.电子共有化
对于只有一个价电子的简单情况：电子在离子实
电场中运动，单个原子的势能曲线表示如图1。
图2 当两个原子靠得很近时：每个价电子将同时受到两个离子实电场的作用，这时的势能曲线表示为图2。
当大量原子形成晶体时，晶体内形成了周期性势场，周期性势场的势能曲线具有和晶格相同的周期性!（如图3所示）
即:在N 个离子实的范围内，U 是以晶格间距d 为周期的函数。实际的晶体是三维点阵，势场也具有三维周期性。
图3
分析：
1.能量为E1的电子，由于E1小，势能曲线是一种势阱。因势垒较宽，电子穿透势垒的概率很微小，基本上仍可看成是束缚态的电子，在各自的原子核周围运动；
2.具有较大能量E3 的电子，能量超过了势垒高度，电子可以在晶体中自由运动；
3.能量E2 接近势垒高度的电子，将会因隧道效应而穿越势垒进入另一个原子中。
这样在晶体场内部就出现了一批属于整个晶体原子所共有的电子，称为电子共有化。价电子受母原子束缚最弱，共有化最为显著！
可借助图4理解电子共有化：
图4
晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近.致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。
2.能带的形成是电子共有化的结果。
孤立原子的外层电子可能取的能量状态完全相同，但当原子彼此靠近时，外层电子就不再仅受原来所属原子的作用，还要受到其他原子的作用，这使电子的能量发生微小变化。原子结合成晶体时，原子最外层的价电子受束缚最弱，它同时受到原来所属原子和其他原子的共同作用，已很难区分究竟属于哪个原子，实际上是被晶体中所有原子所共有，称为共有化。原子间距减小时，孤立原子的每个能级将演化成由密集能级组成的准连续能带。共有化程度越高的电子，其相应能带也越宽。孤立原子的每个能级都有一个能带（晶体内电子的能量可以处于一些允许的范围之内，这些允许的范围称为能带）与之相应，所有这些能带称为允许带。相邻两允许带间的空隙代表晶体所不能占有的能量状态，称为禁带。
备注：关于能带的形成，还可以从晶体中各个
原子的能级的相互影响来说明（图5）：
★孤立的原子，其轨道电子的能量由一系列分
立的能级所表征；
图5
★原子结合成固体时，使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
事实上，在单个原子中，电子具有分离的能级
如 1s,2s,2p 等，如果晶体内含有 N 个相同的原子，
那么原先每个原子中具有相同能量的所有价电子，现
在处于共有化状态。
图6
这些被共有化的外层电子，由于泡利不相容原理的限制，不能再处于相同的能级上，这就使得原来相同的能级分裂成 N 个和原能级相近的新能级（见图6）。
由于N 很大，新能级中相邻两能级的能量差仅为 10-22eV ，几乎可以看成是连续的，N 个新能级有一定的能量范围，通常称为能带。
三、能带的结构
1.能带： n 是带指标，用来标志不同的能带对每一个给定的 n ，本征能量包含着由不同 k 取值所对应的许多能级，这些由许多能级组成的())3,2,1( ==n k E E n n
带称为能带。在能带理论中，能量本征值的总体称为晶体的能带结构。原子（中电子）的能级和晶体（中电子）的能带如图7所示
图7
2.固体的导电机制
不同的晶体有不同的导电性，这与晶体内的电子在能带中的填充和运动情况有关！
导体：电阻率为 10-8Ω?m 以下的物体
绝缘体：电阻率为108Ω?m以上的物体
半导体：电阻率介乎上面两者之间的
原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。晶体中的电子在能带中各个能级的填充方式，服从洪特规则、泡利不相容原理，还要服从最小能量原理，电子从能量较低的能级依次到达较高的能级。按充填电子的情况，能带可以分成：满带，价带（导带），空带，禁带
（1）满带：晶体中最低能带的各个能级都被电子填满，这样的能带称为满带。
被电子占满的允许带当满带中的电子从它原来占据的
能级转移到同一能带中其它能级时，因受泡利不相容原理的限制，必有另一个电子作相反转移，总效果与没有电子转移一样—外电场不能改变电子在满带中的分布，所以满带中的电子不能起导电作用！
（2）价带：一部分价电子存在于不满带中，这种能带
称为导带。价带是由价电子能级分裂而形成的能带。
★通常情况下，价带为能量最高的能带；
★价带可能被电子填满，成为满带；
★也可能未被电子填满，形成不满带或半满带。
在绝缘体中，价电子刚好填满最低的一系列能带，最
上边的满带 —— 价带
（3）空带：若一个能带中所有的能级都没有被电子填入，这样的能带称为空带。每一个能级上都没有电子的能带。
★与各原子的激发态能级相对应的能带，在未被激发的正常情况下就是空带；
★空带中若有被激发的电子进入，空带就变成导带。
（4）禁带：两个相邻能带间的间隔
★禁带中不存在电子的定态；
★禁带的宽度对晶体的导电性起 着重要的作用。
（图8/9、10为导体、半导体、绝缘体的能带示意图。）
图11导带中电子的转移
3.导体能带结构的三种形式
形式1：价带中只填充了部分电子，在外加电场作用
