《数学小讲坛》
小学数学名家讲坛 让每一个孩子获得良好的数学教育
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努力向上 攀登……
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新疆生产建设兵团
李 莉
亚 洲 大 陆 地 理 中 心
吉林的张振涛老师创设的问题情境： 由自己家乡的金达莱花转到厦门的市花三 角梅。过渡自然，又与这节课的数学知识 联系上，看出教师的用心。
天津的董会英老师创设的问题情境：摸 球后黄球的个数引导学生对可能性大小的探 讨是那么有序：不可能到可能（从小到相等 到大）到一定。 河北的杨荣老师创设的问题情境：比 较正方形和长方形纸的大小，从学生用量 周长的方法去比较，到用各种小面积单位 去测量，引导学生体会面积的概念（是大 小，而不是长度），和统一面积单位的重 要性。
两端都栽：
只栽一端：
两端都不栽：
青海省岳明老师的“找规律”一课，充分给予 学生探究的时间和空间，让学生有序、有度地发 现规律。
广西的廖毅婕老师的“解决问题”一课，从引 导学生探究生活中的问题入手，让学生在整理信 息中发现问题，提出问题和尝试探索解决问题。
涵
三、关注数学思想方 法，促进学生思考
• 感悟数学思想，积累数学活动经验 • 数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识 和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、 模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作 交流，逐步感悟数学思想。（课标）
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数学文化讲堂(三)
数学文化讲堂（三）数书九章——三斜求积术由中国南宋数学家秦九韶(约1202～约1261)所撰.本著以问题集的形式收录81个问题，记录了秦九韶的许多创造性成就，其中就包括了“三斜求积术”.材料我国著名的数学家秦九韶于1247年在《数书九章》中提出了“三斜求积术”.他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜.“术”即方法.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，减中斜平方，取相减后余数的一半的平方而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，减上面所得的那个数.相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积. 三斜求积术用现代式子表示为：S＝a,b,c分别表示三角形三边长，S为面积.1. 在△ABC中，当AB＝7，AC=6,BC=5时，请运用“三斜求积术”公式计算△ABC的面积.周髀算经——勾股问题《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，同时也是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要数学成就是介绍勾股定理及其在测量上的应用.材料1《周髀算经》中有“若勾三，股四，则弦五”的记载．2. 如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是由图①放入矩形内得到的，∠BAC= 90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）第2题图A. 90B. 100C. 110D. 121材料2赵爽在注解《周髀算经》中给出了“赵爽弦图”，证明了勾股定理的准确性，如图所示，四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，中间空的是一个小正方形.通过对这个图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.证明方法如下:设直角三角形的三边中较短的直角边为a，另一直角边为b,斜边为c. 朱实面积＝2ab，黄实面积＝（b-a）2=b2-2ab+a2，朱实面积+黄实面积＝a2+b2=大正方形面积＝c2.3. 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB ＝10，EF＝2，那么AH等于________.第3题图第4题图4. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为___________.5. 如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是__________.