学校选址问题模型数学建模
教师培训课件：数学建模中的选址
总结词
求解选址问题的方法可以分为两大类：解析法和启发式算法。解析法包括线性规划、整数规划等，适用于小规模问题；启发式算法包括模拟退火、遗传算法等，适用于大规模问题。选择合适的求解方法需要根据问题的规模和特点进行选择。
详细描述
解析法是一种精确求解方法，通过建立数学模型和求解方程或不等式来找到最优解。这种方法适用于小规模问题，但对于大规模问题可能会因为计算量大而变得不适用。启发式算法是一种基于经验或直观的近似求解方法，通过模拟或启发式的搜索过程来寻找近似最优解。这种方法适用于大规模问题，但可能无法找到最优解或最优解的精度不够高。在实际应用中，可以根据问题的规模和特点选择合适的求解方法，或者结合多种方法进行求解。
选址问题的数学建模
总结词
数学模型是用来描述选址问题的数学工具，通过数学模型可以将实际问题转化为数学问题，以便进行定量分析和求解。建立数学模型的过程包括问题分析、变量定义、建立方程和不等式等步骤。
详细描述
建立选址问题的数学模型需要先对问题进行深入分析，明确问题的目标、约束条件和相关因素。然后定义变量，包括决策变量和参数变量，并根据问题的实际情况建立数学方程或不等式。最后通过数学模型将实际问题转化为数学问题，为后续的求解提供基础。
明确问题、建立模型、求解模型、验证结果和改进模型。
总结词
明确问题是数学建模的第一步，需要清晰地理解问题的背景、目标和约束条件。建立模型是将问题抽象化，用数学语言进行描述。求解模型是运用数学方法和技巧进行计算的过程。验证结果是对比实际数据和模型结果的符合程度。改进模型是根据验证结果对模型进行修正和优化的过程。
课程总结与展望
案例分析
通过实际案例展示了数学建模在选址问题中的应用和效果。
模型求解与优化
学校选址问题
数学建模（学校选址问题）选址问题背景现如今，教育普及，学校的建设问题也就成为了一个需要考虑的问题。
现在，某地新开发的20个小区需要建设配套的小学，设备选的校址共有16个，各校址覆盖的小区情况如下表所示：现在要用最少的校区，包含全部的小区，这问题关系到土地问题，应此，先建立以下模型。
本模型先建立矩阵，由于一个小区只需在一个校址内即可，所以再编程求解出所选校址。
模型假设一、假设校区可以建得很大，也可以建的很小，不影响其他校区的建立。
二、假设任意小区到可选择的任意校区都一样，距离不考虑。
模型建立建立矩阵，行表示备选校址，列表示小区号。
若某校址能覆盖某小区，则在矩阵的相应位置上添“1”，否则添“0”，为了使矩阵成为方阵，故在矩阵的行最后添加四行全为“0”的行。
最终，建立了一下矩阵：A=[1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 10 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 00 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 01 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 00 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]模型求解对于以上方阵，可先将它与一个20行1列的矩阵B=[1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1]相乘，所得的结果就是各个小区所覆盖的小区数。
数学建模报告选址问题
长沙学院数学建模课程设计说明书题目选址问题系(部) 数学与计算机科学专业(班级) 数学与应用数学姓名学号指导教师起止日期 2015、6、1——2015、6、5课程设计任务书课程名称：数学建模课程设计设计题目：选址问题已知技术参数和设计要求：选址问题（难度系数1.0）已知某地区的交通网络如下图所示，其中点代表居民小区，边代表公路，边上的数字为小区间公路距离（单位：千米），各个小区的人数如下表所示，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民人均就诊时所走的路程最近？各阶段具体要求：1．利用已学数学方法和计算机知识进行数学建模。
2．必须熟悉设计的各项内容和要求，明确课程设计的目的、方法和步骤。
3．设计中必须努力认真，独立地按质按量地完成每一阶段的设计任务。
4．设计中绝对禁止抄袭他人的设计成果。
5．每人在设计中必须遵守各组规定的统一设计时间及有关纪律。
6．所设计的程序必须满足实际使用要求，编译出可执行的程序。
7．要求程序结构简单，功能齐全，使用方便。
设计工作量：论文：要求撰写不少于3000个文字的文档，详细说明具体要求。
