高数下册复习知识
高数下册复习知识点总结
高数下册复习知识点总结高数下册复习学问点总结高数下册复习学问点总结：8空间解析几乎与向量代数1.给定向量的坐标表达式，如何表示单位向量、方向数与方向余弦、投影。
2.向量的数量积、向量积的定义式与坐标式，把握两个向量垂直和平行的条件。
3.了解常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程。
空间曲线在坐标平面上的投影方程。
4.平面方程和直线方程及其求法。
5.平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6.点到直线以及点到平面的距离。
9多元函数微分法及其应用1.有关偏导数和全微分的求解方法，偏导要求求到二阶。
2.复合函数的链式法则，隐函数求导公式和方法。
3.空间曲线的切线和法平面方程，空间曲面的切平面与法线方程；函数沿着一条直线的方向导数与梯度。
4.利用充分条件推断函数的极值问题；利用拉格朗日乘子法（即条件极值）分析实际问题或给定函数的最值问题。
10重积分1.二重积分直角坐标交换积分次序；选择合适的坐标系计算二重积分。
2.选择合适的坐标系计算三重积分。
3.利用二重积分计算曲面的面积；利用三重积分计算立体体积；4.利用质心和转动惯量公式求解问题。
11曲面积分与曲线积分1.两类曲线积分的计算与联系；2.两类曲面积分的计算与联系；3.格林公式和高斯公式的应用。
12曲面积分与曲线积分1.常数项积分的敛散性判别：（1）正项级数；（2）交叉级数；（3）一般级数2.幂级数的收敛域（1）标准型（2）非标准型幂级数的和函数，幂级数绽开3.傅里叶级数的和函数以及绽开式扩展阅读：高数下册总复习学问点归纳(1)高等数学（一）教案期末总复习第八、九章向量代数与空间解析几何总结向量代数定义与运算的几何表达定义向量模有大小、有方向.记作a 或AB向量a的模记作a在直角坐标系下的表示aaxiayjazk(ax,ay,az)axprjxa,ayprjya,azprjzaaax2ay2az2和差cabca －b单位向量cabaxbx,ayby,azbzaa0，则eaa设a与x,y,z轴的夹角分别为，，，则方向余弦分别为cos，cos，cosea(ax,ay,az)axayaz222方向余弦aaacosx，cosy，coszaaaea(cos，cos，cos)cos2+cos2cos21点乘（数量积）ababcos，为向量a与b的夹角abaxbxaybyazbziabaxbxjaybykazbzcabsin叉乘（向量积）为向量a与b 的夹角cab向量c与a，b都垂直定理与公式垂直平行abab0abaxbxaybyazbz0a//bcosa//bab0axayazbxbybz2222交角余弦ab两向量夹角余弦cosab向量a在非零向量b上的投影axbxaybyazbzaxayazbxbybz22投影prjbaacos(ab)abbprjbaaxbxaybyazbzbxbybz222平面法向量n{A,B,C}点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式点法式方程形式及特征直线方向向量T{m,n,p}点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式点向式方程形式及特征A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20AxByCzD0A(xx0)B(yy0)C(zz0)0 xx0yy0zz0mnp高等数学（一）教案期末总复习xx1三点式yy1y2y1y3y1zz1z2z10z3z1两点式线线垂直线线平行线面平行参数式x2x1x3x1截距式面面垂直面面平行线面垂直xyz1abcA1A2B1B2C1C20A1B1C1A2B2C2ABCmnpxx0mtyy0ntzzpt0xx0yy0zz0x 1x0y1y0z1z0m1m2n1n2p1p20m1n1p1m2n2p2AmBnCp0点面距离M0(x0,y0,z0)AxByCzD0面面距离AxByCzD10AxByCzD20dAx0By0Cz0DABC222dD1D2ABC222面面夹角n1{A1,B1,C1}n2{A2,B2,C2}cos|A1A2B1B2C1C2|A1B1C1A2B2C2222222线线夹角s1{m1,n1,p1}s2{m2,n2,p2}线面夹角s{m,n,p}n{A,B,C}AmBnCpA2B2C2m2n2p2cosm1m2n1n2p1p2222m12n12p12m2 