第5题图九章算术——勾股问题《九章算术》大约于东汉初年（公元一世纪）成书，共九章，汇总了战国和西汉时期的数学成果，是当时世界上最简练有效的应用数学，其中勾股类问题至今被沿用.6. 勾股中记载这样一个问题:今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十步有木，出西门七百五十步见木.问邑方几何？意思是说：如图，正方形ABCD，E、F分别为AD、AB中点，ME⊥AD且ME＝30，GF⊥AB且GF＝750，连接MG，MG恰好过正方形端点A，则正方形ABCD的面积为______________.第6题图第7题图7. “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”翻译为：有一个边长为1丈的正方形水池,在池的正中央长着一根芦苇,芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处,芦苇的顶端恰好到达水面．则水深尺，芦苇长尺.8. “今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？”翻译：如图，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱底面周长3尺，葛藤生于圆柱底部A点，等距离缠绕圆柱7周，恰好长到圆柱上底面B点，求葛藤的长度是多少尺．第8题图9. “今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行.甲南行十步而邪东北与乙会.问甲乙行各几何？”译文为：已知甲乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲乙各走了多远？算法统宗——勾股问题10. 程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度.第10题图海岛算经——测量问题刘徽，公元3世纪人，中国古代伟大的数学家.他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产.《海岛算经》是中国学者编撰最早的一部测量数学著作，都是用表尺重复从不同位置测望，取测量所得的差数进行计算，从而求得山高或谷深，也为地图学提供了数学基础.（北师九上104页）11. “今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何（如图）”.译文：有一根竹子高一丈，竹梢部分折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问竹干还有多高？第11题图12. 今“有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺.从勾端望谷底，入下股九尺一寸.又设重矩于上，其矩间相去三丈.更从勾端望谷底，入上股八尺五寸.问谷深几何？”题目的大意是：测量一个山谷AE的深度，拿一个高AB为6尺的矩尺△ABD放在岸上，从B端看谷底EG（D在BG上），下股AD为９尺１寸，向上平移矩尺3丈，现从B′端看谷底EG，上股A′D′为8尺5寸，试求谷深AE.第12题图答案1. 解：在△ABC中，AB=7,AC=6,BC=5,则a=BC=5,b=AC=6,c=AB=7，∴S △ABC2. C 【解析】如解图，延长AB 交KL 于点O .延长AC 交ML 于点P ，∵AB ＝3，AC ＝4，∠BAC ＝90°，∴BC ＝32+42＝5，由题意知BC ＝BF ，∠BOF ＝∠BAC ＝90°，∵∠CBF ＝90°，∴∠ABC +∠OBF ＝90°，又∵∠BAC =90°,∴∠ABC +∠ACB =90°,∴∠OBF =∠ACB ,∴△OFB ≌△ABC ,∴OB =AC =4,同理CP ＝AB ＝3，∵四边形OBEK 、ADJI 、CHMP 都是矩形，∴KE ＝DJ ＝AI ＝AC ＝4，DE ＝AB ＝3，JI ＝AD ＝AB ＝CP ＝HM ＝3，IH ＝AC ＝4，∴S 矩形KJML ＝KJ ·JM ＝（KE +DE +DJ ）·（JI +IH +HM ）＝（4+3+4）×（3+4+3）＝110.第2题解图 第4题解图3. 64. 5【解析】如解图，∵S 正方形ABCD =13，∴AB =13，∵AG =a ,BG =b ,∴a 2+b 2=AB 2=13，∵(a +b )2=a 2+2ab +b 2=21，∴2ab =(a +b )2-（a 2+b 2）=21-13=8，∴ab =4,∴S △ABG =12a ·b =12×4=2，∴S 小正方形=S 大正方形-4S △ABG =13-4×2=5.5. 766. 900007. 12，138. 答：葛藤长29尺.9. 答：甲行24.5步，乙行10.5步.10. 答：秋千绳索的长度为14.5尺.11. 答：竹干还有4.55尺高.12. 答：谷深AE为41丈9尺.。
华罗庚
