数学类读书笔记
数学的读书笔记(通用25篇)
数学的读书笔记（通用25篇）数学的读书笔记 1最近,一看到《小学数学教师》中“应用题教学研究”这篇报告感触良多。
1、在小学教学应用题时采用目前流行的“分类型、给结语、给解题模式”的教法所产生的弊端和给学生造成的损害。
这种损害在小学阶段虽然不十分明显，但是已经看到一些，到了中学就更清楚地显示出来。
因而问题也就更为严重。
这说明采用目前流行的教法，在小学没有真正给中学学习打好数学基础，相反地给进一步学习造成了障碍。
学生没有掌握数学基础知识，靠死记硬套公式，是无法进一步学好数学的。
这一点很值得我们深思，并加以改进。
2、紧密联系乘法的意义，加强用方程解应用题，不仅有利于掌握乘除法应用题的解题方法，提高解题能力，而且有利于中小学的衔接。
从而也进一步说明，按照现行教材中对应用题教学的处理方法进行教学，基本上是可行的，不需要另外补充什么结语和解题公式。
关键在于紧密联系分数乘法的意义，加强应用题之间的联系，指导学生具体分析题里的数量关系，根据已知未知的不同确定解法。
实际上有不少教师是按教材的精神教的，收到较好的效果。
当然现行教材也还有值得改进的地方，进一步加强应用题之间的'联系，加强方程解法。
3、引人深思的是，在肯定十几年来小学数学教学质量有很大提高的同时，也要看到确实还存在不少教法死板的问题，乘除法应用题只是其中之一。
值得注意的是，应用题教法死板的问题很早就提出来了，《小学数学教师》连续几年讨论了数学教学要灵活的问题。
但是应用题教学中的教法死板的问题依然存在。
这正说明小学数学教学改革还需要深入开展。
万里同志指出如果不彻底改变教育思想和教学方法，就不能提高民族素质，培养出大量的适应新时代需要的新型人才。
要提高民族素质，一方面是提高思想道德素质，另一方面是提高科学文化素质。
而提高科学文化素质，不仅是使学生具有一定的科学文化知识，还应使学生的能力得到发展，具有勇于思考、勇于探索、勇于创新的精神。
就是适应社会主义现代化要求，针对小学数学教学中存在的问题而提出的。
数学专业读书笔记记录(9页)
数学专业读书笔记记录第一页：数学的起源与发展数学作为一门古老的学科，起源于古代文明。
古埃及人和巴比伦人最早开始使用数学进行土地测量和天文学研究。
古希腊的数学家们，如毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德等，为数学的发展做出了重要贡献。
他们的研究奠定了数学的基础，包括几何学、代数学和数论等。
随着历史的推移，数学在各个领域得到了广泛应用。
在中世纪，阿拉伯数学家们将数学传播到欧洲，促进了欧洲数学的发展。
文艺复兴时期，数学家们开始研究解析几何和微积分，为现代数学的发展奠定了基础。
现代数学的发展与计算机科学的兴起密切相关。
计算机的出现使得数学问题的求解变得更加高效和精确。
数学家们开始研究算法和复杂性理论，为计算机科学的发展提供了理论基础。
第二页：数学的基础知识数学的基础知识包括算术、代数、几何和微积分等。
算术是数学的起点，研究数的运算和性质。
代数是研究代数式和方程的学科，包括线性代数、多项式代数和群论等。
几何是研究空间形状和性质的学科，包括欧几里得几何和非欧几里得几何等。
微积分是研究变化率和积分的学科，包括微分学和积分学。
第三页：数学的应用领域数学在各个领域都有广泛的应用。
在自然科学中，数学用于描述自然现象和建立科学模型。
在工程学中，数学用于设计、分析和优化工程系统。
在经济学中，数学用于分析和预测经济行为。
在计算机科学中，数学用于算法设计和数据结构的研究。
数学还在统计学、运筹学、密码学等领域发挥着重要作用。