n2p2sinx(t)，y(t)，z(t)，切“线”方程：切向量xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)空间(t)曲线：T((t0),(t0),(t0))法平“面”方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切“线”方程：y(x)切向量z(x)T(1,(x),(x))xx0yy0zz01(x0)(x0)法平“面”方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0法向量切平“面”方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fx(x0,y0,z0)(yy0)F(x,y,z)0空间曲面：n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))n(fx(x0,y0),fy(x0,y0) ,1)Fx(x0,y0,z0)(zz0)0法“线“方程：xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程：fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0法“线“方程：zf(x,y)或n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)xx0yy0zz0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1高等数学（一）教案期末总复习第十章总结重积分计算方法（1）利用直角坐标系X型Y型积分类型二重积分典型例题f(x,y)dxdydxDab2(x)1(x)f(x,y)dyf(x,y)dxP141例1、例3f(x,y)dxdyDdcdy2(y)1(y)Ifx,ydD（2）利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简洁(含(x2y2),平面薄片的质量质量=面密度面积为实数)P147例5f(cos,sin)ddDd2()1()f(cos,sin)d0202（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）0I2f(x,y)dxdyD1计算步骤及留意事项f(x,y)对于x是奇函数，即f(x,y)f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数，即f(x,y)f(x,y)D1是D的右半部分P141例2应用该性质更便利1．画出积分区域2．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分别3．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4．确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5．计算要简便留意：充分利用对称性，奇偶性高等数学（一）教案期末总复习三重积分(1)利用直角坐标投影投影法截面法bay2(x)f(x,y,z)dVdxy1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dzP159例1P160例2xrcos（2）利用柱面坐标yrsinzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简洁；如旋转体○If(x,y,z)dvP161例3空间立体物的质量质量=密度面积22222被积函数用柱面坐标表示时变量易分别.如f(xy)f(xz)○f(x,y,z)dVdzdabr2()r1()f(cos,sin,z)dxcosrsincos（3）利用球面坐标ysinrsinsinzrcosdvr2sindrdd适用范围:1积分域表面用球面坐标表示时方程简洁;如，球体，锥体.○P16510-(1)2222被积函数用球面坐标表示时变量易分别.如，f(xyz)○Idd11222(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)2sind（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性高等数学（一）教案期末总复习第十一章总结曲线积分与曲面积分积分类型参数法（转化为定积分）第一类曲线积分（1）L:y(x)IIf(x,y)ds计算方法典型例题(t)Iaf(x,y(x))1y"(x)dx曲形构件的质量（2）L:y(t)质量=线密度xr()cos弧长（3）rr()()L:f((t),(t))b"2(t)"2(t)dt2Lx(t)P189-例1P190－3yr()sinIf(r()cos,r()sin)r2()r"2()d平面其次类曲线积分（1）参数法（转化为定积分）x(t)L:(t单调地从到)y(t)P196-例1、例2、例3、例4LPdxQdy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②P，