完整word版平面向量的概念教案导学案4
导学案024平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算考纲要求1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 考情分析1.平面向量的线性运算是考查重点．2.共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点．3.题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系. 教学过程基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有 又有 的量叫向量；向量的大小叫做向量的 (2)零向量：长度等于 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 的向量．(4)平行向量：方向 或 的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且 相同的向量． (6)相反向量：长度相等且 相反的向量． 2．向量的线性运算平行四边形法则3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa 与a 的方向 ；当λ＜0时，λa 与a 的方向 ；当λ＝0时，λa ＝0. (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b)＝λa ＋λ b.4．共线向量定理向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．双基自测1．下列给出的命题正确的是 ( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量有且仅有一个C ．a 与b 是共线向量，b 与c 是平行向量，则a 与c 是方向相同的向量D ．相等的向量必是共线向量2．如右图所示，向量a －b 等于 ( ) A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2C ．e1－3e2D ．3e1－e23．(教材习题改编)设a ，b 为不共线向量，AB ＝a ＋2b ，BC ＝ －4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( ) A ．AD ＝BC B ．AD ＝2BC C ．AD=-BC D ．AD=-2BC 4．化简：AB ＋DA ＋CD ＝________.5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a)共线，则λ＝________.共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在也可能有无数个． (2)应用共线向量定理时注意待定系数法和方程思想的运用． (3)利用向量共线证明平面几何中点共线或直线平行时注意 强调平面中这些元素的位置关系．典例分析考点一、平面向量的基本概念[例1] 给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为 ( )A．1 B．2C．3 D．4[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是 ( ) A．0 B．1C．2 D．3[冲关锦囊]涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.考点二、平面向量的线性运算[例2] (2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝ ( )A．0 B．BEC．AD D．CF本例条件不变，求AC＋AF.[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！) 2．(2012·杭州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝ ( )A．8 B．4C．2 D．1[冲关锦囊]1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算考点三、共线向量[例3] (2012·南昌模拟)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么 ( ) A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若BF＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．[冲关锦囊]1.向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ 使b ＝λ a.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线 的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．易错矫正 忽略0的特殊性导致的错误[考题范例](2012·临沂模拟)下列命题正确的是 ( ) A ．向量a 、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λa ； B ．在△ABC 中，AB ＋BC ＋CA ＝0；C ．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立；D ．向量a 、b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线 [失误展板]错解一：a 、b 共线，必然是有且只有一个实数λ，使b ＝λa ，故选A. 错解二：首尾相连，始终如一．在△ABC 中，AB 、BC 、CA 围成 了一个封闭图形，故AB ＋BC ＋CA ＝0，故选B.错解三：当a 与b 同向时，式子中第一个等号不成立；当a 与b 反向时，式子中第二个等号不成立，当两个向量不共线时，两个等号都不成立，故两个等号不可能同时成立，故选C.错因：错解一，忽视了a≠0这一条件．错解二，忽视了0与0的区别，AB ＋BC ＋CA ＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当a ＝0或b ＝0时，两个等号同时成立． [正确解答]∵向量a 与b 不共线，∴a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量． 若a ＋b 与a －b 平行，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b)， 即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝01＋λ＝0，λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不平行，故选D.