下，这些电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较高能级—从而形成电流。
例如：金属Li ：电子排布1s22s1每个原子只有一个价电子，整个晶体中的价电子只能添满半个价带——实际参与导电的
是不满带中的电子——电子导电型导体。
形式2：二价元素Bi , As , Mg ，Zn （半金属）
金属Mg ： 电子排布1s22s22p63s2，其价带被电子填
满，成为满带（图12）。 图12
因为晶体结构特点，价带与空带发生交叠 —— 形成更宽的能带 这个新的、更宽的能带使可添充的电子数目大于2N → 使能带不完全被电子充满。由于能带少量重叠，所以出现电子和空穴同时参与导电，又因为电子和空穴分属于不同的能带，它们具有不同的有效质量和速度，所以它们对电流的贡献不同。
当空穴对电流的贡献起主要作用— 空穴导电型导体
当电子对电流的贡献起主要作用— 电子导电型导体
形式3：（Na,K,Cu,Al,Ag ）
金属的价带本来就没有被电子填满，同时价带
又同邻近的空带重叠 —— 形成一个更宽的导带
(图13)。实际参与导电的是那些未被填满的价带中
的电子——电子导电型导体
图13 如:当 Na 原子结合成晶体时，3s 能带只填满了一半电子，而 3p 能带与 3s 能带相交错。这样在被电子填满的能级上面有很多空着的能级，所以电场很容易将价电子激发到较高的能级上，因此 Na 是良导体。
4.绝缘体能带结构
绝缘体具有充满电子的满带和很宽的禁带，禁带宽
△Eg 约 3～6eV （图14）；一般温度下，满带中的电子在
外电场作用下很难激发（越过禁带）到空带参与导电；
大多数离子晶体是绝缘体。
图14 如：NaCl 晶体，它的能带是由 Na+ 和 Cl- 离子的能级构成的，Na+ 的最外壳层 2p 和 Cl- 的最外壳层3p ，都已被电子填满，且这最高满带与空带之间存在着很宽的禁带，所以NaCl 是绝缘体。
5.半导体能带结构
6221622221:3221:p s s Na s p s s Na +6
26225262233221:33221:p s p s s Cl p s p s s Cl -
图15 (a) 导体；(b) 绝缘体；(c) 半导体；(d) 半金属 在温度 T=0K 时，能带结构与绝缘体相似，只是禁带宽度△Eg 很窄，约0.1～1.5eV ；在温度 T=0K 时，电子热激发能从满带跃迁到空带，使空带成为导带，同时在满带中产生空穴；外加电场后，电子和空穴从低能级跃迁到高能级，而形成电流，因此半导体具有导电性。如：硅、硒、锗、硼等元素，硒、碲、硫的化合物，各种金属氧化物等物质都是半导体。
能带结构小结：
能带理论是研究固体中电子运动规律的近似理论。在讨论和学习中可以从不同的角度，联系无机化学的知识加以理解和掌握。下面是几个关于能带理论的图解，请认真理解。
不同固体的能带填充情况
本证半导体，绝缘体，导体的（最外层）能带
图16
图17
四、能带理论的意义和局限性
能带理论是现代固体电子技术的理论基础，对于微电子技术的发展起了不可估量的作用。能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。固体由原子组成，原子又包括原子核和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。为使问题简化，首先假定固体中的原子核固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出。具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。
能带理论在阐明电子在晶格中的运动规律、固体的导电机构、合金的某些性质和金属的结合能等方面取得了重大成就，但它毕竟是一种近似理论，存在一定的局限性。例如某些晶体的导电性不能用能带理论解释，即电子共有化模型和单电子近似不适用于这些晶体。多电子理论建立后，单电子能带论的结果常作为多电子理论的起点，在解决现代复杂问题时，两种理论是相辅相成的。
简单六方结构二维光子晶体能带的COMSOL模拟
简单六方结构二维光子晶体能带的COMSOL 模拟 北京东之星应用物理研究所 伍勇 1.引言 COMSOL 携带的案例库里，其中一篇
a 是晶格方向的单位 1b ， a a a 32 a i ) a a (a a a x 02223213 2 ) a a (a a a 3211 32
里渊区六方结构光子晶体的布图2. 4.二维光子晶体主方程 COMSOL 在< Bandgap > “模型开发器” [电磁波，频域] 写出方程形式如下： 0)()(0 2 01 E j k E r r ， 在< Bandgap >中，下面目录 [波方程，电] 中直接简化为， 020 E k )E (r 电磁波在光子晶体中的传播遵从麦克斯韦方程，上述方程可由麦克斯韦方程组出发导出 介质中的麦克斯韦方程组 )(D 1 )(B 30 )(t B E 2 )(t D J H 4 E D ，H B ，E J 在电介质中一般认为自由电荷，自由电流密度（电导率）为零。 本文档不考虑磁性质，0 ，0 J ，1 r 传播模态电场函数 COMSOL 表达为： )(t i e z z ik e )y ,x (E )t ,z ,y ,x (E 5 ， 在周期结构中，它应具有Bloch 波的性质，不考虑衰减损耗。注意这里次上标的符号与我们习惯的教科书里正负符号相反。