华罗庚华罗庚（1910.11.12—1985.6.12.），世界著名数学家，中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者。
国际上以华氏命名的数学科研成果就有“华氏定理”、“怀依—华不等式”、“华氏不等式”、“普劳威尔—加当华定理”、“华氏算子”、“华—王方法”等。
中文名： 华罗庚民族： 汉族出生地： 江苏太湖出生日期： 1910年11月12日 逝世日期： 1985年6月12日 代表作品：《堆垒素数论》人民科学家、世界数学大师国际数学大师。
他为中国数学的发展作出了无与伦比的贡献。
华罗庚先生早年的研究领域是解析数论，他在解析数论方面的成就尤其广为人知，国际间颇具盛名的“中国解析数论学派”即华罗庚开创的学派，该学派对于质数分布问题与哥德巴赫猜想作 出了许多重大贡献。
他在多复变函数论、矩阵几何学方面的卓越贡献，更是影响到了世界数学的发展，也有国际上有名的“典型群中国学派”，华罗庚先生在多复变 函数论，典型群方面的研究领先西方数学界10多年，这些研究成果被著名的华裔数学家丘成桐高度称赞。
华罗庚先生是难以比拟的天才。
主要成就华罗庚是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论等多方面研究的创始人和开拓者。
他一生为我们留下了十部巨著：《堆垒素数论》、《指数和的估价及其在数论中的应用》、《多复变函数论中的典型域的调和分析》、《数论导引》、《典型群》（与万哲先合著）、《从单位圆谈起》、《数论在近似分析中的应用》（与王元合著）、《二阶两个自变数两个未知函数的常系数线性偏微分方程组》（与他人合著）、《优选学》及《计划经济范围最优化的数学理论》，其中八部为国外翻译出版，已列入20世纪数学的经典著作之列。
此外，还有学术论文150余篇，科普作品《优选法评话及其补充》、《统筹法评话及补充》等，辑为《华罗庚科普著作选集》。
40年代，解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题，得到了最佳误差阶估计；华罗庚回忆录照片(20张)对Ｇ.Ｈ.哈代与Ｊ.Ｅ.李特尔伍德关于华林问题及Ｅ.赖特关于塔里问题的结果作了重大的改进，三角和研究成果被国际数学界称为“华氏定理”。
小学数学教师讲坛发言稿
大家好！今天，我非常荣幸能够在这里与大家分享我的教学心得和体会。
作为一名小学数学教师，我深知自己肩负着培养下一代的重要使命。
下面，我就从以下几个方面谈谈我的教学体会。
一、热爱教育事业，关爱每一个学生教育事业是一项神圣的事业，需要我们用心去呵护每一个学生。
首先，我们要热爱教育事业，把这份工作当作自己毕生的追求。
其次，我们要关爱每一个学生，尊重他们的个性，关注他们的成长。
在课堂上，我们要关注每一个学生的表现，鼓励他们积极参与，激发他们的学习兴趣。
二、扎实基本功，提高教学质量作为一名小学数学教师，我们要具备扎实的数学功底。
只有自己精通数学，才能更好地传授给学生。
此外，我们还要不断提高自己的教育教学能力，不断学习新的教学方法，丰富教学内容，使课堂更加生动有趣。
1. 重视基础知识教学。
小学数学教学要以基础知识为核心，帮助学生打好数学基础。
我们要认真备课，精心设计教学环节，确保学生掌握基础知识和基本技能。
2. 培养学生的思维能力。
在教学中，我们要注重培养学生的逻辑思维、空间想象和解决问题的能力。
通过设置有趣的数学问题，引导学生思考，激发他们的学习兴趣。
3. 注重学生个性化发展。
每个学生都有自己的特长和兴趣，我们要关注学生的个性化发展，因材施教，使每个学生都能在数学学习中找到自己的位置。
三、加强家校沟通，形成教育合力家庭是孩子成长的重要环境，家校沟通对于孩子的教育至关重要。
我们要加强与家长的沟通，了解学生的家庭背景和个性特点，共同关注孩子的成长。
同时，我们要向家长传递正确的教育理念，引导家长正确看待孩子的成绩和不足，形成教育合力。
四、关注自身成长，提高自身素质作为一名教师，我们要不断学习，提高自身素质。
我们要关注教育教学动态，学习先进的教育理念和方法，提升自己的教育教学能力。
同时，我们要关注自身心理健康，保持积极向上的心态，以更好地面对教育教学中的挑战。
总之，作为一名小学数学教师，我们要热爱教育事业，关爱每一个学生，扎实基本功，提高教学质量，加强家校沟通，关注自身成长。
数学之美——数学知识讲座
4.要注重学习的技巧和方法。
不要死记硬背一些公式、定律，而是要靠分 析、理解，做到灵活运用，举一反三。特别要重 视课堂上学习新知识和分析练习的时候，不能思 想开小差，管自己做与学习无关的事情。注意力 一定要高度集中，并积极思考，遇到不懂题目时 要及时做好记录，课后和同学进行探讨，做好查 漏补缺。
5、要学会概括和积累。
及时总结解题规律，特别是积累 一些经典和特殊的题目。这样既可以 学得轻松，又可以提高学习的效率和 质量。
四、数学知识及数学问题
1、国际数学最高奖叫什么奖？华人有 谁获得过这一奖项？
2、我国一个自学成才的数学家，一位传 奇式人物，他是谁？
3、世界上攻克“歌德巴赫猜想”的第一 人是谁？
4、你能算出吗?