一、选择题1．(2012·潍坊模拟)在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且|AB|＝|BC |，那么四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP，则( )A ．PA ＋PB ＝0 B ．PC ＋PA＝0 C ．PB ＋PC＝0D ．PA ＋PB ＋PC＝03．(2012·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．(2012·银川模拟)在△ABC 中，D 为AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ的值为( )A ．1 B.13 C.23D ．－235．已知向量p ＝a |a|＋b|b|，其中a 、b 均为非零向量，则|p|的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[0,1]C ．(0,2]D ．[0,2]二、填空题6．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －3OB ＋2OC＝0，则|AB||BC |＝________.7．设向量e 1，e 2不共线，AB＝3(e 1＋e 2)，CB ＝e 2－e 1，CD ＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A 、B 、C 共线；②A 、B 、D 共线；③B 、C 、D 共线；④A 、C 、D 共线，其中所有正确结论的序号为________．三、解答题8．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB，求△AOB 与△AOC 的面积之比．9．设i 、j 分别是平面直角坐标系Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且OA ＝－2i ＋mj ，OB ＝ni ＋j ，OC＝5i －j ，若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m 、n 的值．解：AB ＝OB－OA ＝(n ＋2)i ＋(1－m)j ，BC ＝OC －OB＝(5－n)i －2j.∵点A 、B 、C 在同一条直线上，∴AB ∥BC ，即AB＝λBC ，∴(n ＋2)i ＋(1－m)j ＝λ[(5－n)i －2j]，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2＝λ5－n ，1－m ＝－2λ，m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝32.10．如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE＝23AD ，AB＝a ，AC＝b.(1)用a ，b 表示向量AD 、AE 、AF 、BE 、BF；(2)求证：B 、E 、F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ，使AD ＝12AG ，连结BG 、CG ，得到▱ABGC ，所以AG＝a ＋b ， AD ＝12AG ＝12(a ＋b)，AE ＝23AD ＝13(a ＋b)，AF ＝12AC＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b)－a ＝13(b －2a)，BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a)．(2)证明：由(1)可知BE ＝23BF，所以B 、E 、F 三点共线．。
必修4第二章平面向量导学案
第二章平面向量向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；基础梳理1.向量的定义：__________________________________________________________;2.向量的表示：（1）图形表示：（2）字母表示：3.向量的相关概念：（1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________（2）零向量：___________________，记作：_____________________（3）单位向量：________________________________（4）平行向量：________________________________（5）共线向量：________________________________（6）相等向量与相反向量：_________________________思考：（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形____（2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________（3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________【典型例题】例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；b c，则a和c是方向相同的向量；（4）向量a和b是共线向量，//（5）相等向量一定是共线向量；例2.已知O是正六边形ABCDEF的中心，在图中标出的向量中：（1）试找出与EF共线的向量；（2）确定与EF相等的向量；（3）OA与BC相等吗例3.如图所示的为34的方格纸（每个小方格都是边长为1的正方形），试问：起点和终点都在小方格的顶点处且与向量AB相等的向量共有几个与向量ABAB的方向相同且模为课后巩固训练1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：（1）向量AB 和CD 是共线向量，则A B C D 、、、四点必在一直线上；（2）单位向量都相等；（3）任意一向量与它的相反向量都不想等；（4）四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB CD =；（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；2.平面直角坐标系xOy 中，已知||2OA =，则A 点构成的图形是__________3.四边形ABCD 中，1,||||2AB DC AD BC ==，则四边形ABCD 的形状是_________4.设0a ≠，则与a 方向相同的单位向量是______________5.若E F M N 、、、分别是四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、的中点。