第四页：数学的学习方法第五页：数学的挑战与未来数学面临着许多挑战，包括复杂性理论的研究、算法的优化和数学教育的改革等。
复杂性理论研究数学问题的求解难度和复杂性，对于提高算法的效率具有重要意义。
算法的优化是提高数学问题求解速度和准确性的关键。
数学教育的改革旨在提高学生的数学素养和思维能力，培养更多的数学人才。
第六页：数学的哲学思考数学不仅仅是计算和证明，它还涉及到哲学思考。
数学的哲学思考包括数学的本质、数学与现实世界的关系以及数学的美学等。
数学读书笔记与心得体会(优秀10篇)
数学读书笔记与心得体会(优秀10篇)数学读书笔记与心得体会篇1我是一名自认为数学学习成绩优秀的学生，在学校里无论大小考试我都能考95分以上，同学们都说我在数学学习方面有天份，数学老师也很喜欢我，经常让我帮她做些事情。
那我是不是整天埋头苦学，到处培优呢?不是!我的学习任务是自选的，我想要去培优，也想要多做数学作业。
因为做所有的事情我都能快乐地去面对，反正是要做，干嘛不快乐地去做呢?比如说期末考试的前一天晚上，同学们都在干什么?当然，都在家认认真真地复习了!我呢?刚刚从妹妹家里玩了一趟回来，现正在看着电视呢，妈妈要阻止我?没门!小考小玩，大考大玩，不考不玩!我只复习了一些平时爱粗心的问题，考试成绩果然不错!我自认为除了白罗兰，我就是全班数学第一!白罗兰现在是我的竞争对手，她比我强!重要的是她比我踏实，学习比我认真，也因为我太爱偷懒了!一道加法原理我却用了乘法原理做，结果错了，但我相信自己的能力，在我心中，我就是第一!我拥有了好的习惯和好的学习方法，我什么也做得了!我不喜欢那种太过谦虚的人，因为在这里，为什么要谦虚?一定要相信自己，没有任何困难能难住我，因为我有一套好的学习方法：小考小玩，大考大玩。
不考不玩，注重平时。
事情尽量，一遍做好。
解答难题，公式运用。
学习主动，不要被动。
复杂难题，多做为妙。
快乐面对，任何事情。
相信自己，就是第一。
数学读书笔记与心得体会篇23月16日，我校全体数学教师到育才学校去听课学习。
我听了两节数学课，真的是感受颇深，受益匪浅，让我充分领略了课堂教学的无穷艺术魅力。
现就这次学习谈一谈自我的点滴体会。
一、收获1、出去听课比在学校闭门造车受益要快要多，要来得直接。
2、真实——课堂教学就应追求的境界在我们的观摩课教学中我总是觉得雕琢，事先准备的痕迹太过浓重，我自我的体会就比较深刻，当然我所说的并不是不备课一点准备都没有，而是不就应把每一句话每一个答案都要事先给学生灌输，害怕再作课中出现纰漏，我以前确实就有过这样的顾虑，因此当一节课在我不停的灌输给学生，然后在作课时，就觉得我的每一句话，学生的每一个答案都是准备好预设好的，而不是适时生成的，虽然按部就班成功的完成了一节看似完整的课堂教学，其实却缺少了真实性，多了几分虚假。
数学读书笔记大全
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数学读书笔记大全篇1数学读书笔记一、前言数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，它广泛应用于各个领域，包括科学、工程、经济等。
通过阅读数学书籍，我们可以深入了解数学的理论基础、算法和应用，拓展我们的思维方式和解决问题的方法。
二、阅读经历在阅读《高等数学》时，我深深被其中的概念、公式和推理所吸引。
这本书深入探讨了微积分、线性代数、概率论等高等数学的核心内容，使我对数学的理解更加深入。
同时，我也意识到高等数学在现代科技中的重要性，它为我们解决许多复杂问题提供了有力的工具。
在阅读《算法导论》时，我被书中简洁而严谨的算法描述所吸引。
这本书详细介绍了各种算法的设计和实现，使我深入了解了算法的本质和其在计算机科学中的地位。