……
若这张纸的厚度为0.01毫米， 整个的厚度有10737.41824米。
梵塔中的学问
印度北部的圣城贝拿勒斯城 的一座神庙里，佛像前面有一块 黄铜板，板上插着三根宝石针， 其中一根针自上而下放着从小到大的64片圆形金 片(在当地被称为“梵塔”).按教规，每天由值班僧 侣把金片都移到另一根宝石针上，每次只能移动 一片，且小片必须放在大片上——当所有的金片 都移到另一根针上时，所谓的“世界末日”就到了
264-1 585亿年 200亿年
三、如何学好数学
1.要有学习数学的兴趣。
“兴趣是最好的老师”。做任何事情，只要有兴趣，就会积 极、主动去做，就会想方设法把它做好。但培养数学兴趣的关 键是必须先掌握好数学基础知识和基本技能。有的同学老想做 难题，看到别人上数奥班，自己也要去。如果这些同学连课内 的基础知识都掌握不好，在里面学习只能滥竽充数，对学习并 没有帮助，反而使自己失去学习数学的信心。我建议同学们可 以看一些数学名人小故事、趣味数学等知识来增强学习的自信 心。另外，可以寻找解题的一些巧妙方法、有机会帮助别人就 要帮助别人，从帮助别人的过程中产生快乐、游戏法，竞赛法、 帮助成年人解决或自己解决实际生活中的问题而产生成就感等 等。
数学奥林匹克专题讲座 第05讲 有趣的数字
数学奥林匹克专题讲座第5讲有趣的数字数字问题一直是中小学数学竞赛中的热门问题，解这类问题一般要用到整数的性质及解整数问题的常用方法，如数的整除性、剩余类、奇偶分析、尾数的性质等。
有时还得用解竞赛题的一些技巧，如筛选、排除、枚举、局部调整、从极端考虑等。
有一类特殊的数字问题，它们的条件与1到9这9个数字或0到9这10个数字有关，这就增加了题目的趣味性。
解这类题目，要注意利用题目条件中有9个或10个不同数字这一条件，另外这9个或10个数字之和是9的倍数这个特点，也很有用。
例1 在下式中的每两个相邻数之间都添上一个加号或减号，组成一个算式。
要求算式运算结果等于37，且这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能的大。
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1那么，这些减数的最大乘积是多少？解：把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中1个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么结果将要减少这个数的2倍。
因为55-37=18，所以我们变成减数的这些数之和是18÷2=9。
对于大于2的数来说，两数之和总比两数乘积小。
为了使这些数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。
9最多可拆成三数之和2+3+4=9，因此这些减数的最大乘积是2×3×4=24。
添上加、减号的算式是：10+9+8+7+6+5-4-3-2+1=37。
例2 我的岁数的3次方是一个四位数，我的岁数的4次方是一个六位数，要组成这两个数，需要用遍0到9这10个数字。
我爷爷的岁数的平方是一个四位数，他的岁数的3次方是一个六位数，要组成这两个数字，也要用遍0到9这10个数字。
问：我和爷爷的年龄各是多少？解：设我的年龄x。
注意到223=10648和174=83521是五位数，故应有17＜x＜22。
取x等于18，19，21（x显然不应等于20），逐一计算他们的3次方与4次方，经验证，只有18合乎题意：183=5832，184=104976。
华罗庚 简介及评价
华罗庚华罗庚1910年11月12日出生于江苏金坛县。
他幼时爱动脑筋，因思考问题过于专心常被同伴们戏称为“罗呆子”。
初中毕业后，华罗庚曾入上海中华职业学校就读，因拿不出学费而中途退学。
此后，他顽强自学，用5年时间学完了高中和大学低年级的全部数学课程。
20岁时，华罗庚以一篇论文轰动数学界，被清华大学请去工作。
1930年熊庆来在清华大学当数学系主任时，从学术杂志上发现了华罗庚的名字，了解到华罗庚的自学经历和数学方面的才华后，毅然打破常规，让只有初中文化程度的华罗庚进入清华大学。
从1931年起，华罗庚在清华大学边工作边学习，用一年半时间学完了数学系全部课程。
他自学了英、法、德文，在国外杂志上发表了3篇论文后，被破格任用为助教。
1936年华罗庚前往英国剑桥大学。
在英国的两年之中，他攻克了许多数学难题。
他的一篇关于高斯的论文给他在世界上赢得了声誉。
在抗日战争期间，他回到了灾难深重的祖国，在昆明的一个吊脚楼上，他写出了《堆垒数论》。
1946年9月，华罗庚应普林斯顿大学邀请去美国讲学，并于1948年被美国伊利诺依大学聘为终身教授。
新中国成立后，华罗庚放弃在美国的优厚待遇，克服重重困难回到祖国怀抱，投身我国数学科学研究事业。
1950年3月，他到达北京，随后担任了清华大学数学系主任、中科院数学所所长等职。
1956年，他着手筹建中科院计算数学研究所。
1958年，他担任中国科技大学副校长兼数学系主任。
回国后短短的几年中，他在数学领域里的研究硕果累累：他的论文《典型域上的多元复变函数论》于1957年1月获国家发明一等奖，并先后出版了中、俄、英文版专著；1957年出版《数论导引》；1963年他和学生万哲先合写的《典型群》一书出版…… 华罗庚因病左腿残疾后，走路要左腿先画一个大圆圈，右腿再迈上一小步。