高中数学 第二章《平面向量》导学案 新人教A版必修4
第二章《平面向量》导学案（复习课）【学习目标】1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）.4.了解向量形式的三角形不等式：||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2.5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）.6.向量的坐标概念和坐标表示法.7.向量的坐标运算（加、减、实数和向量的乘法、数量积）.8.数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2，注意区别“实数与向量的乘法、向量与向量的乘法”.【导入新课】向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支中有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直.新授课阶段例1 已知(3,0),(,5)a b k ==r r ，若a 与b 的夹角为43π，则k 的值为_______.解析：例2 对于任意非零向量a 与b ，求证：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+ ｜b ｜. 证明：例3 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c ，i ，j . 解：例4 下面5个命题：①|a ·b |=|a |·|b |②(a ·b )2=a 2·b2③a ⊥(b －c )，则a ·c =b ·c ④a ·b =0，则|a +b |=|a －b |⑤a ·b =0，则a =0或b =0，其中真命题是（ ）A ．①②⑤ B.③④ C.①③ D.②④⑤ 解析：例 5 已知向量(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,(3))OC m m =--+u u u r，（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若ABC ∆为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值． 解：例6 已知在△ABC 中，)3,2(=，),,1(k =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值. 解：课堂小结本章主要内容就是向量的概念、向量的线性运算、向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤.作业 见同步练习 拓展提升 一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5===（ ）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31--+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -3．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①=；②||||=；③||||+=-； ④222||||4||,AC BD AB +=u u u ru u u ru u u r其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．=+B ．=-C ．=-D ．=-5．已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||-=+D ．||||||+=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（ ）A ．（1，5）或（5，－5）B ．（1，5）或（－3，－5）C ．（5，－5）或（－3，－5）D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为 （ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±±9．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为（ ）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ） A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．已知||22p =u r ，||3q =r ，,p q u r r 的夹角为4π，如图，若52AB p q =+u u u r u r r ，3AC p q =-u u u r u r r ，D 为BC 的中点，则||AD uuu r为（ ）．A ．215B ．215C ．7D ．18二、填空题12．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 13．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .14．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= . 15．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 .三、解答题16．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥.17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.参考答案 例1解析：如图1，设a OA =，43π=∠AOC ，直线l 的方程为5=y ，设l 与OC 的交点为B ，则OB 即为b ， 显然()5,5-=b ，5-=∴k . 例2证明：(1)两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a ，b 的方向都不同，并且 ｜a ｜-｜b ｜＜｜a ±b ｜＜｜a ｜+｜b ｜；(2)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a .b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞|b |，则|a +b |=|a |-|b |.同理可证另一种情况也成立.例3解：建立平面直角坐标系xoy ，其中i , j 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是=－3, =， =-3.所以-3=33+，即=3－33.