通过阅读这本书，我更加明确了算法在解决实际问题中的关键作用。
三、心得体会通过阅读数学书籍，我深刻理解了数学的重要性和实用性。
数学不仅是科学的基础，也是解决问题的关键工具。
在解决实际问题时，我们需要运用数学的概念、方法和工具来分析和解决。
同时，我也意识到数学的学习需要不断积累和练习。
只有通过不断的实践和学习，我们才能掌握数学的精髓，并将其应用到实际生活中。
四、总结通过阅读数学书籍，我不仅拓展了数学知识，也提高了解决问题的能力。
我相信，在未来的学习和工作中，这些数学知识将对我产生深远的影响。
我将继续努力学习，提高自己的数学水平，以更好地服务于社会。
数学读书笔记大全篇2以下是一个示例，关于“微积分”主题的读书笔记：一、背景"微积分"是数学的一个分支，专注于研究函数的变化率，也被称为导数。
它是物理学、工程学和经济学等领域的基础，因为这些领域中的许多问题都可以转化为导数的问题。
六年级数学读书笔记10篇
六年级数学读书笔记10篇
1.《数学的魅力》读书笔记：这本书介绍了数学在各个领域的应用，如金融、科学、工程等，让我深刻感受到了数学的重要性和魅力。
2.《数学之美》读书笔记：这本书用通俗易懂的语言介绍了数学中的各种美妙之处，如数学的对称美、简洁美等，让我对数学有了更深入的了解。
3.《数学的奥秘》读书笔记：这本书介绍了数学中的各种难题和未解之谜，如费马大定理、哥德巴赫猜想等，让我对数学的奥秘充满了好奇。
4.《数学的故事》读书笔记：这本书通过讲述数学的发展历史和数学家的故事，让我了解到了数学的起源和发展，以及数学家们的创新和奋斗精神。
5.《数学游戏》读书笔记：这本书介绍了各种有趣的数学游戏，如数独、华容道等，让我在游戏中感受到了数学的乐趣。
6.《数学的应用》读书笔记：这本书介绍了数学在实际生活中的应用，如在金融、工程、医学等领域的应用，让我深刻感受到了数学的实用性。
7.《数学的思考方式》读书笔记：这本书介绍了数学的思考方式和方法，如归纳法、演绎法等，让我学会了如何用数学的方法解决问题。
8.《数学的乐趣》读书笔记：这本书通过各种有趣的数学问题和故事，让我感受到了数学的乐趣和美妙。
9.《数学的奥秘》读书笔记：这本书介绍了数学中的各种奥秘和未解之谜，如费马大定理、哥德巴赫猜想等，让我对数学的奥秘充满了好奇。
10.《数学的应用》读书笔记：这本书介绍了数学在各个领域
的应用，如金融、科学、工程等，让我深刻感受到了数学的重要性和实用性。
数学阅读笔记10篇
数学专著读书笔记1数学家的眼光和普通人的不同：在普通人眼中十分复杂的问题，在数学家眼中就变得异常简单；普通人觉得相当简单的问题，数学家可能认为非常复杂。
作者张景中院士从我们熟悉的问题入手，通俗生动地介绍了数学家是如何从这些简单的问题中，发现并得出不同凡响的结论的。
《数学家的眼光》讲的不是解某一类数学题的技巧，它告诉我们的是思考数学问题的思路和方法，让我们做题更加简便的“捷径”。
数学家的眼光可以从“三角形的内角和是180°”这个众人皆知的数学常识中看到“任意n边形外角和都是360°”，看到“**在卵形线上爬一圈，角度改变量之和是360°”，这样的眼光，怎能不让人惊叹！用圆规画线段﹐一般人立即反应：怎么可能呢？若按照常规思考，我们可能回答：“把圆规当铅笔用，再配合直尺，不就可以画线段了吗？”但是在只能用圆规不能用其它工具，画出绝对的直线段的情况下，可能就需要思考一下了。
想一想，若不拘泥在平面上呢？用一个中空的圆罐子，将纸卷成圆柱状置入，将圆心固定在罐子**，转动圆规，在罐子内侧的纸上画圆，当纸拿出后，线段便完成了！鸡兔同笼，数学家的眼光从这个小学的数学问题又能看出什么呢？鸡兔同笼用方程的解法会很简单，但是它除了方程，还可以用最原始的方法去解。