Q具有一阶连续偏导数结论：LPdxQdy(DQP)dxdyxy满意条件直接应用IPdxQdy应用：有瑕点，挖洞L不是封闭曲线，添加帮助线变力沿曲线所做的功P205－例4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特别路径法）等价条件：①QP②xy③PdxQdy0LLPdxQdy与路径无关，与起点、终点有关P211-例5、例6、例7④PdxQdy具有原函数u(x,y)（特别路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系IPdxQdy(PcosQcos)dsLL空间其次类曲线积分（1）参数法（转化为定积分）PdxQdyRdz{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}d tIPdxQdyRdz（2）利用斯托克斯公式（转化其次类曲面积分）L条件：①L封闭，分段光滑，有向②P，Q，R具有一阶连续偏导数PdxQdyRdzL变力沿曲线所做结论：的功QpRQPR()dydz()dzdx()dxdyyzzxxyP240-例1 高等数学（一）教案期末总复习应用：满意条件直接应用不是封闭曲线，添加帮助线第一类曲面积分投影法：zz(x,y)投影到xoy面If(x,y,z)dv曲面薄片的质量Dxy质量=面密度类似的还有投影到yoz面和zox面的公式面积（1）投影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz1○Dyz：zz(x,y)，为的法向量与x轴的夹角前侧取“+”，cos0；后侧取“”，cos0Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx2其次类曲面积分○Dyz：yy(x,z)，为的法向量与y轴的夹角右侧取“+”，cos0；左侧取“”，cos02If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y))1zx2zydxdyP217-例1、例2P226-例2IPdydzQdzdxR3QdxdyQ(x,y,z(x,y))dxdy○Dyz流体流向曲面一侧的流量：xx(y,z)，为的法向量与x轴的夹角上侧取“+”，cos0；下侧取“”，cos0（2）高斯公式右手法则取定的侧条件：①封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧②P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：PdydzQdzdzRdxdy(PQR)xyzP231-例1、例2应用：满意条件直接应用不是封闭曲面，添加帮助面（3）两类曲面积分之间的联系PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dSP228-例3转换投影法：dydz(全部类型的积分：z)dxdyxdzdx(z)dxdyy1定义：四步法分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
高等数学下册复习资料
高等数学下册复习资料高等数学下册是一门重要的大学数学课程，也是有挑战性的一门课程。
学生们需要透彻地掌握这门课程的基本概念、理论和实际应用，才能够为以后的学习和工作做好充分的准备。
因此，复习高等数学下册是非常必要的。
一、复习重点1.微分方程微分方程是高等数学下册中比较难理解和掌握的知识点之一。
在这个部分中，学生们需要掌握常微分方程及其解法、初始值问题、高阶微分方程、齐次方程和非齐次方程等。
2.多元函数微积分学多元函数微积分学是高等数学下册的另一个难点，包括多重积分、曲线积分、曲面积分、矢量场的线积分和面积分等。
3.线性代数线性代数是高等数学下册另一个重要的知识点。
这个部分需要学生们掌握线性空间、矩阵、行列式和特征值及其应用、线性方程组及其应用等。
二、复习方法1.理解基本概念和理论高等数学下册有很多基本的概念和理论，这些知识点是这门课程的基础。
学生们需要花费足够的时间来学习和理解这些概念和理论，从而能够透彻地掌握整个课程。
2.做题巩固知识点在学习中，做题是非常重要的一部分。
学生们需要选择一些代表性和难度适当的例题和习题来练习，从而加深对知识点的理解和掌握。
同时，做题也可以帮助学生们检查自己的学习效果。
3.查阅资料和参考书籍在复习过程中，学生们可以查阅相关资料和参考书籍，例如高等数学下册的教材、辅读书和网上资料等。
通过阅读和学习这些资料，学生们可以更深入地了解和掌握相关知识点。
4.参加辅导课和讨论小组参加辅导课和讨论小组，可以让学生们更好地交流和学习。
在这个过程中，学生们可以和老师和同学们一起讨论和解决问题，不断提高自己的学习能力。
三、总结复习高等数学下册需要花费足够的时间和精力，但是这个过程是非常重要的。