例4解析：根据向量的运算可得到，只有①③对，故选择答案 C 例 5解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线，∵(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,(3))OC m m =--+u u u r， ∴(3,1)AB =u u u r ，(1,)BC m m =---u u u r，而AB u u u r 与BC uuur 不平行，xy ABOCab图1即31m m -≠--，得12m ≠， ∴实数12m ≠时满足条件． （2）若ABC ∆为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥u u u r u u u r，而(3,1)AB =u u u r ，(2,1)AC m m =--u u u r，∴3(2)(1)0m m -+-=，解得74m =． 例6解：(1,)(2,3)(1,3),BC AC AB k k =-=-=--u u u ru u u ru u u rQ0(1,)(1,3)0C RT AC BC AC BC k k ∠∠⇒⊥⇒⋅=⇒⋅--=u u u r u u u r u u u r u u u rQ 为2313130.k k k ±⇒-+-=⇒=拓展提升 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 ABCBCDACABA11．提示：A 11()(6)22AD AC AB p q =+=-u u u r u u u r u u u r ur r ，∴222211||||(6)361222AD AD p q p p q q ==-=-+u u u r u u u r u r r u r u r r r g2211536(22)12223cos 3242π=⨯-⨯⨯⨯+=． 二、填空题：12． 120° 13． 矩形 14、 1± 15． 2- 三、解答题： 16．证：()()22b a b a b a b a -=+⇒+=+⇒-=+Θ2222220.a ab b a ab b ab ⇒++=-+⇒=r r r r r r r r r r,a b r rQ 又为非零向量,.a b ∴⊥r r17．()121212234,BD CD CB e e e e e e =-=--+=-u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u rQ若A ，B ，D 三点共线，则与共线，,AB BD λ∴=u u u r u u u r设即121224.e ke e e λλ+=-u r u u r u r u u r 由于12e e u r u u r 与不共线,可得： 11222,4.e e ke e λλ==-u r u ru u r u u r故2,8.k λ==-。
平面向量的概念教案
平面向量的概念教案一、教学目标：1. 知识与技能：学生能够理解平面向量的概念，掌握平面向量的基本运算法则，并能够熟练进行向量的相加、相减、数量乘法等运算。
2. 过程与方法：通过例题演练，培养学生独立思考、分析问题、解决问题的能力；通过实际应用，加深学生对平面向量概念的理解和运用。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，形成积极的学习态度，提高解决实际问题的能力。
二、教学重点和难点：重点：平面向量的概念及基本运算法则。
难点：向量的数量乘法及在平面向量应用中的解决问题。
三、教学步骤：1. 导入新课：通过提问和引导学生联想等方式，引出向量的概念。
例如：什么是向量？向量有哪些性质？向量在生活中的应用等。
2. 确定学习目标：向学生解释接下来我们要学习平面向量，所以我们需要了解什么是平面向量及其基本性质，以及平面向量的加法、减法和数量乘法等基本运算，掌握这些内容。
3. 学习新知识：向学生详细讲解平面向量的定义、表示方法、平行向量、零向量、共线向量等基本概念和性质。
并讲解平面向量的基本运算法则，如向量的加法、减法、数量乘法等。
4. 练习与巩固：布置练习题，让学生积极参与，巩固学习内容。
5. 拓展应用：引导学生通过实际问题，运用平面向量的概念进行解决问题，提高学生的综合运用能力。
6. 总结归纳：通过本节课学习，对平面向量的概念和基本运算法则进行归纳总结，巩固所学知识。
四、教学手段：1. 教师讲解2. 学生讨论3. 课堂练习4. 实例演练五、教学资源：1. 教科书2. 多媒体课件3. 平面向量的实际应用例题材料六、教学反馈：1. 教师在学习过程中及时纠正学生的错误认识和解题方法。
2. 布置练习题，检验学生学习效果，及时发现学生的问题。
七、教学设计理念：通过让学生参与讨论和思考，培养其分析问题、解决问题的思维能力；通过实例演练，加深学生对平面向量概念的理解和运用；通过应用实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题的能力。
《平面向量基本定理》教案、导学案、课后作业
《6.3.1 平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量. 四、典例分析、举一反三 题型一 正确理解向量基底的概念例1例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1【答案】B.【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴两个向量共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用基底a ，b 表示AB ―→，BC ―→.【答案】AB ―→＝12a －12b ，BC ―→＝12a ＋12b.【解析】 由题意知，AO ―→＝OC ―→＝12AC ―→＝12a ，BO ―→＝OD ―→＝12BD ―→＝12b .所以AB ―→＝AO ―→＋OB ―→＝AO ―→－BO ―→＝12a －12b ，BC ―→＝BO ―→＋OC ―→＝12a ＋12b.解题技巧： (用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→，MN ―→.2、【答案】DC ―→＝k e 2.BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.MN ―→＝k ＋12e 2.【解析】法一：∵AB ―→＝e 2，DCAB＝k ，∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.法二：同法一得DC ―→＝k e 2，BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→)得MN ―→＝12(MA ―→＋AB ―→＋MD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋DC ―→)＝k ＋12e 2.