信号系统课件

(1)
(1)
0 (a)
t
0 (b)
t0
t
图2 冲激信号及延时冲激信号
p 1(t)
p 2(t)
1
1
ε
ε
−
ε 0 ε
2 (a) 2
t
−ε 0
(b)
ε
t
图2
δ(t)的两个工程信号
• （1）：图2就是δ(t)的两个工程信号模型。尽管图中P1(t) 与P2(t)不尽相同，但当ε→0时的极限情况都可形成冲激 信号δ(t)。即： • （2）冲激信号强度：其强度就是冲激信号对时间的定积 分值，如Aδ(t)表示该冲激信号的强度为A，即有： ∞ Aδ (t )dt = A ∫
−∞ ∞
式中，τ为虚设积分变量， 积分的结果为另一个新的时间信号。
2．卷积的图解 • 信号f1(t)与f2(t)的卷积的图解可通过以下几个步骤来完成： • 第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成 τ轴，分别得到f1(τ)和f2(τ)的波形。 • 第二步，将f2(τ)波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到 f2(-τ)波形。
o
t
图 2 – 2 实指数信号
sin t ３抽样函数： f (t ) = Sa(t ) = t
± t = 0时，Sa (t ) = 1 ；t = kπ , k = ±1、 2⋯时，Sa(t ) = 0
抽样函数性质：
(1) ∫ Sa(t )dt = π
−∞ ∞
∞
(2) ∫ Sa(t )dt = π / 2
• 四、信号的微分和积分： • （１）连续时间信号的时间积分是另一个信号，它的任 意瞬时值为从到t区间，波形所包含的面积．
f (t) 1 0 1 t 1 0 1 t
y(t ) = ∫−∞ f (τ ) dτ
t
图 信号的积分 （２）f (t) 的微分是另一信号，它表示信号 随时间变化的变化率．
图 信号的微分
1 1 2
2
t
－2 －1 0
13 2 －1 2
t
(d)
图 信号的反转、展缩与平移
六、信号的简单分解
f (t ) = f d (t ) + f a (t )
• （1）交直流分解： f a (t ) = f (t ) − f d (t ) • （2）信号的奇偶分解：任何可以分解为奇分量和 偶分量即： f(t)=1/2[f(t) +f(-t)] +1/2[f(t) -f(-t)] • (3) 信号分解为典型信号的有限项之和 • （4）信号的因子分解：将信号分解为若干因子的 乘积，求信号频谱时会经常遇到。
小结 奇异函数的物理意义：
• u (t )是物理量的单位跃变的抽象，δ (t )是物理量的单位跃变 ' 的改变速度的抽象，δ (t ) 是物理量产生单位跃变的跃变加速 度的抽象。 例2―2计算下列各式的值：
解：
解：
三、信号的相加相减相乘只能在它们共同存在的区间内进行。
图2- 连续信号的相加和相乘
求f(2t),
f(t/2)
解：（１）
解：（２）
•
（2）信号的延时：t+b(b>0)波形左移，比原信号超前； t-b(b>0) 波形右移，比原信号落后。 （3）信号的反折：以纵坐标为对称轴翻转180度，即用 -t替代f(t)表达式中的独立变量t，f(t)、f(-t)互为反 折。 实际意义：将时间信号的过去与将来倒置，实际上没 有一个物理系统能完成这样的功能。将反折引入是为数 学处理的方便。 （4）综合变换 以变量at+b代替f(t)中的独立变量t，可得一新的信 号函数f(at+b)。当a>０时，它是f(t)沿时间轴展缩、 平移后的信号波形；当a<０时，它是f(t)沿时间轴展缩 平移和反转后的信号波形，下面举例说明其变换过程。
f (t ) = ∫ f (τ )δ (t − τ )dτ ≈
−∞ ∞ k = −∞
∑ f (k∆τ )δ (t − k∆τ )∆τ
∞
上节讲过脉冲函数在一定条件下可演变为冲激函数：我们把 脉冲函数用冲激函数表示，各冲激函数的位置定在它所代表 的冲激函数左侧所在的时刻冲激函数的强度即为冲激面积。 即：
• 第三步，给定一个t值，将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。在t<0 时， 波形往左移；在t>0时，波形往右移。这样就得 到了f2(t-τ)的波形。
