人教版数学必修一2.1.1-1根式---教案、学案、课后练习

2.1.1 第一课时根式教案

【教学目标】

1、通过与初中所学的知识进行类比，理解根式的意义，掌握根式的性质。培养学生观察分析、抽象类比的能力。

2、掌握根式的化简，渗透“转化”的数学思想。通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

【教学重难点】 教学重点：

（1）根式概念的理解。 （2）根式的化简 教学难点：

（1）根式的化简

【教学过程】

一、导入新课

同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n 次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：根式

二、新知探究 1、提出问题

（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

（2）如456

=a,,x x a x a ==根据上面的结论我们又能得到什么呢？

（3）根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？ （4）可否用一个式子表达呢？

活动：教师指示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比比方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题（2）的结论进行引申、推广、相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n 次方根的概念，评价学生的思维。

讨论结果：

（1）若2x a =，则x 叫做a 的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，

如：4的平方根为2±，负数没有平方根，同理，若3

x a =，则x 叫做a 的立方根，一

个数的立方根只有一个。

（2）类比平方根、立方根的定义，得到相应的结果。

（3）类比（2）得到一个数的n 次方等于a ，则这个数叫a 的n 次方根。

（4）用一个式子表达是，若n

x a =，则x 叫做a 的n 次方根。

教师板书n 次方根的意义：一般地，如果n

x a =，则x 叫做a 的n 次方根，其中

*1,n n N >∈。

2、提出问题

（1）你能根据n 次方根的意义求出下列数的n 次方根吗？教师板书于黑板

①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦6a 的立方根。

（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，-32，32，0，6a 分别对应什么性质的数，有什么特点？ （3）问题（2）中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a 有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？

（4）任何一个数a 的偶次方根是否存在呢？

活动：教师提示学生切实紧扣n 次方根的概念，求一个数a 的n 次方根，就是求出的那个数的n 次方等于a ，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题（2）中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。

讨论结果：（1）因为±2的平方等于4，±2的立方等于8，±2的4次方等于16，2的5次方等于32，-2的5次方等于-32，0的7次方等于0，2a 的立方等于6a ，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，

6a 的立方根分别是±2，±2，±2，2，-2，0，6a 。

（2）方根的指数是2，3，4，5，7…特点是有奇数和偶数。总的来看，这些数包括正数，负数和零。

（3）一个数a 的奇次方根只有一个，一个正数a 的偶次方根有两个，是互为相反数。0的任何次方根都是0。

（4）任何一个数a 的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数。

类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n 次方根的性质：

①当n 为偶数时，a 的n 次方根有两个，是互为相反数，正的n 次方根用n a 表示，如果是负数，负的n 次方根用-n a 表示，正的n 次方根与负的n 次方根合并写在±

n

a （a >0）。

②n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n n a

③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.

活动：让学生举例说明上述几种情况，教师巡视，及时纠正学生在举例过程中的问题.

n n a n a 的n n n a a n n

a 么？

活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生多举例，分组讨论，教

师点拨，注意归纳整理.

结论：①n 为奇数，n

n a = a ,②当n 为偶数{,0,0

n n a a a a a a -<≥==

3、应用示例

例1、求下列各式的值

（1）33(8)- ；2

(2)(10)- ；44(3)(3)π-

解：（1）33(8)8-=-；2

(2)(10)10-= ；44(3)(3)3ππ-=-

点评：不注意n 的奇偶对式子n

n a 的值影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础之上，记准，记熟，会用. 变式训练：

例2、求下列各式的值

77(1)(2);- 33(2)(33)(1);a a -≤ 44(3)(33)a -

拓展提升

问题：n n a a =与()(1,)n

n a a n n N =>∈哪个是恒等式，为什么？请举例说明.

活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n 次方根的定义.

通过归纳，得出问题结果，对a 是正数和零，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下，再对a 是负数，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论.

4、课堂小结

①如果，如果n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，其中*

1,n n N >∈n a n a a 叫被开方数，n 叫根指数. 说明：

（1） 当n 为偶数时，a 的n 次方根有两个，是互为相反数，正的n n a 如果是负数，负的n 次方根用n a 正的n 次方根与负的n 次方根合并写成

n a a >0)

（2） n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的

n n a .

（3） 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.

②掌握两个公式：n n n

a a =，n {,0,0

n

n

a a a a a a -<≥==

【板书设计】 一、活动一 二、活动二