对于这种奇特而费力的步履，他曾幽默地戏称为“圆与切线的运动”。
在逆境中，他顽强地与命运抗争，他说“我要用健全的头脑，代替不健全的双腿”。
数学小讲师解说词
数学小讲师解说词数学是一门关于数量、结构、空间以及变化等概念的学科，是理性思维和逻辑推理的一种应用。
它是一门非常重要的学科，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等等。
作为数学小讲师，我将为大家解释一些数学的基本概念和相关内容。
首先，我们来讨论数的概念。
数是用来计数和度量事物的概念，它包括自然数、整数、有理数和实数等等。
自然数是指从1开始的整数，用于计数；整数是包括自然数、0以及负数的集合，用于表示增减关系；有理数是可以表示为两个整数的比值的数，它包括整数和分数；实数则是包括所有有理数和无理数的集合，它可以表示为无限小数或无限不循环小数。
接下来，我们将重点介绍代数。
代数是研究数与运算关系的一门数学学科。
它包括基本的四则运算，即加法、减法、乘法和除法，以及各种运算的性质和规律。
代数也研究了方程、不等式、函数和函数关系等内容。
解方程是代数中的重要内容，它涉及到找到使得等式成立的未知数的值。
不等式则是用来描述大小关系的运算符号，例如大于、小于、大于等于和小于等于等。
几何是数学的另一个重要分支，它研究空间和图形的性质与变化。
平面几何研究二维图形，如点、线、角、三角形、四边形等。
空间几何则研究三维物体的性质，如立方体、球体、圆锥等。
几何中常涉及到的概念有相似、全等、平行、垂直、对称等。
几何也研究了图形的周长、面积、体积等量的计算方法和性质。
概率论是数学中的另一个重要分支，它研究随机现象和不确定性的数学理论。
概率论可以用来计算事件发生的可能性，并处理随机事件的数据。
它包括概率的基本概念、概率分布、期望值、方差等。
概率论广泛应用于统计学、金融学和科学研究等领域，用于分析和预测事件的发生概率。
最后，数学还有其他分支，如微积分、数论、线性代数等等。
微积分是研究函数和其变化率的数学学科。
它包括导数、积分、微分方程等内容，广泛应用于物理学、工程学等领域。
数论研究自然数的性质和结构，涉及质数、因数分解、同余等内容。
数学课前三分钟演讲稿
数学课前三分钟演讲稿有关数学课前三分钟演讲稿（精选12篇）演讲稿可以提高演讲人的自信念，有助发言人更好地呈现自己。
在社会进展不断提速的今日，我们使用上演讲稿的状况与日俱增，那么问题来了，究竟应如何写一份恰当的演讲稿呢？下面是我细心整理的数学课前三分钟演讲稿，仅供参考，大家一起来看看吧。
数学课前三分钟演讲稿篇1敬重的各位老师友爱的同学们；大家好!今日我演讲的故事是《爱思索的“数学王子”高斯》。
在德国的一个农村，有一个贫苦的农夫家庭。
爸爸是小店的伴计，妈妈是石匠的女儿，他们的傲慢就是聪慧的小高斯。
小高斯从小就表现出数学天才。
有一次，父亲帮老板算几个工人的工资，忙得他满头大汗，才得出一个数字。
谁知刚满四岁的小高斯静静地告知他数字算错了。
父亲惊异极了，重新验算后，果真是小高斯说得对。
真惊奇，也没人教他，他是从哪儿学来的呢？小高斯上了学校，在这里有一位从城里来的算术老师。
他不情愿大老远来教这群乡下笨孩子，所以总是发脾气，孩子们都特殊地怕他。
一天，他发完脾气后，在黑板上写下了一个长长的算式，边写边说；“今日，你们给我算1+2+3+4……始终加到100的总和，算不好不准回家吃饭，听到了没有？你们这些笨家伙!”“天哪，这道题真难，快算吧。
要不回不了家了。
”“1+2=3，3+3=6……”“咦，高斯，你怎么还不快算？”“哦，我知道，我在想一个更好的方法。
”“天哪，快，来不及了。
”“唉，算到什么时候才能算完啊。
”此时的小高斯正用一只手托着脑袋，在细心地观看着这个算式，他在开动脑筋，找它们的规律。
突然，他眉开眼笑起来，“1+2+3……始终加到100，等于5050。
”“老师，我算好了。
答案是不是这个？”“去去去，这么快就能算好，确定是错的。
”“老师，是不是5050？”“什么？你？你是怎么算出来的？”“老师，我认真看了这个算式。
在这100个数里，一头一尾两个数相加，都是101，这样一共有50个101，也就是总数为5050，”“唉呀，我怎么就没有想到？你叫什么名字？”“高斯!”“你从哪里学的数学？”“我自己!”“哦？是嘛，了不起!”从今，这位老师再也不对大家凶了。
高考数学 专家讲坛 第7讲 不等式及综合应用(含2013试题,含点评)