1v 5工作计划：提前一周：分组、选题；明确需求分析、组内分工；第一天：与指导老师讨论，确定需求、分工，并开始设计；第二~四天：建立模型并求解；第五天：完成设计说明书，答辩；第六天：针对答辩意见修改设计说明书，打印、上交。
注意事项⏹提交文档➢长沙学院课程设计任务书（每学生1份）➢长沙学院课程设计论文（每学生1份）➢长沙学院课程设计鉴定表（每学生1份）指导教师签名：日期：教研室主任签名：日期：系主任签名：日期：长沙学院课程设计鉴定表目录第一章课程设计的目的、任务及要求 (2)1.1 目的 (2)1.2 主要任务 (2)1.3 要求 (2)摘要 (3)第二章问题重述 (4)2.1 问题背景 (4)2.2 问题重述 (4)第三章问题分析 (5)第四章假设与符号约定 (6)4.1 模型假设 (6)4.2符号说明 (6)第五章模型的建立与求解 (7)5.1.选定中心点 (7)5.1.1 模型一 (7)5.1.2 模型二 (7)5.2 题目引申 (9)第六章模型的结果分析与检验 (10)6.1 结果分析 (10)6.2 模型检验 (10)6.3 模型优缺点 (12)结论 (13)参考文献 (14)结束语 (15)附录 (16)第一章课程设计的目的、任务及要求1.1 目的1、巩固《数学建模》课程基本知识，培养运用《数学建模》理论知识和技能分析解决实际应用问题的能力；2、初步掌握数学建模的基本流程，培养科学务实的作风和团体协作精神；3、培养调查研究、查阅技术文献、资料、手册以及撰写科技论文的能力。
【数学建模案例分析6.选址问题】
出版社销售代理点的选择模型摘要：本文主要是为了解决出版社准备在某市建立两个销售代理点，向七个区的大学生售书，知道每个区的大学生人数（千人）和每个区的位置关系，如图一，每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，建立模型确定销售代理点的位置，使得能供应的大学生的数量最大。
我们建立了一个整数线性规划模型，确定决策变量：12x ，13x ，23x ，24x ，34x ，25x ，45x ，46x ，47x ，56x ，67x ，ij x 1=表示（i ，j ）区的大学生由一个销售代理点供应，否则0ij x =，写出目标函数，确定约束条件。
用lindo 软件求解，的到的最优解：max 177=， 251x =，471x =。
对图一得各区进行标号，见图二，说明2和5区的大学生由一个销售代理点供应，4和7区的大学生由一个销售代理点供应，该出版社能供应的大学生的最大数量为177千人。
此整数线性规划模型在地区小的范围和销售代理点少的情况小无疑是一个很好的模型，但要在比较大的市场上来选在较多的代理点的话还得考虑其他更好的方案。
关键字：整数线性规划模型 lindo 软件1 问题重述随着现在社会的进步，人民生活水平的提高，市场的公司也是越做越大，销售代理点也是越来越多，而且是做到更小的区域了，以满足更多人的需要，这就要求我们在选择销售代理点的时候，需要考虑的情况也越来越多，在满足更多人方便的时候也得为公司赚取更多的资金。
本文需要解决的题目：一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向七个区的大学生售书，每个区的大学生（单位：千人）已经表示在图上，如图一。
每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所能供应的大学生的数量最大。
2 模型假设及符号说明对七个区分别进行标号，如图二，图中的人数和标号是对应的。
（1）i ，j 表示区，i ，j 1,2,3,4,5,6,7=；（2）i y 表示第i 区大学生的人数；（3）ij x 1=表示（i ，j ）区的大学生由一个销售代理点供应，i j <且它们在地图上相邻。
数学建模 学校选址问题模型
学校选址问题摘 要本文针对某地新开发的20个小区建设配套小学问题建立了0-1规划模型和优化模型。
为问题一和问题二的求解，提供了理论依据。
模型一：首先：根据目标要求，要建立最少学校的方案列出了目标函数：∑==161i i x s然后：根据每个小区至少能被一所学校所覆盖，列出了20个约束条件;最后：由列出的目标函数和约束函数，用matlab 进行编程求解，从而得到，在每个小区至少被一所学校所覆盖时，建立学校最少的个数是四所，并且一共有22种方案。
模型二：首先：从建校个数最少开始考虑建校总费用，在整个费用里面，主要是固定费用，由此在问题一以求解的条件下，进行初步筛选，得到方案1,4,8的固定成本最少。
然后：在初步得出成本费用最少时，对每个这三个方案进一步的求解，求出这三个方案的具体的总费用，并记下这三套方案中的最小费用。
