曲面积分习题课

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曲面积分习题课(供参考)

第二十二章曲面积分习题课一疑难问题与注意事项1.第一型曲面积分的计算方法：答 1）先把S 的方程代入，再利用SdS ⎰⎰为S 的表面积；例如,22⎰⎰+S yx dS其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分；解22221122SSdS H dS RH x y R R Rππ===+⎰⎰⎰⎰. 2)利用公式（1）设有光滑曲面:(,),(,)S z z x y x y D =∈，(,,)f x y z 为S 上的连续函数，则(,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰．注一投------将曲面S 向xOy 面投影得D ；二代------将(,)z z x y =代入到(,,)f x y z 中；三变换------dS.（2）类似地，如果光滑曲面S 由方程(,),(,)x x y z y z D =∈，则(,,)d ((,),,d SDf x y z S f x y z y z y z =⎰⎰⎰⎰，其中D 表示曲面S 在yOz 面上的投影．（3）如果光滑曲面S 由方程(,),(,)y y x z x z D =∈，则(,,)d (,(,),d SDf x y z S f x y x z z x z =⎰⎰⎰⎰．其中D 表示曲面S 在xOz 面上的投影．3)利用对称性（1）若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上部的曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（2）若曲面∑关于yoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0x ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z x f x y z S f x y z S f x y z x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（3）若曲面∑关于xoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0y ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z y f x y z S f x y z S f x y z y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（4）若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性,则有[]1(,,)(,,)(,,)3f x y z f y z x f z x y ds ∑=++⎰⎰． 2.第二型曲面积分的方法：答 1）公式：（1）设R 是定义在光滑曲面上的连续函数，以S 的上侧为正侧，则有注一投-----曲面:(,)S z z x y =向xOy 面投影得D ；二代----将(,)z z x y =代入到(,,)R x y z 中；三定向—看S 的法线方向与z 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负．（2）类似地，当P 在光滑曲面上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，（3）当Q 在光滑曲面上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧． 2）若(,)z z x y =，则 3）高斯公式注高斯公式(),VSP Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰的适用条件是：1）函数(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 在V 上具有一阶连续的偏导数． 2）S 封闭，若S 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面S *后封闭，则有 3）S 取外侧；如果S 取内侧，则S -取外侧，则有 3.各种积分间的联系τ格林公式 n二 1.计算第一型曲面积分()Sx y z dS ++⎰⎰，其中S 是上半球面2222x y z a ++=(0)a >，0z ≥．解把:S z=xoy 面投影得222:D x y a +≤(()SDx y z dS x y ++=+⎰⎰⎰⎰3a π=．注(0Dx y +=⎰⎰，因为222:D x y a +≤关于,x y 轴对称，且(x y +2.计算曲面积分2Sz dS ⎰⎰，其中S 是球面2222xy z a ++=．解： ∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性， ∴222SSSx dS y dS z dS ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴2Sz dS ⎰⎰=2221()3Sx y z dS ++⎰⎰ =22133S Sa a ds ds =⎰⎰⎰⎰22214.433a a a ππ==． 3．计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间部分的下侧．解补平面2:1=∑z 的上侧，则1∑+∑为封闭曲面，在其上应用高斯公式：π82)11(=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ΩxyD dxdy dxdydz ．4．计算第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy -+⎰⎰，其中曲面S为椭球面2222221x y z a b c ++=的上半部分，其方向为下侧．解：为求1SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰ (S 取下侧)，只须求2SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰(S 取上侧)，那么12I I =-．为求2I ，将S 与底面'S (其中'S 是S 在xoy 坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为total S ，即'total S SS =，其中S 方向取上侧，'S 方向取下侧．设total S 围成的区域为()222222,,|1,0x y z V x y z z a b c ⎧⎫=++≤≥⎨⎬⎩⎭，由高斯公式：213Vabcdxdydz π==⎰⎰⎰．又由于'0S xdydz ydzdx zdxdy -+=⎰⎰，那么223I abc π=，从而 123SabcI xdydz ydzdx zdxdy π=-+=-⎰⎰． 5．计算Sxdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰，其中S是上半球面z =解：曲面S 不封闭，补上曲面2221:0()S z x y a =+≤，取下侧6.⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧．解333222()SVx dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ++=++⎰⎰⎰⎰⎰2140123sin 5d d r dr ππϕθϕπ==⎰⎰⎰．7.求222222()()()CI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中C 是立方体{0,0,0,}x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的表面与平面32x y z a ++=的交线，取向从z 轴正向看去是逆时针方向．解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且C 也不便于表示为一个统一的参数式，因C 为闭曲线，且22P y z =-，22Q z x =-，22R x y =-连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令∑为32x y z a ++=被C 所围的一块，取上侧，则C 的取向与∑的取侧相容，应用斯托克斯公式得23394()242a x y z dS dS a a ∑∑=-++==-⋅=-⎰⎰⎰⎰． 8.计算()d ()d ()d I z y x x z y x y z Γ=-+-+-⎰，其中221:2x y x y z ⎧+=Γ⎨-+=⎩，从z 轴正向看为顺时针方向（图10-23）．解用斯托克斯公式取:2x y z ∑-+=以Γ为边界所围有限部分的下侧，它在xOy 面上的投影区域为22{(,)1}xy D x y x y =+≤，则d d d d d d y z z x x yI x y z z yx zx y∑∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰2d d 2d d 2xyD x y x y π∑==-=-⎰⎰⎰⎰．。