半导体能带理论(精)
一. 前言 光子晶体也许现在的你对光子晶体这个名字并不熟悉，然而正如20世纪初人们对硅这种半导体材料的懵懂一样，也许在21世纪末的时候，你将对这个名词耳熟能详。因为，到时从你的书桌上摆着的高速个人电脑（上百甚至上千G Hz 的运算速度），到快速而便捷的网络设施，甚至直至你家中能够根据室内实际温度自动开关调节的空调系统，都可能要得益于这种前途光明的新型材料的伟大功劳。光子晶体是一个很前沿的话题，同时它也是一个很深奥的物理概念。要想把光子晶体解释清楚，并不是一件容易的事。但是要想了解它，可以先从它产生的背景说起。我们现在都知道，半导体在我们的生活中充当了重要的角色。利用它的一些区别于导体和绝缘体的特殊的性质，人们制造出了许多的现代固体电子与光电子器件。收音机、电视、计算机、电话、手机等等无一不再应用着半导体制成的芯片、发光二极管（LED）等等元件。而给我们带来这么多便利的半导体材料大多是一些晶体。 二.晶体知识. 晶体和半导体中所谓的晶体，是指内部原子有序排列，形成一种周期性的重复结构，而往往就是这些重复性的结构存在，才决定了半导体的特殊性质。晶体又分单晶和多晶：单晶——在一块材料中，原子全部作有规则的周期排列，由于内部的有序性和规则性，其外形往往是某种规则的立体结构。多晶——只在很小范围内原子作有规则的排列，形成小晶粒，而晶粒之间有无规则排列的晶粒界[j ,HSOv) 隔开。我们熟悉的硅、锗等晶体就属于单晶。半导体分类：半导体可分为本征半导体、P型半导体、N型半导体。本征半导体：硅和锗都是半导体，而纯硅和锗晶体称本征半导体。硅和锗为4价元素，其晶体结构稳定。 P型半导体：P型半导体是在4价的本征半导体中混入了3价原子，譬如极小量（一千万之一）的铟合成的晶体。由于3价原子进入4价原子中，因此这晶体结构中就产生了少一电子的部分。由于少一电子，所以带正电。P型的“P”正是取“Positve（正）”一词的第一个字母。N型半导体：若把5价的原子，譬如砷混入4价的本征半导体，将产生多余1个电子的状态结晶，显负电性。这N是从“Negative（负）”中取的第一个字母。二极管的原理：如图一是未加电场（电压）的情况P型载流子和N型载流子随机地在晶体中。若在图二中的N端施加正电压，在P端施加负电压，内部的载流子，电子被拉到正电压方，空核被拉到负电压方，从而结合面上的载流子数量大大减少，电阻便增大了。如图三加相反电压，此时内部载流子通过结合面，变得易于流动。换言之电阻变小，电流正向流动。请记住：二极管的正向导通是从P型指向N型，国际的标法是：三角形表示P型，横线是N型。二极管在0.6V以 上的电压下电流可急剧移动，反向则无！ 三.能带理论能级（Enegy Level） 在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电带。导带（Conduction Band）：价带以上能量最低的允许带称为导带。导带的底能级表示为Ec，价带的顶能级表示为Ev，Ec与Ev之间的能量间隔为禁带Eg。导体或半导体的导电作用是通过带电粒子的运动（形成电流）来实现的，这种电流的载体称为载流子。导体中的载流子是自由电子，半导体中的载流子则是带负电的电子和带正电的空穴。对于不同的材料，禁带宽度不同，导带中电子的数目也不同，从而有不同的导电性。例如，绝缘材料SiO2的Eg约为5.2eV，导带中电子极少，所以导电性不好，电阻率大于1012Ω·cm。半导体Si的Eg约为1.1eV，导带中有一定数目的电子，从而有一定的导电性，电阻率为10-3—1012Ω·cm。金属的导带与价带有一定程度的重合，Eg=0，价电子可以在金属中 自由运动，所以导电性好，电阻率为10-6—10-3Ω·cm。 四.其它知识原理.
一维光子晶体的能带结构研究开题报告
科研文献调研报告 题目：一维光子晶体的能带结构研究 学院：＿＿理学院＿ 专业：＿＿光信息科学与技术＿＿ 班级：＿2008级 学号：＿ 080701110083 学生姓名：＿＿李辉＿＿＿＿＿指导教师：＿＿徐渟＿＿＿＿＿ 2012年3月14日
一维光子晶体的能带结构研究 摘要： “光子晶体"的概念是1987年S．John和E．Yabloncvitch分别提出来的。而在当今世界，科学家们在不断研究电子控制的同时发现由于电子的特性，半导体器件的集成快到了极限，而光子有着电子所没有的优越特性：传输速度快，没有相互作用。所以科学家们希望能得到新的材料，可以像控制半导体中的电子一样，自由地控制光子。与此同时随着科学技术的发展特别是制造工艺技术的发展，使得光子晶体的制造不仅变得可能，还得到了长足的进步，在可见光及红外波段可以制成具有所需能带结构的光子晶体，实现对光的控制。因此近年来光子晶体得到深入广泛的研究与应用。 