第一讲 速算与巧算
第一讲速算与巧算
第一讲速算与巧算第一讲速算与巧算一、知识要点速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。
我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质，通过对算式适当变形从而使计算简便。
在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。
转化问题法即把所给的算式，根据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果的算式。
二、精讲精练【例题1】计算9+99+999+9999【思路导航】这四个加数分别接近10、100、1000、10000。
在计算这类题目时，常使用减整法，例如将99转化为100－1。
这是小学数学计算中常用的一种技巧。
9+99+999+9999=（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1）=10+100+1000+10000－4=11106练习1：1计算1998+2997+4995+5994 2.计算19998+39996+49995+69996.【例题2】计算489+487+483+485+484+486+488【思路导航】认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490为基准数。
489+487+483+485+484+486+488=490×7－1－3－7－5－6－4－2=3430－28=3402想一想：如果选480为基准数，可以怎样计算？.练习2：1. 1032+1028+1033+1029+1031+10302.2451+2452+2446+2453.【例题3】计算下面各题。
（1）632－156－232 （2）128+186+72－86【思路导航】在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。
练习3：计算下面各题1.1208－569－2082.283+69－1833.132－85+68【例题4】计算下面各题。
第1讲 速算与巧算
第一章速算与巧算知识要点在速算与巧算中，主要是运算定律、性质和一些技巧方法的运用。
1.加法巧算。
(1)加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。
字母表示：a＋b＝b＋a(2)加法结合律；三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。
字母表示：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)交换律和结合律通常是在一起使用。
如果多个数相加，任意交换加数的位置，它们的和不变，或者先把其中的几个数结合成一组相加，再把所得的和同其他剩下的数相加，它们的和仍然不变。
字母表示：a＋b＋c＋d＋e＝d＋(b＋d＋e)＋c2.减法巧算。
(1)减法的运算性质(有时可以将减法的运算性质理解成填括号或去括号的性质)：一个数减去几个数的和，等于从这个数里依次减去和中的每一个加数。
字母表示：a－(b＋c＋d)＝a－b－c－d(2)一个数连续减去几个数，等于从这个数中减去这几个数的和。
字母表示：a－b－c－d＝a－(b＋c＋d)3.乘法巧算。
(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
字母表示：a×b＝b×a(2)乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数结合起来相乘，再和第三个数相乘；也可以先把后两个数结合起来先乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。
字母表示：a×b×c＝(a×b)×c＝a×(b×c)交换律和结合律通常是在一起使用。
如果多个数相乘，任意交换因数的位置，它们的积不变；可以选择两个因数相乘，得出便于运算的整十、整百、整千……的积，再将这个积与其他的因数相乘；有时可以把一个因数用几个因数相乘的形式表示，使其中一个因数与算式中其他的某个因数的积成为便于运算的数，然后再与其他的因数相乘，使计算快捷准确。
(3)积不变的规律：如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。
第一讲 速算与巧算
第一讲速算与巧算一、加减巧算知识梳理1、学会“化零为整”的思想。
2、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。
3、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。
例1凑整法 23＋54＋18＋47＋82；例2借数凑整法有些题目直观上凑整不明显，这时可“借数”凑整。
例如，计算976＋85，可在85中借出24，即把85拆分成24＋61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。
(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650)例3分组凑整法(1)875-364-236； (2)1847-1928＋628-136-64；例4加补凑整法(1)512-382； (2)6854-876-97；二、乘除巧算知识梳理前面我们已给同学们介绍了加、减法中的巧算，大家学会了运用“凑整”的方法进行巧算，实际上这种凑整的方法也同样可以运用在乘除计算中。
为了更好地凑整，同学们要牢记以下几个计算结果：2×5=10，4×25=100，8×125=1000。
提高计算能力，除了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还要掌握一定的运算技巧。
巧算中，经常要用到一些运算定律，例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等，善于运用运算定律，是提高巧算能力的关键。
例1你有好办法算出下面各题的结果吗？（1）25×17×4 （2）8×18×125 （3）8×25×4×125例题2你有好办法计算下面各题吗？（1）16×125 （2）16×25×25 （3）125×32×25思路点拨：分解因数，凑整先乘例3 计算（1） 175×34＋175×66 （2） 123×99思路点拨：应用乘法分配律例题4你能很快算出它们的结果吗？（1）82×88 （2）51×59思路点拨：通过观察，我们可以发现这两题都是两位数乘两位数，被乘数和乘数十位上的数字相同，个位数字和是10，像这样的题目，我们可以将首位数字加1再乘首位数字，得数作为积的前两位数字；将两个末位数字相乘，得数作为积的末位两个数字，如果末位数字相乘的积是一位数，要在前面加一个0。