有人可能会笑了：有了简便的方法，还用那么笨的方法干什么？但如果倒过来想，用鸡兔同笼的方来做方程的话，那么很难方程不就好解了吗？数学家的.眼光，能从基本的数学常识中看出复杂的理论，能从不可能中看出可能，能从简单的问题中看出那题的解法。
在数学家的眼中，最最基础的理论也可以衍伸变化出高深的数学问题。
数学的领域是无穷广阔的，真正的关键在于自己，若我们用心观察四周的事物，抓住平凡的事实，思考、探索、发掘，会发现数学是耐人寻味且无所不在的。
数学家的眼光从洗衣服中都能看见数学的影子，那么我们也一定能够从其它事情中看到数学，久而久之，就会慢慢理解数学，喜欢上数学。
小学数学读书笔记范文(精选6篇)
让知识带有温度。
小学数学读书笔记范文(精选6篇)学校数学读书笔记范文（精选6篇）学校数学读书笔记范文当细细品完一本名著后，信任大家都增长了不少见闻，让我们好好写份读书笔记，把你的收获和感想记录下来吧。
千万不能认为读书笔记任凭对付就可以，以下是收集收拾的学校数学读书笔记范文，仅供参考，欢迎大家阅读。
学校数学读书笔记1看了《数学思维与学校数学》一书后，对其中老师的教学案例感慨很深：都是为建立高效的课堂教学、为建立同学的创新思维而奋斗，创新的课堂教学是老师的幻想，有了创新的教学，赋予同学思维进展得空间。
创新地数学学习活动应是在有效地数学学习活动基础上的更高层次追求，下面是我读后的一些感言。
一、首要抓住同学的爱好学教学。
爱好是最好的教师，爱好也是提高效率的法宝。
数学教学要提高效率和质量，首先必需激发同学学习数学的爱好，点燃他们求知的火花，才干引发他们求知的欲望，调动起学习的乐观性，使他们喜爱数学。
在教学过程中，时时调动同学的乐观思维，到处开启同学的心智，课课给同学以学问、办法及新颖感，营造一种深厚的学习氛围，使同学在轻松、愉悦、和-谐的气氛中自觉的猎取学问和养成能力，变“要我学”为“我要学”。
二、创新需细读教材，再因人而教。
老师理清教学层次，找准教学难点，确定教学重点是关键所在。
第1页/共2页千里之行，始于足下1.亲近文本，找准难点。
叶圣陶先生有诗云：“有思路，遵路识斯真。
胸有景，入境始与亲。
”老师惟独精确的掌握课文的内在层次，辨清思路的轨迹，真实深化的理解课文，才有可能设计好讲析层次。
在教学实施过程中，老师应细心设计问题，引领同学去关注能够震撼心灵的文本内容，激发同学深层次的解读欲望，让同学在深层次阅读中感悟到文本的意义，真正领会文本的魅力。
2.确定课堂教学的重点。
确定课堂教学的重点应当依据详细课文而定，这是毫无疑义的。
但假如墨守成规，一味死扣课本，甚至唯教参是从，那便有缘木求鱼之嫌了。
课堂教学重点确实定必需考虑教学的主题，考虑同学的认知程度，做到因人而异，适时而化。
四年级关于数学读书笔记10篇最简单
四年级关于数学读书笔记10篇最简单
以下是10 篇四年级关于数学的简单读书笔记：
1. 今天读了《数学真有趣》这本书，我发现数学在生活中的应用无处不在，我们可以用数学解决很多实际问题。
2. 读了《数学王国历险记》，我了解到数学的历史和发展，数学是一门古老而不断进步的学科。
3. 我读了《数学的奥秘》，知道了数学中的很多概念和原理，例如几何、代数和统计学。
数学是一门非常有用的学科。
4. 通过阅读《数学故事集》，我明白了数学也可以很有趣！书中很多有趣的故事让我对数学产生了更浓厚的兴趣。
5. 《数学游戏》这本书告诉我，数学不仅仅是一门学科，还可以通过游戏来学习和提高数学能力。
6. 我读了《数学家的故事》，了解到很多伟大数学家的生平事迹，他们对数学的贡献让我深受启发。