题型三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值．【答案】AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【解析】 设BM ―→＝e 1，CN ―→＝e 2，则AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－3e 2－e 1，BN ―→＝BC ―→＋CN ―→＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP ―→＝λAM ―→＝－λe 1－3λe 2， BP ―→＝μBN ―→＝2μe 1＋μe 2.故BA ―→＝BP ―→＋PA ―→＝BP ―→－AP ―→＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ―→＝45AM ―→，BP ―→＝35BN ―→，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【答案】AP →＝311 a ＋211b ． 【解析】如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM//BE.设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311 a ＋211b ． 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题. 【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】 知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换. 【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本25-27页，填写。
平面向量的概念教案
平面向量的概念教案教案标题：平面向量的概念教案教案目标：1. 使学生理解平面向量的基本概念和性质。
2. 培养学生使用向量表示和解决实际问题的能力。
3. 帮助学生掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算。
4. 引导学生理解平面向量的共线、共面和垂直关系。
教学时长：2个课时教学步骤：第一课时：1. 导入（5分钟）- 引入平面向量的概念，并与学生讨论日常生活中可能涉及到的向量概念，例如力的方向、速度和位移等。
2. 理论讲解（15分钟）- 介绍平面向量的定义和表示方法，包括有向线段表示、坐标表示和分量表示。
- 解释平面向量的长度、方向和零向量的概念。
3. 实例演示（20分钟）- 通过具体的示例，展示如何进行平面向量的加法和减法运算。
- 强调向量的顺序对结果的影响，并引导学生理解向量的反向和相反向量的概念。
4. 练习（15分钟）- 分发练习题，让学生在课堂上完成练习，巩固平面向量的加法和减法运算。
第二课时：1. 复习（5分钟）- 回顾上节课的内容，让学生简要概括平面向量的定义和表示方法。
2. 理论讲解（15分钟）- 介绍平面向量的数量乘法运算，包括向量与标量的乘法和向量与向量的数量积。
- 解释数量乘法对向量长度和方向的影响。
3. 实例演示（20分钟）- 通过具体的示例，展示如何进行平面向量的数量乘法运算。
- 引导学生理解数量乘法的几何意义和向量的放缩效果。
4. 练习（15分钟）- 分发练习题，让学生在课堂上完成练习，巩固平面向量的数量乘法运算。
教学资源：1. 平面向量的定义和性质的PPT或讲义。
2. 平面向量加法、减法和数量乘法的示例题和练习题。
3. 板书工具和白板。
评估方式：1. 课堂练习题的完成情况和答案讲解。
2. 学生对平面向量概念和运算方法的理解程度的口头回答和讨论。
3. 针对平面向量的应用问题，让学生进行解答和解释思路。
教学拓展：1. 引导学生探究平面向量的共线性、共面性和垂直关系的概念和判定方法。
《平面向量的概念》教学设计
《平面向量的概念》一、教学内容分析：1、课程要求要求了解向量的实际背景，通过位移等物理背景引入向量的概念；理解向量的概念，掌握向量的表示方法，掌握生活中的向量。
通过对平面向量的有关概念、表示的学习，培养数学抽象、直观想象，逻辑推理的核心素养。
2、教材的地位和作用向量是高中阶段学习的一个新的矢量，向量概念是《平面向量》的最基本内容，它的学习直接影响到我们对向量的进一步研究和学习，如向量间关系、向量的加法、减法以及数乘等运算，还有向量的坐标运算等,因此为后面的学习奠定了基础.3、教学重点：向量的相关概念，向量的几何表示和符号表示二、教学目标设计1、知识与技能目标1)识记平面向量的定义，会用有向线段和字母表示向量，能辨别数量与向量；2)识记向量模的定义，会用字母和线段表示向量的模.2、过程与方法目标学生通过对向量的学习，能体会出向量来自于客观现实，提高观察、分析、抽象和概括等方面的能力，感悟数形结合的思想.3、情感态度与价值观目标通过构建和谐的课堂教学氛围，激发学生的学习兴趣，使学生勇于提出问题，同时培养学生数学抽象，直观想象，逻辑推理的核素素养.教学难点：向量的几何表示的理解三、学情分析（1）能力分析：对于我校的学生，基础知识较薄弱，虽然他们的智力发展已到了形成运演阶段，但并不具备较强的抽象思维能力、概括能力及数形结合的思想.（2）认知分析：之前，学生有了物理中的矢量概念，这为学习向量作了最好的铺垫。
（3）情感分析：部分学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究.四、教学策略分析教法：启发教学法，引探教学法，问题驱动法，并借助多媒体来辅助教学学法：在学法上，采用的是发现，归纳，练习。
从问题出发，引导学生分析问题，让学生经历观察分析、概括、归纳、类比等发现和探索过程.五、教学过程课上教学过程：1、创设问题情境，引出向量的实际背景问题1：左图是我某天晨跑的路线图，一共4公里，从水晶城到达维也纳，用时25分钟；请问在这个事件中出现了哪些物理量？问题2：你还能举出哪些与位移，时间，路程类似的物理量？问题3：物理上有标量和矢量之分，请问速度，加速度，路程，位移，力，时间，功等这些“量”哪些是矢量，哪些是标量，他们有什么不同？【设计意图】数学的学习应该是与学生的生活融合起来，由生活的实例引入，在数学教育中渗透德育，在对比于物理学中的速度、位移等学生已有的知识给出本章研究的问题平面向量形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备。
高中数学《平面向量的概念与表示》导学案 北师大版必