小学数学奥数精讲-第一讲-速算与巧算
第1讲速算与巧算在进行加减运算时，为了又快又准确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算方法。
加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成假设干组，使每组的运算结构都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。
这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。
一、先讲加法的巧算，加法具有以下两个运算律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。
即：a+b=b+a其中，a,b各表示任意数字。
例如，5+6=6+5一般地，多个数相加，任意改变相加的顺序，其和不变。
例如，a+b+c+d=d+b+c+a=…其中，a,b,c,d各表示任意一数。
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。
即：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)其中，a,b,c,各表示任意一数。
例如：4+9+7=〔4+9〕+7=4+〔9+7〕一般地，多个数相加，可先对其中几个数相加，再与其他数相加。
把加法交换律和加法结合律综合起来运用，就得到加法的一些巧算方法。
1、凑整法。
先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来，然后再与其他的数相加。
例1：计算〔1〕23+54+18+47+82（2） 1350+49+68+51+32+16502、借数凑整法有些题目直观上凑数不明显，这时可“借数”凑整。
例如，计算976+85，可在85中借出24，即把85拆分成24+61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。
例2：计算〔1〕57+64+238+46〔2〕4993+3996+5997+848二、减法和加减法混合运算的巧算。
加、减法有如下一些重要性质：1、在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。
例如：a-b-c=a-c-b,a-b+c=a+c-b2、在加、减法混合运算中，去括号时，如果括号前面是“+”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变，如果括号前面是“-”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“+”变为“-”，“-”变为“+”。
四年级奥数第一讲-速算与巧算含答案
第一讲 速算与巧算一、 知识点：1. 要认真观察算式中数的特点，算式中运算符号的特点。
2. 掌握基本的运算定律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
3. 掌握速算与巧算的方法：如等差数列求知、凑整、拆数等等。
二、典例剖析：例（1） 19199199919999199999++++分析：运用凑整法来解十分方便，也不容易出错误。
解：原式()()()() =(201)+2001+20001+200001+2000001 -----=20+200+2000+20000+2000005 =2222205 =222215--练一练：898998999899998999998+++++=答案：1111098例（2）10099989796321+-+-++-+分析：暂不看头尾两个数，就会发现中间都是先加后减，并且加数与减数相差1，所以就算这题可以先把中间部分分组凑成若干个1，再与其余部分进行计算。
解：原式100(9998)(9796)(32)1=+-+-++-+ 100491=++150=练一练：989796959493929190894321+--++--++---++答案：99例（3） 1111111111⨯分析：111,1111121,11111112321⨯=⨯=⨯= 解：1111111111123454321⨯=练一练：2222222222⨯答案：493817284例（4） 1234314243212413+++分析：数字1、2、3、4，在个位、十位、百位、千位上均各出现一次。
解：原式1111222233334444=+++ 1111(1234)=⨯+++ 111110=⨯ 11110=练一练：5678967895789568956795678++++答案：388885例（5） 339340341342343344345++++++分析：这七个数均差1，且个数为7个，所以中间数就是七个数的中位数。
第一讲 速算与巧算
第一讲速算与巧算第一讲速算与巧算全名：第一讲速算与巧算（一）我们讨论了加法、减法和乘法的一些简单计算。
在这堂课中，我们将主要探讨加法、减法、乘法和除法的快速计算和熟练计算，以提高我们的计算能力和思维能力。
速算与巧算的方法还是要依据各种运算定律以及和、差、积、商的变化规律。
把所给的算式适当变形，转化为易于计算的算式，或者改变运算顺序便于凑整来进行解读。
典型实例分析（略）动动手，试一试1.找到一个“基准数字”，快速计算以下问题，并编写必要的流程39+34+31+28+27187+189+173+174+179383+382+381+379+37794+89+91+96+87+92+882、把下面各数看成整十、整百、整千??速算下面各题，写出必要过程。
9+97+998+999899999+9999+999+99+9893+497+199+298298+197+395+498+2993、改变或调换某些数的位置，巧算下面各题，写出必要过程。
543－291－143874+268－674439+128+72－339574+266－474+34姓名：想想看。
做一个八位数的数字。
一位数字中的数字是5，一千万位数字中的数字是9，任何三个相邻数字的和是20。
这八位数字是（）。
2.六位数省略10000位数后的尾数为600000。
最大值为（），最小值为（）。
3.使用2、3、4、5、6和0组成一个接近5亿的数字是（）。
4.对于一个七位数的数字，每个数字上的数字是不同的，总和是36。
七位数字的最大值为（），最小值为（）。
5、玲玲的爸爸为玲玲的电脑设置了开机密码,这个开机密码用0,0,1,3,4,5,6,7,9这九个数字组成,并且是约等于10亿的最大的九位数.爸爸为玲玲设计的开机密码是().6、用3个0和2个8组成几个五位数？把它们写出来，并按从大到小的顺序排列起来。
7.一个数字由8千万、4万、3百和5个一组成。
这个号码是（）。
第一讲速算与巧算