关键字：光子晶体能带结构半导体器件 The Investigation on the Band Structures of one-dimensional photonic crystal Abstract： The concept of"Photonic crystals" was put forward byS.John and E.Yabloncvitch in 1987.But nowScientists constantly study electronic control and find that the integration of semiconductor devices has been the limit because of the characteristics of the electronic.And the photon has the advantage of high speed,no interaction, which electron does not have.So scientists want to get
光子晶体简介及应用
光子晶体及其应用的研究 (程立锋物理电子学) 摘要：光子晶体(PbmDftic Crystal)是一种新型的人工材料，其最显著的特点就是具有光子禁带(Photonic B锄d．G ￡lp，简称PBG)，频率落在光子禁带内的电磁波是禁止传播的，因而具有光子带隙的周期性奔电结构就称为光子晶体。近几年，光子晶体被广泛地应用于微波、毫米波的电路设计中。的滤波特性，加以优化，则可以实现带通滤波器。迄今为止，已有多种基于光子晶体的全新光子学器件被相继提出，包括无阈值的激光器，无损耗的反射镜和弯曲光路，高品质因子的光学微腔，低驱动能量的非线性开关和放大器，波长分辨率极高而体积极小的超棱镜，具有色散补偿作用的光子晶体光纤，以及提高效率的发光二极管等。光子晶体的出现使光子晶体信息处理技术的"全光子化"和光子技术的微型化与集成化成为可能，它可能在未来导致信息技术的一次革命，其影响可能与当年半导体技术相提并论。 关键词：光子晶体；算法；应用；
1光子晶体简介 在过去的半个世纪里，随着人们对电子在物质尤其是半导体中运动规律的研究，使得对电子控制能力的增加，从而产生了各种微电子器件以及大规模的集成电路。推动了电子工业和现代信息产业的迅猛发展，半导体技术在人们生活中扮演着越来越重要的角色。半导体的工作载体是电子，因此半导体的研究围绕着怎样利用和控制电子的特性。但近年来，电子器件的进一步小型化以及在减小能耗下提高运行速度变得越来越困难。人们感到了电子产业发展的极限，转而把目光投向了光子。与电子相比，以光子作为信息和能量的载体具有优越性。光子是以光速运动的微观粒子，速度快；它的静止质量为零，彼此间不存在相互作用，即使光线交汇时也不存在相互干扰：它还有电子所不具备的频率和偏振等特征。电子能带和能隙结构是电子作为一种波的形式在凝聚态物质中传播的结构，而光子和电子一样具有波动性，那么是否存在这样一种材料，光子作为一种波的形式在其中传播也会产生光子能带和带隙。近来大量的理论和实验表明确实存在这样一种材料，其典型的结构是一个折射率周期变化的三维物体，它的周期为光的波长，折射率变化比较大时，会出现类似于电子情况的光子能带和带隙。这种具有光子能带和带隙的材料被称为光子晶体。 在半导体材料中，电子在晶体的周期势场中传播时，由于电子波会受到周期势场的布拉格散射而形成能带结构，带与带之间可能存在
晶体结构
第二章晶体结构及常见晶体结构类型 1、名词解释 （a）晶体与晶体常数（b）类质同晶和同质多晶（c）二八面体型与三八面体型（d）同晶取代与阳离子交换（e）尖晶石与反尖晶石（f）晶胞与晶胞参数（g）配位数与配位体（h）同质多晶与多晶转变（i）位移性转变与重建性转变（j）晶体场理论与配位场理论 解：（a）晶体是内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体。或晶体是具格子构造的固体。晶体常数：晶轴轴率或轴单位，轴角。 （b）类质同象：物质结晶时，其晶体结构中部分原有的离子或原子位置被性质相似的其它离子或原子所占有，共同组成均匀的、呈单一相的晶体，不引起键性和晶体结构变化的现象。 同质多晶：同一化学组成在不同热力学条件下形成结构不同的晶体的现象。（c）二八面体型：在层状硅酸盐矿物中，若有三分之二的八面体空隙被阳离子所填充称为二八面体型结构。 三八面体型：在层状硅酸盐矿物中，若全部的八面体空隙被阳离子所填充称为三八面体型结构。 （d）同晶取代：杂质离子取代晶体结构中某一结点上的离子而不改变晶体结构类型的现象。 阳离子交换：在粘土矿物中，当结构中的同晶取代主要发生在铝氧层时，一些电价低、半径大的阳离子（如K+、Na+等）将进入晶体 结构来平衡多余的负电荷，它们与晶体的结合不很牢固，在一定条件下可以被其它阳离子交换。 （e）正尖晶石：在AB2O4尖晶石型晶体结构中，若A2+分布在四面体空隙、而B3+分布于八面体空隙，称为正尖晶石； 反尖晶石：若A2+分布在八面体空隙、而B3+一半分布于四面体空隙另一半分布于八面体空隙，通式为B(AB)O4，称为反尖晶石。 （f）任何晶体都对应一种布拉菲格子，因此任何晶体都可划分出与此种布拉菲格子平行六面体相对应的部分，这一部分晶体就称为晶胞。晶胞是能够反映晶体
以平面波展开法分析光子晶体能带结构.