第1课时平面向量的概念与表示1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念和向量的几何表示.3.理解相等向量的含义及向量的一些概念.4.理解零向量的特点.一只帆船刚开始在风平浪静的海上行驶,但突遇“热带风暴”,使得它的航向发生了偏移,没有按照规定的航向行驶,虽然行驶了相同的路程但没有到达目的地.为什么?问题1:向量的概念、向量与数量、向量与有向线段的区别:①在数学中,把既有大小又有方向的量叫作.如: 等.②数量与向量的区别: 只有大小没有方向,是一个代数量, 比较大小、进行运算; 有方向、大小的双重性, 比较大小,向量的大小是一个数量(正数或0),可以比较大小.③向量与有向线段的区别:有向线段是具有的线段,有向线段AB记作: ,起点一定写在终点的前面; 的长度也叫作的长度;有向线段的三要素: 、、;向量只有和方向两个要素,与无关;向量可以用有向线段来表示.问题2:向量的表示方法:①几何表示法:用表示,即用表示向量的有向线段的来表示,如图,以A为起点,B为终点的向量表示为向量;②字母表示法:向量可以用小写字母来表示,书写时用,,等表示(印刷时用黑体字a、b、c表示),如图,向量可表示为a.问题3:向量的有关概念:(1)向量的模:向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记作,向量不能比较大小,但向量的可以比较大小.(2)零向量与单位向量:长度为零的向量叫作零向量,记作0.(3)长度等于的向量叫作单位向量.(4)平行向量:①方向的两个非零向量叫作平行向量(也称共线向量);②规定向量0与任一向量平行.(5)相等向量与相反向量:的两个向量是相等向量;的两个向量互为相反向量.问题4:平行向量(共线向量)与平行线段、共线线段的区别:平行向量(共线向量)不是几何图形,没有几何位置关系,表示两个非零平行向量的有向线段可以,也可以在;平行线段和共线线段是几何图形,有位置关系,两条平行线段所在的直线一定,不会共线,反过来,两条共线线段一定在,不会平行.1.给出下列物理量:①质量;②速度;③力;④位移;⑤路程;⑥密度;⑦功.其中是向量的有().A.2个B.3个C.4个D.5个2.已知a,b为两个单位向量,下列结论正确的是().A.a=bB.a=b或a=-bC.若a∥b,则a=bD.|a|=|b|3.下列命题中,正确的序号是.①平行向量的方向相同;②不相等的向量一定不平行;③零向量只能与零向量相等;④若两个向量在同一条直线上,则这两个向量一定共线;⑤两个非零向量相等,当且仅当它们的模相等且方向相同;⑥单位向量都相等.4.一辆货车从A点出发向东行驶了150 km到达B点,然后又改变方向向北偏东30°走了300 km到达C点,最后又改变方向,向西行驶了150 km到达D点.(1)作出向量,,;(2)求||.与向量相关的概念关于向量有下列说法:①方向相同或相反的非零向量是平行向量;②长度相等且方向相同的向量叫相等的向量;③有公共起点的向量叫共线向量;④零向量与任一向量共线;⑤若|a|=|b|,则a=b或a=-b.其中正确说法的序号是.相等向量与共线向量如图,四边形ABCD是正方形,△BCE为等腰直角三角形.(1)找出图中与共线的向量;(2)找出图中与相等的向量;(3)找出图中与||相等的向量;(4)找出图中与相等的向量.向量概念的实际应用已知飞机从甲地向北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地,再从乙地向南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地,再从丙地向西南方向飞行1000 km到达丁地,问丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远?下列说法中正确的是.①若|a|>|b|,则a>b;②共线向量一定相等;③起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量;④若|a|=0,则a=0;⑤与非零向量a共线的单位向量是.如图,四边形ABCD中,=,N、M分别是AD、BC上的点,且=.求证:=.已知两个力F1,F2的方向互相垂直,且它们的合力F的大小为10 N,其与力F1的夹角是60°,求力F1,F2的大小.1.设O为等边三角形ABC的中心,则向量,,是().A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等的向量2.下列各命题中,正确的是().A.若|a|=|b|,则a=bB.若|a|=|b|,|b|=|c|,则a=cC.若|a|=|b|,则a>b或a<-bD.若a=b,b=c,则a=c3.下列说法正确的是.①相等的向量,若起点不同,则终点一定不同②与非零向量共线的单位向量有两个③不相等的向量一定不平行4.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心.(1)模与的模相等的向量有多少个?(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量?(3)请写出与共线的向量有哪些?(2013年·四川卷)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=.考题变式(我来改编):答案第二章平面向量第1课时平面向量的概念与表示知识体系梳理问题1:①向量力、速度、加速度、位移②数量能代数向量不能③方向线段AB 有向线段起点方向长度大小起点问题2:①有向线段起点与终点字母问题3:(1)|| 模(3)1个单位(4)相同或相反(5)大小相同,方向相同大小相同,方向相反问题4:平行同一条直线上平行同一条直线上基础学习交流1.B判断一个量是不是向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素:大小和方向.由于速度、位移、力都是由大小和方向确定的,所以是向量;而质量、路程、密度、功有大小而没有方向,所以不是向量.2.D单位向量的模为1,但方向不确定.3.③④⑤根据平行向量的定义,它们的方向可以相反,故①不正确;由于模不相等的向量,它们也可以共线,故②不正确;由于零向量只能与零向量相等,故③正确;由共线向量的定义知,当两个向量在同一条直线上时,这两个向量不论方向如何,它们一定共线,故④正确,但是应注意当两个向量共线时,它们却不一定在同一条直线上;由两向量相等的定义知,⑤正确;虽然单位向量的模都相等,但它们的方向可以不相同,因此⑥不正确.4.解:(1),,如图.(2)由图可知和方向相反,故与共线.又||=||=150 km,所以AB CD,所以四边形ABCD是平行四边形,故||=||=300 km.重点难点探究探究一:【解析】共线向量或平行向量是指方向相同或相反的两个非零向量,所以①正确,③不正确;长度相等且方向相同的向量叫相等的向量,故②正确;规定零向量与任一向量平行,故④正确;⑤混淆了两个向量的模相等和两个实数相等的概念,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等,并不意味着它们的方向相同或相反.【答案】①②④【小结】对于涉及向量及相关概念的说法往往要抓住这些概念的实质,从概念去分析判断,并注意它们的区别.规定:零向量与零向量相等,零向量与任何向量共线.探究二:【解析】(1)与共线的向量有、、、、、、.(2)与相等的向量有、;(3)与||相等的向量有、、、、、、、、.