通过理解基本概念和理论、做题巩固知识点、查阅资料和参考书籍、参加辅导课和讨论小组等方法，学生们可以逐渐掌握高等数学下册的知识点，为以后的学习和工作打下坚实的基础。
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
高等数学下册知识点归纳
高等数学下册知识点归纳
高等数学下册的知识点主要包括以下内容：
1. 向量的模、方向角、投影：向量的模是表示向量大小的度量，方向角和方向余弦是描述向量方向的量，投影则是描述向量在另一个向量上的投影。
2. 两向量的数量积、向量积：数量积是两个向量的点乘，结果是一个标量；向量积是两个向量的叉乘，结果是一个向量。
3. 平面及其方程：平面的一般方程、点法式方程等都是描述平面的重要方式。
4. 空间直线及其方程：空间直线的方程包括对称式方程、参数方程等。
5. 空间曲线的切线与法平面：空间曲线的切线方程和法平面方程是描述空间曲线的重要方式。
6. 曲面的切平面与法线：曲面的切平面和法线是描述曲面在某一点的切线和方向的重要方式。
7. 全微分：全微分是函数在某一点的变化率的度量，包括一阶偏导数和高阶偏导数。
8. 偏导计算：偏导数是函数在某个变量上的变化率，对于多元函数来说，偏导数是重要的概念。
9. 二元函数的极限：二元函数的极限是描述函数在某个点附近的性质的重要方式，包括极限的求解和证明。
10. 二重积分：二重积分是计算二维区域上的积分的重要方式，包括定积分和反常积分。
以上是高等数学下册的一些主要知识点，掌握这些知识点有助于理解和应用高等数学的基本概念和方法。
期末高数下册知识总结
期末高数下册知识总结本文将对高等数学下册的知识进行总结，主要分为以下几个部分：空间解析几何、多元函数与偏导数、重积分、无穷级数与幂级数、常微分方程五个部分。
一、空间解析几何（平面与直线、空间曲线与曲面、空间直角坐标系下的曲线与曲面）空间解析几何是指在空间情形下分析和研究几何形体、几何运动、数学方程和几何方程之间的联系的一门数学学科。
学习空间解析几何可以帮助我们理解空间形体之间的关系以及其运动规律。
1.平面与直线- 平面方程：点法式、一般式、截距式、两平面交线、平面与平面垂直、平行关系- 直线方程：点向式、两点式、一般式、向量叉乘、直线与直线垂直、平行、斜率、角度的概念与求解2.空间曲线与曲面- 空间曲线的方程：参数方程、一般方程- 空间曲面的方程：二次曲面、旋转曲面、柱面、锥面的方程3.空间直角坐标系下的曲线与曲面- 参数方程下的曲线计算：弧长、速度、加速度、切线、法平面、法线- 参数化的曲面计算：一类曲面的面积、体积、切平面、切向量二、多元函数与偏导数多元函数是指具有多个自变量的函数，偏导数是研究多元函数对其中一个自变量求导数的方法。
学习多元函数与偏导数可以帮助我们更加深入地了解多元函数的性质和变化规律。
1.多元函数的极限- 多元函数极限的定义与性质- 极限存在的条件与计算- 多元函数极限与连续函数2.多元函数的偏导数- 偏导数的定义与性质- 高阶偏导数的计算与应用- 隐函数的偏导数3.多元函数的微分与全微分- 多元函数的微分定义与性质- 链式法则与全微分的计算4.多元函数的方向导数与梯度- 方向导数的概念与计算- 梯度的概念与计算- 梯度的几何意义5.多元函数的极值与最值- 多元函数的极值的判定与求解- 条件极值的求解- 二次型的矩阵表示与规范形三、重积分重积分是对多元函数在给定区域上的积分，通过重积分可以计算出在多元函数定义的区域上的一些量的总和。
1.二重积分- 二重积分的概念与性质- 直角坐标系下的二重积分的计算- 极坐标系下的二重积分的计算2.三重积分- 三重积分的概念与性质- 柱坐标系下的三重积分的计算- 球坐标系下的三重积分的计算3.坐标变换与积分- 坐标变换的概念与方法- 二重积分与三重积分的坐标变换4.重积分的应用- 质量、重心、质心的计算- 总质量与平均密度的计算- 转动惯量与转动半径的计算四、无穷级数与幂级数无穷级数是指所含项的个数为无穷多个的数列之和，幂级数是指形如∑\(a_n(x-a)^n\)的形式的级数。
高等数学(下)知识点总结[汇编]
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高等数学(下)知识点总结[汇编]
1.常微分方程：常微分方程是涉及未知函数在某个函数域内的导数与该未知函数自身
的关系的方程。
在常微分方程的解法中，可以使用分离变量法、齐次法等方法求解。
同时，也需要掌握一阶线性微分方程、一阶非线性微分方程、高阶线性微分方程等方程的解法。
3.多元函数微积分学：多元函数微积分学是研究多元函数的微积分理论及其应用的学科。
在多元函数微积分学的知识点中，需要掌握多元函数的极限、连续性、偏导数、方向
导数、梯度、多元函数的微分、多元函数的积分等内容。
4.向量代数与空间解析几何：向量代数与空间解析几何是研究向量相关理论及其在空
间解析几何中的应用的学科。