以平面波展開法分析光子晶體能帶結構 廖淑慧講師 中州技術學院電子工程系 黃坤賢學生 黃照智學生 中州技術學院電子工程系 摘要 光子晶體的主要特色在於所謂的光子能隙—電磁波無法在能隙中傳播。雖然三維的光子晶體被認為是最具應用潛力的，但是二維光子晶體的結構在製程上卻佔有較易製作的優勢，所以在光電元件裝置及相關研究領域上亦廣為使用。我們使用平面波展開法，分別計算一維和二維光子晶體的能帶結構。根據理論分析的結果，我們發現一維光子晶體無論介電常數差異如何，總是存在著光子能隙。對於二維正方晶格的結構計算，我們發現正方晶格對TM波有能隙，對TE波則無。 關鍵詞: 光子晶體，光子能隙，平面波展開法 壹﹑前言 當半導體中的電子受到晶格的週期性位勢(periodic potential)散射時，部份波段會因破壞性干涉而形成能隙(energy gap)，導致電子的色散關係(dispersion relation)呈帶狀分佈，此即所謂的電子能帶結構(electronic band structure)。西元1987年，E. Yablonovitch 與S. John不約而同地提出相關見解[1][2]，說明類似的現象亦存在於所謂的光子系統中。根據他們提出的研究報告顯示，在介電係數呈週期性排列的三維介電材料中，電磁波被散射後，某些波段的電磁波強度將會因破壞性干涉而呈指數衰減，無法在該材料內傳遞，這樣的現象相當於在對應的頻譜上形成能隙，因此，色散關係也具有帶狀結構，此即所謂的光子能帶結構(photonic band structure)。這種具有光子能帶結構的介電物質，就稱為光子晶體(photonic crystal)。 事實上，在三維光子能帶結構的概念尚未被提出之前，科學家們對於一維的光子晶體(層狀介電材料) 的研究早已行之多年。電磁波在一維的光子晶體中的干涉現象早已應用在各種光學實驗以及相關的應用產品之中，例如作為波段選擇器、濾波器、繞射光柵元件或反射鏡等。因為科學界一直未能以「晶格」的角度來看待週期性光學材料，所以遲遲未能將固態物理上已發展成熟的能帶理論運用在這方面。直到1989年，Yablonovitch與Gmitter首次嘗試在實驗上證明三維光子能帶結構的存在[3]，終於引起相關研究領域的注意，並且開始大舉投入這方面的研究。
晶体的能带理论
晶体的能带理论 一、能带理论（Energy band theory ）概述 能带理论是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。它首先由 F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出，它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动，即是单电子近似的理论；对于晶体中的价电子而言，等效势场包括原子实的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来交换作用，是一种晶体周期性的势场。 即认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子，并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动的；由此得出，共有化电子的本征态波函数是Bloch函数形式，能量是由准连续能级构成的许多能带。 二、能带的形成 图1 1.电子共有化 对于只有一个价电子的简单情况：电子在离子实 电场中运动，单个原子的势能曲线表示如图1。 图2 当两个原子靠得很近时：每个价电子将同时受到两个离子实电场的作用，这时的势能曲线表示为图2。
当大量原子形成晶体时，晶体内形成了周期性势场，周期性势场的势能曲线具有和晶格相同的周期性!（如图3所示） 即:在N 个离子实的范围内，U 是以晶格间距d 为周期的函数。实际的晶体是三维点阵，势场也具有三维周期性。 图3 分析： 1.能量为E1的电子，由于E1小，势能曲线是一种势阱。因势垒较宽，电子穿透势垒的概率很微小，基本上仍可看成是束缚态的电子，在各自的原子核周围运动； 2.具有较大能量E3 的电子，能量超过了势垒高度，电子可以在晶体中自由运动； 3.能量E2 接近势垒高度的电子，将会因隧道效应而穿越势垒进入另一个原子中。 这样在晶体场内部就出现了一批属于整个晶体原子所共有的电子，称为电子共有化。价电子受母原子束缚最弱，共有化最为显著！
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以上根据倒格子基矢定义计算出1b ，2b 及其分量。由倒格子基矢1b ，2b ，构建长方格子的布里渊区也是长方结构如图2： 4.二维光子晶体主方程 COMSOL 在
光子晶体原理与应用
一、绪论 1.1光子晶体的基本概念 光子晶体是由不同介电常数的介质材料在空间呈周期排布的结构，当电磁波受到调制而形成类似于电子的能带结构，这种能带结构称为光子能带。在合适的晶格常数和介电常数比的条件下，类似于电子能带隙，在光子晶体的光子能带间可出现使某些频率的电磁波完全不能透过的频率区域，将此频率区域称为光子带隙或光子禁带。人们又将光子晶体称为光子带隙材料。 与一般的电子晶体类似，光子晶体也有一维、二维、三维之分。一维光子晶体是介电常数不同的两种介质块交替堆积形成的结构。实际上，一维光子晶体已经被广泛应用，如法布里-珀罗腔光学多层的增反/透膜等。二维光子晶体是介电常数在二维空间呈周期性排列的结构。 光子晶体中存在光子禁带的物理机理是基于固体物理的布洛赫理论。 1.2光子带隙 光子在光子晶体中的行为类似于电子在半导体晶体中的行为，通过独特的光子禁带可改变光的行为。研究表明，光子带隙有完全光子带隙与不完全光子带隙的区分。所谓完全光子带隙，是指在一定频率范围内，无论其偏振方向及传播方向如何，光都禁止传播，或者说光在整个空间的所有传播方向上都有能隙，且每个方向上的能隙能互相重叠。所谓不完全光子带隙，则是相应于空间各方向上的能隙并不能完全重叠，或只在特定的方向上有能低折射率的介质在晶格中所占比率以及它们在空间的排列结构。总的来说，折射率差别越大带隙越大，能够达到的效率也就越高。 二、光子晶体的晶体结构和能带结构特性研究 2.1一维光子晶体的传输矩阵法 设一维光子晶体由两种材料周期性交替排列构成，通常称一维二元光子晶体，类似固体能带理论中的Kroning-penney模型，在空气中由A、B薄层交替构成一维人工周期性结构材料，其中A材料的折射率是na，厚度为ha，B材料的
光子晶体理论与器件课程背景