第四章曲线积分与曲面积分习题课(一)

2 [ a cos t ( a sin t ) b sin t ( b cos t )] dt 0
- 12 -
a b
2
2
2
习题课（一）
三格林公式及其应用设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
第十章
在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P x y d xd y D
y dx
L
2
2

2
-8-
习题课（一）
（3） L ( y z ) dx ( z x ) dy ( x y ) dz , 其中
2 2 2 2 2 2
L
为球面的一部分
x y z 1, x 0 , y 0 , z 0
2 2 2
第的围线，其方向从 z 正向看去是逆时针的。十 y2 z2 1 章 z 解 L L1 L 2 L 3 x 0 曲 L2 x2 z2 1 x cos t 线积 L y 0 L3 t :0 1 y sin t 分 2 o 与 z 0 L1 曲 x x2 y2 1 面积 z 0 分 y cos t z cos t t :0 L 3 x sin t L 2 z sin t t :0 2 2 x 0 y 0
Pd x Qd y
L
曲在D 内具有一线设D 是单连通域 , 函数积分阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: 与 P Q . 曲 (1) 在 D 内每一点都有 y x 面积 Pd x Qd y 0 . 分 (2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L

曲线曲面积分习题课共57页

25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
曲线曲面积分习题课
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本身就是讲道理 ……法律，也 ----即明示道理。— —爱·科克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一定颓败。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律面前人人是平等的。 ——波洛克

高数A(2)习题课(11)曲面积分

R( x, y, z )dxdy
D xy
R( x, y, z ( x, y) ) dxdy
Dxy
如果取下侧, 则

R( x, y, z)dxdy
R( x, y, z( x, y))dxdy
如果为x=x(y, z), (y, z)Dyz, P(x,y,z)C(), 则
2
2
2
2 a cos
0
r [cos sin cos sin ]rdr
2
o x
y
1 2 (cos sin cos sin ) (2a cos ) 4 d 2 4
8 2a
4

2
0
4 2 64 8 2a 2a 4 cos d 5 3 15

分记作2, 1在xoy面上投影为 1 2 于是, 2 2 Dx y {( x, y ) | x y a } 2
h
1

o
a
I ( x 2 y 2 )d S ( x 2 y 2 )d S
1 2
2 2
Dx y
ay
2
( x y )d S 0 D ( x y )
x
Dxy
y
2
R2 u 2 v2 dudv Dyz 2 所以, 2 2 2 3 u v R ,0v 2 3 R 类似地,有 ydzdx R I c R2 2 R3 3 3
(a R2 ( y b)2 ( z c)2 )dydz
课件制作：肖萍赵庆华李丹衡
一、二、
内容总结作业选讲