7. 《数学的挑战》这本书让我知道，学习数学需要不断地思考和探索，解决数学问题可以培养我们的思维能力。
8. 阅读《数学的乐趣》后，我发现数学并不是那么枯燥，它可以很有趣！只要我们用心去发现，数学无处不在。
9. 读了《数学简史》，我了解到数学的发展历程，数学的进步推动了人类文明的发展。
10. 我看了《数学与生活》，知道了数学在日常生活中的重要性，我们可以用数学知识解决很多实际问题。
希望这些读书笔记对你有所帮助！。
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《什么是数学》读书笔记---------从自然数到实数读完《什么是数学》之后，我深受内容的影响，感触很深，对于数学的演化有种震撼的感受，我想这种感触我一定要用笔记下来，好让我以后忘了再把它想起来。
我为什么要把它用笔写下来，不用我多说，我想大家肯定知道其中的秘密。
现在，我们将从一系列公理开始，从自然数的产生一直说到实数理论的完善。
或许会对数学的“科学性”有一个新的认识。
自然数是数学界中最自然的数，它用来描述物体的个数，再抽象一些就是集合的元素个数。
在人类文明的最早期，人们就已经很自然地用到了自然数。
可以说，自然数是天然产生的，其余的一切都是从自然数出发慢慢扩展演变出来的。
数学家Kronecker曾说过，上帝创造了自然数，其余的一切皆是人的劳作。
(God made the natural numbers; all else is the work of man.)。
随着一些数学理论的发展，我们迫切地希望对自然数本身有一个数学描述。
从逻辑上看，到底什么是自然数呢？历史上对自然数的数学描述有过很多的尝试。
数学家Giuseppe Peano 提出了一系列用于构造自然数算术体系的公理，称为Peano公理。
Peano公理认为，自然数是一堆满足以下五个条件的符号：1. 0是一个自然数；2. 每个自然数a都有一个后继自然数，记作S(a)；3. 不存在后继为0的自然数；4. 不同的自然数有不同的后继。
即若a≠b，则S(a)≠S(b)；5. 如果一个自然数集合S包含0，并且集合中每一个数的后继仍在集合S中，则所有自然数都在集合S中。
（这保证了数学归纳法的正确性）形象地说，这五条公理规定了自然数是一个以0开头的单向有序链表。
自然数的加法和乘法可以简单地使用递归的方法来定义，即对任意一个自然数a，有：a + 0 = aa + S(b) = S(a+b)a · 0 = 0a · S(b) = a + (a·b)其它运算可以借助加法和乘法来定义。
例如，减法就是加法的逆运算，除法就是乘法的逆运算，“a≤b”的意思就是存在一个自然数c使得a+c=b。
交换律、结合率和分配率这几个基本性质也可以从上面的定义出发推导出来。
Peano公理提出后，多数人认为这足以定义出自然数的运算，但Poincaré等人却开始质疑Peano算术体系的相容性：是否有可能从这些定义出发，经过一系列严格的数学推导，最后得出0=1之类的荒谬结论？如果一系列公理可以推导出两个互相矛盾的命题，我们就说这个公理体系是不相容的。
Hilbert的23个问题中的第二个问题就是问，能否证明Peano算术体系是相容的。
这个问题至今仍有争议。
在数学发展史上，引进负数的概念是一个重大的突破。
我们希望当a<b时a-b能够继续成立，并让此时的a-b参与运算。
现在我们还不知道当a<b时a-b应该如何参与运算，但请注意到(a-b)与(c-d)总是满足下面两个看上去很符合常理的式子：(a-b) + (c-d) = (a+c) - (b+d)(a-b) ·(c-d) = (ac + bd) - (ad + bc)我们可以非常自然地把上面的规则扩展到a<b或c<d时的情况。