光子晶体理论与器件课程背景 关键词：光子晶体，禁带，晶体，材料，光子学 Key words : photonic crystals, band gap, crystals, materials, photonics 1 光子晶体概念的历史由来 光子晶体的概念首先由光子晶体的概念是在1987年分别由S. John [1] 和E. Yablonovitch [2] 各自独立提出。20多年来，光子晶体的理论和应用研究在全世界掀起了一股热潮，取得了一系列重要进展，已经发展成为一个世人瞩目的学科。光子晶体作为一种新型的光子器件材料，能够控制光子的运动，在提高发光二极管的发光效率，改善太阳能电池的光电转换效率，制作体积仅为光波波长的立方的数量级的微型激光器，实现无阈值激光振荡，控制原子的自发辐射，制造高增益、低损耗的天线，高增益光子频率滤波器，光子晶体空间波滤波器，光子晶体功率分配器/合成器，光子晶体相位补偿器、相移器，光子晶体偏振分离集成光路，光子晶体传感器，光子晶体负折射率器件，光子晶体自准直器件，光子晶体光束成形，光子晶体微透镜，光子晶体光脉冲压缩器件，光子晶体平板波导，光子晶体定向耦合器，光子晶体光纤，光子晶体非线性器件，光子晶体超连续谱产生，光子晶体混频器，光子晶体倍频器，光子晶体光开关，波分复用集成光路器件，光调制/解调集成光路，光二极管集成光路，光隔离器集成光路，光环行器集成光路，光子逻辑集成光路，光子存储、光子频率变换，光子信息处理，光子晶体光声器件，光子晶体光力器件、光子晶体太赫兹器件等方面均有着广泛的应用，因此引起了国际上广泛的注意。[1-77] 光子晶体的概念是根据传统的晶体概念类比而来的。在固体物理研究中发现，晶体中的周期性排列的原子所产生的周期性电势场结构对电子会产生一个特殊的约束作用。在这样的空间周期性电势场中的电子的运动所遵守的规律是由如下的薛定谔方程决定的： 0),())]((2[22=ψ-+?t r r V E m （1） 其中)(r V 是电子的势能函数，它具有空间周期性。求解以上方程式（1）可以发现，电子的能量E 只能取某些特殊值，在某些能量区间内该方程无解，也就是说电子的能量不可能落在在这样的能量区间，通常称之为能量禁带。研究发现，电子在这种周期性结构中的德布罗意波长与晶体的晶格常数具有大致相同的数量级。 从电磁场理论知道，在介电系数呈空间周期性分布的介质中，电磁场所服从的规律是如下所示的Maxell 方程： 0),(]))(([022 2=???-++?t C εεω （2） 其中，0ε为平均相对介电常数，)(r ε为相对介电常数的调制部分，它随空间位置做周期性变化，C 为真空中的光速，ω为电磁波的频率，),(t r E 是电磁波的电场矢量。可以看到方程式（1）和（2）具有一定的相似性。事实上，通过对方程式（2）的求解可以发现，该方程式只有在某些特定的频率ω处才有解，而在某些频率ω取值区间该方程无解。这也就是说，在介电常数呈周期性分布的介质结构中的电磁波的某些频率是被禁止的，通常称这些被禁止的频率区间为“光子频率禁带”（Photonic Band Gap ）,而将具有“光子频率禁带”的材料称作为光子晶体。
固体物理总结材料能带理论完全版
标准文案
目录 一、本章难易及掌握要求 (1) 二、基本容 (1) 1、三种近似 (1) 2、周期场中的布洛赫定理 (2) 1）定理的两种描述 (2) 2）证明过程： (2) 3）波矢k的取值及其物理意义 (3) 3、近自由电子近似 (3) A、非简并情况下 (4) B、简并情况下 (5) C、能带的性质 (6) 4、紧束缚近似 (6) 5、赝势 (9) 6、三种方法的比较 (10) 7、布里渊区与能带 (11) 8、能态密度及费米面 (11) 三、常见习题 (14) 简答题部分 (14) 计算题部分 (15)
一、本章难易及掌握要求 要求重点掌握： 1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明； 3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白三维近自由电子近似的思想； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度及明白费米面的概念。 本章难点： 1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的 应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。 了解容： 1）能带的成因及对称性； 2）费米面的构造； 3）赝势方法； 4）旺尼尔函数概念； 5）波函数的对称性。 二、基本容 1、三种近似
在模型中它用到已经下假设： 1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。 2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。 3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理 1）定理的两种描述 当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质： 形式一：()()n ik R n r R e r ψψ?+=，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间 的波函数相位差 形式二：()()ik r r e u r ψ?=，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可 用受 ) (r u k 调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+，n R 取布拉 菲格子的所有格矢成立。 2）证明过程： a. 定义平移算符T ，)()()()(3322113 2 1 a T a T a T R T m m m m = b ． 证明T 与?H 的对易性。α αHT H T = c.代入周期边界条件，求出T 在T 与?H 共同本征态下的本征值
晶体的能带理论
晶体的能带理论一、能带理论（Energy band theory ）概述 能带理论是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。它首先由F.布洛赫和.布里渊在解决金属的导电性问题时提出，它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动，即是单电子近似的理论；对于晶体中的价电子而言，等效势场包括原子实的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来交换作用，是一种晶体周期性的势场。 即认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子，并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动的；由此得出，共有化电子的本征态波函数是Bloch函数形式，能量是由准连续能级构成的许多能带。 二、能带的形成 图1 1.电子共有化 对于只有一个价电子的简单情况：电子在离子 实 电场中运动，单个原子的势能曲线表示如图1。 图2 当两个原子靠得很近时：每个价电子将同时受到两个离子实电场的作用，这时的势能曲线表示为图2。 当大量原子形成晶体时，晶体内形成了周期性势场，周期性势场的势能曲线具有和晶格相同的周期性!（如图3所示）