A11-曲线积分与曲面积分习题课习题课

L
a
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投元 ))影素
L
a
f(x ,y ,z)d S f[x ,y ,z(x ,y)]1 zx 2 zy2 dxd
D xy
(dS面元(曲素 ))
R (x,y,z)dxd fy [x,y,z(x,y)d ] xdy
D xy
价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
命 ( 3 )在 D 内 U ( x , 存 y ) 使 d P u 在 Q dx d 题 (4) 在D内,PQ
y x
曲面积分
对面积的曲面积分对坐标的曲面积分
定义
n
n
f(x,y,z)d sl i0 im 1f(i,i,i) si R (x ,y,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i)( S i)xy
(dx面 dy元 (投素 )影 )
其中 L P Q d x L d ( P c yo Q c so ) ds s
PdydzQdzdxRdxdy
(Pcos Qcos Rcos)dS
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
y C
B(x A 2 y )d x (y 2 x )d y D
曲线积分与曲面积分习题课
（一）曲线积分与曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定
n
P(x,y)d xQ (x,y)dy
义
Lf(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln

曲面积分-习题课2共35页文档

为O 点 (0,0,0)到平 Π 的面距 ,求S离 (x,zy,z)dS.
解设(X,Y,Z)为上任意,一则点得出的方程为
xX yYzZ1 22 由点O到平面的距离公式,得
(x, y,z)
1 x2 y2 z2 44
设 S为椭球 x2面 y2z21的上半部 22
由z 1 x2 y2
22
一、教学要求
1. 了解两类曲面积分的概念及高斯 Gauss) 斯托克斯(Stokes)公式, 并会、计算两类曲面积分.
2.了解散度、旋度的概念及其计算方法.
3. 会用曲面积分求一些几何量与物理量.
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dx d L Py dQ xd (沿 y L 的)正向
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
z
x
,
x
x2 y2
2 1
22
得
z
y
y 2 1 x2 y2
22
dS 1x z2 yz2dxdy 4 x2 y2 dxdy 2 1 x2 y2 22
所以
dS 4x2 y2 dxdy
z dS
S (x, y,z)
1 (4x2y2)dxdy
4 Dxy
2 1 x2 y2
22
(x, y,z)
(1 ) 若P,Q,R在闭曲面所围成的空间中域

高等数学第十一章习题课(二)曲面积分

z
B
o
dS
n C

y
z
x
3 2
y A x : x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
1 3

(3) d S
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与的侧有关
练习: P185 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中为半球面

的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用高斯公式有原式 =
x , 2 2 x y y , 2 2 x y
D

x y I y , x , z 2 , 2 ,1dxdy 2 2 x y x y
2
z 2dxdy

( x 2 y 2 )dxdy
D xy
[ Dxy : 1 x 2 y 2 4 ]

用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S

0
例7. 设L 是平面
与柱面
的交线
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算解: 记为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
z
L
I