现在，我们可以把自然数扩展到全体整数：把符号(a-b)直接当作一个数来处理。
如果a>=b，符号(a-b)描述的是一个自然数；如果a<b，符号(a-b)描述的就是一个“负数”。
当a+d=b+c时，(a-b)和(c-d)属于同一个等价类（可以证明它们同时加上或乘上一个(e-f)的结果相同），我们认为它们是同一个数（正如1/2和2/4是同一个数一样）。
注意到(a-b)-(b-a) = (a+b)-(b+a) = 0，也就是说(a-b) = 0-(b-a)。
而(a-b)和(b-a)两个数中，至少有一个在原来我们的自然数范围内。
受这个的启发，我们想到了用这两个数中的其中一个去描述另一个：当a<b时，我们把(a-b)记作0-(b-a)；或者干脆不写那个0了，直接简记作-(b-a)。
例如，我们可以把(3-5)直接写成-2。
另外，注意到(a-b)+(c-d) = (a+c)-(b+d) = (c+a)-(d+b) = (c-d)+(a-b)，于是我们可以立即看出，引进负数后原有的加法交换律仍然成立。
类似地，可以证明在上面的定义下，其它几个算术运算基本性质依然保持不变，因此从逻辑上看负数运算是合理的。
生活中遇到的另一个问题就是“不够分”、“不够除”一类的情况。
三个人分六个饼，一个人两个饼；但要是三个人分五个饼咋办？此时，一种存在于两个相邻整数之间的数不可避免的产生了。
为了更好地表述这种问题，我们用一个符号a/b来表示b个单位的消费者均分a 个单位的物资。
真正对数学发展起到决定性作用的一个步骤是把由两个数构成的符号a/b当成一个数来看待，并且定义一套它所服从的运算规则。
借助“分饼”这类生活经验，我们可以看出，对于整数a, b, c，有(ac)/(bc)=a/b，并且(a/b)+(c/d) = (ad+bc)/(bd), (a/b)·(c/d)=(ac)/(bd)。
为了让新的数能够用于度量长度、体积、质量，这种定义是必要的。
但在数学历史上，数学家们经过了很长的时间才意识到：从逻辑上看，新的符号的运算规则只是我们的定义，它是不能被“证明”的，没有任何理由要求我们必须这么做。
正如我们定义0的阶乘是1一样，这么做仅仅是为了让排列数A(n,n)仍然有意义并且符合原有的运算法则，但我们绝对不能“证明”出0!=1来。
事实上，我们完全可以定义(a/b) + (c/d) = (a+c)/(b+d)，它仍然满足基本的算术规律；虽然在我们看来，这种定义所导出的结果非常之荒谬，但没有任何规定强制我们不能这么定义。
只要与原来的公理和定义没有冲突，这种定义也是允许的，它不过是一个不适用于度量这个世界的绝大多数物理量的、不被我们熟知和使用的、另一种新的算术体系罢了。
我们称所有形如a/b的数叫做有理数。
有理数的出现让整个数系变得更加完整，四则运算在有理数的范围内是“封闭”的了，也就是说有理数与有理数之间加、减、乘、除的结果还是有理数，可以没有限制地进行下去。
从这一角度来看，我们似乎不大可能再得到一个“在有理数之外”的数了。
当我们的数系扩展到有理数时，整个数系还出现了一个本质上的变化，这使我们更加相信数系的扩展已经到头了。
我们说，有理数在数轴上是“稠密”的，任何两个有理数之间都有其它的有理数（比如它们俩的算术平均值）。
事实上，在数轴上不管多么小的一段区间内，我们总能找到一个有理数（分母m足够大时，总有一个时刻1/m要比区间长度小，此时该区间内至少会出现一个分母为m的有理数）。
这就使得人们会理所当然地认为，有理数已经完整地覆盖了整个数轴，所有的数都可以表示成a/b的形式。
难以置信的是，这样的数竟然不能覆盖整个数轴；除了形如a/b的数以外，数轴上竟然还有其它的数！这是早期希腊数学最重要的发现之一。