其次：对这三套方案进行调整，调整的原则是：在保证每个小区有学校覆盖的条件下，用多个固定成本费用低的备选校址替换固定成本费用高的备选校址。
在替换后，进行具体求解。
再次：比较各种方案的计算结果，从而的出了如下结论： 选用10,11,13,15,16号备选校址的选址方案，花费最少，最少花费为13378000元。
最后：对该模型做了灵敏度分析，模型的评价和推广。
关键字：最少建校个数 最小花费 固定成本 规模成本 灵敏度分析1. 问题重述1.1问题背景：某地新开发的20个小区内需要建设配套的小学，以方便小区内居民的的孩子上学。
但是为了节省开支，建造的学校要求尽量的少，为此，设备选定的16个校址提供参考，各校址覆盖的小区情况如表1所示：表1-1备选校址表备选校址1 2 345 6 7 8 覆盖小区1,2,3, 4,6 2,3,5,8, 11,20 3,5,11,201,4,6,7,12 1,4,7,8,9,11,13, 14 5,8,9,10 11,16,20 10,11,1516,19, 20 6,7,12, 13,17, 18 备选校址9 10 11 12 13 14 15 16覆盖小区 7,9,13, 14,15, 17,18, 199,10,14,15,16, 18,191,2,4,6, 75,10,11, 16,20,12,13，14,17, 189,10,14, 152,3,,5, 11,202,3,4,5,81.2 问题提出：问题一、求学校个数最少的建校方案，并用数学软件求解（说明你所使用的软件并写出输入指令）。
学校选址问题 论文
2.1 问题假设 1 每个学校教学质量都一样，被多个校址覆盖的小区的学生都愿意去其中任何一所
学校； 2.2 符号说明
α ：建校的固定成本； ci ：第 i 个备选校址的建设成本； βi ：学校建设成本参数； c ：建校的总成本。
3 问题分析
3.1 问题一的分析 首先，由题目可知，要对新开发的 20 个小区进行建校方案的确定，已知有 16 个校
1 建校成本计算方法； 2 每个学校建设成本参数表； 3 已知各个校址所覆盖的小区； 4 建一所学校的成本由固定成本和规模成本两部分组成； 5 新开发的 20 个小区需要建设配套的小学，共有 16 个校址可供选择； 6 根据小区规模大小用统计方法得出每个小区的学龄儿童的估计值(样本均值)。 1.3 问题提出 一 建立数学模型求学校个数最少的建校方案，用数学软件求解并说明所使用的软 件及输入指令； 二 设计总成本最低的建校方案。
由问题一可知，要从备选的 16 个校址中选择最少的校址进行建设，并且要求覆盖 所有的小区，则每个小区至少有一次在所选校址的覆盖范围内。
对题目中给定的备选校址表，通过 0-1 规划建立备选校址 0-1 规划表(校址如果覆盖 小区用 1 表示，未覆盖标用 0 表示)
-3-
备选校址 0-1 规划表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11001100000100000 21100000000100011 31110000000000011 41001100000100001 50110010000010011 61001000100100000 70001100110100000 80100110000000001 90000110011010100 10 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 11 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 12 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 13 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 14 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 15 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 16 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 18 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 19 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 20 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0
选址问题数学模型