(4)与相等的向量是.【小结】非零向量共线或平行,有四种情形:(1)两个向量方向相同且模相等;(2)两个向量方向相反且模相等;(3)两个向量方向相同且模不相等;(4)两个向量方向相反且模不相等.注意向量共线与相等的区别.探究三:【解析】如图,A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地,依题意知,三角形ABC为正三角形,∴AC=2000 km.又∵∠ACD=45°,CD=1000,∴△ACD为直角三角形,即AD=1000km,∠CAD=45°.所以丁地在甲地的东南方向,距甲地1000 km.【小结】解决实际问题的关键是建立数学模型,将实际问题“数学化”.思维拓展应用应用一:③由于向量是既有大小又有方向的量,两个向量不能比较大小,故①不正确;由于共线向量方向相同或相反(模不一定相等),故②不正确;由于向量与起点位置无关,故③正确;忽略了0与0的区别,由|a|=0,知a是零向量,即a=0,但a≠0,故④不正确;因为与任一非零向量,共线的单位向量有两个,一个与a方向相同,一个与a方向相反,所以⑤不正确.应用二:∵=,∴||=||,且AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∴||=||,且DA∥CB.又∵与的方向相同,∴=.同理可证,四边形CNAM是平行四边形,∴=.∵||=||,||=||,∴||=||,且DN∥MB.又∵与的方向相同,∴=.应用三:设表示力F1,表示力F2,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则表示合力F,因为F1与F2垂直,所以平行四边形OACB是矩形,所以||=||cos 60°=5,||=||sin 60°=5,因此,力F1和F2的大小分别为5 N和5 N.基础智能检测1.C由正三角形的性质可知,,的长度相等.2.D向量是既有大小又有方向的量,大小相等,但方向却不一定相同,故A、B不正确;向量不能比较大小,故C不正确;向量相等可以传递.3.①②认为①错误是考虑到零向量,对于零向量,虽然起点和终点重合,但当起点不同时,终点也是不同的;认为②错误是误以为与非零向量a共线的单位向量只有,而把与方向相反的向量漏掉了,两个向量只要方向相同或相反就是平行向量,故③不正确.4.解:(1)因为在正六边形中,各条边长与中心O到各顶点的距离都相等,所以模与的模相等的向量有23个.(2)存在,如、等.(3)与共线的向量有、、、、、和、、.全新视角拓展2∵+==2,∴λ=2.思维导图构建大小方向长度为零同向单位1平行或重合。
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平面向量的概念一、教学目的1、理解向量的有关概念及向量的几何表示．2、理解共线向量、相等向量的概念．3、正确区分向量平行与直线平行二、教学重点1、理解向量的有关概念及向量的几何表示2、理解共线向量、相等向量的概念三、教学难点1、理解共线向量、相等向量的概念．2、正确区分向量平行与直线平行四、教学过程1．向量的概念定义：既有大小，又有方向的量叫做向量．2．向量的表示(1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．包含三个要素：起点、方向、长度．→(2)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量AB的大小就是向量的长度(或称模)，记作______．(3)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，→→→可写成带箭头的小写字母a，b，c，….共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＝b，b＝c，则a＝c.()(2)若a∥b，则a与b的方向一定相同或相反．()→→(3)若非零向量AB∥CD，那么AB∥CD.()(4)向量的模是一个正实数．())(．下列各量中不是向量的是：2．A．位移B．力D ．质量C．速度3．设e，e是两个单位向量，则下列结论中正确的是()21A．e＝e B．e∥e2121D ．以上都不对C．|e|＝|e| 214. 向量a与任一向量b平行，则a一定是________．→5．如图，已知B、C是线段AD的两个三等分点，则与AB相等的向量有________．类型1向量的概念例1、给出下列命题：→→①若AB＝DC，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；→→②在?ABCD中，一定有AB＝DC；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中所有正确命题的序号为________．归纳1．明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据．2．向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传递性，即“若a∥b，b∥c，则a∥c，”是错误的．当b＝0时，a，c可以是任意向量，但若b≠0，则必有a∥b，b∥c?a∥c.问题的关键是注意考虑0.变式训练、在下列说法中，正确的是()A．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一非零向量平行C．向量就是有向线段D．两个有公共终点的向量一定是共线向量类型2向量的表示例2、一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点．→→→；BC，CD(1)作出向量AB，→|. AD(2)求| 归纳准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量．1的大小确定向量的终点．．注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要2 忘了字母上的箭头．点向东飞行B点，再从B一架飞机从A点向西北飞行200 km到达变式训练、502 km到达D30°飞行点．问D点1002 km到达C点，再从C点向东偏南在A 点的什么方向？D点距A点多远？类型3共线向量与相等向量例3、(1)如图所示，在等腰梯形ABCD中：→→→→→→①AB与CD是共线向量；②AB＝CD；③AB>CD.以上结论中正确的个数是()A．0B．1 C．2 D．3(2)下列说法中，正确的序号是________．→→①若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；②零向量都相等；③任一向量与它的平行向量不相等；→→④若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝DC；⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．迁移探究、(变换条件)在例(1)中若把“梯形ABCD”改为“?ABCD中”呢？