即:在N 个离子实的范围内，U 是以晶格间距d 为周期的函数。实际的晶体是三维点阵，势场也具有三维周期性。 图3 分析： 1.能量为E1的电子，由于E1小，势能曲线是一种势阱。因势垒较宽，电子穿透势垒的概率很微小，基本上仍可看成是束缚态的电子，在各自的原子核周围运动； 2.具有较大能量E3 的电子，能量超过了势垒高度，电子可以在晶体中自由运动； 3.能量E2 接近势垒高度的电子，将会因隧道效应而穿越势垒进入另一个原子中。 这样在晶体场内部就出现了一批属于整个晶体原子所共有的电子，称为电子共有化。价电子受母原子束缚最弱，共有化最为显着！ 可借助图4理解电子共有化： 图4 晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近.致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。 2.能带的形成是电子共有化的结果。 孤立原子的外层电子可能取的能量状态完全相同，但当原子彼此靠近时，外层电子就不再仅受原来所属原子的作用，还要受到其他原子的作用，这使电子的能量发生微小变化。原子结合成晶体时，原子最外层的价
光子晶体及其器件的研究进展
深圳大学研究生课程论文题目光子晶体及其器件的研究进展成绩 专业 课程名称、代码 年级姓名 学号时间2016年12月 任课教师
子晶体及其器件的研究进展 摘要：光子晶体是一种具有光子带隙的新型材料，通过设计可以人为调控经典波的传输。由 于光子晶体具有很多新颖的特性，使其成为微纳光子学和量子光学的重要研究领域。随着微加工技术的进步和理论的深入研究，光子晶体在信息光学以及多功能传感器等多个学科中也得到了广泛应用。本文介绍了光子晶体及其特征，概述了光子晶体器件的设计方法和加工制作流程，论述现阶段发展的几种光子晶体器件，并对光子晶体器件的发展趋势做了展望。 关键词：光子晶体；光子晶体的应用；发展趋势 Research progress of photonic crystals and devices Abstract：Photonic crystal is a new material with photonic band gap, which can regulate the transmission of classical wave artificially. Because it has many novel properties of photonic crystal, which is becoming an important research field of micro nano Photonics and quantum optics. With the progress of micro machining technology and theoretical research, photonic crystals have been widely used in many fields such as information optics and multifunction sensors. This paper introduces the photonic crystals and its characteristics, summarizes the design method and process of the photonic crystal devices in the production process, discusses several kinds of photonic crystal devices at this stage of development, and the development trend of photonic crystal devices is prospected. Key words：Photonic crystal; application of photonic crystal; development trend 1引言 在过去的半个世纪里，随着人们对电子在物质尤其是半导体中运动规律的研究，使得对电子控制能力的增加，从而产生了各种微电子器件以及大规模的集成电路，推动了电子工业和现代信息产业的迅猛发展，半导体技术在人们生活中扮演着越来越重要的角色。目前半导体技术正向着高速化和高集成化方向的发展，不可避免地引发了一系列问题。当信息处理的频率和信号带宽越来越高时，通过金属线传输电子会带来难以克服的发热问题和带宽限制；而线宽减小到深纳米尺度时，相邻导线的量子隧穿效应成为电子器件发展的重要瓶颈。这迫使人们越来越关注光信息处理技术，并尝试用光器件来替代部分传统电子器件，以突破上述瓶颈限制。实现这一目标的关键在于如何将光子器件尺寸降低至微纳米量级，并能与微电子电路集成在同一芯片上。 目前比较有效的方法有三种：纳米线波导，表面等离子体和光子晶体。其中，光子晶体具有体积小、损耗低和功能丰富等多种优点，被认为是最有前途的光子集成材料，称为光子半导体[1]，它是1987年才提出的新概念和新材料。这种材料有一个显著的特点是它可以如人所愿地控制光子的运动。由于其独特的特性，光子晶体可以制作全新原理或以前所不能制作的高性能光学器件，在光通讯上也有重要的用途，如用光子晶体器件来替代传统的电子器件，信息通讯的速度快得
晶体中电子能带理论习题测
第五章晶体中电子能带理论习题测试 1.将布洛赫函数中的调制因子展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当 电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模 型下, 此级数又有什么特点? [解答] 由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数 , 对比本教科书(5.1)和(5.39)式可得 =. 对于近自由电子, 当电子波矢远离布里渊区边界时, 它的行为与自由电子近似, 近似一常数. 因此, 的展开式中, 除了外, 其它项可忽略. 当电子波矢落在与倒格矢K n正交的布里渊区边界时, 与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射, 展开式中, 除了和两项外, 其它项可忽略. 在紧束缚模型下, 电子在格点R n附近的几率2大, 偏离格点R n的几率 2小. 对于这样的波函数, 其付里叶级数的展式包含若干项. 也就是说, 紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造.. 2.布洛赫函数满足 =, 何以见得上式中具有波矢的意义? [解答] 人们总可以把布洛赫函数展成付里叶级数 ,
其中k’是电子的波矢. 将代入