高考数学 专家讲坛 第7讲 不等式及综合应用（含2013试题，含点评）真题试做►———————————————————1．(2012·高考浙江卷)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285 C ．5 D ．62．(2012·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．考情分析►———————————————————不等式部分在高考中往往是一到两个填空题，重点考查一元二次不等式、简单的线性规划问题和基本不等式在求最值中的应用，解答题一般没有纯不等式的题目，而会穿插在其他知识中进行综合考查．一元二次不等式是高中数学的重要内容，是分析、解决相关数学问题的基础与工具．在近几年的高考中，涉及二次不等式的试题占有较大的比例，试题形式活泼且多种多样，既有填空题，又有解答题，多数是与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际问题相互交叉和渗透，考查不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，以及逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的综合数学能力，充分体现了不等式的知识所具有的极强的辐射作用．考点一 一元二次不等式解一元二次不等式，换元法和图解法是常用的技巧之一，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准更清晰．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1}(2)若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．1≤a ≤19B ．1<a <19C ．1≤a <19D ．1<a ≤19【思路点拨】 (1)涉及分段函数的有关问题，求解时应按分段函数中每段的定义域进行分类．(2)本题的解题思路是：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴上方，则对应不等式ax 2＋bx ＋c >0对一切x ∈R 恒成立．(1)解一元二次不等式通常先将不等式化为ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的形式，然后求出对应方程的根(若有根的话)，再写出不等式的解；(2)解指数、对数不等式，可以考虑把不等式的两边化成同底数的幂或同底数的对数的形式，然后再根据指数函数、对数函数的单调性，把它化为代数不等式，但要注意对数不等式的真数大于零这一隐含条件；(3)求解分段函数条件下的不等式，应按每段定义域对应下的函数解析式分别转化为一般不等式求解；(4)求解一元二次不等式在区间上恒成立的问题一般是把一元二次不等式看作二次函数，通过二次函数的图象判断函数图象在这个区间上与x 轴的相对位置，列出不等式恒成立满足的条件．强化训练1 解不等式：(1)x ＋64－x≤1；(2)log 12(x 2＋2x －3)>log 12(3x ＋1)．.考点二 简单的线性规划问题熟悉二元一次不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示平面区域的判定方法，会求与平面区域相关的整点、面积等问题．掌握线性规划问题的解题步骤，结合目标函数的几何意义，利用数形结合思想解答．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．(1)几何意义法：指根据目标函数表达式的特征找到其所代表的几何意义，结合图形求解，它是解决中学阶段线性规划问题的一般方法，高考范围内的所有线性规划问题都可采用这一方法．常见目标函数表示的几何意义有截距、向量投影(目标函数是整式)、斜率(目标函数是分式)、距离(目标函数是两个完全平方式之和)、点线距(目标函数是二元一次因式的绝对值)等．(2)变量替代法：指把目标函数z 代换到原约束条件中去，得到新的不等式组，画出此时的平面区域，观察左右或上下边界即可得到目标函数z 的值域(最值)．(3)解不等式法：指在目标函数和约束条件都是线性的线性规划问题中，把目标函数z 代换到原约束条件中去，得到z 的不等式组，直接放缩求解．(4)界点定值法：指通过总结，若目标函数和约束条件都是线性的线性规划问题，对应目标函数最值的最优解都是可行域所对应图形的边界顶点，这时要求目标函数的值域，只要把可行域的几个顶点代入，找到目标函数几个取值中最大的和最小的，即目标函数的最大值和最小值．强化训练2 设定点A (3，0)，动点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6，则|OP →|cos∠AOP (O 为坐标原点)的最大值为________．考点三 基本不等式及其应用 利用基本不等式及变形求最值，掌握基本不等式及变形求函数的最大值和最小值；能灵活应用基本不等式解答函数和数列等综合问题．(2012·高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝abC.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2【思路点拨】 先据已知条件用a 和b 表示出平均时速为v ，再据基本不等式求出v 与a ＋b2，ab ，a 之间的大小关系． 基本不等式是高考的重点与热点之一，同时也是解决很多函数最值问题的重要手段，我们常用“一正，二定，三相等”来表明应用基本不等式的原则，当题目的条件不满足这一前提，就需要适当的“凑”与“配”．高考中，以填空题形式考查是常见的一种形式，有时也和函数结合在一起以解答题的形式考查．强化训练3 (2013·高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94 D ．