在向量代数与空间解析几何的知识点中，需要掌握向量的基
本运算、向量的数量积与向量积、直线及平面的方程、空间曲面方程等内容。
6.常微分方程的数值解法：常微分方程的数值解法是利用数值方法求解常微分方程的
近似解。
其中，欧拉法、龙格-库塔法等是常用的数值解法。
掌握常微分方程的数值解法
有利于在实际问题中应用数学知识进行求解。
以上就是高等数学下学期的知识点总结。
对于学习这门学科的学生来说，掌握以上知
识点是非常重要的，可以帮助他们更好地应对考试和实际问题的求解。
大一高数下知识点
大一高数下知识点一、集合与函数1. 集合的基本概念集合是由确定的元素所构成的整体。
集合的元素是无序排列的。
2. 集合运算- 并集：表示将两个或多个集合中的元素全部包括在内。
- 交集：表示两个或多个集合中共有的元素。
- 差集：表示属于一个集合而不属于另一个集合的元素。
3. 函数的定义与性质函数是一个或多个自变量对应唯一的因变量的关系。
- 定义域：函数中自变量的所有可能取值构成的集合。
- 值域：函数中因变量的所有可能取值构成的集合。
- 单调性：函数的增减趋势。
- 奇偶性：函数与自变量符号的关系。
二、极限与连续函数1. 数列的极限数列的极限是指随着自变量趋近于无穷时，函数值趋于一个确定的常数。
2. 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋于一个确定的值。
3. 极限的性质与运算法则- 保号性：若函数极限存在且不为零，则函数极限的符号与极限值的符号一致。
- 夹逼准则：对于极限存在的函数，总存在一个趋近值使得函数值无限接近于极限值。
- 极限的四则运算法则。
4. 连续函数连续函数是指函数在其定义域上的每个点都存在极限，并且极限值等于函数值。
三、导数与微分1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化速率，用于描述函数图像的斜率。
2. 导数的计算法则- 基本导数法则- 乘积法则、商法则- 链式法则3. 高阶导数与导数的应用- 高阶导数：导数的导数称为高阶导数。
- 泰勒展开式4. 微分与微分近似微分表示函数的增量与自变量的增量之间的关系，微分近似用于计算函数值的近似值。
四、积分与定积分1. 不定积分不定积分是对原函数求导的逆运算，表示求函数的原函数的过程。
2. 定积分的定义与性质定积分是将函数在区间上的各个小矩形面积的极限累加，表示函数在该区间上的总体积。
3. 定积分的计算法则- 第一类换元法- 第二类换元法- 分部积分法4. 定积分的应用- 曲线下的面积计算- 弧长计算- 物体质量与质心计算五、级数与幂级数1. 级数的定义与性质级数是将无数项按顺序相加的形式，用于表示函数的展开式。
高数下知识点复习
高数下知识点复习一、导数与微分1.导数的定义导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的定义为：$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$2.导数的性质导数具有如下的性质：(1) 导函数存在的充要条件是函数在该点可导。
(2) 导函数的值表示函数的斜率。
(3) 导函数具有线性性质，即对于常数a和b，有$(af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)$。
(4) 导函数的导数为二阶导数，记作$f''(x)$。
3.微分的定义与性质微分是导数的一种几何解释，表示函数在某一点附近的变化量。
微分的定义为：$$df(x) = f'(x)dx$$微分满足的性质包括：(1) $\Delta f = f(x+\Delta x)-f(x) \approx df$(2) 微分的四则运算：若函数f(x)和g(x)可导，则$$d(f\pm g) = df \pm dg$$$$d(f \cdot g) = g(df) + f(dg)$$$$d\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g(df) - f(dg)}{g^2}$$二、极限与连续1.数列极限数列极限是描述数列趋向某一值的概念。
数列的极限定义为：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数N，使得当$n>N$时，有$|a_n-L|<\varepsilon$。
2.函数极限函数极限是描述函数趋向某一值的概念。
函数的极限定义为：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\varepsilon$。
3.极限的性质极限具有如下的性质：(1) 唯一性：如果极限存在，则极限是唯一的。
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高数下册复习知识.