归纳1．判断两个向量的关系应围绕向量的模和向量的方向两个方面进行判断．2．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．3．(1)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合．(2)平行(共线)向量无传递性(因为有0)．向量与向量模的区别在于向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向；．3．向量的模是指向量的长度，是数量，可以比较大小，但向量不能比较大小．a4．任何一个非零向量a都有与之对应的单位向量||a五、课题练习：见变式训练六、课堂小结：1．明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据．2．向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传递性，即“若a∥b，b∥c，则a∥c，”是错误的．当b＝0时，a，c可以是任意向量，但若b≠0，则必有a ∥b，b∥c?a∥c.问题的关键是注意考虑0.3.注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头．七、教学反思平面向量的概念一、学习目的1、理解向量的有关概念及向量的几何表示．2、理解共线向量、相等向量的概念．3、正确区分向量平行与直线平行二、教学过程1．向量的概念定义：既有，又有的量叫做向量．2．向量的表示(1)有向线段：的线段叫做有向线段．包含三个要素：起点、、、→(2)几何表示：用表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量AB的大小就是向量的(或称模)，记作______．(3)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，→→→可写成带箭头的小写字母a，b，c，….3．几种特殊的向量共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量思考尝试．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＝b，b＝c，则a＝c.()(2)若a∥b，则a与b的方向一定相同或相反．()→→(3)若非零向量AB∥CD，那么AB∥CD.()(4)向量的模是一个正实数．()2．下列各量中不是向量的是：()A．位移B．力 C．速度 D．质量3．设e，e是两个单位向量，则下列结论中正确的是()21A．e＝e B．e∥e C．|e|＝|e| D．以上都不对2121124. 向量a与任一向量b平行，则a一定是________．→5．如图，已知B、C是线段AD的两个三等分点，则与AB相等的向量有________．类型1向量的概念例1、给出下列命题：→→①若AB＝DC，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；→→②在?ABCD中，一定有AB＝DC；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c其中所有正确命题的序号为________．归纳1．明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据．2．向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传递性，即“若a∥b，b∥c，则a∥c，”是错误的．当b＝0时，a，c可以是任意向量，但若b≠0，则必有a∥b，b∥c?a∥c.问题的关键是注意考虑0.变式训练、在下列说法中，正确的是()A．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一非零向量平行 C．向量就是有向线段D．两个有公共终点的向量一定是共线向量类型2向量的表示点，然后又改变方向向西B千米到达100点出发向西行驶了A一辆汽车从、2例D千米到达最后又改变方向，向东行驶了100偏北50°走了200千米到达C点，→→→→|. 求(2)|AD，CD；点．(1)作出向量AB，BC归纳然后根据向量．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，1的大小确定向量的终点．字母表示在书写时不要．注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；2 忘了字母上的箭头．点向东飞行B点，再从B一架飞机从A点向西北飞行200 km到达变式训练、502 km到达D点．问D点2 km到达C点，再从C点向东偏南30°飞行100在A点的什么方向？D点距A点多远？类型3共线向量与相等向量例3、(1)如图所示，在等腰梯形ABCD中：→→→→→→①AB与CD是共线向量；②AB＝CD；③AB>CD.以上结论中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3(2)下列说法中，正确的序号是________．→→①若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；②零向量都相等；③任一向量与它的平行向量不相等；→→④若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝DC；⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．迁移探究、(变换条件)在例(1)中若把“梯形ABCD”改为“?ABCD中”呢？归纳判断两个向量的关系应围绕向量的模和向量的方向两个方面进行判断．．1．2．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．3．(1)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合．(2)平行(共线)向量无传递性(因为有0)．3．向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向；向量与向量模的区别在于向量的模是指向量的长度，是数量，可以比较大小，但向量不能比较大小．a4．任何一个非零向量a都有与之对应的单位向量||a五、课题练习：见变式训练六、课堂小结：1．明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据．2．向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传递性，即“若a∥b，b∥c，则a∥c，”是错误的．当b＝0时，a，c可以是任意向量，但若b≠0，则必有a∥b，b∥c?a∥c.问题的关键是注意考虑0.3.注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头．七、教学反思。