3不等式与四类知识的交汇不等式是中学数学中重要的基础知识，是分析和解决各种数学问题的重要工具，它的思想方法和内容几乎遍布高中数学的每一个章节，应用十分广泛，与其他知识的交汇是高考中常考常新的问题，应该引起我们的重视，下面分类解析不等式与其他知识点的交汇问题．一、不等式与集合的交汇已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ≥1}，N ＝{x |x ＋1x －2≥0}，则∁U (M ∩N )＝________．【解析】 易求得N ＝{x |x ≤－1或x >2}，而M ＝{x |x ≥1}，∴M ∩N ＝{x |x >2}，∴∁U (M ∩N )＝{x |x ≤2}．【答案】 {x |x ≤2} 本题主要考查分式不等式的解法及集合的交集、补集运算，不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考常考内容，要认真掌握，并确保得分．二、不等式与逻辑条件的交汇(2013·云南师大附中月考改编)已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0；若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是________．【解析】 对于p ：－1≤x ≤4，对于q 讨论如下，当m >0时，q ：3－m ≤x ≤3＋m ；当m <0时，q ：3＋m ≤x ≤3－m ，若p 是q 的充分不必要条件，只需要⎩⎪⎨⎪⎧m >0，3－m ≤－1，3＋m ≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.【答案】 (－∞，－4]∪[4，＋∞)对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；(2)当二次项系数不为0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；(3)讨论判别式是否大于0，当判别式大于0时，判断两根的大小关系．三、不等式与函数的交汇函数f (x )的定义域是R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，当x >0时，f (x )>0，且不等式f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0对所有θ恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 令x 1＝x 2＝0，则f (0)＝f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0. 由题意，对于任意实数x ∈R ，f (0)＝f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数． 对任意实数x 1<x 2，则x 2－x 1>0， 所以f (x 2－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)>0， 即f (x 2)>f (x 1)，则f (x )是增函数．由题意，得f (cos 2θ－3)>－f (4m －2m cos θ)＝f (2m cos θ－4m )．又f (x )是增函数，则原不等式等价于cos 2θ－3>2m cos θ－4m 对所有θ恒成立，分离参数，得m >2－cos 2θ2－cos θ＝－[(2－cos θ)＋22－cos θ]＋4，由于2－cos 2θ2－cos θ的最大值是4－2 2.故实数m 的取值范围是(4－22，＋∞)．利用函数性质法求解恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，根据函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性等性质，找到参数满足的不等式．四、不等式与数列的交汇已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n －1(n ≥1)．(1)设b n ＝a n －1(n ＝1，2，3…)，求证：数列{b n }是等比数列；(2)设c n ＝2n a n ·a n ＋1，求证：数列{c n }的前n 项和S n <13.【证明】 (1)由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＋1－1＝2(a n －1)， ∴{a n －1}是以a 1－1＝2为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n －1＝2×2n －1＝2n ，∴a n ＝2n＋1，∴c n ＝2n a n a n ＋1＝2n （2n ＋1）（2n ＋1＋1）＝12n ＋1－12n ＋1＋1， ∴S n ＝(121＋1－122＋1)＋(122＋1－123＋1)＋…＋(12n ＋1－12n ＋1＋1)＝13－12n ＋1＋1<13.