第一讲速算与巧算第一讲速算与巧算速算技巧在计算中，通过“凑整”、“拆数”、“等积变形”、“应用补充的数”等方法改变运算方法、顺序，运用运算定律、性质、计算公式等，可以使我们的运算变得简便。
速算技巧（一）1.几个接近的数相加例1、计算898+899+901+907+895+911+898+897+906+890思路与技巧：求几个大小比较接近的加数的和，可以选择一个比较接近的数作为相同加数（有时又叫做“标准数”），用乘法求出这几个相同加数的和，然后加上少加的数，减去多加的数。
计算：8888＋253＋249＋248＋250＋248＋246＋251＋2552.换个方法用乘法分配律例2、1420×3.4＋1.42×2300＋14.2×430思路与技巧：积不变的规律应用一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。
1、当有几个乘式相加并且有一个因数相同时，可以考虑逆向利用乘法分配律进行简便计算。
2、如果一个因数数字相同而小数点位置不同，要首先利用积的变化规律使得其中一个因数相同，然后再利用乘法分配律。
计算：1.6×5.96＋264×0.596＋720×0.596速算技巧（二）1.巧用括号改变运算顺序引例：看谁算得又对又快，（1）562+314+438+286 （2）713－36－64 （3）713－（213－46）例1：计算: 63587－3963－2065＋36413－4789－3183思路与技巧:在连减运算时，有时运用连减的规律a－ (b＋c)=a－b－ca－ (b－c)=a－b＋c计算：236.87－37.4－6.87－28.5－34.12.商不变的性质的应用被除数与除数同时扩大或缩小相同的倍数，所得的商不变.例2、计算（1）5000 ÷ 125 （2）（96000－96）÷（32000－32）（3）（97932－97.932）÷（32644－32.644）计算：（12344－123.44）÷（24688－246.88）速算技巧（三）运用运算律简便计算计算（1）80.8×125 （2）125×239×25×64×5乘法中的凑整规律：5×2＝1025×4＝100125×8＝1000当乘法算式中有因数5、25、125，常常通果拆数和积不变的性质得到上面几个式子。
第一讲 ：速算与巧算
速算与巧算速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。
速算巧算中会用到加法和减法，乘法和除法的运算定律和运算性质！巧算方法中，蕴含着一种重要的解决问题的策略：转化问题法。
即把所给的算式，根据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序，或凑整从而变成一个易于算出结果的算式。
例1：9+99+999+9999（凑数法）即时练习：计算：（1）999999+99999+9999+999+99+9（2）9+98+996+9997（3）19999+2998+396+497（4）198+297+396+495（5）1998+2997+4995+5994（6）19998+39996+49995+69996例2：489+487+483+485+484+486+488（基准数）即时练习：计算：（1）50+52+53+54+51（2）262+266+270+268+264（3）89+94+92+95+93+94+88+96+87（4）381+378+382+383+379（5）1032+1028+1033+1029+1031+1030（6）2451+2452+2446+2453例3：（1）632—136—232 （2）128+186+72—86在一个没有括号的算式中，如果只有第一级计算，计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。
即时练习：（1）1208—569—208（2）283+69—183（3）132—85+68（4）2318+625—1318+375例4：（1）248+（152—127）（2）324—（124—97）（3）283+（358—183）计算有括号的加减混合运算时：括号前面是“+”，去掉括号不改号，括号前面是“-”，去掉括号要改号。
即时练习：（1）384+（252—166）（2）629+（320—129）（3）462—（262—129）（4）662—（315—238）（5）5623—（623—289）+452—（352—211）（6）736+678+2386—（336+278）—186例5：（1）286+879—679 （2）812—593+193=286+（879—679）=812—（593—193）=286+200 =812—400=486 =412计算没有括号的加建混合运算时：括号前面是“+”，添、去括号不改号，括号前面是“-”，添、去括号要改号。
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第一讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
●基准数速算法1、典型例题分析：例1：四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下，求这10名同学的总分。
86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
2、分析：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准数”，比如以“80”作基准数，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到：总分：80×10＋（6-2-3＋3＋11-6+12-11+4-5）＝800＋9＝809实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。
为了清楚起见，将这一过程表示如下：同理，因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。
因为是两个82相乘，所以对其中一个82“移多”后，还需要在另一个82上“找齐”。
给一个82减去2。
最后，还要加上“移多补少”的这个零头数2的平方。
这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。
例2：求9932的值。
解：9932=993×993＝（993＋7）×（993-7）+72＝1000×986＋49＝986000＋49＝986049。
下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。
请看下面的算式：66×46，73×88，19×44。
这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。