1 3 x
2z x y z 2 (4 x 2 y 3z )dS 3
2 2
1 3 y 2
2
3x y 2
1 3 z 2
dS
D
o x
y

11-8 曲面积分习题课

(二) 对坐标的曲面积分的计算
1．用高斯公式计算 2．添加曲面后用高斯公式计算 3．分项直接计算 4．转化为一项后直接计算
ez
u例10 计算òò
dxdy,
S x2 + y2
其中Σ为锥面 z = x2 + y2
与平面z=1,z=2围成的立体表面的外侧.
z 2
1
oy x
(二) 对坐标的曲面积分的计算
性质线性可加性物理意义ds计算直接计算一投二代三换选择一投二代三定号确定高斯公式转化coscoscosds一内容小结二题型练习一内容小结二题型练习对坐标的曲面积分的计算计算公式dzxz计算步骤明确的方程化为二重积分确定选择面积元素ds1
第八讲曲面积分习题课
曲面积分习题课
一、内容小结二、题型练习
(一) 对面积的曲面积分的计算
1．简化计算 2．Σ方程的选择与确定 3．Σ的投影的求法
u例3 计算 òò (x2 + y2 + z2 )dS,
S
S : x2 + y2 + z2 = 2az.
l注确定Σ的方程需考虑是否分片；
z
S1
S2
y
结合所给条件简化计算． u例4 计算曲面积分
xz 1
其中å 是由平面与坐标面所围成的四面体的表面.
法向量指向原点.
u例12 计算
òò [ f (x, y, z) + x]dydz + [2 f (x, y, z) + y]dzdx + [ f (x, y, z) + z]dxdy,
S
f(x,y,z)连续,Σ为平面 x - y + z = 1
z
在第Ⅳ卦限部分的上侧．