=, 得到 =. 其中利用了(是整数), 由上式可知, k=k’, 即k具有波矢的意义. 3.波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答] 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为, 而波矢空间的基矢分别为, N 1、N2、N3分别是沿正格子基矢 方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 , 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 , 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N. 由于N是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的. 4.与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？ [解答] 当电子的波矢k满足关系式
光子晶体论文
光子晶体 摘要：光子晶体是指具有光子带隙的周期性介电结构材料，按其空间分布分为一维、二维、三维光子晶体，一维光于晶体已得到实际应用，三维光于晶体仍处于实验室实验阶段，由于其优良的性能，未来光子晶体材料必将得到大力开发，应用前景更广泛。本文简要的论述了光子晶体的原理，理论研究，材料制备以及相关的应用。光子晶体材料是本世纪最具潜力的材料之一，至从上世间八十年代后期提出这一概念后。光于材料的研究和应用得到了很太的发展，目前在光纤和半导体激光器中已得到应用，本文就光子材料的基本概念和研究现状综合评述并对其未来发展趋势作出相应预测。 关键字：光子晶体;材料制备;前景应用 Hotonic crystal Abstract:photonic crystal is a photonic band gap in periodic dielectric structure material, according to their spatial distribution is divided into one-dimensional, two-dimensional, three-dimensional photonic crystal, one-dimensional light in crystals have been obtained the practical application, 3D light in the crystal is still in the laboratory stage, because of its excellent performance, future photonic crystal material bound to get development, application is more extensive. This paper briefly discusses the principle of photonic crystal, theoretical research, preparation and application. Photonic crystal material is the most potential of one of the materials, to the world in the late eighty put forward this concept. Light in materials research and application has been great development, present in the fiber and semiconductor lasers have been applied, the photonic materials the basic concepts and research status are summarized and the future development trends to make the corresponding prediction. Keywords: photonic crystal material preparation and its application prospect 光子晶体的原理 1、什么是光子晶体 光子晶体是指具有光子带隙的周期性介电结构材料，所谓光子带隙是由于介电常数不同的材料在空间周期性排列导致介电常数的空间周期性，使得光折射率产生周期性分布，光在其中传播时产生能带结构，在带隙中的光子频率被禁止传播，因此称光子禁带，具有光子禁带特征的材料称光子晶体。因其具有光子局域、抑制自发辐射等特性，故光子晶体也被认为是控制光子的光半导体。
分子结构与晶体结构完美版
第六章分子结构与晶体结构 教学内容： 1.掌握杂化轨道理论、 2.掌握两种类型的化学键（离子键、共价键）。 3.了解现代价键理论和分子轨道理论的初步知识，讨论分子间力和氢键对物质性质的影响。 教学时数：6学时 分子结构包括： 1.分子的化学组成。 2.分子的构型：即分子中原子的空间排布，键长，键角和几何形状等。 3.分子中原子间的化学键。 化学上把分子或晶体中相邻原子（或离子）之间强烈的相互吸引作用称为化学键。化学键可 分为：离子键、共价键、金属键。 第一节共价键理论 1916年，路易斯提出共价键理论。 靠共用电子对，形成化学键，得到稳定电子层结构。 定义：原子间借用共用电子对结合的化学键叫做共价键。 对共价键的形成的认识，发展提出了现代价键理论和分子轨道理论。 1.1共价键的形成 1.1.1 氢分子共价键的形成和本质（应用量子力学） 当两个氢原子（各有一个自旋方向相反的电子）相互靠近，到一定距离时，会发生相互作用。每个H原子核不仅吸引自己本身的1s电子还吸引另一个H原子的1s电子，平衡之前，引力＞排斥力，到平衡距离d，能量最低：形成稳定的共价键。 H原子的玻尔半径：53pm，说明H2分子中两个H原子的1S轨道必然发生重叠，核间形成一个 电子出现的几率密度较大的区域。这样，增强了核间电子云对两核的吸引，削弱了两核间斥力，体系能量降低，更稳定。（核间电子在核间同时受两个核的吸引比单独时受核的吸引要小，即位能低，∴能量低）。
1.1.2 价键理论要点 ①要有自旋相反的未配对的电子 H↑+ H↓ -→ H↑↓H 表示：H:H或H-H ②电子配对后不能再配对即一个原子有几个未成对电子，只能和同数目的自旋方向相反的未成对电子成键。如：N：2s22p3，N≡N或NH3 这就是共价键的饱和性。 ③原子轨道的最大程度重叠 （重叠得越多，形成的共价键越牢固） 1.1.3 共价键的类型 ①σ键和π键（根据原子轨道重叠方式不同而分类） s-s ：σ键，如：H-H s-p ：σ键，如：H-Cl p-p ：σ键，如：Cl-Cl π键， 单键：σ键 双键：一个σ键，一个π键 叁键：一个σ键，两个π键 例：N≡N σ键的重叠程度比π键大，∴π键不如σ键牢固。 σ键π键 原子轨道重叠方式头碰头肩并肩 能单独存在不能单独存在 沿轴转180O符号不变符号变 牢固程度牢固差 含共价双键和叁键的化合物的重键容易打开，参与反应。