这类算式有非常简便的速算方法。
例3：88×64＝？分析与解：由乘法分配律和结合律，得到88×64＝（80＋8）×（60＋4）＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4＝80×（60＋6＋4）＋8×4＝80×（60＋10）＋8×4＝8×（6＋1）×100+8×4。
于是，我们得到下面的速算式：由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×4；积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×（6＋1）。
用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。
上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。
两个数之和等于10，则称这两个数互补。
在整数乘法运算中，常会遇到像72×78，26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。
72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同” 型。
计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。
例1：（1）76×74＝？（2）31×39＝？分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。
（1）由乘法分配律和结合律，得到76×74＝（7＋6）×（70+4）＝（70＋6）×70＋（7＋6）×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4＝70×（70＋6＋4）＋6×4＝70×（70＋10）＋6×4＝7×（7+1）×100＋6×4。
于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。
“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”。
我们在三年级时学到的15×15，25×25，…，95×95的速算，实际上就是“同补”速算法。
例2 （1）78×38＝？（2）43×63＝？分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。
（1）由乘法分配律和结合律，得到78×38＝（70＋8）×（30＋8）＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8＝70×30+8×30＋70×8＋8×8＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8＝7×3×100＋8×100＋8×8＝（7×3＋8）×100＋8×8。
于是，我们得到下面的速算式：2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。
“补同”速算法简单地说就是：积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。
例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。
当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？我们先将互补的概念推广一下。
当两个数的和是10，100，1000，…时，这两个数互为补数，简称互补。
如43与57互补，99与1互补，555与445互补。
在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。
例如，因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以是“同补”型。
又如，等都是“同补”型。
当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。
例如，等都是“补同”型。
在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。
例3 （1）702×708=？（2）1708×1792＝？解：（1）2）计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。
注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。
第三课时拓展分配律和变异分配律小帮手：利用乘法的意义，分配律可以拓展为：例1、①、36×19+45×19+19×19②、145×98-19×98-26×98③、48×27+75×27-23×27思维导航：①、36个19和45个19和19个19合起来是：36+45+19=100个19。
36×19+45×19+19×19=（36+45+19）×19=100×19=1900②、145个98减去19个98减去26个98，还剩145-19-26=100个98，即：145×98-19×98-26×98=（145-19-26）×98=100×98=9800③、48个27和75个27合起来减去23个27，结果为48+75-23=100个27，即：48×27+75×27-23×27=（48+75-23）×27=100×27=2700例2、15×72+45×76思维导航：学生看到此题一定无从下手，师引导学生15和45是倍数关系，可以转化为相等，再利用积不变的性质15×72=（15×3）×(72÷3),或者：将45转化为15也可。
原式=（15×3）×（72÷3）+45×76=45×24+45×76=45×（24+76）=45×100=4500或原式=15×3×24+45×76=45×24+45×76=45×100=4500例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B 先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分240 × 250，又有不同的部分1×9，2×8，3×7，4 ×6，5×5，由此很容易看出245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3：2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…，x—1， x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例4：将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.。