选址问题数学模型摘要：本题是用算法和代数相结合来进行数学模型，来解决1.高中应该建立在哪个乡镇上，才能够使得最远的乡镇的学生上学最近；2.应该建立在哪个乡镇上，使学生往返学校的平均距离最短。
通过对原型进行初步分析，分清各个要素及求解目标，理出它们之间的联系.在用算法模型描述研究对象时，为了突出与求解目标息息相关的要素，降低思考的复杂度。
对客观事物进行抽象、化简，并用矩阵描述事物特征及内在联系的过程.建立代数模型是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题。
针对问题1：我们要通过建立矩阵模型，分别求出高中建立在每一个乡镇，此时到该高中的最远乡镇，然后将这些最远的乡镇相互比较，得出就近的。
这个问题也就解决了。
针对问题2：这个问题和第一个问题类似的处理手法，都是分别将数据列出来，然后进行比较。
也是要先分别求出高中建立在每一个乡镇上，此时学生往返学校的平均值，然后再将这25组数据进行比较，得出其中平均距离最短的一组。
确定高中应该建立在哪个乡镇上。
关键词：最远最近平均距离最短矩阵 max min1.问题的重述1.1问题的背景某行政区有25个乡镇，每个乡镇的具体位置（用平面坐标系x，y表示）及高中生人数t，如表1，假设乡镇之间均有直线道路相连，现在一个乡镇上建立一所高中，然后我要要开始选址了。
1.2问题的提出1.高中应该建立在哪个乡镇上，才能够使得最远的乡镇的学生上学最近；2.高中应该建立在哪个乡镇上，使学生往返学校的平均距离最短。
附有表格（便于表格的完整性，放到了下一页）表1：各乡镇的位置及高中生人数2.模型假设（1）各个乡镇之间的路都是一样的，没有难行和不好行的区别（2）各个乡镇之间的交通设置都是一样的（3）各个乡镇之间不受地形等天然因素的影响3.符号说明X：乡镇距离x轴的距离；y：乡镇距离y轴的距离；t：每个乡高中生的人数；max(d)：距离高中最远乡镇的数据；min(max(d))：最远数据中的最近乡镇；sum(t)：平均到高中的距离；min(a)：平均距离当中的最小值。
栅格数据空间分析——学校最佳选址
栅格数据空间分析的综合应用——学校选址一、实验背景与目的背景：随着网络时代的到来，网络信息变得越来越丰富，地理空间信息无疑是越来越占据较大的分量，在当今社会，地理信息数据越来越受到人们的重视。
空间分析技术日趋于成熟，在处理地理信息空间数据时发挥着越来越重要的作用。
基于栅格数据的空间分析在空间分析中占有重要地位，空间建模制作的基本过程也是通过栅格数据的空间分析进行的。
空间分析是GIS的核心和区别于其他信息系统处理数据的本质所在，并且为生活中的很多决策提供数据依据，在其中，学校选址就是一个很好的例子。
学校的选址问题需要考虑各种因素，总体上分为自然因素和人文因素，例如地理位置、学生娱乐场所配套、土地利用类型、交通状况以及现有学校的距离间隔等因素，从总体上把握这些因素，能够确定出适宜性比较好的学校选址区域，合理的学校位置有利于方便学生的学习与生活。
目的：通过这次实验练习，从而帮助熟悉ArcGIS栅格数据的欧氏距离制图、数据重分类等空间分析功能，通过栅格计算器进行加权计算，得到适宜性最高的区域，即是最佳选址区域。
能够通过选址处理解决类似选址的其他实际问题。
欧氏距离根据直线距离描述每个像元与一个源（分析目标）或一组源的关系。
二、实验步骤(一)数据准备（1）土地利用现状数据（landuse）；（2）地面高程数据（elevation）；（3）娱乐场所分布数据（rec_sites）；（4）现有学校分布数据（schools）。
(二)操作步骤A.方法一1. 运行Arcmap，如果Spacial Analyst 模块未能激活，单击菜单【自定义】——【拓展模块】——选择Spacial Analyst——【单击关闭】。
2.打开地图文档。
在ArcMap主菜单上选择【文件】——【打开】——【EX1】。
3.设置空间分析环境。
ArcToolbox右键选择【环境】，打开环境设置对话框，设置相关参数：①展开【工作空间】，设置路径（设为平时实验的目录，不要有中文或中文符号）②展开【处理范围】，在范围下拉框中选择“与图层landuse相同”③展开【栅格分析】，在像元大小下拉框选择“与图层landuse相同”。
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t = ai =4320
i =1
20
（1）
除去每所学校基本容纳 600 人后，最大的规模成本费用是： 015 . （4320-4*600） 600=172800 该费用远小于 13,14,15,16 号备选校址中的固定成本 2000000 元， 所以在建校 个数相同时，费用的高低主要取决于固定成本，固定成本高，使整个建校方案成 本高，固定成本低，是整个建校的成本减少，所以在选用地址时，优先考虑 13,14,15,16 号地址其次 8,9,10,12 号地址，最后 1,2,3,4,5,6,7 号地址。 其次：在初步筛选出的学校备选地址中，算出这些方案中花费的成本，比较 并记下在建立最少个数学校时，花费最省的方案。 再次：对已选出的最少建校方案中进行调整，调整的原则是：在保证每个小 区至少有一所学校所覆盖，将一所固定费用高的学校用两所固定费用小的代替。 最后：比较出各方案的费用，得出建立学校的最小费用。
3. 问题的分析
3.1 问题一的分析 首先：根据题目要求每一个小区至少被一所学校所覆盖， 并且要使的建立的 学校个数最少，为读取数据方便可先将表 1-1 的数据进行加工。 然后：在第一步完成后，利用加工后的表格，根据建立学校个数最小建立目 标函数，每一个小区至少能被一所学校所覆盖，建立约束方程组。 最后：运用 matlab 进行编程，进行运算，求解最少建校的方案，进行整理 并用格列出。 3.2 问题二的分析 首先：从表 1-2 中给定的数据可知：建校固定成本和规模成本最低的是 13,14,15,16 号 备 选 校 址 ， 其 次 是 8,9,10,11,12 号 备 选 地 址 , 费 用 最 高 的 是 1,2,3,4,5,6,7 号备选地址。 然后：先从建校个数最少开始考虑建校的总费用， 在问题一种可得到多种建 校最少的方案，要进行初步筛选，因为在规模成本中，费用最高的是备选学校 1,2,3,4,5,6,7 中，费用为： 0.15*2000*100 / 50 600元/每人 整个小区里人学年龄儿童的总人数：
表 4-2 建立四所学校的选址各种方案 方案 校址 方案 校址 方案 校址 方案 校址 1 5,8,10,15 7 2,8,10,11 13 2,4,6,9 19 4,6,9,15 2 5,7,8,16 8 2,5,8,10 14 1,6,9,13 20 2,10,11,13 3 5,7,8,15 9 2,5,7,8 15 1,6,8,10 21 2,4,8,10 4 4,9,12,16 10 2,4,10,13 16 1,6,8,9 22 2,4,7,9 5 4,7,9,16 11 2,4,9,12 17 1,4,6,9 6 4,6,9,16 12 2,4,9,10 18 1,2,8,10
学校选址问题
摘 要
本文针对某地新开发的 20 个小区建设配套小学问题建立了 0-1 规划模型和 优化模型。为问题一和问题二的求解，提供了理论依据。 模型一： 首先：根据目标要求，要建立最少学校的方案列出了目标函数：
s xi
i 1
16
然后：根据每个小区至少能被一所学校所覆盖，列出了 20 个约束条件; 最后：由列出的目标函数和约束函数，用 matlab 进行编程求解，从而得到， 在每个小区至少被一所学校所覆盖时， 建立学校最少的个数是四所， 并且一共有 22 种方案。 模型二： 首先：从建校个数最少开始考虑建校总费用，在整个费用里面，主要是固定 费用，由此在问题一以求解的条件下，进行初步筛选，得到方案 1,4,8 的固定成 本最少。 然后：在初步得出成本费用最少时，对每个这三个方案进一步的求解，求出 这三个方案的具体的总费用，并记下这三套方案中的最小费用。 其次：对这三套方案进行调整，调整的原则是：在保证每个小区有学校覆盖 的条件下，用多个固定成本费用低的备选校址替换固定成本费用高的备选校址。 在替换后，进行具体求解。 再次：比较各种方案的计算结果，从而的出了如下结论： 选用 10,11,13,15,16 号备选校址的选址方案， 花费最少， 最少花费为 13378000 元。 最后：对该模型做了灵敏度分析，模型的评价和推广。
i i
备选校址
i i
考虑到每一小区的学龄儿童数会随住户的迁移和时间发生变化 ,当前的精确 数据并不能作为我们确定学校规模的唯一标准， 于是我们根据小区规模大小用统 计方法给出每个小区的学龄儿童数的估计值，见表 1-3：
表 1-3.各小区 1 到 6 年级学龄儿童数平均值（样本均值） 小区 学龄儿童数 1 120 2 180 3 230 4 120 5 150 6 180 7 180 8 150 9 100 10 160
小区 学龄儿童数
11 180
12 240
13 210
14 220
15 280
16 260
17 320
18 380
19 360
20 300
考虑总成本最低的建校方案。
2. 模型假设与符号说明
2.1 模型假设： （1）入学的学生按照学校规划的人数进行入学。 （2）学校的建立不受地区和学生人数的影响，一旦确定就可顺利的建起。 （3）所建立的学校的规模可大可小。 （4）各小区的学生上学不受交通拥挤等的客观因素的影响。 2.2 符号说明 xi (i 1， 2，…… 16): 备选的第个 i 校址；
关键字：最少建校个数 最小花费 固定成本 规模成本 灵敏度分析
1. 问题重述
1.1 问题背景： 某地新开发的 20 个小区内需要建设配套的小学，以方便小区内居民的的孩 子上学。但是为了节省开支，建造的学校要求尽量的少，为此，设备选定的 16 个校址提供参考，各校址覆盖的小区情况如表 1 所示：
表 1-1 备选校址表 备选校址 1 1,2,3, 4,6 9 7,9,13, 覆盖小区 14,15, 17,18, 19 2 2,3,5,8, 11,20 10 9,10,14, 15,16, 18,19 3 4 1,4,6,7, 12 12 5,10,11 , 16,20, 5 1,4,7,8,9 ,11,13, 14 13 12,13， 14,17, 18 6 5,8,9,10 11,16,20 14 9,10,14, 15 7 10,11,15 16,19, 20 15 2,3,,5, 11,20 8 6,7,12, 13,17, 18 16
s: 一共要建立学校的个数； i (i=1,2,3……) : 第 i 个学校建校的固定成本；
i (i=1,2,3……20) : 第 i 个学校建立的规模成本系数；
第 i 个校址所需要花费的成本； ci : (i 1, 2,3…… 16)： t: 学生人数； gi (i 1, 2,3…… 16): 第 i 个校址中所容纳学生人数； 第 i 个小区入学人数； ai (i=1,2,3…20)： 第 i 种方案的固定成本； mi (i=1,2,3……)： 第 i 种方案的最少花费； wi (i=1,2,3……)：
2000 100 i (学生人数 600)， 若学生人数超过600 ci i 50 0， 否则 其中 i 和 i 由表 1-2 给出：
表 1-2 学校建设成本参数表（单位：百万元）
备选校址 1 5 0.15 9 3.5 0.1 2 5 0.15 10 3.5 0.1 3 5 0.15 11 3.5 0.1 4 5 0.15 12 3.5 0.1 5 5 0.15 13 2 0.05 6 5 0.15 14 2 0.05 7 5 0.15 15 2 0.05 8 3.5 0.1 16 2 0.05
覆盖小区
3,5,11,20
备选校址
11 1,2,4,6, 7
2,3,4,5,8
1.2 问题提出： 问题一、求学校个数最少的建校方案，并用数学软件求解（说明你所使用的 软件并写出输入指令） 。 问题二、 设每建一所小学的成本由固定成本和规模成本两部分组成， 固定成 本由学校所在地域以及基本规模学校基础设施成本构成， 规模成本指学校规模超 过基本规模时额外的建设成本， 它与该学校学生数有关， 同时与学校所处地域有 关。设第 i 个备选校址的建校成本 c i 可表示为
横坐标：小区编号
纵坐标：备选校址的编号 由每个小区至少能被一所学校所覆盖及表 4-1 可得约束条件如下：X1>=
x1 x4 x5 x11 1 x x x x x 1 1 2 11 15 16 x1 x2 x3 x15 x16 1 x1 x4 x5 x11 x16 1 x x x x x 1 16 2 3 6 12 x1 x 4 x8 x9 x11 1 x x x x 1 4 5 8 9 x2 x5 x6 x16 1 x5 x6 x9 x10 x14 1 x x x x x 1 6 7 10 12 14 (3)1 st x x x x x x x 1 2 3 5 6 7 12 15 x4 x8 x13 1 x5 x8 x9 x13 1 x x x x x 1 5 9 10 13 14 x7 x9 x10 x14 1 x6 x7 x10 x12 1 x x x 1 8 9 13 x8 x9 x10 x13 1 x x x 1 7 9 10 x2 x3 x6 x7 x12 x15 1 运行附录 A 的程序， 解出得到满足该条件的建校方案有 22 种， 分别如下表 4-2 ：
4. 模型建立与求解
4.1 模型一的求解： 根据问题一的分析，建立模型一： 要建立学校个数最少，其目标函数是：
s xi
i 1
16（2）将表 源自-1 进行加工，将第 ai 个小区被第 xi 备选校址覆盖记为 1 ，否则为 0 ， 得到表 4-1；
表 4-1 各个备选校址覆盖的小区 小 1 区 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 6 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 7 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 8 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0