本题以数列为载体考查了不等式的证明，解题的关键是熟练掌握等比数列的定义、数列求和方法等数列知识._体验真题·把脉考向_1．【解析】选C.∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.2．【解析】由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. 又∵f (x )＜c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＜c ， 即－a 2－c ＜x ＜－a2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ，－a2＋c ＝m ＋6.①②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9. 【答案】9_典例展示·解密高考_ 【例1】【解析】(1)当x ＋1<0，即x <－1时， f (x ＋1)＝－(x ＋1)＋1＝－x .∴原不等式可化为x ＋(x ＋1)(－x )≤1.①由①得－x 2≤1，x ∈R ，此时不等式的解集为{x |x <－1}． 当x ＋1≥0，即x ≥－1时，f (x ＋1)＝x ＋1－1＝x ，∴原不等式可化为x ＋(x ＋1)x ≤1.② 解②得－2－1≤x ≤2－1，此时不等式的解集为{x |－1≤x ≤2－1}．综上可知，原不等式的解集为{x |x <－1}∪{x |－1≤x ≤2－1}＝{x |x ≤2－1}． (2)因为函数f (x )的图象恒在x 轴上方，所以不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立．①当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式可化为24x ＋3>0，不满足题意； 若a ＝1，不等式可化为3>0，满足题意．②当a 2＋4a －5≠0时，应有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16（a －1）2－12（a 2＋4a －5）<0， 解得1<a <19.综上，可得a 的取值范围是1≤a <19. 【答案】(1)C (2)C[强化训练1]【解】(1)原不等式可变形为x ＋64－x－1≤0，即x ＋6－（4－x ）4－x ≤0，化简得x ＋1x －4≥0.此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －4）≥0，x －4≠0，解得x ≤－1，或x >4.故原不等式的解集为{x |x ≤－1，或x >4}．(2)原不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，3x ＋1>0，x 2＋2x －3<3x ＋1，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |1<x <1＋172 【例2】【解】法一：(截距法)先作出可行域，如图(1)中的△ABC 及其内部(阴影部分)，且求得A (5，2)，B (1，1)，C (1，225)，作出直线L 0：2x －y ＝0，再将直线L 0平移．当L 0的平行线过C 点时，可使z ＝2x －y 达到最小值；当L 0的平行线过A 点时，可使z ＝2x －y 达到最大值．所以z min ＝－125，z max ＝8.图(1)法二：(变量替代法)将y ＝2x －z 代入原约束条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧－7x ＋4z ≤－3，13x －5z ≤25，x ≥1，把z 看作纵轴，画出此不等式组表示的平面区域，如图(2)所示(阴影部分)，可知最高点P (5，8)，最低点Q (1，－125)，所以z min ＝－125，z max ＝8.图(2)法三：(解不等式法)由解法二，可知⎩⎪⎨⎪⎧－7x ＋4z ≤－3，13x －5z ≤25，x ≥1，可变为⎩⎪⎨⎪⎧4z ＋37≤x ，x ≤5z ＋2513，x ≥1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤5z ＋2513，4z ＋37≤5z ＋2513，解得－125≤z ≤8.故z 的最大值为8，z 的最小值为－125.法四：(界点定值法)先作出可行域，如图(1)中的△ABC 及其内部(阴影部分)，可求得A (5，2)，B (1，1)，C (1，225)．把△ABC 的顶点A ，B ，C 的坐标代到目标函数中求出z 值分别为8，1，－125，比较大小，可知z 的最大值为8，z 的最小值为－125.[强化训练2]【解析】|OP →|·cos ∠AOP ＝OP →·OA →|OA →|＝3x ＋03＝x .作出动点P (x ，y )的坐标满足约束条件的平面区域如图所示，由图形，可知当点P 是直线x ＋y ＝6与y ＝2的交点时，x 取最大值．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，y ＝2，得P (4，2)．所以x 的最大值为4，即|OP →|cos ∠AOP 的最大值为4. 【答案】4。