多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数
最典型的是二元函数
极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势
连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等
导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念
沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数
通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况
高阶偏导数若连续，则求导次序可交换
微分：微分是函数增量的线性主要部分，这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。
只不过若是二元函数，所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合，然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小，若是，则微分存在
仅仅有偏导数存在，不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小，即偏导数存在不一定有微分存在
若偏导数存在，且连续，则微分一定存在
极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂
极值：若函数在一点取极值，且在该点导数（偏导数）存在，则此导数（偏导数）必为零
所以，函数在某点的极值情况，即函数在该点附近的函数增量的符号，由二阶微分的符号判断。
对一元函数来说，二阶微分的符号就是二阶导数的符号，对二元函数来说，二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。
级数敛散性的判别思路：首先看通项是否趋于零，若不趋于零则发散。
若通项趋于零，看是否正项级数。
若是正项级数，首先看能否利用比较判别法，注意等比级数和调和级数是常用来作比较的级数，若通项是连乘形式，考虑用比值判别法，若通项是乘方形式，考虑用根值判别法。
若不是正项级数，取绝对值，考虑其是否绝对收敛，绝对收敛则必收敛。
若绝对值
不收敛，考察一般项，看是否交错级数，用莱布尼兹准则判断。
若不是交错级数，只能通过最根本的方法判断，即看其前n项和是否有极限，具体问题具体分析。
比较判别法是充分必要条件，比值和根值法只是充分条件，不是必要条件。
函数项级数情况复杂，一般只研究幂级数。
阿贝尔定理揭示了幂级数的重要性质：收敛区域存在一个收敛半径。
所以对幂级数，关键在于求出收敛半径，而这可利用根值判别法解决。
逐项求导和逐项积分不改变幂级数除端点外的区域的敛散性，端点情况复杂，需具体分析。
一个函数能展开成幂级数的条件是：存在任意阶导数。
展开后的幂级数能收敛于原来函数的条件是：余项（误差）要随着项数的增加趋于零。
这与泰勒展开中的结论一致。
微分方程：不同种类的方程有不同的常见解法，但理解上并无难处。
下册（二）
定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分都可以概率为一种类型的积分，从物理意义上来理解是某个空间区域（直线段、平面区域、立体区域、曲线段、曲面区域）的质量，其中被积元可看作区域的微小单元，被积函数则是该微小单元的密度
这些积分最终都是转化成定积分来计算
第二类曲线积分的物理意义是变力做功（或速度环量），第二类曲面积分的物理意义是流量
在研究上述七类积分的过程中，发现其实被积函数都是空间位置点的函数，于是把这种以空间位置作为自变量的函数称为场函数
场函数有标量场和向量场，一个向量场相当于三个标量场
场函数在一点的变化情况由方向导数给出，而方向导数最大的方向，称为梯度方向。
梯度是一个向量，任何方向的方向导数，都是梯度在这个方向上的投影，所以梯度的模是方向导数的最大值
梯度方向是函数变化最快的方向，等位面方向是函数无变化的方向，这两者垂直
梯度实际上一个场函数不均匀性的量度
梯度运算把一个标量场变成向量场
一条空间曲线在某点的切向量，便是该点处的曲线微元向量，有三个分量，它建立了第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系
一张空间曲面在某点的法向量，便是该点处的曲面微元向量，有三个分量，它建立了第一类曲面积分和第二类曲面积分的联系
物体在一点处的相对体积变化率由该点处的速度场决定，其值为速度场的散度
散度运算把向量场变成标量场
散度为零的场称为无源场
高斯定理的物理意义：对散度在空间区域进行体积分，结果应该是这个空间区域的体积变化率，同时这种体积变化也可看成是在边界上的流量造成的，故两者应该相等。
即高斯定理把一个速度场在边界上的积分与速度场的散度在该边界所围的闭区域上的体积分联系起来
无源场的体积变化为零，这是容易理解的，相当于既无损失又无补充
物体在一点处的旋转情况由该点处的速度场决定，其值为速度场的旋度
旋度运算把向量场变成向量场
旋度为零的场称为无旋场
斯托克斯定理的物理意义：对旋度在空间曲面进行第二类曲面积分，结果应该表示的是这个曲面的旋转快慢程度，同时这种旋转也可看成是边界上的速度环量造成的，故两者应该相等。
即斯托克斯定理把一个速度场在边界上形成的环量与该边界所围的曲面的第二类曲面积分联系起来。
该解释是从速度环量的角度出发得到的，比高斯定理要难，不强求掌握。
无旋场的速度环量为零，这相当于一个区域没有旋转效应，这是容易理解的
格林定理是斯托克斯定理的平面情形
进一步考察无旋场的性质
旋度为零，相当于对旋度作的第二类曲面积分为零——即等号后边的第二类曲线积分为零，相当于该力场围绕一闭合空间曲线作做的功为零——即从该闭合曲线上任选一点出发，积分与路径无关——相当于所得到的曲线积分结果只于终点的选择有关，与路径无关，可看成终点的函数，这是一个场函数（空间位置的函数），称为势函数——所得的势函数的梯度正好就是原来的力场——因为力场函数是连续的，所以势函数有全微分
简单的概括起来就是：无旋场——积分与路径无关——梯度场——有势场——全微分
要注意以上这些说法之间的等价性
三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉。