华东师大初中数学八年级上册等腰三角形性质定理 (提高) 巩固练习[精选]

【巩固练习】
一.选择题
1．如图，在△ABC 中，若AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，则∠A 等于( )． A ．30° B ．36° C ．45° D ．54°
2. 等腰三角形两边a 、b 满足｜2a b -+｜＋()2
2311a b +-＝0，则此三角形的周长是（ ） A ．7 B ．5 C ．8 D ．7或5 3. 如图，ΔABC 中，AB ＝AC ，BE ＝CD ，BD ＝CF ，则∠EDF ＝ （ ）
A ．2∠A
B ．90°－2∠A
C ．90°－∠A
D ．1
902
A ︒-
∠
4. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）
A ．顶角的一半
B ．底角的一半
C ．90°减去顶角的一半
D ．90°减去底角的一半 5．（2016春•乳山市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A 、B 是格点，以A 、B 、C 为等腰三角形顶点的所有格点C 的个数为（ ）
A ．7个
B ．8个
C ．9个
D ．10个
6. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（ ） A ．32.5° B ．5
7.5° C ．65°或57.5° D ．32.5°或57.5° 二.填空题
7．已知一个等腰三角形的顶角为x 度,则其一腰上的高线与底边的夹角___________度（用
含x 的式子表示）.
8.（2016•淮安一模）已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB=6cm，AC=8cm，则△ADE 的周长为．
9. 等腰三角形的周长为22cm，其中一边的长是8cm,则其余两边长分别为________.
10. 如图，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______°．
11．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D 的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．
12.如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、…、A n，并依次在三角形的外
部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，…，A n﹣1C n﹣1=A n﹣1A n，若∠B=30°，则∠A n= °．
三.解答题
13. 已知，如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE垂足为D，
求证：∠BAD＝∠DAE＋∠C
14．已知，如图，△ABC 中，D 是BC 中点，DE⊥DF,
试判断BE ＋CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论.
15.在ABC △中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE △，使AD AE DAE BAC =∠=∠，，连接CE ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=°，则BCE ∠=_________； （2）设BAC α∠=，BCE β∠=．
①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D 在直线
BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
16.数学课上，同学们探究下面命题的正确性：
（1）顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，为此，请你解答：如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，射线BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．求证：△DAB 与△BCD 都是等腰三角形；
（2）在证明了该命题后，有同学发现：下面两个等腰三角形如图2也具有这种特性．请你在图2中分别画出一条线段，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数．
【答案与解析】 一.选择题
1. 【答案】C ；
【解析】设∠A ＝x ，则由题意∠ADE ＝180°－2x ，∠EDB ＝
2x ，∠BDC ＝∠BCD ＝90°－2
x ，因为∠ADE ＋∠EDB ＋∠BDC ＝180°，所以x ＝45°.
2. 【答案】A ；
【解析】a －b ＋2=0且2a ＋3b －11=0，解得a ＝1，b ＝3，选A ；B 选项不满足两边
之和大于第三边，构不成三角形.
3. 【答案】D ；
【解析】证△BDE ≌△CFD ，∠FDC ＝∠BED ，所以∠EDF ＝108°－∠EDB －∠BED ＝
∠B ＝A o
∠-
2
1
90. 4. 【答案】A ；
.
5. 【答案】B ；
【解析】解：如图所示，分别以A 、B 为圆心，AB 长为半径画弧，则圆弧经过的格点
C 1、C 2、C 3、C 4、C 5、C 7即为点C 的位置，
作线段AB 的垂直平分线，垂直平分线所经过的格点C 6、C 8即为点C 的位置． 故以A 、B 、C 为等腰三角形顶点的所有格点C 的个数为8个．
6. 【答案】D ； 【解析】当高在三角形内部时底角是5
7.5°，当高在三角形外部时底角是32.5
度，故选D.
二.填空题 7. 【答案】
2
x ； 【解析】无论等腰三角形的顶角是锐角还是钝角，一腰上的高线与底边的夹角都是2
x . 8.【答案】14cm ；
【解析】解：∵DE ∥BC ∴∠DOB=∠OBC ，又∵BO 是∠ABC 的角平分线，
∴∠DBO=∠OBC ，∴∠DBO=∠DOB ，∴BD=OD ，同理：OE=EC ， ∴△ADE 的周长=AD +OD +OE +EC=AD +BD +AE +EC=AB +AC=14cm ．
9. 【答案】7cm ，7cm 或8cm ，6cm ；
【解析】边长为8cm 的可能是底边，也可能是腰. 10.【答案】45；
【解析】△ADC ≌△BDH ，AD ＝BD ，所以∠ABC ＝45°. 11.【答案】40；
【解析】AD ＝FD ，∠FAD ＝∠AFD ＝70°，所以∠ADF ＝40°. 12.【答案】
；
【解析】解：∵在△ABA 1中，∠B=30°，AB=A 1B ，
∴∠BA 1A=
=
=75°，
∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角， ∴∠CA 2A 1=
=
=37.5°；
∴∠C 1A 3A 2=18，75°，∠C 2A 4A 3=9.375°，…， ∴∠A n =，
故答案为：
．
三.解答题 13.【解析】
证明：延长AD 交BC 于F,
∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE
F
E D
C
A
∵AD⊥BD
∴∠ADB＝∠BDF＝90º 在△ABD 与△FBD 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠BDF ADB BD
BD CBE ABE , ∴△ABD≌△FBD （ASA ）. ∴BA＝BF.
∴∠BAD＝∠BFA ,
∴∠BFA＝∠DAE＋∠C , ∴∠BAD＝∠DAE＋∠C .
14.【解析】BE ＋CF ＞EF
证明：延长FD 到G ，使DG ＝DF,连结BG 、EG
∵D 是BC 中点 ∴BD＝CD 又∵DE⊥DF ∴EG＝EF
在△FDC 与△GDB 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DG DF BD CD 21 ∴△FDC≌△GDB(SAS) ∴BG＝CF ∵BG＋BE ＞EG ∴BE＋CF ＞EF. 15．【解析】（1）90°；
（2）①α＋β＝180°. 证明：①∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ． 即∠BAD ＝∠CAE ． 在△ABD 与△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△ACE ， ∴∠B ＝∠ACE ．
∴∠B ＋∠ACB ＝∠ACE ＋∠ACB ． ∴∠B ＋∠ACB ＝β，
∵α＋∠B ＋∠ACB ＝180°， ∴α＋β＝180°；
②如图：当点D 在射线BC 上时，α＋β＝180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．
16. 【解析】
（1）证明：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=36°
∴∠3=∠1+∠A=72°，
∴∠1=∠A，∠3=∠C，
∴AD=BD，BD=BC，
∴△ABD与△BDC都是等腰三角形．
（2）解：如下图所示：。