那时，古希腊人证明了，不存在一个数a/b，使得其平方恰好等于2。
平方之后等于2的数不是没有（可以用二分法找出这个数），只是它不能表示成两个整数之比罢了。
用现在的话说就是，根号2不是有理数。
根号2这种数并不是凭空想象出来的没有实际意义的数，从几何上看它等于单位正方形的对角线长。
我们现有的数竟然无法表达出单位正方形的对角线长这样一个简单的物理量！因此，我们有必要把我们的数系再次进行扩展，使其能够包含所有可能出现的量。
我们把所有能写成整数或整数之比的数叫做“有理数”，而数轴上其它的数就叫做“无理数”。
它们合在一起就是“实数”，代表了数轴上的每一个点。
其实，构造一个无理数远没有那么复杂。
我们可以非常轻易地构造出一个无理数，从而说明无理数的存在性。
把所有自然数串起来写在一起所得到的Champernowne常数0.12345678910111213141516...显然是个无理数。
考虑用试除法把有理数展开成小数形式的过程，由于余数的值只有有限多种情况，某个时刻除出来的余数必然会与前面重复，因此其结果必然是一个循环小数；而Champernowne常数显然不是一个循环小数（不管你宣称它的循环节是什么，我都可以构造一个充分长的数字串，使得你的循环节中的某个数字根本没在串中出现，并且显然这个串将在Champernowne常数中出现无穷多次）。
这个例子说明，数轴上还存在有大量的无理数，带根号的数只占无理数中微不足道的一部分。
这个例子还告诉我们，不是所有的无理数都像pi一样可以用来测试人的记忆力和Geek程度。
在定义无理数的运算法则中，我们再次遇到了本文开头介绍自然数时所面临的问题：究竟什么是无理数？无理数的运算该如何定义？长期以来，数学家们一直受到这个问题的困惑。
19世纪中期，德国数学家Richard Dedekind提出了Dedekind分割，巧妙地定义了无理数的运算，使实数理论得到了进一步的完善。
在此之前，我们一直是用有序数对来定义一种新的数，并定义出有序数对之间的等价关系和运算法则。
但Champernowne常数这种让人无语的无理数的存在使得这种方法能继续用于无理数的定义的希望变得相当渺茫。
Dedekind不是用两个或多个有理数的数组来定义无理数，而是用全体有理数的一个分割来定义无理数。
我们把全体有理数分成两个集合A和B，使得A中的每一个元素都比B中的所有元素小。
显然，满足这个条件的有理数分割有且仅有以下三种情况：1. 1.A中有一个最大的元素a*。
例如，定义A是所有小于等于1的有理数，B是所有大于1的有理数。
2. 2. B中有一个最小的元素b*。
例如，定义A是所有小于1的有理数，B是所有大于等于1的有理数。
3. 3. A中没有最大的元素，且B中没有最小的元素。
例如，A由0、所有负有理数和所有平方后小于2的正有理数组成，B由所有平方后大于2的正有理数组成。
每一次出现这种情况，我们就说这个分割描述了一个无理数。
4. 4.注意，“A中有最大元素a*且B中有最小元素b*”这一情况是不可能出现的，这将违背有理数的稠密性。
a*和b*都是有理数，它们之间一定存在其它的有理数，而这些有理数既不属于集合A，也不属于集合B，因此不是一个分割。
为什么每一种情况3都描述了一个确定的无理数呢？其实这非常的形象。
由于A里面没有最大的元素，因此我们可以永不停息地从A里面取出越来越大的数；同样地，我们也可以不断从B里面取出越来越小的数。
这两边的数将越来越靠近，它们中间夹着的那段区间将越来越小，其极限就是数轴上的一个确定的点，这个点大于所有A里的数且小于所有B里的数。
但集合A和B已经包含了所有的有理数，因此这个极限一定是一个无理数。