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例 5 计算 | xyz | dS ,其中为抛物面 z x2 y2
（0 z 1）.
z
解依对称性知：抛物面z = x2 + y2关于
xoz, yoz面对称，被积函数| xyz |也对称
y x
有 4 成立，(1为第一卦限部分曲面)
1
其中Dxy {( x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}
2
4
1
o 3
1
y
1
x
dS 1 (zx )2 (zy )2dxdy 3dxdy
xyzdS = xy 1- x - y 3dxdy
Dxy
301dx 01 x
xy(1
x
y)dy
3 120
.
说明：当S只取平面x+y+z=1时,即为 P.282 习题1(4).
例4 (P.282 习题1 (2)):
dS 1 zx2 zy2dxdy 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
原式 | xyz | dS 4 xyz dS
1
4 xy( x2 y2 ) 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
Dxy
利用极坐标 x r cos t , y r sin t ,
4 2 dt
1 r 2 cos t sin t r 2
例3：计算曲面积分 xyzdS ,
: x 0, y 0, z 0,及x y z 1 所围立体的表面.
解： 1 2 3 4
z
1
1 : x 0, 2 : y 0, 3 : z 0,
4 : x y z 1, z 1 x y Dxy : 0 x 1,0 y 1 x
sin
cos
r2 (cos
sin
)]rdr
2
4
2a4
2 2
(sin
cos5
cos5
sin
cos4
y
)d
64 2a4 15
o
2a x
或 ( xy yz zx)dS 2 [ xy ( x y) x2 y2 ]dxdy
2 x
Dxy
x2
y2dxdy
Dxy
2
2 d
2a cos r 2 cos rdr
故 ( x y z)dS 2 ( x y 5 y)dxdy
Dxy
2 (5 x)dxdy
2
5
2 d (5 r cos )rdr
Dxy
0
0
125 2. x2 y2 25
f x, y,zdS 的计算步骤:
Σ
1.写出曲面∑的显式方程,确定投影坐标面,
求出投影区域.
2.求出dS的表达式 3.计算二重积分.
∑闭合
两类曲面积分之间的关系
(P cos Q cos R cos )dS
定义法或
z = z x, y -zx P - zyQ + Rdxdy. Σ
练习: P.296 题1(5)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y,其中为半球面
z
的上侧.
z
Dxy
x2y22ax
1 0.5
2 1
0
-2
0y
-1
dS
1
z
2 x
z 2y dxdy
0
-1
x
y
1 -2
2
1
x2 x2
y2
x2
y2
y2 dxdy
o
2a x
2dxdy
( xy yz zx)dS 2 [xy ( x y) x2 y2 ]dxdy
Dxy
2 2
d
2a cos
0
[r2
cos =
1 , dS =
1+ zx2 + zy2
1+ zx2 + zy2
R x, y,zdydz = R x, y,zcosαdS
Σ
Σ
R x, y,zdzdx = R x, y,zcosdS
Σ
Σ
R(x, y,z)dxdy = R(x, y,z)cosγdS
Σ
Σ
从而
dydz dxdy
=
在第一象限中的部分
x 2
yz 34
z
4
1
解 : z 4 2x 4 y
3
Dxy
:0
x
2,
0
y
3(1
x) 2
dS
1
z x2
z
2 y
dxdy
61 dxdy 3
o
x2
3y
(z
2x
4 3
y)dS
Dxy
4
61 dxdy 3
4
61 3
Dxy
dxdy
4
61
例2 计算 ( x y z)dS , 其中为平面 y z 5
1
4
例 9.计算 (z2 x)dydz zdxdy,其中Σ是旋转抛物面
z 1 ( x2 y2 )介于平面z 0及z 2之间的部分的下侧. 2
连续偏导数, 则有公式：
(
P x
Q y
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
或
(P x
Q y
R)dv z
(P cos Q cos Rcos )dS
这里是的整个边界曲面的外侧，cos ,cos ,cos
是上点( x, y, z)处的法向量的方向余弦.
Gauss公式的实质：
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
D yz
说明：
（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则可利用可加性，分块计算，结果相加
（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式
（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数
（4）切记任何时候都要换面积微元.
例1
求
(
z
2x
4 3
y)dS
其中为平面
第二十二章曲面积分
习题课
主要内容:
（一）对面积的曲面积分（二）对坐标的曲面积分（三）Gauss公式与斯托克斯公式
一计算、方对法面：积一的投曲、面二积代分、的三计换算法:
按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面 : z z( x, y)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy;
1 4r 2rdr
0
0
2
2 sin 2tdt
r1 5
1 4r 2dr 令u 1 4r 2
0
0
1 5
41
u(u 1)2 du 4
125 5 1. 420
例6 ( xy yz zx)dS 其中为锥面z x2 y2
被 x2y22ax 所截得的有限部分
2
1.5
解 :z
x2 y2,
被柱面 x2 y2 25所截得的部分.
解积分曲面：z 5 y ,
投影域： Dxy {( x, y) | x2 y2 25}
dS 1 zx2 zy2dxdy
1 0 (1)2dxdy 2dxdy,
故 ( x y z)dS 2 ( x y 5 y)dxdy
Dxy
Dxy
2. 若曲面： y y( x, z)
则 f ( x, y, z)dS f [x, y( x, z),z] 1 yx2 yz2dxdz
Dxz
3. 若曲面： x x( y, z)
则 f ( x, y, z)dS f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2dydz
Σ
= (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ)dS
Σ
= -zx P - zyQ + R dxdy.
Σ
方法：这就把三个坐标的积分转化为一个
坐标面上的积分.
方法四：高斯公式
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成,函数 P( x, y, z)、Q( x, y, z)、 R( x, y, z)在上具有一阶
z
其中为锥面 z x2 y2 (0zh) 的外侧
解 Py2z Qz2x Rx2y
h
P Q R 0 x y z 设1为zh(x2y2h2)的上侧
o
y
x
为由与1所围成的空间区域则由高斯公式
( y2 z)dydz (z2 x)dzdx ( x2 y)dxdy
1
P Q R
(
x
y
cosαdS cosγdS
=
-z x 1
dydz
=
-zxdxdy.
dzdx dxdy
=
cos dS
cosγdS
=
-z y 1
dzdx
=
-z ydxdy.
所以 dydz = -zxdxdy, dzdx = -zydxdy
dydz = -zxdxdy, dzdx = -zydxdy 代入下式
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
: x x( y, z) cos 0 时，曲面取前侧 cos 0 时，曲面取后侧
方法一：定义法 “一投,二代,三定号”
如果由 : z z( x, y)给出,则有
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
如果由x x( y, z)给出, 则有
0
2
64 2a4 15
二、对坐标的曲面积分
曲面法向量的指向决定了曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面.