• 第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分式中的被 积函数f1(τ)、f2(t-τ)。 • 第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴之间包含 t 的净面积，便是卷积在t时刻的值。 • 第六步，令变量t在(-∞，∞)范围内变化，重复第三、 四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。
'
性质：（１）
（2）
∫
t
−∞
δ‘ (t )dt = δ (t )
0 t
∫
∞
−∞
f (t)δ ′(t)dt = f (t)δ (t)
∞ −∞
− ∫ f ′(t)δ (t)dt = 0 − f ′(0)
−∞
∞
（3）令
f (t ) = 1
则：
∫
∞
−∞
δ ′(t )dt = 0
说明：
δ ′(t ) 所包含的面积为0
• •
•
f (t) 1 t —－t
f (－t) 1 t —t ＋2 1
f (－(t ＋2))
－2
2 t
－4 －1 0 1 2 －1
(b) t
－1 0 1 －1
(a)
－3 －2 －1 0 1 2 －1
(c)
t
图 信号的反转、平移
f (－2t) 1 1 f (－2(t －1))
－1 －2
0 －1 (c)
∞
图2- 信号分解为阶跃
f (t ) ≈ f 0 (t ) + ∆ f1 (t ) + ⋯ + ∆ f k (t ) + ⋯ = f (0 )u (t ) +
∑
k =1
∆ f (t ) ∆τ
t = k∆ τ
∆ τ u (t − k ∆ τ )
（6）任意信号可分解为在不同时刻的具有不同强度的无穷 多个冲激函数的连续和。
1
f1(τ ) f2( t － ) τ
1
f1(τ )
t 0 (c) t＜0
3
τ
0
t
3
τ
(d) 0＜ t ＜3
y(t) 1 f1(τ ) f2( t － ) τ y(3)
0 (e) t ＞3
3
t
τ
0
3
t
图 2-1 卷积的图解表示 (f )
当t<0时，f2(t-τ)波形如图 (c)所示，对任一τ， 乘积f1(τ)f2(t-τ)恒为零，故y(t)=0。 当0<t<3时，f2(t-τ)波形如图(d)所示。
w 1(t) 1 1 1 0 t0 (a) 2t 0 3t 0 t w 2(t) 3 2 w 3(t)
－1
0
1
2
3 (b)
4
5
t
0
t0
2t 0 3t 0 4t 0 5t 0 (c)
t
例2―1图
冲激信号的性质：
• 1） 冲激信号的抽样性：
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
∫
∞
∞
−∞
f (t )δ (t )dt = f (0)
2） U (t ) 的微分等于 δ (t ) ，δ (t ) 的积分等于 U (t )
证明： ∫−∞
∞ ∞ dU (t ) df (t ) f (t ) dt = f (t )U (t ) − ∫ U (t ) dt −∞ −∞ dt dt
= f (∞) − ∫
t R(t ) = 0
t −t0 R(t − t0 ) = 0
t≥0 t<0
t ≥ t0 t < t0
图2.10 斜坡信号与延迟斜坡信号
应用斜坡信号与阶跃 信号，表示)-(t-2)u(t-2)-u(t-2)
• 3、符号函数
1 Sgn(t ) = − 1
当t>3时，f2(t-τ)波形如图 (e)所示，此时，仅在0<τ<3范 围内，乘积f1(τ)f2(t-τ) 不为零，故有：
例 1 给定信号
f1 (t ) = ε (t ) − ε (t − 3) f 2 (t ) = e −t ε (t )
求y(t)=f1(t)*f2(t)。
f1(t) 1 1
f2(t)
0
1 2 3 4 (a)
t
o (b)
t
f1(τ ) 1
f2(－ τ ) 1
0
1
2 (a)
3
4
τ
(b)
o
τ
f2( t － ) τ
−∞
• 冲激信号的强度在图中以括号注明，以示与信号的幅值 相区分。
• 例2―1 试用阶跃函数表示图2-1所示的延时脉冲信号和方 波信号。 • 解 ： w1(t)=u(t-t0)-2u(t-2t0)+u(t-3t0) • w2(t)=u(t)-u(t-1)+u(t-2)-u(t-3)+u(t-4)-u(t-5) • w3(t)=u(t)+u(t-t0)+u(t-2t0)-u(t-3t0)-u(t-4t0)u(t-5t0)
t>0 t<0
• 符号函数与阶跃函数类似，正负号函数（符号 函数）在跳变点可不给定义或规定：Sgnt) = 0 (
用阶跃函数表示：
Sgn (t ) = 2U (t ) − 1